Аксиома выбора - Axiom of choice


Из Википедии, свободной энциклопедии

Иллюстрация аксиомы выбора, причем каждый S I и х я представить как банку и цветной мрамор, соответственно ,
(S я ) бесконечное семейство множеств , индексированных по действительных чисел R ; то есть, существует множество S я для каждого вещественного числа я , с небольшим образцом , показанным выше. Каждый набор содержит , по меньшей мере , один, и , возможно , бесконечно много, элементы. Аксиома выбора позволяет произвольно выбрать один элемент из каждого набора, образуя соответствующее семейство элементов ( х я ) и индексируемых над вещественными числами, с й я извлечь из S я . В целом, коллекции могут быть проиндексированы в течение любого набора I , а не только R .

В математике , то аксиома выбора , или переменный ток , является аксиома в теории множеств равносильно утверждению , что декартово произведение из коллекции непустых множеств не пусто . Неформально говоря, аксиома говорит , что при любом наборе контейнеров, каждый из которых содержит по меньшей мере один объект, можно сделать выбор точно один объекта из каждого бункера, даже если коллекция бесконечна . Формально, в нем говорится , что для каждого индексированного семейства из непустых множеств существует индексированное семейство элементов , такие , что для каждого . Аксиома выбора была сформулирована в 1904 году Цермело , чтобы оформить его доказательство хорошо заказе теоремы .

Во многих случаях такой выбор можно сделать , не прибегая к аксиоме выбора; это , в частности , в случае , если число наборов конечно, или если правило выбора доступно - некоторые отличительное свойство , что происходит , чтобы держать ровно один элемент в каждом наборе. Иллюстративный пример множество определенно из натуральных чисел. Из таких наборов, всегда можно выбрать наименьшее число, например , в {{4, 5, 6}, {10, 12}, {1, 400, 617, 8000}} наименьшее элементы {4, 10, 1} , В этом случае, «выбрать наименьшее число» является функция выбора . Даже если бесконечно много наборов были собраны из натуральных чисел, то всегда можно будет выбрать наименьший элемент из каждого набора для создания набора. То есть, функция выбора обеспечивает набор выбранных элементов. Тем не менее, ни одна функция выбора не известна совокупность всех непустых подмножеств вещественных чисел (если есть неконструктивизируемые реалы ). В этом случае аксиома выбора должна быть вызвана.

Б. Рассел придумал аналогию: для любого (даже бесконечного) сбора пара обуви, можно выбрать левую туфлю из каждой пары , чтобы получить соответствующий выбор; это позволяет непосредственно определить функцию выбора. Для бесконечной коллекции пар носков (предполагается , что не имеют никаких отличительных признаков), нет никакого очевидного способа сделать функцию , которая выбирает один носок из каждой пары, не прибегая к аксиоме выбора.

Хотя первоначально спорный, аксиома выбора теперь используется без оговорки большинства математиков, и он включен в стандартной форме аксиоматической теории множеств , Цермели-Френкель теории множеств с аксиомой выбора ( ZFC ). Одной из причин такого использования является то , что ряд общепринятых математических результатов, таких как теорема Тихонова , требует аксиомы выбора для их доказательства. Современные теоретики набора также изучают аксиомы, которые не совместимы с аксиомой выбора, такие как аксиома детерминированности . Аксиому выбора можно избежать в некоторых сортах конструктивной математики , хотя есть варианты конструктивной математики , в которой аксиома выбора объята.

утверждение

Функция выбора представляет собой функцию F , определенный на сбор X непустых множеств, такие , что для любого множество А в X , F ( ) является элементом . С помощью этой концепции, аксиому можно утверждать:

Аксиома  -  Для любого множества X из непустых множеств существует функция выбора е , определенные на X .

Формально это может быть выражено следующим образом:

Таким образом, отрицание аксиомы выбора утверждает, что существует набор непустых множеств, что не имеет никакой функции выбора.

Каждая функция выбора на коллекцию X непустых множеств элемент декартова произведения множеств в X . Это не самый общее положение декартова произведения семейства множеств, где данный набор может произойти более чем один раз в качестве фактора; однако, можно сосредоточиться на элементах такого продукта , которые выбирают один и тот же элемент каждый раз , когда данный набор появляется как фактор, и такие элементы соответствуют элементу декартово произведение всех различных множеств в семье. Аксиома утверждает существование таких элементов; поэтому эквивалентно:

Учитывая любое семейство непустых множеств, их декартово произведение представляет собой непустое множество.

