Теорема Банаха – Алаоглу - Banach–Alaoglu theorem

Обозначение базовым полем , которым являются либо действительные числа, либо комплексные числа. Это доказательство будет использовать некоторые из основных свойств, перечисленных в статьях: полярное множество , двойственная система и непрерывный линейный оператор . ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$

Чтобы начать доказательство, напомним некоторые определения и легко проверяемые результаты. Когда наделено слабой * топологией, то это хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство обозначается как Пространство всегда является полной TVS ; тем не менее, может не быть полным пространством, что является причиной того, что это доказательство включает пространство. В частности, это доказательство будет использовать тот факт, что подмножество полного хаусдорфова пространства компактно, если (и только если) оно замкнуто и полностью ограничено. . Важно отметить, что топология подпространства , что наследуется от равно Это можно легко проверить, показав , что при любом а сеть в сходишься к одной из этих топологий тогда и только тогда , когда он сходится к в другой топологии (вывод следует из двух топологий равны тогда и только тогда, когда они имеют одинаковые сходящиеся сети). ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$ ${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right),}$ ${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$${\ displaystyle \ left (X ^ {\ prime}, \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right) \ right)}$${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right).}$${\ Displaystyle х ^ {\ прайм} \ в х ^ {\ прайм},}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle х ^ {\ прайм}}$${\ Displaystyle х ^ {\ прайм}}$

Тройка - это двойная пара, хотя, в отличие от нее, в целом не гарантируется, что она будет двойной системой. На всем протяжении, если не указано иное, все полярные множества будут взяты относительно канонического спаривания.${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle}$${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle,}$ ${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle.}$

Позвольте быть окрестностью начала координат в и пусть: ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X}$

• ${\ Displaystyle U ^ {\ circ} = \ left \ {f \ in X ^ {\ prime} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}$быть полярным относительно канонического спаривания ;${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle}$
• ${\ Displaystyle U ^ {\ circ \ circ} = \ left \ {x \ in X ~: ~ \ sup _ {f \ in U ^ {\ circ}} | f (x) | \ leq 1 \ right \} }$быть биполярным по${\ displaystyle U}$ отношению к ;${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle}$
• ${\ Displaystyle U ^ {\ #} = \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}$быть поляром относительно канонической дуальной системы${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle.}$

Хорошо известный факт о полярах множеств состоит в том, что ${\ Displaystyle U ^ {\ circ \ circ \ circ} \ substeq U ^ {\ circ}.}$

1. Покажите, что это замкнутое подмножество Let, и предположим, что это сеть , сходящаяся к in. Чтобы сделать вывод, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого Потому что в скалярном поле и каждое значение принадлежит замкнутому (in ) подмножество, поэтому предел этой сети тоже должен принадлежать этому набору. Таким образом${\ Displaystyle U ^ {\ #}}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$${\ displaystyle X ^ {\ #}:}$${\ displaystyle f \ in X ^ {\ #}}$${\ displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ Displaystyle U ^ {\ #}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$${\ displaystyle f \ in U ^ {\ #},}$${\ Displaystyle | е (и) | \ leq 1}$${\ displaystyle u \ in U.}$${\ Displaystyle е_ {я} (и) \ к е (и)}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle f_ {i} (u)}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ left \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq 1 \ right \},}$${\ displaystyle f (u)}$${\ Displaystyle | е (и) | \ leq 1.}$
2. Покажите это, а затем сделайте вывод, что это замкнутое подмножество обоих и Включение верно, потому что каждый непрерывный линейный функционал является (в частности) линейным функционалом. Для обратного включения пусть так, что в точности утверждает, что линейный функционал ограничен в окрестности ; таким образом, является непрерывным линейным функционалом (то есть ) и так, как желательно. Используя (1) и тот факт, что пересечение замкнуто в топологии подпространства, следует утверждение о замкнутости.${\ Displaystyle U ^ {\ #} = U ^ {\ circ}}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$${\ displaystyle \ left (X ^ {\ prime}, \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right) \ right):}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ} \ substeq U ^ {\ #}}$${\ Displaystyle \, U ^ {\ #} \ substeq U ^ {\ circ}, \,}$${\ displaystyle f \ in U ^ {\ #}}$${\ Displaystyle \; \ sup _ {и \ в U} | е (и) | \ leq 1, \,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ in X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle f \ in U ^ {\ circ},}$${\ Displaystyle U ^ {\ #} \ cap X ^ {\ prime} = U ^ {\ circ} \ cap X ^ {\ prime} = U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle X ^ {\ prime},}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$
3. Покажите, что это - вполне ограниченное подмножество По биполярной теореме , где, поскольку окрестность является поглощающим подмножеством того же самого, должно быть верно и множество ; можно доказать , что это означает , что это - ограниченное подмножество из Поскольку отличающие точек из подмножества является -ограничен тогда и только тогда , когда это - вполне ограничены . Так, в частности, также полностью ограничено.${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$${\ displaystyle X ^ {\ prime}:}$${\ Displaystyle U \ substeq U ^ {\ circ \ circ}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X,}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ \ circ}}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$${\ displaystyle X ^ {\ prime}.}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X ^ {\ prime},}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$
4. Сделайте вывод, что это также является -тотально ограниченным подмножеством. Напомним, что топология на идентична топологии подпространства, наследуемой от этого факта, вместе с (3) и определением «полностью ограниченного», подразумевает, что является -тотально ограниченным подмножеством${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$${\ displaystyle X ^ {\ #}:}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ Displaystyle X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right).}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right)}$${\ displaystyle X ^ {\ #}.}$
5. Наконец, вывести, что является -компактным подмножеством Потому что является полным TVS и является замкнутым (согласно (2)) и вполне ограниченным (согласно (4)) его подмножеством, которое является компактным. QED${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ sigma \ left (X ^ {\ prime}, X \ right)}$${\ displaystyle X ^ {\ prime}:}$${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right)}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle \ left (X ^ {\ #}, \ sigma \ left (X ^ {\ #}, X \ right) \ right),}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$

