Математика -Mathematics

Математика
Чистый Фонды Анализ Алгебра Теория чисел Комбинаторика Геометрия Топология Применяемый Вероятность Статистика Вычислительные науки Математическая физика Исследование операций Математическая оптимизация Вычислительная биология Компьютерная лингвистика
Статьи
0–9 А Б С Д Е Ф грамм ЧАС я Дж К л М Н О п Вопрос р С Т U В Вт Икс Д Z
Ученые
А Б С Д Е Ф грамм ЧАС я Дж К л М Н О п Вопрос р С Т U В Вт Икс Д Z
Навигация
Списки Контур Портал Области
в т е

Греческий математик 3 века до н.э. Евклид (держит штангенциркуль ), как его представил Рафаэль в этой детали из Афинской школы (1509–1511)

Математика (от древнегреческого μάθημα ( máthēma )  «знание, изучение, обучение») — область знаний, включающая изучение таких тем, как числа ( арифметика и теория чисел ), формулы и связанные с ними структуры ( алгебра ), формы и пространства. в котором они содержатся ( геометрия ), и количества и их изменения ( исчисление и анализ ). Нет единого мнения о его точном объеме или эпистемологическом статусе .

Большая часть математической деятельности состоит в открытии и доказательстве (путем чистого рассуждения) свойств абстрактных объектов . Эти объекты являются либо абстракциями от природы (например, натуральными числами или линиями ), либо (в современной математике) абстрактными сущностями, для которых предусмотрены определенные свойства, называемые аксиомами . Доказательство состоит из последовательности применений некоторых дедуктивных правил к уже известным результатам, включая ранее доказанные теоремы , аксиомы и (в случае отвлечения от природы) некоторые основные свойства, рассматриваемые как истинные исходные положения рассматриваемой теории. Результат доказательства называется теоремой .

Математика широко используется в науке для моделирования явлений. Это позволяет извлекать количественные предсказания из экспериментальных законов. Например, движение планет можно предсказать с высокой точностью, используя закон всемирного тяготения Ньютона в сочетании с математическими вычислениями. Независимость математической истины от каких-либо экспериментов подразумевает, что точность таких предсказаний зависит только от адекватности модели для описания реальности. Поэтому, когда появляются какие-то неточные прогнозы, это означает, что модель должна быть улучшена или изменена, а не то, что математика неверна. Например, прецессия перигелия Меркурия не может быть объяснена законом тяготения Ньютона, но точно объясняется общей теорией относительности Эйнштейна . Это экспериментальное подтверждение теории Эйнштейна показывает, что закон тяготения Ньютона является лишь приближением (которое все еще очень точно в повседневной жизни).

Математика необходима во многих областях, включая естественные науки , инженерию , медицину , финансы , информатику и социальные науки . Некоторые области математики, такие как статистика и теория игр , развиваются в прямой зависимости от их приложений и часто группируются под названием прикладной математики . Другие области математики разрабатываются независимо от любого приложения (и поэтому называются чистой математикой ), но практические приложения часто обнаруживаются позже. Подходящим примером является проблема целочисленной факторизации , восходящая к Евклиду , но не имевшая практического применения до ее использования в криптосистеме RSA (для безопасности компьютерных сетей ).

Математика была человеческой деятельностью с тех пор, как существуют письменные источники . Однако понятие «доказательство» и связанная с ним « математическая строгость » впервые появились в греческой математике , особенно в « Началах » Евклида . Математика развивалась относительно медленными темпами до эпохи Возрождения , когда к арифметике и геометрии в качестве основных областей математики добавились алгебра и исчисление бесконечно малых . С тех пор взаимодействие между математическими инновациями и научными открытиями привело к быстрому увеличению скорости математических открытий. В конце 19 века фундаментальный кризис математики привел к систематизации аксиоматического метода . Это, в свою очередь, привело к резкому увеличению числа областей математики и областей их приложений; свидетелем этого является Предметная классификация математики , в которой перечислены более шестидесяти областей математики первого уровня.

Области математики

До эпохи Возрождения математика была разделена на две основные области: арифметику , посвященную манипулированию числами , и геометрию , посвященную изучению форм. Существовали также некоторые лженауки , такие как нумерология и астрология , которые не были четко отделены от математики.

Вокруг эпохи Возрождения появились два новых основных направления. Введение математических обозначений привело к алгебре , которая, грубо говоря, состоит из изучения и обработки формул . Исчисление , сокращение от исчисления бесконечно малых и интегрального исчисления , представляет собой изучение непрерывных функций , которые моделируют изменение и взаимосвязь между различными величинами ( переменными ). Это деление на четыре основные области оставалось в силе до конца XIX века, хотя некоторые области, такие как небесная механика и механика твердого тела , которые часто рассматривались как математика, теперь рассматриваются как принадлежащие физике . Кроме того, некоторые предметы, разработанные в этот период, предшествовали математике (будучи разделены на разные области), такие как теория вероятностей и комбинаторика , которые только позже стали рассматриваться как самостоятельные области.