Номенклатура ZF, AC, и ZFC

В этой статье и других обсуждениях аксиомы выбора следующие сокращения являются общими:

Варианты

Есть много других эквивалентных формулировок аксиомы выбора. Они эквивалентны в том смысле, что в присутствии других основных аксиом теории множеств, они подразумевают аксиому выбора и подразумеваемые им.

Один из вариантов позволяет избежать использования функций выбора путем, в сущности, заменяя каждую функцию выбора с его диапазоном.

Принимая во внимание любое множество X из попарно непересекающихся непустых множеств, существует по крайней мере один набор C , который содержит ровно один общий элемент с каждым из множеств в X .

Это гарантирует для любого разбиения множества X существование подмножества C из X , содержащих ровно один элемент из каждой части перегородки.

Другой эквивалент аксиома рассматривает только коллекции X , которые по существу других наборы сил множеств:

Для любого множества А, булеано А (с пустым множеством удалено) имеет функцию выбора.

Авторы , которые используют этот препарат часто говорят о функции выбора на А , но иметь в виду , что это немного отличается понятие функции выбора. Его домен в Powerset из А (с пустым множеством удалено), и поэтому имеет смысл для любого множества А , в то время как с определением , используемым в других местах в этой статье, область функции выбора на совокупности множеств является то , что сбор, и поэтому имеет смысл только для наборов множеств. С этим альтернативным понятием функции выбора, аксиома выбора можно компактно изложить в

Каждый набор имеет функцию выбора.

что эквивалентно

Для любого множества А существует функция F такая , что для любого непустого подмножества В А , е ( Б ) лежит в B .

Отрицание аксиомы, таким образом, может быть выражена как:

Существует множество такое , что для всех функций F (на множестве непустых подмножеств A ), существует Б такое , что F ( B ) не лежит в B .

Ограничение конечных множеств

Утверждение аксиомы выбора не определяет , является ли конечной или бесконечной совокупностью непустых множеств, и , таким образом , означает , что каждый конечный набор непустых множеств имеет функцию выбора. Тем не менее, этот конкретный случай является теорема Цермело-Френкеля теории множеств без аксиомы выбора (ZF); это легко доказывается математической индукции . В еще более простом случае коллекции одного набора, функция выбора просто соответствует элементу, так что этот случай аксиомы выбора говорит , что каждое непустое множество имеет элемент; это справедливо тривиальным. Аксиома выбора можно рассматривать как утверждение , обобщение этого свойства, уже очевидно для конечных наборов, для произвольных коллекций.

использование

До конца 19 века, аксиома выбора не часто используется неявно, хотя оно еще не было официально заявлено. Например, после того , как установлено , что множество X содержит только непустые множества, математик мог бы сказать «пусть F (s) быть один из членов с для всех S в X » . В общем, невозможно доказать , что F существует без аксиомы выбора, но это , кажется , не осталось незамеченным , пока Цермело .

Не каждая ситуация требует аксиомы выбора. Для конечных множеств X , аксиома выбора следует из остальных аксиом теории множеств. В этом случае это равносильно тому, что если у нас есть несколько (конечное число) коробка, каждый из которых содержит по меньшей мере один элемент, то мы можем выбрать именно один элемент из каждой коробки. Ясно , что мы можем сделать это: Мы начинаем в первом окне, выберите пункт; перейти во второе окно, выберите пункт; и так далее. Количество коробок конечно, поэтому в конце концов , наша процедура выбора подходит к концу. Результат является явной функцией выбора: функция , которая принимает первую коробку к первому элементу мы выбрали, второе окно для второго элемента мы выбрали, и так далее. (Формальное доказательство для всех конечных множеств будет использовать принцип математической индукции доказать «для любого натурального числа к , каждое семейство K непустых множеств имеет функцию выбора») . Этот метод не может, однако, быть использован , чтобы показать , что всякие счетный семейство непустых множеств имеет функцию выбора, как утверждается в аксиоме счетного выбора . Если метод применяется к бесконечной последовательности ( Х я  : я ∈ω) непустых множеств, функция получается на каждой конечной стадии, но не существует стадия , на которой функция выбора для всей семьи строится, и нет " ограничение»функция выбора может быть построена, в общем, в ZF без аксиомы выбора.

