Дедекинд-бесконечное множество - Dedekind-infinite set

В математике , множество является Дедекинд бесконечно (названный в честь немецкого математика Ричарда дедекиндовым ) , если некоторые собственное подмножество B из A является equinumerous к А . Явно, это означает , что существует взаимно однозначная функции от А на некоторую соответствующую подмножеству B из A . Множество является дедекиндово-конечным, если оно не является дедекиндово-бесконечным (т. Е. Такой биекции не существует). Предложенная Дедекиндом в 1888 году, бесконечность Дедекинда была первым определением «бесконечности», которое не основывалось на определении натуральных чисел .

Простой пример - набор натуральных чисел . Из парадокса Галилея существует биекция, которая отображает каждое натуральное число n в его квадрат n 2 . Поскольку множество квадратов является собственным подмножеством , Дедекиндово бесконечно.

До тех пор, пока фундаментальный кризис математики не показал необходимость более осторожного подхода к теории множеств, большинство математиков полагали, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно бесконечно по Дедекинду. В начале двадцатого века теория множеств Цермело – Френкеля , сегодня наиболее часто используемая форма аксиоматической теории множеств , была предложена в качестве аксиоматической системы для формулирования теории множеств, свободной от парадоксов, таких как парадокс Рассела . Используя аксиомы теории множеств Цермело – Френкеля с изначально весьма спорной аксиомой выбора ( ZFC ), можно показать, что множество является дедекиндово конечным тогда и только тогда, когда оно конечно в обычном смысле. Однако существует модель теории множеств Цермело – Френкеля без аксиомы выбора ( ZF ), в которой существует бесконечное дедекиндово конечное множество, показывающее, что аксиомы ZF недостаточно сильны, чтобы доказать, что каждое множество, являющееся дедекиндовым, -конечно конечно. Помимо определения Дедекинда, существуют определения конечности и бесконечности множеств , не зависящие от выбранной аксиомы.

Смутно родственное понятие - понятие дедекиндово-конечного кольца . Кольцо называется дедекиндово-конечное кольцо , если AB = 1 означает , ба = 1 для любых двух кольцевых элементов и б . Эти кольца также называются непосредственно конечными кольцами.

Сравнение с обычным определением бесконечного множества

Это определение « бесконечного множество » следует сравнить с обычным определением: множество является бесконечным , когда он не может быть поставлен во взаимно однозначного соответствие с конечным порядковым , а именно множеством вида {0, 1, 2, ..., п −1} для некоторого натурального числа n - бесконечное множество - это буквально «не конечное» в смысле биекции.

Во второй половине XIX века большинство математиков просто предполагали, что множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно бесконечно по Дедекинду. Однако, эта эквивалентность не может быть доказана с аксиом в теории множеств Цермело-Френкеля без аксиомы выбора (AC) (обычно обозначаемой « ZF »). Полная сила AC не требуется для доказательства эквивалентности; на самом деле эквивалентность двух определений строго слабее, чем аксиома счетного выбора (CC). (См. Ссылки ниже.)

Дедекиндово-бесконечные множества в ZF

Множество A является дедекиндово-бесконечным, если оно удовлетворяет любому, а затем всем из следующих эквивалентных (по ZF ) условий:

он двойственно Дедекиндово-бесконечен, если:

  • существует функция f  : A → A, которая сюръективна, но не инъективна;

он слабо дедекиндово бесконечен, если удовлетворяет любому, а затем всем из следующих эквивалентных (по ZF ) условий:

  • существует сюръективное отображение из A на счетно бесконечное множество;
  • множество степеней A бесконечно дедекиндово;

и бесконечно, если:

  • для любого натурального числа п , не существует взаимно однозначное соответствие от {0, 1, 2, ..., N-1} для A .

Тогда ZF доказывает следующие импликации: Дедекиндово-бесконечное ⇒ двойственно-дедекиндовое-бесконечное ⇒ слабо-дедекиндовое-бесконечное ⇒ бесконечное.

Существуют модели ZF, имеющие бесконечное дедекиндово-конечное множество. Пусть такое множество, и пусть Б множество конечных инъективных последовательностей из A . Поскольку A бесконечно, функция «отбросить последний элемент» из B в себя является сюръективной, но не инъективной, поэтому B двойственно дедекиндово-бесконечна. Однако, поскольку является Дедекинду конечна, то и B (если B имел счетно бесконечное подмножество, то , используя тот факт , что элементы B инъективны последовательности, можно было бы демонстрировать счетно бесконечное подмножество A ).

Когда у множеств есть дополнительные структуры, иногда можно доказать, что оба вида бесконечности эквивалентны над ZF . Например, ZF доказывает, что упорядоченное множество является бесконечным по Дедекинду тогда и только тогда, когда оно бесконечно.

История

Термин назван в честь немецкого математика Ричарда Дедекинда , который первым явным образом ввел определение. Примечательно, что это определение было первым определением «бесконечности», которое не опиралось на определение натуральных чисел (если только не следует Пуанкаре и не считает понятие числа предшествующим даже понятию множества). Хотя такое определение было известно Бернарду Больцано , ему было запрещено публиковать свои работы в каких-либо журналах, кроме самых малоизвестных, по условиям его политического изгнания из Пражского университета в 1819 году. между двумя бесконечными множествами, а не определение бесконечного множества как такового .