В конце 19 века фундаментальный кризис математики и последовавшая за ним систематизация аксиоматического метода привели к резкому увеличению количества областей математики. Предметная классификация по математике содержит более 60 областей первого уровня. Некоторые из этих областей соответствуют более старому делению на четыре основные области. Это случай теории чисел (современное название высшей арифметики ) и геометрии . Однако есть несколько других областей первого уровня, в названии которых есть слово «геометрия» или которые обычно считаются принадлежащими к геометрии. Алгебра и исчисление не отображаются как области первого уровня, но каждая из них разделена на несколько областей первого уровня. Другие области первого уровня вообще не существовали до 20-го века (например , теория категорий , гомологическая алгебра и информатика ) или не рассматривались ранее как математика, такие как 03: Математическая логика и основы (включая теорию моделей , теорию вычислимости ). , теория множеств , теория доказательств и алгебраическая логика ).

Теория чисел

Распределение простых чисел является центральным пунктом изучения теории чисел. Эта спираль Улама служит его иллюстрацией, намекая, в частности, на условную независимость между простым числом и значением некоторых квадратичных многочленов.

Теория чисел началась с манипулирования числами , то есть натуральными числами , а затем расширилась до целых и рациональных чисел Теория чисел раньше называлась арифметикой , но в настоящее время этот термин в основном используется для методов вычисления с числами. ${\ Displaystyle (\ mathbb {N}),}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {Q}).}$

Специфика теории чисел состоит в том, что многие задачи, которые можно сформулировать очень элементарно, очень сложны и при решении имеют решение, требующее очень сложных методов, исходящих из различных разделов математики. Ярким примером является Последняя теорема Ферма, которая была сформулирована в 1637 году Пьером де Ферма и доказана только в 1994 году Эндрю Уайлсом с использованием, среди прочего, алгебраической геометрии (точнее , теории схем ), теории категорий и гомологической алгебры . Другим примером является гипотеза Гольдбаха , утверждающая, что каждое четное целое число, большее 2, является суммой двух простых чисел . Сформулированная в 1742 году Кристианом Гольдбахом , она остается недоказанной, несмотря на значительные усилия.

Ввиду разнообразия изучаемых проблем и методов решения теория чисел в настоящее время разделена на несколько подобластей, к которым относятся аналитическая теория чисел , алгебраическая теория чисел , геометрия чисел (методно-ориентированная), диофантовы уравнения и теория трансцендентности (проблемно-ориентированная) . .

Геометрия

Геометрия вместе с арифметикой является одним из старейших разделов математики. Это началось с эмпирических рецептов, касающихся форм, таких как линии , углы и круги , которые были разработаны в основном для нужд геодезии и архитектуры .

Фундаментальным нововведением была разработка доказательств древними греками : недостаточно проверить измерением, что, скажем, две длины равны. Такое свойство должно быть доказано абстрактными рассуждениями из ранее доказанных результатов ( теорем ) и базовых свойств (которые считаются самоочевидными, поскольку они слишком базовые, чтобы быть предметом доказательства ( постулаты )). Этот принцип, лежащий в основе всей математики, был разработан для геометрии и систематизирован Евклидом около 300 г. до н. э. в его книге « Элементы » .

Полученная в результате евклидова геометрия представляет собой изучение форм и их расположения , построенных из линий , плоскостей и окружностей на евклидовой плоскости ( плоскостная геометрия ) и (трехмерном) евклидовом пространстве .

Евклидова геометрия развивалась без изменения методов или области применения до 17 века, когда Рене Декарт ввел то, что сейчас называется декартовыми координатами . Это было серьезным изменением парадигмы, поскольку вместо определения действительных чисел как длин отрезков прямой (см. числовую прямую ) он позволял представлять точки с помощью чисел (их координат), а для использования алгебры , а затем и исчисления для решения геометрические задачи. Это разделение геометрии на две части, отличающиеся только своими методами: синтетическая геометрия , использующая чисто геометрические методы, и аналитическая геометрия , системно использующая координаты.

Аналитическая геометрия позволяет изучать новые формы, в частности кривые , не связанные с окружностями и линиями; эти кривые определяются либо как график функций (исследование которых привело к дифференциальной геометрии ), либо неявными уравнениями , часто полиномиальными уравнениями (которые породили алгебраическую геометрию ). Аналитическая геометрия позволяет рассматривать пространства размерности выше трех (достаточно учитывать более трех координат), которые уже не являются моделью физического пространства.