Обозначим нижележащим полем , которым являются либо действительные числа, либо комплексные числа. Для любого действительного пусть ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {C}.}$${\ displaystyle r,}$

$${\ Displaystyle B_ {r}: = \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq r \}}$$

подмножество${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbb {K},}$${\ displaystyle \ mathbb {K}.}$

Поскольку окрестность нуля в нем также

из так для каждого существует действительное число такое , что Пусть ${\ displaystyle U}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle x \ in X,}$${\ displaystyle r_ {x}> 0}$${\ displaystyle x \ in r_ {x} U: = \ left \ {r_ {x} u: u \ in U \ right \}.}$

$${\ Displaystyle U ^ {\ #}: = \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \} ~ = ~ \ left \ {f \ in X ^ {\ #} ~: ~ f (U) \ substeq B_ {1} \ right \}}$$

Обозначим поляры относительно канонической двойной системы Как теперь показано на рисунке, это полярное множество такое же , как полярная из относительно${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ #} \ right \ rangle.}$${\ Displaystyle U ^ {\ #}}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ left \ langle X, X ^ {\ prime} \ right \ rangle.}$

Доказательство того, что${\ Displaystyle U ^ {\ circ} = U ^ {\ #}:}$ включение верно, потому что каждый непрерывный линейный функционал (в частности) является линейным функционалом. Для обратного включения пусть так, что в точности утверждает, что линейный функционал ограничен в окрестности ; таким образом, является

(то есть ) и так, как желательно. QED ${\ Displaystyle U ^ {\ circ} \ substeq U ^ {\ #}}$${\ Displaystyle \, U ^ {\ #} \ substeq U ^ {\ circ}, \,}$${\ displaystyle f \ in U ^ {\ #}}$${\ Displaystyle \; \ sup _ {и \ в U} | е (и) | \ leq 1, \,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f \ in X ^ {\ prime}}$${\ displaystyle f \ in U ^ {\ circ},}$

Остальная часть этого доказательства требует правильного понимания того, как декартово произведение идентифицируется как пространство всех функций формы . Теперь дано объяснение для заинтересованных читателей. ${\ textstyle \ prod _ {х \ в X} \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$${\ displaystyle X \ to \ mathbb {K}.}$