Долгое время многие математики даже не допускали мысли о том, что может существовать различие между понятиями бесконечного множества и дедекиндово-бесконечного множества. Фактически, различие не было реализовано до тех пор, пока Эрнст Цермело не сформулировал AC в явной форме. Существование бесконечных дедекиндово конечных множеств было изучено Бертраном Расселом и Альфредом Норт Уайтхедом в 1912 году; эти множества сначала назывались кардиналами-посредниками или кардиналами Дедекинда .

С общепринятым принятием аксиомы выбора среди математического сообщества эти вопросы, касающиеся бесконечных и дедекиндово-бесконечных множеств, стали менее важными для большинства математиков. Однако изучение дедекиндово-бесконечных множеств сыграло важную роль в попытке прояснить границу между конечным и бесконечным, а также важную роль в истории AC.

Отношение к аксиоме выбора

Поскольку каждый бесконечный хорошо упорядоченный набор бесконечен по Дедекинду, и поскольку AC эквивалентен теореме о хорошем упорядочении, утверждающей, что каждый набор может быть хорошо упорядочен, очевидно, что общий AC подразумевает, что каждое бесконечное множество является бесконечным по Дедекинду. Однако эквивалентность двух определений намного слабее, чем полная сила AC.

В частности, существует модель ZF, в которой существует бесконечное множество без счетно бесконечного подмножества. Следовательно, в этой модели существует бесконечное дедекиндово конечное множество. Судя по вышесказанному, такой набор нельзя упорядочить в этой модели.

Если принять аксиому CC (т. Е. AC ω ), то отсюда следует, что любое бесконечное множество является дедекиндово бесконечным. Однако эквивалентность этих двух определений на самом деле строго слабее, чем даже CC. Явно существует модель ZF, в которой каждое бесконечное множество является бесконечным по Дедекинду, но CC не работает (при условии согласованности ZF ).

Доказательство эквивалентности бесконечности в предположении аксиомы счетного выбора

То, что всякое бесконечное по Дедекинду множество бесконечно, можно легко доказать в ZF: каждое конечное множество по определению имеет биекцию с некоторым конечным порядковым номером n , и можно доказать индукцией по n, что оно не является бесконечным по Дедекинду.

Используя аксиому счетного выбора (обозначение: аксиома CC), можно доказать обратное, а именно, что каждое бесконечное множество X является дедекиндово-бесконечным, следующим образом:

Сначала определите функцию над натуральными числами (то есть над конечными ординалами) f  : N → Power (Power ( X )) так, чтобы для каждого натурального числа n , f ( n ) было множеством конечных подмножеств X размера n (т. е. имеют биекцию с конечным порядковым номером n ). f ( n ) никогда не бывает пустым, иначе X было бы конечным (что можно доказать индукцией по n ).

Изображения из Р счетного множества { п ( п ) | n ∈ N }, члены которого сами являются бесконечными (и, возможно, несчетными) множествами. Используя аксиому счетного выбора можно выбрать по одному члену от каждого из этих множеств, и этот член само конечное подмножество X . Точнее, согласно аксиоме счетного выбора существует (счетное) множество, G = { g ( n ) | п ∈ N }, так что для любого натурального числа п , г ( п ) является членом ф ( п ) и, следовательно , конечное подмножество X размера п .

Теперь мы определяем U как объединение членов G . U - бесконечное счетное подмножество X , и можно легко определить биекцию натуральных чисел в U , h  : N → U. Теперь мы можем определить биекцию B  : X → X ∖ h (0), которая переводит каждый элемент, не принадлежащий U, в себя, и переводит h ( n ) для каждого натурального числа в h ( n + 1) . Следовательно, X является дедекиндово-бесконечным, и мы закончили.

Обобщения

Выражаясь в терминах теории категорий, множество A является дедекиндово-конечным, если в категории множеств каждый мономорфизм f  : A → A является изоморфизмом. Фон Нейман регулярного кольцо R имеет аналогичное свойство в категории (слева или справа) R -модули тогда и только тогда , когда в R , х = 1 означает ух = 1 . В более общем смысле, дедекиндово-конечное кольцо - это любое кольцо, удовлетворяющее последнему условию. Помните, что кольцо может быть дедекиндово-конечным, даже если его базовое множество является дедекиндово-бесконечным, например целые числа.

Примечания

использованная литература

  • Вера, Карл Клифтон. Математические обзоры и монографии . Том 65. Американское математическое общество. 2-е изд. Книжный магазин AMS, 2004. ISBN  0-8218-3672-2
  • Мур, Грегори Х., Аксиома выбора Цермело , Springer-Verlag, 1982 (не издается), ISBN  0-387-90670-3 , в частности, стр. 22-30 и таблицы 1 и 2 на стр. 322-323
  • Джеч, Томас Дж. , Аксиома выбора , Dover Publications, 2008, ISBN  0-486-46624-8
  • Лам, Цит-Юэн. Первый курс некоммутативных колец . Том 131 выпускных текстов по математике . 2-е изд. Springer, 2001. ISBN  0-387-95183-0.
  • Herrlich, Horst, Axiom of Choice , Springer-Verlag, 2006, Lecture Notes in Mathematics 1876, ISSN print edition 0075–8434, ISSN electronic edition: 1617-9692, в частности раздел 4.1.