Форсирование (математика) - Forcing (mathematics)

В математической дисциплине теории множеств , принуждая является метод доказательства непротиворечивости и независимости результатов. Впервые он был использован Полом Коэном в 1963 году для доказательства независимости аксиомы выбора и гипотезы континуума от теории множеств Цермело – Френкеля .

В последующие годы форсирование было значительно переработано и упрощено, и с тех пор оно стало мощным методом как в теории множеств, так и в таких областях математической логики , как теория рекурсии . В описательной теории множеств используются понятия принуждения как из теории рекурсии, так и из теории множеств. Принуждение также использовалось в теории моделей , но в теории моделей принято определять универсальность напрямую, без упоминания принуждения.

Интуиция

Интуитивно, принуждение заключается в расширении вселенной теории множеств до большей вселенной . В большей вселенной, к примеру, один может иметь много новых подмножеств из , которые не были там в старой Вселенной, и тем самым нарушить гипотезу континуума . ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V ^ {*}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle = \ {0,1,2, \ ldots \}}$

Хотя это невозможно при работе с конечными множествами , это всего лишь еще одна версия парадокса Кантора о бесконечности. В принципе, можно было бы рассмотреть:

{\ Displaystyle V ^ {*} = V \ times \ {0,1 \},}

отождествить себя с , а затем ввести расширенное отношение членства, включающее «новые» наборы формы . Принуждение - более сложная версия этой идеи, сводящая расширение к существованию одного нового набора и позволяющая точно контролировать свойства расширенной вселенной. ${\ displaystyle x \ in V}$ ${\ Displaystyle (х, 0)}$ ${\ Displaystyle (х, 1)}$

Первоначальная техника Коэна, теперь называемая разветвленным принуждением , немного отличается от изложенного здесь неразветвленного принуждения . Форсирование также эквивалентно методу булевых моделей , который, по мнению некоторых, концептуально более естественен и интуитивно понятен, но, как правило, его гораздо сложнее применить.

Принуждение позы

Принуждая посет является упорядоченной тройкой, где это предзаказ на это безатомный , а это означает , что она удовлетворяет следующее условие: ${\ Displaystyle (\ mathbb {P}, \ leq, \ mathbf {1})}$ ${\ displaystyle \ leq}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

Для каждого есть такое , при этом нет такого, что . Самый большой элемент есть , то есть для всех . ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle q, r \ in \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle q, r \ leq p}$ ${\ displaystyle s \ in \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle s \ leq q, r}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1}}$ ${\ displaystyle p \ leq \ mathbf {1}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$

Члены называются принудительными условиями или просто условиями . Читаешь , как « это сильнее , чем ». Интуитивно понятно, что условие «меньшего размера» предоставляет «больше» информации, так же как меньший интервал предоставляет больше информации о числе $π,$ чем интервал . ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle p \ leq q}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle [3.1415926,3.1415927]}$ ${\ displaystyle [3.1,3.2]}$

Существуют различные соглашения. Некоторые авторы требуют также быть антисимметричными , чтобы отношение было частичным порядком . Некоторые все равно используют термин частичный порядок , что противоречит стандартной терминологии, а некоторые используют термин предварительный порядок . Можно обойтись без самого большого элемента. Обратный порядок также используется, в первую очередь Сахароном Шелахом и его соавторами. ${\ displaystyle \ leq}$

P-имена

Связанный с вынуждающим посетом это класс из - имена . A -name - это набор формы ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ Displaystyle V ^ {(\ mathbb {P})}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle A \ substeq \ {(u, p) \ mid u ~ {\ text {is a}} ~ \ mathbb {P} {\ text {-name and}} ~ p \ in \ mathbb {P} \ }.}

На самом деле это определение трансфинитной рекурсии . С пустым множеством, в ординале в порядковом , мощности множество оператора и предельное число , определить следующую иерархию: ${\ displaystyle \ varnothing}$ ${\ displaystyle \ alpha +1}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ displaystyle \ lambda}$

{\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {Name} (\ varnothing) & = \ varnothing, \\\ operatorname {Name} (\ alpha +1) & = {\ mathcal {P}} (\ operatorname {Name } (\ alpha) \ times \ mathbb {P}), \\\ operatorname {Name} (\ lambda) & = \ bigcup \ {\ operatorname {Name} (\ alpha) \ mid \ alpha <\ lambda \}. \ конец {выровнено}}}

Тогда класс имен определяется как ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

{\ displaystyle V ^ {(\ mathbb {P})} = \ bigcup \ {\ operatorname {Name} (\ alpha) ~ | ~ \ alpha ~ {\ text {- порядковый номер}} \}.}

В -names является, по сути, расширением Вселенной . Учитывая , можно определить как -имя ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle x \ in V}$ ${\ displaystyle {\ check {x}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

{\ displaystyle {\ check {x}} = \ {({\ check {y}}, \ mathbf {1}) \ mid y \ in x \}.}

Опять же, это действительно определение трансфинитной рекурсии.