Премьера по идентификации функций с кортежами

Декартово произведение обычно рассматривается как набор всех -индексированных кортежей, но, как теперь описано, его также можно идентифицировать с пространством всех функций, имеющих прототип.${\ textstyle \ prod _ {х \ в X} \ mathbb {K}}$${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$${\ displaystyle X \ to \ mathbb {K}.}$ Кортеж функции${\ displaystyle \ to}$ : функция, принадлежащая к , идентифицируется с ее ( -индексированным) " кортежем значений "${\ displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle s _ {\ bullet}: = (s (x)) _ {x \ in X}.}$ Кортеж Функции${\ displaystyle \ to}$ : Кортеж в идентифицируются с помощью функции , определенной ; "кортеж значений" этой функции является исходным кортежем${\ displaystyle s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}}$${\ textstyle \ prod _ {х \ в X} \ mathbb {K}}$${\ displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}$${\ displaystyle s (x): = s_ {x}}$${\ displaystyle \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X}.}$ По этой причине многие авторы пишут, часто без комментариев, равенство $${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$$ и почему декартово произведение иногда берутся как определение набора карт Однако, декартово произведение, являясь (категорический) продуктом в категории из наборов (который является типом обратного предела ), а также оснащено связанными картами, известны как его (координатные) проекции . ${\ textstyle \ prod _ {х \ в X} \ mathbb {K}}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}$ Каноническая проекция декартова произведения на любой данный момент - это функция ${\ displaystyle z \ in X}$ $${\ displaystyle \ Pr {} _ {z}: \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K} \ quad {\ text {определяется по}} \ quad s _ {\ bullet} = \ left (s_ {x} \ right) _ {x \ in X} \ mapsto s_ {z}}$$ где под указанным выше идентификатором отправляет функцию в ${\ displaystyle \ Pr {} _ {z}}$${\ displaystyle s: X \ to \ mathbb {K}}$ $${\ Displaystyle \ Pr {} _ {z} (s): = s (z).}$$ На словах, для точки и функции «закупорки в » такой же , как «закупорки в ». ${\ displaystyle z}$${\ displaystyle s,}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle \ Pr {} _ {z}}$ Топология Предполагается, что набор снабжен топологией продукта . Хорошо известно, что топология произведения идентична топологии поточечной сходимости . Это потому, что данная и сеть, где и каждый является элементом, тогда сеть сходится в топологии продукта тогда и только тогда, когда ${\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I},}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f_ {i}}$${\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K},}$${\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ to f}$ для каждой сети сходится в${\ displaystyle z \ in X,}$${\ Displaystyle \ Pr {} _ {z} \ left (\ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ right) \ to \ Pr {} _ {z} (f)}$${\ displaystyle \ mathbb {K},}$ где и ${\ Displaystyle \; \ Pr {} _ {z} (f) = f (z) \;}$ $${\ displaystyle \ Pr {} _ {z} \ left (\ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I} \ right): = \ left (\ Pr {} _ {z} \ left ( f_ {i} \ right) \ right) _ {i \ in I} = \ left (f_ {i} (z) \ right) _ {i \ in I}.}$$ Таким образом, сходится к в топологии произведения тогда и только тогда, когда оно сходится к точечно на${\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X.}$ В этом доказательстве также будет использоваться тот факт, что топология поточечной сходимости сохраняется при переходе к топологическим подпространствам . Это означает, что , например, если для каждого некоторое (топологическое) подпространства в той топологии поточечной сходимости (или , что эквивалентно, топология продукта) на совпадают с топологией подпространства , что множество наследует от${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ Displaystyle S_ {х} \ substeq \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ textstyle \ prod _ {х \ в X} S_ {x}}$${\ textstyle \ prod _ {х \ в X} S_ {x}}$${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}.}$

Установив, что для уменьшения загромождения символов этот старый набор обозначим как ${\ Displaystyle U ^ {\ circ} = U ^ {\ #},}$${\ displaystyle P}$

$${\ Displaystyle P: = U ^ {\ circ}}$$

если не предпринимается попытка привлечь внимание к определению или${\ Displaystyle U ^ {\ circ}}$${\ displaystyle U ^ {\ #}.}$

Доказательство теоремы будет завершено после проверки следующих утверждений:

1. ${\ displaystyle P}$ является замкнутым подмножеством ${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}$
   • Здесь наделена топология поточечной сходимости, которая идентична

.${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$

${\ displaystyle P \ substeq \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}}.}$

• ${\ Displaystyle B_ {r_ {x}} \ substeq \ mathbb {K}}$обозначает замкнутый шар радиуса с центром в точке. For each был определен в начале этого доказательства как

вещественное число, которое удовлетворяет (так, в частности, является допустимым выбором для каждого ).${\ displaystyle r_ {x}}$${\ displaystyle 0.}$${\ displaystyle x \ in X,}$ ${\ displaystyle r_ {x}}$${\ displaystyle r_ {x}> 0}$${\ displaystyle x \ in r_ {x} U}$${\ displaystyle r_ {u}: = 1}$${\ displaystyle u \ in U}$

Из этих утверждений следует, что это замкнутое подмножество, в котором это

(поскольку каждый замкнутый шар является компактным пространством). Поскольку замкнутое подмножество компакта компактно, отсюда следует, что оно компактно, что является основным выводом теоремы Банаха – Алаоглу. ${\ displaystyle P}$${\ textstyle \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}},}$${\ displaystyle B_ {r_ {x}}}$${\ Displaystyle U ^ {\ circ} = P}$

Доказательство (1) :