Геометрия быстро расширилась в 19 веке. Важным событием стало открытие (во второй половине XIX века) неевклидовых геометрий , т. е. геометрий, в которых отказались от постулата параллельности . Это, помимо парадокса Рассела , является одной из отправных точек фундаментального кризиса математики , поставив под вопрос истинность вышеупомянутого постулата. Этот аспект кризиса был разрешен путем систематизации аксиоматического метода и принятия того факта, что истинность выбранных аксиом не является математической проблемой. В свою очередь, аксиоматический метод позволяет изучать различные геометрии, полученные либо заменой аксиом, либо рассмотрением свойств, инвариантных относительно конкретных преобразований пространства . Это приводит к ряду подобластей и обобщений геометрии, которые включают:

• Проективная геометрия , введенная в 16 веке Жираром Дезаргом , расширяет евклидову геометрию, добавляя точки на бесконечности , в которых пересекаются параллельные прямые . Это упрощает многие аспекты классической геометрии, позволяя избежать разного обращения с пересекающимися и параллельными линиями.
• Аффинная геометрия , изучение свойств относительно параллелизма и независимых от понятия длины.
• Дифференциальная геометрия , изучение кривых, поверхностей и их обобщений, которые определяются с помощью дифференцируемых функций .
• Теория многообразия , изучение форм, которые не обязательно встроены в большее пространство.
• Риманова геометрия , изучение свойств расстояния в искривленных пространствах.
• Алгебраическая геометрия , изучение кривых, поверхностей и их обобщений, которые определяются с помощью полиномов .
• Топология , изучение свойств, сохраняющихся при непрерывных деформациях .
  • Алгебраическая топология , использование в топологии алгебраических методов, в основном гомологической алгебры
• Дискретная геометрия , изучение конечных конфигураций в геометрии.
• Выпуклая геометрия , изучение выпуклых множеств , важность которой связана с ее приложениями в оптимизации .
• Сложная геометрия , геометрия, полученная заменой действительных чисел комплексными числами .

Алгебра

Алгебру можно рассматривать как искусство манипулирования уравнениями и формулами . Диофант (3 век) и Аль-Хорезми (9 век) были двумя главными предшественниками алгебры. Первый решал некоторые отношения между неизвестными натуральными числами (то есть уравнениями), выводя новые отношения до получения решения. Второй вводил систематические методы преобразования уравнений (например, перенос члена из одной части уравнения в другую). Термин алгебра происходит от арабского слова, которое он использовал для обозначения одного из этих методов в названии своего основного трактата .

Квадратичная формула кратко выражает решения всех квадратных уравнений

Алгебра стала специфической областью только с Франсуа Виете (1540–1603), который ввел использование букв ( переменных ) для представления неизвестных или неуказанных чисел. Это позволяет кратко описать операции , которые необходимо выполнить над числами, представленными переменными.

До 19 века алгебра состояла в основном из изучения линейных уравнений , называемых в настоящее время линейной алгеброй , и полиномиальных уравнений с одним неизвестным , которые назывались алгебраическими уравнениями (термин, который используется до сих пор, хотя и может быть неоднозначным). В 19 веке переменные стали представлять не числа, а другие вещи (такие как матрицы , модульные целые числа и геометрические преобразования ), над которыми могут работать некоторые операции , которые часто являются обобщениями арифметических операций. Для этого было введено понятие алгебраической структуры , состоящей из множества , элементы которого не определены, операций, действующих на элементы множества, и правил, которым должны следовать эти операции. Итак, сфера алгебры эволюционировала, превратившись по существу в изучение алгебраических структур. Этот предмет алгебры назывался современной алгеброй или абстрактной алгеброй , причем последний термин до сих пор используется, в основном, в образовательном контексте, в отличие от элементарной алгебры , которая связана с более старым способом манипулирования формулами.

Кубик Рубика: изучение возможных ходов — это конкретное приложение теории групп

Некоторые типы алгебраических структур обладают полезными и часто фундаментальными свойствами во многих областях математики. Их изучением в настоящее время являются автономные части алгебры, к которым относятся:

• теория групп ;
• теория поля ;
• векторные пространства , изучение которых по существу совпадает с линейной алгеброй ;
• теория колец ;
• коммутативная алгебра , изучающая коммутативные кольца , включает в себя изучение многочленов и является фундаментальной частью алгебраической геометрии ;
• гомологическая алгебра
• Алгебра Ли и теория групп Ли ;
• Булева алгебра , которая широко используется для изучения логической структуры компьютеров .

Изучение типов алгебраических структур как математических объектов является предметом универсальной алгебры и теории категорий . Последнее относится к любой математической структуре (не только к алгебраической). Изначально он был введен вместе с гомологической алгеброй для обеспечения возможности алгебраического изучения неалгебраических объектов, таких как топологические пространства ; эта конкретная область применения называется алгебраической топологией .