Интерпретация

Принимая во внимание любое подмножество из , один определяет следующие интерпретации или оценки карте от -names по ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

{\ displaystyle \ operatorname {val} (u, G) = \ {\ operatorname {val} (v, G) \ mid \ exists p \ in G: ~ (v, p) \ in u \}.}

Это снова определение трансфинитной рекурсии. Обратите внимание, что если , то . Затем определяется ${\ displaystyle \ mathbf {1} \ in G}$ ${\ displaystyle \ operatorname {val} ({\ check {x}}, G) = x}$

{\ displaystyle {\ underline {G}} = \ {({\ check {p}}, p) \ mid p \ in G \}}

так что . ${\ displaystyle \ operatorname {val} ({\ underline {G}}, G) = \ {\ operatorname {val} ({\ check {p}}, G) \ mid p \ in G \} = G}$

Пример

Хороший пример вынуждающего посета , где и есть совокупность борелевских подмножеств из имеющих ненулевой меры Лебега . В этом случае можно говорить об условиях как о вероятностях, а -name присваивает членство в вероятностном смысле. Благодаря интуитивной интуиции, которую может предоставить этот пример, вероятностный язык иногда используется с другими расходящимися вынуждающими позами. ${\ Displaystyle (\ OperatorName {Bor} (I), \ substeq, I)}$ ${\ Displaystyle I = [0,1]}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Bor} (I)}$ ${\ displaystyle I}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Bor} (I)}$

Счетные транзитивные модели и общие фильтры

Ключевым этапом принуждения является поиск подходящего объекта, которого нет в вселенной . Результирующий класс всех интерпретаций -именов будет моделью, которая должным образом расширяет исходный (с ). ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle G \ notin V}$

Вместо того, чтобы работать с , полезно рассмотреть счетную транзитивную модель с . «Модель» относится к модели теории множеств, либо всей , либо модели большого, но конечного подмножества , либо некоторого ее варианта. «Транзитивность» означает, что если , то . Коллапс лемма Мостовского утверждает , что это можно считать , если членство отношение вполне обоснованное . Эффект транзитивности состоит в том, что членство и другие элементарные понятия можно обрабатывать интуитивно. Счетность модели основана на теореме Левенгейма – Сколема . ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {P}, \ leq, \ mathbf {1}) \ в M}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle x \ in y \ in M}$ ${\ displaystyle x \ in M}$

Как и набор, есть наборы, которых нет - это следует из парадокса Рассела . Соответствующий набор , чтобы выбрать и примыкает к является общим фильтром на . Условие «фильтрации» означает, что: ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

${\ Displaystyle G \ substeq \ mathbb {P};}$
${\ Displaystyle \ mathbf {1} \ в G;}$
если , то ${\ displaystyle p \ geq q \ in G}$ ${\ displaystyle p \ in G;}$
если , то существует такое, что ${\ displaystyle p, q \ in G}$ ${\ displaystyle r \ in G}$ ${\ displaystyle r \ leq p, q.}$

Ибо «общий» означает: ${\ displaystyle G}$

Если является «плотным» подмножеством (то есть для каждого существует такое, что ), то . ${\ displaystyle D \ in M}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle q \ in D}$ ${\ displaystyle q \ leq p}$ ${\ Displaystyle G \ cap D \ neq \ varnothing}$

Существование общего фильтра следует из леммы Расиовой – Сикорского . На самом деле верно немного больше: для заданного условия можно найти общий фильтр, такой, что . Из-за условия разделения on (названного выше «безатомным»), если является фильтром, то он плотный. Если , то потому что это модель . По этой причине универсальный фильтр никогда не используется . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p \ in G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ setminus G}$ ${\ displaystyle G \ in M}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ setminus G \ in M}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle M}$

Принуждение

При использовании универсального фильтра поступают следующим образом. Подкласс -names в обозначается . Позволять ${\ Displaystyle G \ substeq \ mathbb {P}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle М ^ {(\ mathbb {P})}}$

{\ Displaystyle M [G] = \ left \ {\ operatorname {val} (u, G) ~ {\ Big |} ~ u \ in M ​​^ {(\ mathbb {P})} \ right \}.}

Чтобы свести изучение теории множеств к к изучению теории множеств , можно использовать «язык принуждения», который построен как обычная логика первого порядка , с членством в качестве бинарного отношения и всеми именами в качестве констант. ${\ displaystyle M [G]}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

Определить (читается как « силы в модели с poset »), где - условие, - формула на языке принуждения, а - -имена, означающие, что если это общий фильтр, содержащий , то . Частный случай часто пишется как « » или просто « ». Такие утверждения верны , что бы ни было . ${\ displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ varphi}$ ${\ displaystyle u_ {i}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle M [G] \ модели \ varphi (\ operatorname {val} (u_ {1}, G), \ ldots, \ operatorname {val} (u_ {n}, G))}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {1} \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P} \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$ ${\ displaystyle \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$ ${\ displaystyle M [G]}$ ${\ displaystyle G}$

Важно то, что это внешнее определение отношения принуждения эквивалентно внутреннему определению внутри , определяемому трансфинитной индукцией по именам в экземплярах и , а затем обычной индукцией по сложности формул. Это приводит к тому, что все свойства объекта на самом деле являются его свойствами , и проверка in становится простой. Обычно это выражается в следующих трех ключевых свойствах: ${\ displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle u \ in v}$ ${\ displaystyle u = v}$ ${\ displaystyle M [G]}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle M [G]}$

Истина : если и только если это вынуждает нас , то есть по какому-то условию , у нас есть . ${\ Displaystyle M [G] \ модели \ varphi (\ operatorname {val} (u_ {1}, G), \ ldots, \ operatorname {val} (u_ {n}, G))}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p \ in G}$ ${\ displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$
Определимость : выражение " " можно определить в . ${\ displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$ ${\ displaystyle M}$
Согласованность : . ${\ displaystyle p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n}) \ land q \ leq p \ подразумевает q \ Vdash _ {M, \ mathbb { P}} \ varphi (u_ {1}, \ ldots, u_ {n})}$

