Теорема о замкнутом графике - Closed graph theorem

Кубическая функция
Функция Хевисайда
График кубической функции на интервале замкнут, поскольку функция непрерывна . График функции Хевисайда на не замкнут, потому что функция не является непрерывной.

В математике теорема о замкнутом графике может относиться к одному из нескольких основных результатов, характеризующих непрерывные функции в терминах их графиков . Каждый дает условия, когда функции с замкнутыми графиками обязательно непрерывны.

Графики и карты с замкнутыми графиками

Если это отображение между топологическими пространствами , то граф из есть множество или , что эквивалентно,

Говорят , что график замкнут , если это замкнутое подмножество из (с топологией произведения ).

Любая непрерывная функция в хаусдорфовом пространстве имеет замкнутый график.

Любая линейная карта между двумя топологическими векторными пространствами, топология которых (Коши) полна относительно трансляционно-инвариантных метрик, и если вдобавок (1a) последовательно непрерывна в смысле топологии произведения, то карта непрерывна и ее граф

Gr L , обязательно замкнуто. Наоборот, если такое линейное отображение, вместо (1a), график (1b), как известно, замкнут в декартовом пространстве произведения , то он непрерывен и, следовательно, обязательно последовательно непрерывен.

Примеры непрерывных отображений, которые не закрыты

Если - любое пространство, то тождественное отображение непрерывно, но его граф, являющийся диагональю , замкнут в том и только в том случае, если он хаусдорфов. В частности, если не хаусдорфово, то непрерывно, но

не замкнуто.

Позвольте обозначать действительные числа с обычной

евклидовой топологией и пусть обозначать с недискретной топологией (где обратите внимание, что это не Хаусдорф и что каждая функция со значениями в непрерывна). Позвольте быть определенным и для всех . Тогда непрерывно, но его график не замкнут .

Теорема о замкнутом графе в точечной топологии

В точечно-множественной топологии теорема о замкнутом графике утверждает следующее:

Теорема о замкнутом графике  -  если это отображение топологического пространства в компактное хаусдорфово пространство, то график замкнут тогда и только тогда, когда он непрерывен .

Для многозначных функций

Закрытая теорема графа для многозначных функций  -  Для Хаусдорфа компактного диапазона пространства , функция многозначных имеет замкнутый график , если и только если она является верхним хеминепрерывной и F ( х ) является замкнутым множеством для всех .

В функциональном анализе

Если - линейный оператор между

топологическими векторными пространствами (TVS), то мы говорим, что это замкнутый оператор, если граф замкнут в, когда наделен топологией произведения.

Теорема о замкнутом графике - важный результат функционального анализа, который гарантирует непрерывность замкнутого линейного оператора при определенных условиях. Исходный результат многократно обобщался. Хорошо известная версия теорем о замкнутых графах заключается в следующем.

Теорема  -  линейное отображение между двумя F-пространств (например , банаховых пространств ) непрерывно тогда и только тогда , когда его график замкнут.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Библиография

ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .
  • Зэлинеску, Константин (30 июля 2002 г.). Выпуклый анализ в общих векторных пространствах . Ривер Эдж, штат Нью-Джерси, Лондон: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. Руководство по ремонту  1921556 . OCLC  285163112 - через Интернет-архив .
  • «Доказательство теоремы о замкнутом графике» . PlanetMath .