Примеры

Характер отдельных непустых множеств в коллекции может сделать возможным , чтобы избежать аксиомы выбора даже для некоторых бесконечных коллекций. Например, предположим , что каждый член коллекции X непустое подмножество натуральных чисел. Каждое такое подмножество имеет наименьший элемент, таким образом , чтобы указать нашу функцию выбора , мы можем просто сказать , что он отображает каждый набор для наименьшего элемента этого множества. Это дает нам определенный выбор элемента из каждого набора, и делает ненужным применение аксиомы выбора.

Трудность возникает , когда нет естественного выбора элементов из каждого набора. Если мы не можем сделать однозначный выбор, как мы знаем , что наш набор существует? Например, предположим , что X есть множество всех непустых подмножеств действительных чисел . Во- первых , мы могли бы попытаться продолжить , как если бы X конечен. Если мы попытаемся выбрать элемент из каждого набора, то из X бесконечно, наша процедура выбора никогда не придет к концу, и , следовательно, мы никогда не должны быть в состоянии производить функцию выбора для всех X . Далее мы могли бы попытаться указать наименьший элемент из каждого набора. Но некоторые подмножества действительных чисел не имеют наименьшие элементы. Например, открытый интервал (0,1) не имеет наименьший элемент: если х в (0,1), то и х / 2 и х / 2 всегда строго меньше х . Таким образом , эта попытка также не удается.

Кроме того, рассмотрит, например , единичная окружность S , а действие на S группы G , состоящую из всех рациональных вращений. А именно, это вращение на углах , которые являются рациональными кратными  П . Здесь G счетно , а S несчетно. Следовательно , S распадается на несчетное множество орбит под  G . Используя аксиому выбора, мы могли бы выбрать одну точку из каждой орбиты, получение несчетного подмножества X из S со свойством , что все его сдвигов по G не пересекается с  X . Множество тех транслирует разбивает круг в счетную совокупность непересекающихся множеств, которые все попарно совпадают. Так как Й не измерим для любого вращения-инвариантного счетно - аддитивной конечной меры на S , найти алгоритм , чтобы выбрать точку на каждой орбите требует аксиом выбора. См неизмеримое множество для более подробной информации.

Причина , по которой мы можем выбрать наименее элементы из подмножеств натуральных чисел является тот факт , что натуральные числа упорядоченная : каждое непустое подмножество натуральных чисел имеет уникальный наименьший элемент при естественном упорядочении. Можно было бы сказать, «Даже при том , что обычно упорядочение действительных чисел не работает, то можно найти другой порядок вещественных чисел, является хорошо упорядоченность. Тогда наша функция выбора может выбрать наименьший элемент каждого множества под нашим необычным упорядочением «. Проблема становится , что построения благополучия упорядоченности, которая оказывается требовать аксиомы выбора для ее существования; каждый набор может быть вполне упорядоченным , если и только если аксиома выполняется.

Критика и принятие

Доказательство требует аксиомы выбора может установить существование объекта без явного определения объекта на языке теории множеств. Например, в то время как аксиома выбора предполагает , что существует полное упорядочение действительных чисел, существует модель теории множеств с аксиомой выбора , в котором нет хорошо упорядочивание чисел определимо. Точно так же, хотя подмножество действительных чисел, не измеримые по Лебегу можно доказать существование с помощью аксиомы выбора, это соответствует , что такому набору не определим.

Аксиома доказывает существование этих нематериальных активов (объекты, которые доказали существование, но которые не могут быть явно построены), которые могут вступать в конфликт с некоторыми философскими принципами. Поскольку не существует каноническое полное упорядочение всех множеств, конструкция , которая опирается на хорошо упорядочении не может производить канонический результат, даже если канонический результат желательно (как это часто бывает в теории категорий ). Это было использовано в качестве аргумента против использования аксиомы выбора.