Мы определяем отношение принуждения в индукции по сложности формул, в которой мы сначала определяем отношение для атомарных формул с помощью -индукции, а затем определяем его для произвольных формул индукцией по их сложности. ${\ displaystyle \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ in}$

Сначала мы определяем отношение принуждения к атомарным формулам, делая это для обоих типов формул и одновременно. Это означает, что мы определяем одно отношение, где обозначает тип формулы следующим образом: ${\ displaystyle x \ in y}$ ${\ displaystyle x = y}$ ${\ Displaystyle Р (п, а, Ь, т, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle R (p, a, b, 0, \ mathbb {P})}$ значит . ${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in b}$
${\ Displaystyle R (p, a, b, 1, \ mathbb {P})}$ значит . ${\ Displaystyle п \ Vdash _ {\ mathbb {P}} а = б}$
${\ Displaystyle R (p, a, b, 2, \ mathbb {P})}$ значит . ${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ substeq b}$

Вот условие и - имена. Позвольте быть формулой, определяемой -индукцией: ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ Displaystyle Р (п, а, Ь, т, \ mathbb {P})}$ ${\ displaystyle \ in}$

R1. если и только если . ${\ displaystyle R (p, a, b, 0, \ mathbb {P})}$ ${\ Displaystyle (\ forall q \ Leq р) (\ существует р \ Leq q) (\ существует (s, с) \ в b) (г \ Leq s \, \ земля \, R (г, а, с, 1, \ mathbb {P}))}$

R2. если и только если . ${\ Displaystyle R (p, a, b, 1, \ mathbb {P})}$ ${\ Displaystyle R (г, a, b, 2, \ mathbb {P}) \, \ land \, R (r, b, a, 2, \ mathbb {P})}$

R3. если и только если . ${\ Displaystyle R (p, a, b, 2, \ mathbb {P})}$ ${\ Displaystyle (\ forall (s, c) \ in a) (\ forall q \ leq p) (\ существует r \ leq q) (r \ leq s \, \ Rightarrow \, R (r, c, b, 0, \ mathbb {P}))}$

Более формально мы используем следующие бинарные отношения -name: Let выполняется для имен и тогда и только тогда, когда хотя бы для одного условия . Это отношение является хорошо обоснованным, что означает, что для любого имени класс всех имен , таких, что имеет место, является набором, и не существует такой функции , что . ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ Displaystyle S (а, Ь)}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle (p, a) \ in b}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ Displaystyle S (а, Ь)}$ ${\ displaystyle f: \ omega \ longrightarrow Names}$ ${\ Displaystyle (\ forall п \ в \ омега) S (е (п + 1), е (п))}$

В общем, хорошо обоснованное отношение не является предварительным заказом, потому что оно может не быть транзитивным. Но, если мы рассматриваем это как «упорядочение», это отношение без бесконечных убывающих последовательностей, где для любого элемента класс элементов ниже него является набором.

Любое бинарное отношение на транзитивность легко закрыть. Для имен и , имеет место , если есть хотя бы одна конечная последовательность (как карта с областью ) для некоторых таких , что , и для любого , имеет место. Такой порядок тоже вполне обоснован. ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle a <b}$ ${\ displaystyle c_ {0}, \ dots, c_ {n}}$ ${\ Displaystyle \ {0, \ точки, п \}}$ ${\ displaystyle n> 0}$ ${\ displaystyle c_ {0} = а}$ ${\ displaystyle c_ {n} = b}$ ${\ Displaystyle я <п}$ ${\ Displaystyle S (c_ {i-1}, c_ {i})}$

Мы определяем следующий четко определенный порядок пар имен: если выполняется одно из следующих условий: ${\ Displaystyle Т ((а, Ь), (с, d))}$

${\ Displaystyle \ макс \ {а, Ь \} <\ макс \ {с, д \}}$ ,
${\ Displaystyle \ макс \ {а, Ь \} = \ макс \ {с, д \}}$ и , ${\ Displaystyle \ мин \ {а, Ь \} <\ мин \ {с, д \}}$
${\ Displaystyle \ макс \ {а, Ь \} = \ макс \ {с, д \}}$ и и . ${\ Displaystyle \ мин \ {а, Ь \} = \ мин \ {с, д \}}$ ${\ displaystyle a <c}$

Отношение определяется рекурсией по парам имен. Для любой пары это определяется таким же соотношением на «более простых» парах. Фактически, по теореме рекурсии существует такая формула , что R1, R2 и R3 являются теоремами, потому что ее значение истинности в некоторой точке определяется ее значениями истинности в "меньших" точках относительно некоторого хорошо обоснованного отношения, используемого как "упорядочение" ". Теперь мы готовы определить отношение принуждения: ${\ Displaystyle Р (п, а, Ь, т, \ mathbb {P})}$ ${\ Displaystyle (а, б)}$ ${\ Displaystyle Р (п, а, Ь, т, \ mathbb {P})}$