Расчет и анализ

Исчисление, ранее называвшееся исчислением бесконечно малых , было введено в 17 веке Ньютоном и Лейбницем независимо и одновременно. По сути, это изучение взаимосвязи двух изменяющихся величин, называемых переменными , так что одна зависит от другой. Исчисление было значительно расширено в 18 веке Эйлером с введением понятия функции и многими другими результатами. В настоящее время «исчисление» относится в основном к элементарной части этой теории, а «анализ» обычно используется для более продвинутых частей.

Анализ далее подразделяется на реальный анализ , где переменные представляют действительные числа, и комплексный анализ, где переменные представляют комплексные числа . В настоящее время существует множество подобластей анализа, некоторые из которых используются совместно с другими областями математики; они включают:

• Многомерное исчисление
• Функциональный анализ , где переменные представляют различные функции;
• Интеграция , теория меры и теория потенциала , тесно связанные с теорией вероятностей ;
• обыкновенные дифференциальные уравнения ;
• уравнения в частных производных ;
• Численный анализ , в основном посвященный вычислению на компьютерах решений обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, возникающих во многих приложениях математики.

Дискретная математика

Математическая логика и теория множеств

Эти предметы относятся к математике с конца 19 века. До этого периода множества не рассматривались как математические объекты , а логика , хотя и использовалась для математических доказательств , принадлежала философии и специально математиками не изучалась.

До изучения бесконечных множеств Георгом Кантором математики неохотно рассматривали наборы, которые на самом деле бесконечны , и рассматривали бесконечность как результат бесконечного перечисления . Работа Кантора оскорбила многих математиков не только тем, что рассмотрела фактически бесконечные множества, но и тем, что показала, что это подразумевает различные размеры бесконечности (см . диагональный аргумент Кантора ) и существование математических объектов, которые невозможно вычислить и даже не описать явно (например, , базы Гамеля действительных чисел над рациональными числами ). Это привело к спорам по поводу теории множеств Кантора .

В тот же период в различных областях математики обнаружилось, что прежние интуитивные определения основных математических объектов недостаточны для обеспечения математической строгости . Примеры таких интуитивных определений: «множество — это совокупность объектов», « натуральные числа — это то, что используется для счета», «точка — это фигура с нулевой длиной во всех направлениях», « кривая — это след, оставленный подвижная точка» и т.

В этом причина фундаментального кризиса математики . В конечном итоге она была решена в рамках основного направления математики путем систематизации аксиоматического метода внутри формализованной теории множеств . Грубо говоря, каждый математический объект определяется набором всех подобных объектов и свойств, которыми эти объекты должны обладать. Например, в арифметике Пеано натуральные числа определяются словами «ноль — это число», «каждое число как уникальный потомок», «каждое число, кроме нуля, имеет уникального предшественника» и некоторыми правилами рассуждений. «Природа» объектов, определенных таким образом, — это философская проблема, которую математики оставляют философам, даже если многие математики имеют свое мнение об этой природе и используют свое мнение — иногда называемое «интуицией» — для руководства своим исследованием и поиском доказательств.

Такой подход позволяет рассматривать «логики» (то есть наборы разрешенных правил вывода), теоремы , доказательства и т. д. как математические объекты и доказывать теоремы о них. Например, теоремы Гёделя о неполноте утверждают, грубо говоря, что в каждой теории, содержащей натуральные числа, есть теоремы, которые истинны (то есть доказуемы в более широкой теории), но недоказуемы внутри теории.

Этот подход к основам математики был оспорен в первой половине 20-го века математиками во главе с Л. Дж. Брауэром , которые продвигали интуиционистскую логику , исключающую закон исключенного третьего .

Эти проблемы и дебаты привели к широкому расширению математической логики с такими подобластями, как теория моделей (моделирование одних логических теорий внутри другой теории), теория доказательств , теория типов , теория вычислимости и теория сложности вычислений . Хотя эти аспекты математической логики были введены до появления компьютеров , их использование в разработке компиляторов , сертификации программ , помощниках по доказательствам и других аспектах информатики , в свою очередь, способствовало расширению этих логических теорий.

Прикладная математика

Прикладная математика занимается математическими методами, которые обычно используются в науке, технике , бизнесе и промышленности . Таким образом, «прикладная математика» — это математическая наука со специальными знаниями . Термин прикладная математика также описывает профессиональную специальность, в которой математики работают над практическими задачами; как профессия, ориентированная на практические проблемы, прикладная математика фокусируется на «формулировании, изучении и использовании математических моделей» в науке, технике и других областях математической практики.

В прошлом практическое применение мотивировало развитие математических теорий, которые затем стали предметом изучения чистой математики, где математика разрабатывается в первую очередь ради самой себя. Таким образом, деятельность прикладной математики кровно связана с исследованиями в области чистой математики .