Еще один аргумент против аксиомы выбора является то , что она предполагает существование объектов , которые могут показаться нелогичными. Одним из примеров является Банаха-Тарского парадокс , который говорит , что можно разложить 3-мерную твердый единичный шар на конечное число частей и, используя только повороты и переводы, собрать кусочки в двух твердых шаров каждый с тем же объемом, что и оригинал , Кусочки в этом разложении, построенном с использованием аксиомы выбора, являются не-измеримыми множествами .

Несмотря на эти , казалось бы , парадоксальные факты, большинство математиков принимают аксиому выбора в качестве действительного принципа для доказательства новых результатов в математике. Дебаты достаточно интересно, однако, что считается отметить , когда теорема ZFC (ZF плюс AC) является логически эквивалентна (только с аксиомами ZF) аксиомой выбора и математики ищут результаты , которые требуют аксиомы выбор быть ложным, хотя этот тип вычет встречается реже , чем тип , который требует аксиомы выбора , чтобы быть правдой.

Можно доказать многие теоремы , используя ни аксиома выбора , ни его отрицание; такие заявления будут верны в любой модели из ZF, независимо от истинности или ложности аксиомы выбора в той или иной модели. Ограничение ZF делает любое утверждение , что опирается на обе аксиомы выбора или его отрицание недоказуемо. Например, парадокс Банаха-Тарского не является ни доказуемо , ни опровергается от ZF в одиночку: нельзя построить искомое разложение единичного шара в ZF, но и невозможно доказать , что не существует такого разложения. Аналогичным образом , все утверждения , перечисленные ниже , которые требуют выбора или более слабому версии их для их доказательства являются недоказуемо в ZF, но так как каждый доказуемо в ZF плюс аксиома выбора, есть модели ZF , в которой каждое утверждение верно. Такие выражения, как парадокс Банаха-Тарского можно перефразировать условные операторы, например, «Если переменного тока имеет место, то разложение в парадокс Банаха-Тарского существует.» Такие условные операторы доказуемы в ZF , когда первоначальные утверждения доказуемы от ZF и аксиомы выбора.

В конструктивной математике

Как уже говорилось выше, в ZFC, аксиома выбора может обеспечить « неконструктивных доказательств » , в котором существование объекта доказана , хотя не явный пример не построен. ZFC, однако, по- прежнему формализованные в классической логике. Аксиома выбора также хорошо изучена в контексте конструктивной математики, где трудоустроена неклассическая логика. Статус аксиомы выбора зависит от различных сортов конструктивной математики.

В теории типа Мартин-LOF и высший порядок гейтинговых арифметике , соответствующее утверждение аксиомы выбора ( в зависимости от подхода) , включенного в качестве аксиомы или доказуемо в качестве теоремы. Эрретт Бишоп утверждал , что аксиома выбора была конструктивно приемлемой, говоря

Функция выбора существует в конструктивной математике, так как выбор вытекает из самого смысла существования.

В конструктивной теории множеств , однако, теорема Diaconescu в показывает , что аксиома выбора предполагает закон исключенного третьего ( в отличие от теории типа Martin-LOF, где он не делает). Таким образом, аксиома выбора не доступна в конструктивной теории множеств. Причина этого различия является то , что аксиома выбора в теории типа не имеет объемность свойства , что аксиома выбора в конструктивной теории множеств делает.

Некоторые результаты в конструктивной теории множеств использовать аксиому счетного выбора или аксиомой зависимого выбора , который не подразумевает закон исключенного третьего в конструктивной теории множеств. Хотя аксиома счетного выбора , в частности , широко используется в конструктивной математике, его использование также была поставлена под сомнение.

независимость

В 1938 году Курт Гедель показал , что отрицание аксиомы выбора не является теоремой ZF путем построения внутренней модели ( конструктивны вселенной ) , которая удовлетворяет ZFC и , таким образом показывая , что ZFC соответствует , если сам ZF непротиворечиво. В 1963 году Пол Коэн использовал технику принуждения , разработанной для этой цели, чтобы показать , что: при условии , ZF непротиворечива, аксиома самого выбора не является теоремой ZF, построив гораздо более сложную модель , которая удовлетворяет ZF¬C (ZF с отрицанием AC добавляется в качестве аксиомы) и , таким образом показывая , что ZF¬C является последовательным. Вместе эти результаты показали, что аксиома выбора логически независимая от ZF. Предположение о том, что ZF соответствует безвредно , потому что добавление еще аксиомы к уже противоречивой системе не может сделать ситуацию еще хуже. Из - за независимости, решение о том , чтобы использовать аксиому выбора (или его отрицание) в качестве доказательства не может быть сделано посредством обращения к другим аксиомам теории множеств. Решение должно быть принято на других основаниях.