${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in b}$ значит . ${\ displaystyle a, b \ in Name \, \ land \, R (p, a, b, 0, \ mathbb {P})}$
${\ Displaystyle п \ Vdash _ {\ mathbb {P}} а = б}$ значит . ${\ displaystyle a, b \ in Name \, \ land \, R (p, a, b, 1, \ mathbb {P})}$
${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} \ lnot f (a_ {1}, \ dots, a_ {n})}$ значит . ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, \ lnot (\ exists q \ leq p) q \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1 }, \ точки, a_ {n})}$
${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} (f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \ land g (a_ {1}, \ dots, a_ {n}))}$ значит . ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) )) \ land (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} g (a_ {1}, \ dots, a_ {n}))}$
${\ Displaystyle п \ Vdash _ {\ mathbb {P}} (\ forall x) f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}, x)}$ значит . ${\ displaystyle a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, a_ {1}, \ dots, a_ {n} \ in Name \, \ land \, (\ forall b \ в именах) p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}, b)}$

Фактически, это преобразование произвольной формулы в формулу, где и - дополнительные переменные. Это определение отношения принуждения во вселенной всех множеств независимо от какой-либо счетной транзитивной модели. Однако существует связь между этой «синтаксической» формулировкой принуждения и «семантической» формулировкой принуждения по некоторой счетной транзитивной модели . ${\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle M}$

Для любой формулы существует теорема теории (например, конъюнкция конечного числа аксиом) такая, что для любой счетной транзитивной модели, такой что и любой безатомный частичный порядок и любой -генерический фильтр над ${\ displaystyle f (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle M \ models T}$ ${\ displaystyle \ mathbb {P} \ in M}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle (\ forall a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ in M ^ {\ mathbb {P}}) (\ forall p \ in \ mathbb {P}) (p \ Vdash _ {M, \ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ dots, a_ {n}) \, \ Leftrightarrow \, M \ models p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} f (a_ {1}, \ dots , a_ {n})).}$

Это называется свойством определимости отношения принуждения.

Последовательность

Вышеупомянутое обсуждение можно резюмировать с помощью фундаментального результата согласованности, заключающегося в том, что при наличии принудительного poset мы можем предположить существование универсального фильтра , не принадлежащего вселенной , так что опять же теоретико-множественная вселенная, которая моделирует . Более того, все истины могут быть сведены к истинам в связи с отношением принуждения. ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ displaystyle V}$

Обычно используются оба стиля, примыкающие либо к счетной транзитивной модели, либо ко всей вселенной . Реже встречается подход, использующий «внутреннее» определение принуждения, в котором не упоминаются модели набора или класса. Это был оригинальный метод Коэна, и в одной разработке он стал методом булевозначного анализа. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle V}$

Коэн форсирует

Простейшим нетривиальным форсирующим poset является конечные частичные функции из в при обратном включении. То есть условие , по существу , две непересекающиеся конечные подмножества и из того , чтобы рассматриваться как «да» и «нет» частей , без каких - либо информации о значениях за пределами области . « сильнее, чем » означает, что , другими словами, части «да» и «нет» являются надмножествами частей «да» и «нет» и в этом смысле предоставляют больше информации. ${\ displaystyle (\ Operatorname {Fin} (\ omega, 2), \ supseteq, 0)}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle 2 ~ {\ stackrel {\ text {df}} {=}} ~ \ {0,1 \}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle {p ^ {- 1}} [1]}$ ${\ displaystyle {p ^ {- 1}} [0]}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q \ supseteq p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle p}$

Позвольте быть общим фильтром для этого ч.у. Если и находятся в обоих , то это условие, потому что это фильтр. Это означает, что это четко определенная частичная функция от до, потому что любые два условия согласуются в их общей области. ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p \ cup q}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle g = \ bigcup G}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle 2}$ ${\ displaystyle G}$

Фактически, это общая функция. Учитывая , пусть . Потом плотно. (Для любого , если не входит в домен, присоедините значение для - результат в .) Условие имеет в своей области, и, поскольку , мы обнаруживаем, что оно определено. ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle n \ in \ omega}$ ${\ displaystyle D_ {n} = \ {p \ mid p (n) ~ {\ text {определен}} \}}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ ${\ displaystyle p \ in G \ cap D_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle p \ substeq g}$ ${\ Displaystyle г (п)}$

Пусть , набор всех "да" членов общих условий. Можно указать имя напрямую. Позволять ${\ Displaystyle X = {г ^ {- 1}} [1]}$ ${\ displaystyle X}$

{\ displaystyle {\ underline {X}} = \ left \ {\ left ({\ check {n}}, p \ right) \ mid p (n) = 1 \ right \}.}

Тогда теперь предположим, что в . Мы утверждаем это . Позволять ${\ displaystyle \ operatorname {val} ({\ underline {X}}, G) = X.}$ ${\ displaystyle A \ substeq \ omega}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle X \ neq A}$

{\ Displaystyle D_ {A} = \ {p \ mid (\ существует n) (n \ in \ operatorname {Dom} (p) \ land (p (n) = 1 \ iff n \ notin A)) \}. }

Потом плотно. (Учитывая любой , найдите то , что не входит в его домен, и добавьте значение, противоречащее статусу " ".) Затем любые свидетели . Подводя итог, это «новое» подмножество , обязательно бесконечное. ${\ displaystyle D_ {A}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle n \ in A}$ ${\ displaystyle p \ in G \ cap D_ {A}}$ ${\ Displaystyle X \ neq A}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle \ omega}$

Заменив на , то есть рассмотрим вместо этого конечные частичные функции, входные данные которых имеют форму , с и , а выходы - или , получатся новые подмножества . Все они различны по аргументу плотности: учитывая , пусть ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega \ times \ omega _ {2}}$ ${\ Displaystyle (п, \ альфа)}$ ${\ Displaystyle п <\ omega}$ ${\ Displaystyle \ альфа <\ omega _ {2}}$ ${\ displaystyle 0}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ Displaystyle \ альфа <\ бета <\ omega _ {2}}$