Алгебраическое сопряженное пространство всегда является замкнутым подмножеством (это доказано в лемме ниже для читателей, которые не знакомы с этим результатом). Чтобы доказать, что в нем замкнуто, достаточно показать, что множество, определяемое ${\ Displaystyle X ^ {\ #}}$${\ textstyle \ mathbb {K} ^ {X} = \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X},}$${\ displaystyle P_ {U}}$

$${\ Displaystyle P_ {U} ~: = ~ \ left \ {f \ in \ mathbb {K} ^ {X} ~: ~ \ sup _ {u \ in U} | f (u) | \ leq 1 \ right \}}$$

является замкнутым подмножеством, потому что then является пересечением двух замкнутых подмножеств Let, и предположим, что это сеть в , сходящаяся к in Чтобы сделать вывод, что достаточно (и необходимо) показать это для каждого (или, что то же самое ). Поскольку в скалярном поле каждое значение принадлежит закрытому ( входящему) подмножеству, поэтому предел этой сети также должен принадлежать этому закрытому набору. Таким образом, доказательство (1) завершено. QED ${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}}$${\ Displaystyle P_ {U} \ cap X ^ {\ #} = U ^ {\ #} = P}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}$${\ displaystyle f \ in \ mathbb {K} ^ {X}}$${\ displaystyle f _ {\ bullet} = \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}$${\ displaystyle P_ {U}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ mathbb {K} ^ {X}.}$${\ displaystyle f \ in P_ {U},}$${\ Displaystyle и \ в U,}$ ${\ Displaystyle | е (и) | \ leq 1}$${\ displaystyle f (u) \ in B_ {1}}$${\ displaystyle \ left (f_ {i} (u) \ right) _ {i \ in I} \ to f (u)}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ displaystyle f_ {i} (u)}$${\ Displaystyle \ mathbb {K}}$${\ Displaystyle B_ {1} = \ left \ {s \ in \ mathbb {K}: | s | \ leq 1 \ right \},}$${\ displaystyle f (u)}$${\ displaystyle f (u) \ in B_ {1},}$

В качестве дополнительного примечания, это доказательство может быть обобщено для доказательства следующего более общего результата, из которого следует приведенный выше вывод как частный случай и${\ Displaystyle Y: = \ mathbb {K}}$${\ displaystyle B: = B_ {1}.}$

Предложение : Если - любое множество и если является

подмножеством топологического пространства, то является замкнутым подмножеством относительно топологии поточечной сходимости.${\ Displaystyle U \ substeq X}$${\ displaystyle B \ substeq Y}$${\ displaystyle Y,}$${\ displaystyle P_ {U}: = \ left \ {f \ in Y ^ {X} ~: ~ f (U) \ substeq B \ right \}}$${\ displaystyle Y ^ {X}}$

Доказательство (2) :

Для любого let обозначить проекцию на координату

(как определено выше). Чтобы доказать, что достаточно (и необходимо) показать, что для каждого So fix and let ; Остается показать, что определяющим условием на было то, из которого следует, что Поскольку линейный функционал удовлетворяет и, следовательно, следует ${\ displaystyle z \ in X,}$${\ textstyle \ Pr {} _ {z}: \ prod _ {x \ in X} \ mathbb {K} \ to \ mathbb {K}}$${\ displaystyle z}$${\ textstyle P \ substeq \ prod _ {x \ in X} B_ {r_ {x}},}$${\ displaystyle \ Pr {} _ {x} (P) \ substeq B_ {r_ {x}}}$${\ displaystyle x \ in X.}$${\ displaystyle x \ in X}$${\ displaystyle f \ in P}$${\ displaystyle \ Pr {} _ {x} (f): = f (x) \ in B_ {r_ {x}}.}$${\ displaystyle r_ {x}> 0}$${\ Displaystyle х \ в r_ {х} U, \,}$${\ textstyle \, u_ {x}: = \ left ({\ frac {1} {r_ {x}}} \ right) x \ in U. \,}$${\ displaystyle f \ in P = U ^ {\ #},}$${\ displaystyle f}$${\ textstyle \; \ sup _ {и \ в U} | е (и) | \ leq 1 \;}$${\ displaystyle u_ {x} \ in U}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {r_ {x}}} | f (x) | = \ left | {\ frac {1} {r_ {x}}} f (x) \ right | = \ left | f \ left ({\ frac {1} {r_ {x}}} x \ right) \ right | = \ left | f \ left (u_ {x} \ right) \ right | \ leq \ sup _ {u \ в U} | f (u) | \ leq 1.}$

Таким образом, это показывает, что желательно. QED ${\ Displaystyle | е (х) | \ leq r_ {х},}$${\ displaystyle f (x) \ in B_ {r_ {x}},}$