Один аргумент , который в пользу использования аксиомы выбора является то , что он удобен в использовании, потому что это позволяет доказать некоторые упрощающие предположения , которые в противном случае не может быть доказана. Многие теоремы , которые доказуемо с помощью выбора имеют элегантный общий характер: каждый идеал в кольце содержится в максимальном идеале , каждый вектор пространство имеет базис , и каждый продукт из компактных пространств компактно. Без аксиомы выбора, эти теоремы не выполняются для математических объектов большой мощности.

Доказательство результата независимости также показывает , что широкий класс математических утверждений, в том числе все заявления , которые могут быть сформулированы на языке арифметики Пеано , доказуемы в ZF тогда и только тогда , когда они доказуемы в ZFC. Заявления в этом классе включают утверждение , что P = NP , то гипотеза Римана , и многие другие нерешенные математические задачи. Когда один пытается решить проблемы в этом классе, это не имеет никакого значения ZF или ZFC является ли используемый , если только вопрос является наличие доказательства. Вполне возможно, однако, что есть короткое доказательство теоремы из ZFC , чем от ZF.

Аксиома выбора не является единственным значимым утверждение , которое не зависит от ZF. Например, обобщенная гипотеза континуума (ОСИ) является не только независимым от ZF, но также не зависит от ZFC. Однако, ZF плюс ОСИ подразумевает AC, что делает ОСИ строго сильнее , чем требование AC, несмотря на то, что они оба зависят от ZF.

Сильнее аксиомы

Аксиома конструктивности и обобщенная гипотеза континуума каждый подразумевает аксиому выбора и так строго сильнее его. В теориях класса , такие как фон Нейман-Бернайс-Гедель теория множеств и Морзе-Kelley теории множеств , есть аксиома называется аксиомой глобального выбора , который сильнее , чем аксиома выбора для множеств , потому что это также относится и к собственным классам. Аксиома глобального выбора следует из аксиомы ограничения размера .

эквиваленты

Есть важные заявления , что, принимая аксиому ZF , но ни AC , ни ¬AC, эквивалентны аксиоме выбора. Наиболее важными среди них являются лемма Цорна и хорошо приказывать теорема . На самом деле, Zermelo первоначально ввел аксиому выбора, чтобы оформить его доказательство хорошо заказе теоремы.

теория категорий

Есть несколько результатов в теории категорий , которые ссылаются на аксиому выбора для их доказательства. Эти результаты могут быть слабее, что эквивалентно, или сильнее , чем аксиомы выбора, в зависимости от силы технических основ. Например, если один определяет категории в терминах множеств, то есть, как множества объектов и морфизмов (обычно называются малая категория ), или даже локально малые категории, чьи Хомы-объекты множество, то нет категории всех множеств , и поэтому трудно категории теоретико-препарат для применения ко всем множеств. С другой стороны, другие основополагающие описания теории категорий значительно сильнее, и идентичная категория теоретико-оператор выбора может быть сильнее , чем стандартная формулировка, а - ля классовой теории, упомянутой выше.

Примеры категории теоретико-заявления, которые требуют выбора включают в себя:

  • Каждая маленькая категория имеет скелет .
  • Если две малые категории слабо эквивалентны, то они эквивалентны .
  • Каждый непрерывный функтор на малокомплектных категории , которая удовлетворяет соответствующее множество решений условия имеет левую сопряженный (теорему Freyd сопряженной).