{\ Displaystyle D _ {\ альфа, \ бета} = \ {п \ середина (\ существует п) (п (п, \ альфа) \ neq р (п, \ бета)) \},}

тогда каждый из них плотен, и общее условие в нем доказывает, что α-й новый набор не согласуется где-то с th новым набором. ${\ displaystyle D _ {\ alpha, \ beta}}$ ${\ displaystyle \ beta}$

Это еще не опровержение гипотезы континуума. Нужно доказать, что не было введено никаких новых карт, на которые или на которые наносится карта . Например, если вместо этого рассматривать конечные частичные функции от до , первый несчетный порядковый номер , получается биекция от до . Другими словами, уже рухнул , а в выгонки расширения, счетное порядковое. ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega, \ omega _ {1})}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$

Таким образом, последний шаг в демонстрации независимости гипотезы континуума - показать, что форсирование Коэна не сводит на нет кардиналов. Для этого достаточным комбинаторным свойством является то, что все антицепи вынуждающего poset счетны.

Условие счетной цепи

(Сильная) антицепь из не является подмножеством таким образом, что , если , то и являются несовместимыми (написано ), то есть там нет ни в таком , что и . В примере с борелевскими множествами несовместимость означает нулевую меру. В примере с конечными частичными функциями несовместимость означает, что это не функция, другими словами, и присвоение разных значений некоторому входу домена. ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle p, q \ in A}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle p \ perp q}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle r \ leq p}$ ${\ displaystyle r \ leq q}$ ${\ displaystyle p \ cap q}$ ${\ displaystyle p \ cup q}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle q}$

${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ удовлетворяет условию счетной цепи (ccc) тогда и только тогда, когда каждая антицепь в является счетной. (Название, которое явно неуместно, является пережитком старой терминологии. Некоторые математики пишут «cac» для «счетного условия антицепи».) ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$

Легко видеть, что это удовлетворяет ccc, потому что в сумме меры составляют самое большее . Также удовлетворяет ccc, но доказательство труднее. ${\ displaystyle \ operatorname {Bor} (I)}$ ${\ displaystyle 1}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (E, 2)}$

Учитывая бесчисленное подсемейство , для некоторых сократитесь до бесчисленного подсемейства наборов размеров . Если для несчетного количества , сократите это до бесчисленного подсемейства и повторите, получив конечный набор и несчетное семейство несовместимых условий размера, таких, что каждое находится в не более чем счетном множестве . Теперь выберите произвольный элемент и выберите из любого , не входящего в счетное множество членов, с которыми есть общий член домена . Тогда и совместимы, значит не антицепь. Другими словами, -антицепи счетны. ${\ Displaystyle W \ substeq \ OperatorName {Fin} (E, 2)}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle W_ {0}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ Displaystyle п <\ omega}$ ${\ displaystyle p (e_ {1}) = b_ {1}}$ ${\ displaystyle p \ in W_ {0}}$ ${\ displaystyle W_ {1}}$ ${\ displaystyle \ {(e_ {1}, b_ {1}), \ ldots, (e_ {k}, b_ {k}) \}}$ ${\ displaystyle W_ {k}}$ ${\ displaystyle nk}$ ${\ displaystyle e}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Dom} (p)}$ ${\ displaystyle p \ in W_ {k}}$ ${\ displaystyle p \ in W_ {k}}$ ${\ displaystyle W_ {k}}$ ${\ displaystyle q}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p \ cup \ {(e_ {1}, b_ {1}), \ ldots, (e_ {k}, b_ {k}) \}}$ ${\ displaystyle q \ чашка \ {(e_ {1}, b_ {1}), \ ldots, (e_ {k}, b_ {k}) \}}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (E, 2)}$

Важность антицепей в форсинге состоит в том, что для большинства целей плотные множества и максимальные антицепи эквивалентны. Максимальный антицепь является тот , который не может быть расширен до большего антицепи. Это означает, что каждый элемент совместим с некоторым членом . Существование максимальной антицепи следует из леммы Цорна . Для максимальной антицепи пусть ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle p \ in \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle A}$

{\ Displaystyle D = \ left \ {p \ in \ mathbb {P} \ mid (\ существует q \ in A) (p \ leq q) \ right \}.}

Тогда плотно, и тогда и только тогда, когда . Наоборот, для плотного множества лемма Цорна показывает, что существует максимальная антицепь , и тогда тогда и только тогда, когда . ${\ displaystyle D}$ ${\ Displaystyle G \ cap D \ neq \ varnothing}$ ${\ Displaystyle G \ cap A \ neq \ varnothing}$ ${\ displaystyle D}$ ${\ Displaystyle A \ substeq D}$ ${\ Displaystyle G \ cap D \ neq \ varnothing}$ ${\ Displaystyle G \ cap A \ neq \ varnothing}$

Предположим, что удовлетворяет ccc. Учитывая , что функция in , можно аппроксимировать внутри следующим образом. Позвольте быть именем для (по определению ) и позвольте быть условием, которое заставляет быть функцией от до . Определим функцию , чей домен , по ${\ Displaystyle \ mathbb {P}}$ ${\ displaystyle x, y \ in V}$ ${\ displaystyle f: x \ to y}$ ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle x}$

{\ Displaystyle F (a) {\ stackrel {\ text {df}} {=}} \ left \ {b \ left | (\ существует q \ in \ mathbb {P}) \ left [(q \ leq p) \ land \ left (q \ Vdash ~ u \ left ({\ check {a}} \ right) = {\ check {b}} \ right) \ right] \ right \}. \ right.}