Статистика и другие науки о принятии решений

Прикладная математика имеет значительное пересечение со статистикой, теория которой сформулирована математически, особенно с теорией вероятностей . Статистики (работающие в рамках исследовательского проекта) «создают данные, которые имеют смысл» с помощью случайной выборки и рандомизированных экспериментов ; план статистической выборки или эксперимента определяет анализ данных (до того, как данные станут доступными). При повторном рассмотрении данных экспериментов и выборок или при анализе данных обсервационных исследований статистики «придают смысл данным», используя искусство моделирования и теорию вывода — с выбором модели и оценкой ; оценочные модели и последующие прогнозы должны быть проверены на новых данных .

Статистическая теория изучает проблемы принятия решений, такие как минимизация риска ( ожидаемых потерь ) статистического действия, такого как использование процедуры , например, для оценки параметров , проверки гипотез и выбора наилучшего . В этих традиционных областях математической статистики задача принятия статистического решения формулируется путем минимизации целевой функции , такой как ожидаемые потери или затраты , при определенных ограничениях. уровень уверенности. Из-за использования оптимизации математическая теория статистики разделяет проблемы с другими науками о принятии решений , такими как исследование операций , теория управления и математическая экономика .

Вычислительная математика

Вычислительная математика предлагает и изучает методы решения математических задач , которые обычно слишком велики для вычислительных возможностей человека. Численный анализ изучает методы решения задач анализа с использованием функционального анализа и теории приближений ; численный анализ широко включает изучение аппроксимации и дискретизации с особым вниманием к ошибкам округления . Численный анализ и, в более широком смысле, научные вычисления также изучают неаналитические темы математической науки, особенно алгоритмическую — матричную — и теорию графов . Другие области вычислительной математики включают компьютерную алгебру и символьные вычисления .

Теория игры	Динамика жидкости	Численный анализ	Оптимизация	Теория вероятности	Статистика	Криптография
Математические финансы	Математическая физика	Математическая химия	Математическая биология	Математическая экономика	Теория управления

История

Историю математики можно рассматривать как постоянно увеличивающуюся серию абстракций . С точки зрения эволюции, первой когда-либо имевшей место абстракцией, разделяемой многими животными, была, вероятно, абстракция чисел: осознание того, что набор из двух яблок и набор из двух апельсинов (например) имеют нечто общее, а именно количество их членов. Как свидетельствуют подсчеты , найденные на костях, доисторические люди могли не только уметь считать физические объекты, но и уметь считать абстрактные величины, такие как время — дни, времена года или годы.

Вавилонская математическая табличка Plimpton 322, датированная 1800 годом до нашей эры.

Доказательства более сложной математики не появляются примерно до 3000  г. до н.э. , когда вавилоняне и египтяне начали использовать арифметику , алгебру и геометрию для налогообложения и других финансовых расчетов, для строительства и астрономии . Самые старые математические тексты из Месопотамии и Египта относятся к периоду с 2000 по 1800 год до нашей эры. Во многих ранних текстах упоминаются тройки Пифагора , и, таким образом, теорема Пифагора кажется самой древней и широко распространенной математической концепцией после базовой арифметики и геометрии. Элементарная арифметика ( сложение , вычитание , умножение и деление ) впервые появляется в археологических записях именно в вавилонской математике . Вавилоняне также обладали позиционной системой и использовали шестидесятеричную систему счисления, которая до сих пор используется для измерения углов и времени.

Архимед использовал метод исчерпания , изображенный здесь, чтобы приблизить значение числа пи .

Начиная с 6 века до нашей эры с пифагорейцев , с греческой математики древние греки начали систематическое изучение математики как самостоятельного предмета. Около 300 г. до н.э. Евклид ввел аксиоматический метод, который до сих пор используется в математике и состоит из определения, аксиомы, теоремы и доказательства. Его книга « Элементы » широко считается самым успешным и влиятельным учебником всех времен. Величайшим математиком древности часто считают Архимеда (ок. 287–212 до н. э.) из Сиракуз . Он разработал формулы для вычисления площади поверхности и объема тел вращения и использовал метод исчерпывания для вычисления площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда способом, не слишком отличающимся от современного исчисления. Другими заметными достижениями греческой математики являются конические сечения ( Аполлоний Пергский , 3 век до н.э.), тригонометрия ( Гиппарх Никейский , 2 век до н.э.) и зачатки алгебры ( Диофант , 3 век н.э.).

Цифры, использованные в манускрипте Бахшали , датированы II веком до нашей эры и II веком нашей эры.

Индо - арабская система счисления и правила использования ее операций, используемые сегодня во всем мире, развивались в течение первого тысячелетия нашей эры в Индии и были переданы западному миру через исламскую математику . Другие известные достижения индийской математики включают современное определение и аппроксимацию синуса и косинуса , а также раннюю форму бесконечных рядов .

Страница из Алгебры аль-Хорезми

Леонардо Фибоначчи , итальянский математик, который представил западному миру индо-арабскую систему счисления, изобретенную между 1-м и 4-м веками индийскими математиками.