Более слабые формы

Есть несколько слабее утверждения, которые не эквивалентна аксиоме выбора, но тесно связаны между собой . Одним из примеров является аксиомой зависимого выбора (DC). Еще слабее примером является аксиомой счетного выбора (AC ω или CC), в котором говорится , что функция выбора существует для любого счетного множества непустых множеств. Эти аксиомы являются достаточными для многих доказательств в элементарном математическом анализе , и согласуются с некоторыми принципами, такие как лебеговской измеримость всех множеств чисел, которые опровергаются от полной аксиомы выбора.

Другой выбор аксиомы слабее , чем аксиома выбора включает булеву простой идеал теорему и аксиому униформизации . Первое из них является эквивалентом в ZF для существования ультрафильтрации , содержащей каждый заданный фильтр, доказанного Тарским в 1930.

Результаты, требующие переменного тока (или более слабые формы), но слабее, чем

Одним из наиболее интересных аспектов аксиомы выбора является большим количеством мест в математике, что он показывает. Вот некоторые высказывания, которые требуют аксиом выбора в том смысле, что они не доказуемы от ZF, но доказуемы от ZFC (ZF плюс AC). Эквивалентное эти утверждения верны во всех моделях ZFC, но ложно в некоторых моделях ZF.

Возможно, эквивалентные последствия переменного тока

Есть несколько исторически важные теоретико-множественных заявлений подразумеваемых от сети переменного тока , чья эквивалентность AC открыто. Принцип раздела, который был сформулирован перед собой AC, был упомянут Цермел в качестве оправдания верить AC. В 1906 году Рассел заявил , PP эквивалентными, но означает ли Partition Принцип AC - прежнему является старейшей открытой проблемой в теории множеств, и эквивалентности остальных утверждений так же трудно старые открытые проблемы. В каждой известной модели ZF , где выбор терпит неудачу, эти заявления не в состоянии тоже, но это неизвестно , если они могут держать без выбора.

  • теория множеств
    • Принцип распределения: если есть сюръекция от А к В, существует инъекция от B к A. Эквивалентен, каждый раздел Р множество S меньше или равно S в размере.
    • Беседует теорему Шредера-Бернштейн : если два множества имеет сюръекции друг к другу, они equinumerous.
    • Слабый принцип раздела: Разбиение множества S не может быть строго больше, чем S. Если WPP имеет, это уже предполагает существование неизмеримому множества. Каждая из трех предыдущих утверждений вытекает из предыдущего, но неизвестно, если какой-либо из этих последствий может быть отменено.
    • Там нет бесконечной убывающей последовательности кардиналами. Эквивалентность была высказана гипотеза, по Шёнфлису в 1905 году.
  • Абстрактная алгебра
    • Hahn теорема вложения : Каждая упорядоченная абелева группа G порядка встраивает подгруппу аддитивной группы ℝ Ом , наделенная лексикографический порядок, где Ω есть множество архимедовых классов эквивалентности Ом. Эта эквивалентность была высказана гипотеза Хана в 1907 году.

Сильнее формы отрицания AC

Теперь рассмотрим более сильные формы отрицания переменного тока. Например, если мы сокращаем ВРЫ утверждают , что каждое множество действительных чисел имеет свойство Бэра , то BP сильнее ¬AC, утверждающее несуществование любой функции выбора на , возможно , только один набор непустых множеств. Обратите внимание , что укрепление отрицаний могут быть совместимы с ослабленными формами переменного тока. Например, ZF + DC + BP соответствует, если ZF есть.

Это также согласуется с ZF + DC , что каждый набор чисел является измеримым по Лебегу ; Однако, этот результат консистенции, из - за Роберт М. Соловеет , не может быть доказан в самой ZFC, но требует мягкого большого кардинального предположения (существование недоступного кардинала ). Гораздо сильнее аксиома детерминированности , или AD, следует , что всякое множество чисел измеримо по Лебегу, обладает свойством Бэра, и имеет идеальный набор собственность (все три из этих результатов опровергнуты сам AC). ZF + DC + AD согласуется при условии , что достаточно сильная большая кардинальная аксиома согласуется (существование бесконечного числа кардиналов Woodin ).

Система Куайна аксиоматические теории множеств, «Новые основания» (NF), берет свое название от названия ( «Новых Основ для математической логики») в 1937 году статьи, которая введена его. В аксиоматической системе NF, аксиома выбора может быть опровергнута.