Благодаря определимости принуждения это определение имеет смысл внутри . По согласованности принуждения несовместимое происходит от другого . По ccc счетно. ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle F (а)}$

Таким образом, неизвестно, поскольку это зависит от , но не является совершенно неизвестным для ccc-форсинга. Можно идентифицировать счетный набор предположений о том, какое значение имеет значение на любом входе, независимо от . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle G}$

Это имеет следующее очень важное следствие. Если , сюръекция из одного бесконечных порядковых на другой, то есть сюръекция в , и , следовательно, сюръекция в . В частности, кардиналы не могут рухнуть. Напрашивается вывод, что в . ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ displaystyle f: \ alpha \ to \ beta}$ ${\ displaystyle g: \ omega \ times \ alpha \ to \ beta}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle h: \ alpha \ to \ beta}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {\ Алеф _ {0}} \ geq \ Алеф _ {2}}$ ${\ Displaystyle V [G]}$

Истон форсинг

Точное значение континуума в вышеупомянутой модели Коэна и варианты, подобные для кардиналов в целом, были разработаны Робертом М. Соловей , который также разработал, как нарушить ( обобщенную гипотезу континуума ) только для обычных кардиналов конечную количество раз. Например, в приведенной выше модели Коэна, если держится , то держится . ${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega \ times \ kappa, 2)}$ ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {GCH}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {CH}}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle 2 ^ {\ Алеф _ {0}} = \ Алеф _ {2}}$ ${\ Displaystyle V [G]}$

Уильям Б. Easton разработал соответствующую версию класса в нарушении регулярных кардиналов, в основном показывает , что известные ограничения, (монотонность, теорема Кантора и теорема Кёниги ), были единственным -provable ограничения (см теоремы Истона ). ${\ displaystyle {\ mathsf {GCH}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Работа Истона была примечательна тем, что она включала принуждение с надлежащим классом условий. В общем, метод принуждения с надлежащим классом условий не может дать модель . Например, форсирование с , где - правильный класс всех порядковых чисел, делает континуум правильным классом. С другой стороны, форсирование с вводит счетное перечисление порядковых чисел. В обоих случаях результат явно не является моделью . ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega \ times \ mathbf {On}, 2)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Вкл.}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Fin} (\ omega, \ mathbf {On})}$ ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Когда-то считалось, что более сложное форсирование также позволит произвольно изменять степени единичных кардиналов . Тем не менее, это оказалось сложной, тонкой и даже неожиданной проблемой с еще несколькими ограничениями, доказываемыми в моделях принуждения и с ними, в зависимости от согласованности различных свойств с большой мощностью . Остается много открытых проблем. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Случайные числа

Случайное принуждение можно определить как принуждение к множеству всех компактных подмножеств положительной меры, упорядоченных по отношению (меньшее множество в контексте включения - меньшее множество в порядке упорядочения и представляет условие с большей информацией). Есть два типа важных плотных наборов: ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle [0,1]}$ ${\ displaystyle \ substeq}$

Для любого натурального числа множество ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle D_ {n} = \ left \ {p \ in P: \ operatorname {diam} (p) <{\ frac {1} {n}} \ right \}}$ плотно, где - диаметр множества . ${\ displaystyle \ operatorname {diam} (p)}$ ${\ displaystyle p}$
Для любого борелевского подмножества меры 1 множество ${\ Displaystyle B \ substeq [0,1]}$ ${\ Displaystyle D_ {B} = \ {p \ in P: p \ substeq B \}}$ плотный.

Для любого фильтра и для любого конечного числа элементов существует такой, что выполняется . В случае такого порядка это означает, что любой фильтр представляет собой набор компактов со свойством конечного пересечения. По этой причине пересечение всех элементов любого фильтра непусто. Если - фильтр, пересекающий плотное множество для любого положительного целого числа , то фильтр содержит условия сколь угодно малого положительного диаметра. Следовательно, пересечение всех условий из имеет диаметр 0. Но единственные непустые множества диаметра 0 - одиночные. Итак, существует ровно одно действительное число, такое что . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ in G}$ ${\ displaystyle q \ in G}$ ${\ displaystyle q \ leq p_ {1}, \ ldots, p_ {n}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle D_ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle r_ {G}}$ ${\ displaystyle r_ {G} \ in \ bigcap G}$

Пусть будет любое борелевское множество меры 1. Если пересекает , то . ${\ Displaystyle B \ substeq [0,1]}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle D_ {B}}$ ${\ displaystyle r_ {G} \ in B}$

Однако универсального фильтра счетной транзитивной модели нет . Реальное, определяемое с помощью , очевидно, не является элементом . Проблема в том, что if , then « компактно», но с точки зрения некоторой большей вселенной , может быть некомпактным, и пересечение всех условий из общего фильтра фактически пусто. По этой причине мы рассматриваем набор топологических замыканий условий из G. Из-за свойства конечного пересечения множество также обладает свойством конечного пересечения. Элементами множества являются ограниченные замкнутые множества как замыкания ограниченных множеств. Следовательно, есть множество компактов со свойством конечного пересечения и, следовательно, имеет непустое пересечение. Поскольку и основная модель наследует метрику от Вселенной , в множестве есть элементы сколь угодно малого диаметра. Наконец, есть ровно одно действительное, принадлежащее всем членам множества . Общий фильтр можно восстановить из as . ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle r_ {G}}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle p \ in P}$ ${\ displaystyle V \ models}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ Displaystyle U \ supset V}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle C = \ {{\ bar {p}}: p \ in G \}}$ ${\ displaystyle {\ bar {p}} \ supseteq p}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle \ operatorname {diam} ({\ bar {p}}) = \ operatorname {diam} (p)}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle r_ {G}}$ ${\ displaystyle G = \ {p \ in P: r_ {G} \ in {\ bar {p}} \}}$

