Теорема о замкнутом графике - Closed graph theorem
В математике теорема о замкнутом графике может относиться к одному из нескольких основных результатов, характеризующих непрерывные функции в терминах их графиков . Каждый дает условия, когда функции с замкнутыми графиками обязательно непрерывны.
Графики и карты с замкнутыми графиками
Если это отображение между топологическими пространствами , то граф из есть множество или , что эквивалентно,
Любая непрерывная функция в хаусдорфовом пространстве имеет замкнутый график.
Любая линейная карта между двумя топологическими векторными пространствами, топология которых (Коши) полна относительно трансляционно-инвариантных метрик, и если вдобавок (1a) последовательно непрерывна в смысле топологии произведения, то карта непрерывна и ее граф
Gr L , обязательно замкнуто. Наоборот, если такое линейное отображение, вместо (1a), график (1b), как известно, замкнут в декартовом пространстве произведения , то он непрерывен и, следовательно, обязательно последовательно непрерывен.Примеры непрерывных отображений, которые не закрыты
Если - любое пространство, то тождественное отображение непрерывно, но его граф, являющийся диагональю , замкнут в том и только в том случае, если он хаусдорфов. В частности, если не хаусдорфово, то непрерывно, но
не замкнуто.Позвольте обозначать действительные числа с обычной
евклидовой топологией и пусть обозначать с недискретной топологией (где обратите внимание, что это не Хаусдорф и что каждая функция со значениями в непрерывна). Позвольте быть определенным и для всех . Тогда непрерывно, но его график не замкнут .Теорема о замкнутом графе в точечной топологии
В точечно-множественной топологии теорема о замкнутом графике утверждает следующее:
Теорема о замкнутом графике - если это отображение топологического пространства в компактное хаусдорфово пространство, то график замкнут тогда и только тогда, когда он непрерывен .
Для многозначных функций
Закрытая теорема графа для многозначных функций - Для Хаусдорфа компактного диапазона пространства , функция многозначных имеет замкнутый график , если и только если она является верхним хеминепрерывной и F ( х ) является замкнутым множеством для всех .
В функциональном анализе
Если - линейный оператор между
топологическими векторными пространствами (TVS), то мы говорим, что это замкнутый оператор, если граф замкнут в, когда наделен топологией произведения.Теорема о замкнутом графике - важный результат функционального анализа, который гарантирует непрерывность замкнутого линейного оператора при определенных условиях. Исходный результат многократно обобщался. Хорошо известная версия теорем о замкнутых графах заключается в следующем.
Теорема - линейное отображение между двумя F-пространств (например , банаховых пространств ) непрерывно тогда и только тогда , когда его график замкнут.
Смотрите также
- Почти открытая линейная карта
- Банахово пространство - полное нормированное векторное пространство
- Пространство с бочками - топологическое векторное пространство с почти минимальными требованиями для выполнения теоремы Банаха – Штейнхауза.
- Замкнутый график - График карты, замкнутой в пространстве продукта.
- Замкнутый линейный оператор
- Непрерывный линейный оператор
- Разрывная линейная карта
- Теорема Какутани о неподвижной точке - Когда функция f: S → Pow (S) на компактном непустом выпуклом подмножестве S⊂ℝⁿ имеет неподвижную точку
- Локально выпуклое топологическое векторное пространство - векторное пространство с топологией, определяемой выпуклыми открытыми множествами.
- Теорема об открытом отображении (функциональный анализ) - условие открытости линейного оператора
- Топологическое векторное пространство - Векторное пространство с понятием близости.
- Теорема Урсеску - Обобщение замкнутого графа, открытого отображения и теоремы о равномерной ограниченности
- Перепончатое пространство - Пространства, в которых верны теоремы об открытом отображении и закрытых графах.
Примечания
использованная литература
Библиография
- Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
- Фолланд, Джеральд Б. (1984), Реальный анализ: современные методы и их приложения (1-е изд.), John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-80958-6
- Ярхов, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
- Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
- Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
- Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
- Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
- Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: