Расширяемость - Extensionality
В логике , объемности или протяженного равенстве , относится к принципам , что объекты судьи быть равны , если они имеют одни и те же внешние свойства. Это контрастирует с концепцией интенсиональности , которая связана с тем, одинаковы ли внутренние определения объектов.
Пример
Рассмотрим две функции f и g, отображающие натуральные числа и обратно , определенные следующим образом:
- Чтобы найти f ( n ), сначала прибавьте 5 к n , затем умножьте на 2.
- Чтобы найти g ( n ), сначала умножьте n на 2, затем прибавьте 10.
Эти функции внешне равны; при одном и том же вводе обе функции всегда производят одно и то же значение. Но определения функций не равны, и в этом интенсиональном смысле функции не совпадают.
Точно так же в естественном языке есть много предикатов (отношений), которые интенсионально различны, но идентичны экстенсионально. Например, предположим, что в городе есть человек по имени Джо, который также является самым старым человеком в городе. Тогда два предиката «быть названным Джо» и «быть самым старым человеком в этом городе» интенционально различны, но экстенсивно равны для (текущего) населения этого города.
По математике
Обсуждавшееся выше экстенсиональное определение равенства функций обычно используется в математике. Иногда к функции добавляется дополнительная информация, такая как явный codomain , и в этом случае две функции должны не только согласовывать все значения, но также должны иметь один и тот же codomain, чтобы быть равными (в отличие от обычного определения домена функция в математике означает, что одинаковые функции должны иметь одну и ту же область ).
Подобное экстенсиональное определение обычно используется для отношений : два отношения называются равными, если они имеют одинаковые расширения .
В теории множеств , то аксиома объемности состояний , что два множества равны тогда и только тогда , когда они содержат одни и те же элементы. В математике, формализованной в теории множеств, принято отождествлять отношения - и, что наиболее важно, функции - с их расширением, как указано выше, так что невозможно различить два отношения или функции с одним и тем же расширением.
Другие математические объекты также построены таким образом, что интуитивное понятие «равенства» согласуется с экстенсиональным равенством на уровне множества; таким образом, равные упорядоченные пары имеют равные элементы, а элементы набора, которые связаны отношением эквивалентности, принадлежат к одному и тому же классу эквивалентности .
Теоретико- типовые основы математики обычно не являются экстенсиональными в этом смысле, и сетоиды обычно используются для поддержания различия между интенсиональным равенством и более общим отношением эквивалентности (которое обычно имеет плохие свойства конструктивности или разрешимости ).