Если это имя , а для удержаний " есть борелевское множество меры 1", то имеет место ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle r_ {G}}$ ${\ displaystyle B \ in V}$ ${\ displaystyle V \ models}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle V [G] \ models \ left (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in {\ check {B}} \ right)}

для некоторых . Существует такое имя , что для любого универсального фильтра выполняется ${\ displaystyle p \ in G}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle G}$

{\ displaystyle \ operatorname {val} (a, G) \ in \ bigcup _ {p \ in G} {\ bar {p}}.}

Затем

{\ displaystyle V [G] \ models \ left (p \ Vdash _ {\ mathbb {P}} a \ in {\ check {B}} \ right)}

выполняется при любом условии . ${\ displaystyle p}$

Каждое борелевское множество может быть построено не однозначно, начиная с интервалов с рациональными конечными точками и применяя операции дополнения и счетных объединений счетное число раз. Запись такой конструкции называется кодом Бореля . Учитывая множество Борель в , один восстанавливает код Борели, а затем применяет ту же последовательность строительства в , получая множество Борель . Можно доказать, что каждый получает тот же самый набор независимо от конструкции , и что основные свойства сохраняются. Например, если , то . Если имеет нулевую меру, значит, имеет нулевую меру. Это отображение инъективно. ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ displaystyle B ^ {*}}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle B \ substeq C}$ ${\ displaystyle B ^ {*} \ substeq C ^ {*}}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle B ^ {*}}$ ${\ Displaystyle B \ mapsto B ^ {*}}$

Для любого множества, такого что и " является борелевским множеством меры 1" . ${\ Displaystyle B \ substeq [0,1]}$ ${\ displaystyle B \ in V}$ ${\ displaystyle V \ models}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle r \ in B ^ {*}}$

Это означает, что это «бесконечная случайная последовательность нулей и единиц» с точки зрения , что означает, что она удовлетворяет всем статистическим тестам наземной модели . ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle V}$

Итак, учитывая случайное число, можно показать, что ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle G = \ left \ {B ~ ({\ text {in}} V) \ mid r \ in B ^ {*} ~ ({\ text {in}} V [G]) \ right \}. }

Из-за взаимной определяемости между и обычно пишут для . ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle V [r]}$ ${\ Displaystyle V [G]}$

Иное толкование чисел в было предоставлено Даной Скотт . Рациональные числа в имеют имена, которые соответствуют счетному числу различных рациональных значений, присвоенных максимальной антицепи борелевских множеств - другими словами, определенной рациональнозначной функции на . Действительные числа в тогда соответствуют дедекиндовым сечениям таких функций, то есть измеримым функциям . ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ Displaystyle V [G]}$ ${\ Displaystyle I = [0,1]}$ ${\ Displaystyle V [G]}$

Булевозначные модели

Возможно, более ясно, что метод можно объяснить в терминах булевозначных моделей. В них любому утверждению присваивается значение истинности из некоторой полной безатомной булевой алгебры , а не просто значение истина / ложь. Затем в этой булевой алгебре выбирается ультрафильтр , который присваивает значения true / false утверждениям нашей теории. Дело в том, что получившаяся теория имеет модель, которая содержит этот ультрафильтр, которую можно понимать как новую модель, полученную путем расширения старой модели этим ультрафильтром. Выбрав подходящим образом булевозначную модель, мы можем получить модель с желаемым свойством. В нем только утверждения, которые должны быть истинными (которые «принудительно» должны быть истинными), будут в некотором смысле истинными (поскольку он имеет это свойство расширения / минимальности).

Мета-математическое объяснение

В форсирует, мы обычно стремимся показать , что некоторые предложение является последовательным с (и , возможно некоторым расширением ). Один из способов истолковать аргумент - это предположить, что оно непротиворечиво, а затем доказать, что в сочетании с новым предложением оно также непротиворечиво. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Каждое «условие» - это конечный фрагмент информации - идея состоит в том, что для согласованности важны только конечные фрагменты, поскольку, согласно теореме компактности , теория выполнима тогда и только тогда, когда выполнимо каждое конечное подмножество ее аксиом. Затем мы можем выбрать бесконечный набор согласованных условий для расширения нашей модели. Поэтому, предполагая непротиворечивость , мы доказываем непротиворечивость расширенного этим бесконечным множеством. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

Логическое объяснение

Согласно второй теореме Гёделя о неполноте , нельзя доказать непротиворечивость какой-либо достаточно сильной формальной теории, например , используя только аксиомы самой теории, если только теория не противоречива. Следовательно, математики не пытаются доказать непротиворечивость использования только аксиом или доказать, что это непротиворечиво для любой гипотезы, использующей только аксиомы . По этой причине цель доказательства непротиворечивости - доказать непротиворечивость относительно непротиворечивости . Такие проблемы известны как проблемы относительной непротиворечивости , одна из которых доказывает, что ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} + H}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} + H}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} + H}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

{\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}) \ rightarrow \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}} + H).}

( ⁎ )