Заявления, согласующиеся с отрицанием AC

Есть модели теории множеств Цермело-Френкеля, в которой аксиома является ложной. Мы сокращаем «Цермело-Френкеля теории множеств плюс отрицание аксиомы выбора» по ZF¬C. Для некоторых моделей ZF¬C, можно доказать отрицание некоторых стандартных фактов. Обратите внимание, что любая модель ZF¬C также модель ZF, поэтому для каждого из следующих утверждений, существует модель ZF, в которой это утверждение верно. Для каждого из приведенных ниже утверждений, есть некоторая модель ZF¬C, где это правда:

  • В какой - то модели, есть набор , который может быть разделен на более строго классы эквивалентности , чем исходный набор элементов, а функция, область строго меньше его диапазона. На самом деле, это так во всех известных моделей.
  • Существует функция F от действительных чисел для действительных чисел таким образом, что е не является непрерывным на , но F является последовательно непрерывна на , то есть, для любой последовательности { х п } , сходящаяся к , Пт п е ( х п ) = F (а).
  • В некоторых моделях, существует бесконечное множество действительных чисел без счетного подмножества.
  • В какой-то модели, действительные числа счетное объединение счетных множеств.
  • В какой-то модели, есть поле, без алгебраического замыкания.
  • Во всех моделях ZF¬C есть векторное пространство, без основы.
  • В какой-то модели, в которой есть векторное пространство с двумя основаниями различной мощности.
  • В некоторых моделях есть свободная полная булева алгебра на счетном числе образующих.
  • В некоторых моделях есть набор , который не может быть линейно упорядочен .

Для доказательства см Jech (2008) .

Аксиома выбора в теории типа

В теории типов , различного рода заявления , как известно , как аксиомы выбора. Эта форма начинается с двумя типами, а, т, и соотношение R между объектами типа а и объектами типа т. Аксиома выбора гласит , что если для каждого х типа σ существует у типа т таким образом, что Р ( х , у ), то есть функция F от объектов типа а к объектам типа т таким образом, что Р ( х , е ( х )) выполняется для всех х типа а:

В отличии от теории множеств, аксиома выбора в теории типа , как правило , указана в качестве схемы аксиом , в которой R пробегает все формулы или по всем формулам конкретной логической формы.

Цитаты

Аксиома выбора, очевидно , правда, хорошо приказывать принцип , очевидно , ложно, и кто может сказать о лемме Цорна ?

Это шутка: хотя три все математически эквивалентны, многие математики считают аксиомой выбора, чтобы быть интуитивно понятным, принцип хорошо упорядоченность быть нелогичным, и лемма Цорна быть слишком сложным для любой интуиции.

Аксиома выбора необходимо выбрать набор из бесконечного числа пар носков, но не бесконечное число пар обуви.

Наблюдение здесь является то, что можно определить функцию, чтобы выбрать из бесконечного числа пар обуви, заявив, например, чтобы выбрать левые ботинки. Без аксиомы выбора, нельзя утверждать, что такая функция существует для пар носков, потому что левый и правый носок (предположительно) неразличимы.

Тарские попытался опубликовать свою теорему [эквивалентность между AC и «любым бесконечным множеством имеет ту же мощность , как A  ×  A », смотрите выше] в Comptes Rendus , но Фреш и Лебегу отказались представить. Фреше писал о том , что подразумевается между двумя хорошо известными [истинными] утверждениями не является новым результат, и Лебегу писал о том , что подразумевается между двумя ложными предложениями не представляет интереса.

Польско-американский математик Ян Мычильский связывает этот анекдот в статье в Записках AMS 2006.

Аксиома получила свое название не потому, что математики предпочитают его другие аксиомы.

Это цитата из известного Дня первоапрельской статьи в компьютерной воссозданные колонке Scientific American , апрель 1989 года.

Заметки

Рекомендации

Переведенный в: Жан Хейенорта 2002. От Фреге до Гёделя: A Сборника в математической логике, 1879-1931 . Новый выпуск. Harvard University Press . ISBN  0-674-32449-8
  • 1904. «Доказательство того, что каждое множество может быть вполне упорядочено,» 139-41.
  • 1908. «Исследования в области основ теории множеств I,» 199-215.

внешняя ссылка