Во время Золотого века ислама , особенно в IX и X веках, в математике произошло много важных нововведений, основанных на греческой математике. Самым заметным достижением исламской математики было развитие алгебры . Другие достижения исламского периода включают достижения в области сферической тригонометрии и добавление десятичной точки к арабской системе счисления. Многие известные математики этого периода были персами, такие как Аль-Хорисми , Омар Хайям и Шараф ад-Дин аль-Туси .

В период раннего Нового времени в Западной Европе математика начала развиваться ускоренными темпами . Развитие исчисления Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем в 17 веке произвело революцию в математике. Леонард Эйлер был самым выдающимся математиком 18 века, автором многочисленных теорем и открытий. Возможно, выдающимся математиком 19 века был немецкий математик Карл Гаусс , внесший значительный вклад в такие области, как алгебра , анализ , дифференциальная геометрия , теория матриц , теория чисел и статистика . В начале 20 века Курт Гёдель преобразовал математику, опубликовав свои теоремы о неполноте , которые частично показывают, что любая непротиворечивая аксиоматическая система — если она достаточно мощна для описания арифметики — будет содержать истинные утверждения, которые невозможно доказать.

С тех пор математика значительно расширилась, и между математикой и наукой произошло плодотворное взаимодействие , приносящее пользу обеим сторонам. Математические открытия продолжают совершаться и по сей день. По словам Михаила Б. Севрюка, в январском выпуске Бюллетеня Американского математического общества за 2006 г. «Количество статей и книг, включенных в базу данных Mathematical Reviews с 1940 г. (первый год работы MR) в настоящее время составляет более 1,9». миллионов, и ежегодно в базу данных добавляется более 75 тысяч наименований. Подавляющее большинство работ в этом океане содержат новые математические теоремы и их доказательства ».

Этимология

Слово « математика » происходит от древнегреческого слова máthēma ( μάθημα ), означающего «то, что изучается», «то, что человек узнает», отсюда также «изучение» и «наука». Слово «математика» стало иметь более узкое и более техническое значение «математическое исследование» еще в классические времена. Его прилагательное - mathēmatikós ( μαθηματικός ), что означает «связанный с обучением» или «усердный», что также стало означать «математический». В частности, mathēmatikḗ tékhnē ( μαθηματικὴ τέχνη ; латинское : ars mathematica ) означало «математическое искусство».

Точно так же одна из двух основных школ пифагореизма была известна как mathēmatikoi (μαθηματικοί), что в то время означало «ученики», а не «математики» в современном смысле.

На латыни и в английском языке примерно до 1700 года термин « математика » чаще означал « астрологию » (или иногда « астрономию »), чем «математику»; значение постепенно изменилось на его нынешнее примерно с 1500 по 1800 год. Это привело к нескольким неправильным переводам. Например, предупреждение святого Августина о том, что христианам следует остерегаться mathematici , то есть астрологов, иногда неправильно переводят как осуждение математиков.

Форма множественного числа в английском языке, как и французская форма множественного числа les mathématiques (и менее часто используемая производная единственного числа la mathématique ), восходит к латинскому среднему множественному числу mathematica ( Cicero ), основанному на греческом множественном числе ta mathēmatiká ( τὰ μαθηματικά ), использовалось Аристотелем (384–322 до н.э.) и означало примерно «все математические вещи», хотя вполне вероятно, что английский язык заимствовал только прилагательное mathematic (al) и заново образовал существительное математика по образцу физики и метафизики , которые были унаследовано от греч. В английском языке существительное « математика » принимает глагол в единственном числе. Его часто сокращают до maths или, в Северной Америке, math .

Философия математики

Нет единого мнения о точном определении или эпистемологическом статусе математики. Аристотель определил математику как «науку о количестве», и это определение преобладало до 18 века. Однако Аристотель также отметил, что сосредоточение внимания только на количестве может не отличать математику от таких наук, как физика; по его мнению, абстракция и изучение количества как свойства, «отделимого в мысли» от реальных случаев, отличают математику.

В 19 веке, когда изучение математики стало более строгим и стало обращаться к абстрактным темам, таким как теория групп и проективная геометрия , которые не имеют четкого отношения к количеству и измерению, математики и философы начали предлагать множество новых определений. .

Очень многие профессиональные математики не интересуются определением математики или считают ее неопределимой. Нет единого мнения даже о том, является ли математика искусством или наукой. Некоторые просто говорят: «Математика — это то, чем занимаются математики».

Три ведущих типа

Три ведущих типа определения математики сегодня называются логицистским , интуитивистским и формалистским , каждый из которых отражает разные философские школы мысли. У всех есть серьезные недостатки, ни одна из них не получила широкого признания, и примирение кажется невозможным.