Общая схема доказательств относительной непротиворечивости приводится ниже. Поскольку любое доказательство конечно, оно использует только конечное число аксиом:

{\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} + \ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}} + H) \ vdash (\ exists T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ substeq {\ mathsf {ZFC}} \ land (T \ vdash \ lnot H)).}

Для любого данного доказательства можно проверить его истинность. Это доказывается индукцией по длине доказательства. ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$

{\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash (\ forall T) ((T \ vdash \ lnot H) \ rightarrow ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash (T \ vdash \ lnot H))).}

Затем разрешите

{\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} + \ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}} + H) \ vdash (\ exists T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ substeq {\ mathsf {ZFC}} \ land ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash (T \ vdash \ lnot H))).}

Доказав следующее

{\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash (\ forall T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ substeq {\ mathsf {ZFC}} \ rightarrow ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} (T + H))),}

( ⁎⁎ )

можно сделать вывод, что

{\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} + \ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}} + H) \ vdash (\ exists T) (\ operatorname {Fin} (T) \ land T \ substeq {\ mathsf {ZFC}} \ land ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash (T \ vdash \ lnot H)) \ land ({\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} (T + H) )),}

что эквивалентно

{\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} + \ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}} + H) \ vdash \ lnot \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}),}

который дает (*). Суть доказательства относительной непротиворечивости - это доказательство (**). Доказательство может быть построена для любого заданного конечного подмножества из аксиом ( с помощью инструментов, конечно). ( Конечно, универсального доказательства нет .) ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T + H)}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T + H)}$

In , можно доказать, что для любого условия набор формул (оцениваемых по именам) принудительно закрывается дедуктивно. Кроме того, для любой аксиомы, доказывает, что эта аксиома вынуждена . Тогда достаточно доказать, что существует хотя бы одно условие, которое вынуждает . ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {1}}$ ${\ displaystyle H}$

В случае принуждения с логическим значением процедура аналогична: доказывается, что логическое значение не равно . ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle \ mathbf {0}}$

Другой подход использует теорему отражения. Для любого заданного конечного набора аксиом существует доказательство того, что этот набор аксиом имеет счетную транзитивную модель. Для любого конечного множества из аксиом, существует конечное множество из аксиом , таких , что доказывает , что если счетную переходную модель удовлетворяет , затем удовлетворяет . Доказав , что существует конечное множество из аксиом, что если счетное переходными модели удовлетворяет , то удовлетворяет условие . Тогда для любого заданного конечного множества из аксиом, оказывается . ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle T '}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle T '}$ ${\ displaystyle M [G]}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle T ''}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle T ''}$ ${\ displaystyle M [G]}$ ${\ displaystyle H}$ ${\ displaystyle T}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T + H)}$

Иногда в (**) используется более сильная теория, чем используется для доказательства . Тогда у нас есть доказательство непротиворечивости относительно непротиворечивости . Отметим, что где is (аксиома конструктивности). ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Con} (T + H)}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} + H}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFC}} \ vdash \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFC}}) \ leftrightarrow \ operatorname {Con} ({\ mathsf {ZFL}})}$ ${\ displaystyle {\ mathsf {ZFL}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathsf {ZF}} + V = L}$

Смотрите также

использованная литература

Белл, JL (1985). Булевозначные модели и доказательства независимости в теории множеств , Оксфорд. ISBN 0-19-853241-5
Коэн, П.Дж. (1966). Теория множеств и гипотеза континуума . Аддисон-Уэсли. ISBN 978-0-8053-2327-6.
Гришин, В.Н. (2001) [1994], "Метод принуждения" , Энциклопедия математики , EMS Press
Кунен, К. (1980). Теория множеств: введение в доказательства независимости . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-85401-8.
Jech, Томас (2002). Теория множеств: издание третьего тысячелетия . Весна-Верлаг. ISBN 3-540-44085-2.

внешние ссылки

Книга Ника Уивера « Принуждение для математиков» была написана для математиков, которые хотят изучить основы механизма принуждения. Не предполагается никакого опыта в логике, за исключением формального синтаксиса, который должен быть второй натурой любого хорошо подготовленного математика.
Статья Тимоти Чоу «Руководство по форсингу для новичков» - хорошее введение в концепции форсинга, в котором избегается множество технических деталей. Эта газета выросла из статьи группы новостей Чоу « Принуждение для чайников» . Помимо улучшенного описания, Руководство для начинающих включает раздел, посвященный моделям с логическими значениями.
См. Также статью Кенни Ишварана « Веселое введение в принуждение и гипотезу континуума» , которая также предназначена для новичков, но содержит больше технических деталей, чем статья Чоу.
Коэн, П.Дж. Независимость гипотезы континуума , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, Vol. 50, No. 6. (15 декабря 1963 г.), pp. 1143–1148.
Коэн, П.Дж. Независимость гипотезы континуума, II , Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки, Vol. 51, No. 1. (15 января 1964 г.), стр. 105–110.
Пол Коэн прочитал историческую лекцию «Открытие принуждения» (Rocky Mountain J. Math. Volume 32, Number 4 (2002), 1071–1100) о том, как он разработал свое доказательство независимости. На связанной странице есть ссылка для загрузки PDF-файла с открытым доступом, но ваш браузер должен отправить заголовок реферера со связанной страницы, чтобы получить его.
Акихиро Канамори: теория множеств от Кантора до Коэна
Вайсштейн, Эрик В. «Принуждение» . MathWorld .

Languages

In other projects