Определения логиста

Раннее определение математики с точки зрения логики было дано Бенджамином Пирсом (1870 г.): «наука, которая делает необходимые выводы». В Principia Mathematica Бертран Рассел и Альфред Норт Уайтхед выдвинули философскую программу, известную как логицизм , и попытались доказать, что все математические понятия, утверждения и принципы могут быть определены и доказаны исключительно в терминах символической логики . Примером логицистского определения математики является определение Рассела (1903 г.) «Вся математика есть символическая логика».

Интуиционистские определения

Интуиционистские определения, развивающиеся из философии математика Л.Й. Брауэра , отождествляют математику с определенными психическими явлениями. Пример интуитивистского определения: «Математика — это умственная деятельность, состоящая в выполнении конструкций одна за другой». Особенность интуитивизма состоит в том, что он отвергает некоторые математические идеи, считающиеся верными по другим определениям. В частности, в то время как другие философии математики допускают объекты, существование которых можно доказать, даже если они не могут быть построены, интуиционизм допускает только математические объекты, которые можно реально построить. Интуиционисты также отвергают закон исключенного третьего (т.е. ). Хотя эта позиция вынуждает их отвергать одну распространенную версию доказательства от противного как жизнеспособный метод доказательства, а именно вывод из , они все же могут делать выводы из . Для них строго более слабое утверждение, чем . ${\ Displaystyle Р \ ви \ отр Р}$${\ Displaystyle Р}$${\ Displaystyle \ отр Р \ к \ бот}$${\ Displaystyle \ отр Р}$${\ Displaystyle Р \ к \ бот}$${\ Displaystyle \ отр (\ отр Р)}$${\ Displaystyle Р}$

Формалистские определения

Формалистские определения отождествляют математику с ее символами и правилами работы с ними. Хаскелл Карри определил математику просто как «науку о формальных системах». Формальная система представляет собой набор символов или токенов и некоторые правила того, как токены должны быть объединены в формулы . В формальных системах слово « аксиома » имеет особое значение, отличное от обычного значения «самоочевидной истины», и используется для обозначения комбинации токенов, которая включена в данную формальную систему без необходимости их вывода с использованием правила системы.

Математика как наука

Карл Фридрих Гаусс , известный как принц математиков

Немецкий математик Карл Фридрих Гаусс называл математику «королевой наук». Совсем недавно Маркус дю Сотуа назвал математику «королевой науки ... главной движущей силой научных открытий». Философ Карл Поппер заметил, что «большинство математических теорий, подобно теориям физики и биологии , являются гипотетико - дедуктивными : поэтому чистая математика оказывается гораздо ближе к естественным наукам, гипотезы которых являются предположениями, чем это казалось еще недавно». Поппер также отмечал, что «я, безусловно, признаю систему эмпирической или научной только в том случае, если она может быть проверена опытом».

Математика имеет много общего со многими областями физических наук, особенно с исследованием логических следствий предположений. Интуиция и эксперимент также играют роль в формулировании предположений как в математике, так и в (других) науках. Значение экспериментальной математики в математике продолжает расти, а вычисления и моделирование играют все более важную роль как в естественных науках, так и в математике.

Некоторые авторы считают, что математика не является наукой, поскольку она не опирается на эмпирические данные . Мнения математиков по этому поводу различны. Многие математики считают, что называть свою область наукой значит преуменьшать важность ее эстетической стороны и ее истории в традиционных семи свободных искусствах ; другие считают, что игнорировать ее связь с наукой означает закрывать глаза на тот факт, что взаимодействие между математикой и ее приложениями в науке и технике привело к значительному развитию математики. Один из способов проявления этого различия точек зрения — философские дебаты о том, создается ли математика (как в искусстве) или открывается (как в науке). На практике математики обычно группируются с учеными на общем уровне, но разделяются на более тонком уровне. Это один из многих вопросов, рассматриваемых в философии математики .

Вдохновение, чистая и прикладная математика и эстетика

Исаак Ньютон (слева) и Готфрид Вильгельм Лейбниц разработали исчисление бесконечно малых.

Математика возникает из множества различных задач. Сначала они были найдены в торговле, землемерии , архитектуре, а затем в астрономии ; сегодня все науки ставят проблемы, изучаемые математиками, и многие проблемы возникают внутри самой математики. Например, физик Ричард Фейнман изобрел формулировку интеграла по путям в квантовой механике , используя комбинацию математических рассуждений и физических знаний, а сегодняшняя теория струн , все еще развивающаяся научная теория, которая пытается объединить четыре фундаментальные силы природы , продолжает вдохновлять . новая математика.

Некоторая математика актуальна только в той области, которая ее вдохновила, и применяется для решения дальнейших задач в этой области. Но часто математика, вдохновленная одной областью, оказывается полезной во многих областях и дополняет общий набор математических понятий. Часто проводится различие между чистой математикой и прикладной математикой . Однако темы чистой математики часто находят применение, например, теория чисел в криптографии .

Этот примечательный факт, что даже самая «чистая» математика часто находит практическое применение, физик Юджин Вигнер назвал « неразумной эффективностью математики ». Философ математики Марк Штайнер много писал по этому поводу и признает, что применимость математики представляет собой «вызов натурализму». Для философа математики Мэри Ленг тот факт, что физический мир действует в соответствии с предписаниями некаузальных математических сущностей, существующих за пределами вселенной, является «счастливым совпадением». С другой стороны, для некоторых антиреалистов связи, которые приобретаются среди математических вещей, просто отражают связи, приобретаемые между объектами во вселенной, поэтому «счастливого совпадения» не бывает.

Как и в большинстве областей обучения, бурный рост знаний в научный век привел к специализации: в настоящее время в математике существуют сотни специализированных областей, а последняя Классификация предметов по математике занимает 46 страниц. Несколько областей прикладной математики объединились с родственными традициями за пределами математики и стали самостоятельными дисциплинами, включая статистику, исследование операций и информатику .

Для тех, кто склонен к математике, большая часть математики часто имеет определенный эстетический аспект. Многие математики говорят об изяществе математики, ее внутренней эстетике и внутренней красоте. Ценится простота и универсальность. Есть красота в простом и элегантном доказательстве , таком как доказательство Евклида , что существует бесконечно много простых чисел , и в элегантном численном методе , который ускоряет вычисления, таком как быстрое преобразование Фурье . Г. Х. Харди в «Апологии математика» выразил убеждение, что этих эстетических соображений самих по себе достаточно, чтобы оправдать изучение чистой математики. Он определил такие критерии, как значимость, неожиданность, неизбежность и экономия, как факторы, способствующие математической эстетике. Математическое исследование часто ищет критические характеристики математического объекта. Теорема, выраженная как характеристика объекта этими признаками, является призом. Примеры особенно кратких и откровенных математических аргументов были опубликованы в Proofs from THE BOOK .

Популярность развлекательной математики — еще один признак удовольствия, которое многие находят при решении математических задач. На другой социальной крайности философы продолжают находить проблемы в философии математики , такие как природа математического доказательства .

Обозначения, язык и строгость

Леонард Эйлер создал и популяризировал большую часть математических обозначений, используемых сегодня.

Большая часть используемых сегодня математических обозначений была изобретена после 15 века. До этого математика была записана словами, что ограничивало математические открытия. Эйлер (1707–1783) был автором многих из этих обозначений. Современные обозначения делают математику эффективной для профессионалов, в то время как новички часто находят ее сложной.

Математический язык придает более точное значение обычным словам, таким как или и только , чем они имеют в повседневной речи. Другие термины, такие как «открытое» и «поле », одновременно точны и относятся к конкретным понятиям, присутствующим только в математике. Математический язык также включает в себя множество технических терминов, таких как гомеоморфизм и интегрируемость , которые не имеют значения вне математики. Кроме того, сокращенные фразы, такие как iff для « если и только если », относятся к математическому жаргону . Эти специальные обозначения и технический словарь одновременно точны и лаконичны, что позволяет работать с идеями чрезмерной сложности. Математики называют эту точность языка и логики «строгостью».

Достоверность математических доказательств по существу является вопросом строгости . Математики хотят, чтобы их теоремы следовали из аксиом посредством систематических рассуждений. Это делается для того, чтобы избежать ошибочных «теорем», основанных на ложной интуиции, которые много раз возникали в истории математики. Строгость, ожидаемая от математики, менялась с течением времени: греки ожидали подробных аргументов, но во времена расцвета Исаака Ньютона используемые методы были менее строгими. Проблемы, присущие определениям, используемым Ньютоном, привели к возрождению тщательного анализа и формальных доказательств в 19 веке. Неправильное понимание строгости является заметной причиной некоторых распространенных заблуждений о математике.

Несмотря на лаконичность математики, для выражения многих доказательств требуются сотни страниц. Появление компьютерных доказательств позволило еще больше увеличить длину доказательств. Вспомогательные доказательства могут быть ошибочными, если программное обеспечение для проверки имеет недостатки и если они длинные и их трудно проверить. С другой стороны, помощники по доказательству позволяют проверять детали, которые не могут быть даны в рукописном доказательстве, и обеспечивают уверенность в правильности длинных доказательств, таких как 255-страничная теорема Фейта-Томпсона .

Традиционно аксиомы считались «самоочевидными истинами». Однако на формальном уровне аксиома — это просто набор символов, который имеет внутреннее значение только в контексте выводимых формул аксиоматической системы . Программа Гильберта пыталась поставить математику на прочную аксиоматическую основу, но теорема Гёделя о неполноте перевернула ее, показав, что каждая (достаточно мощная) аксиоматическая система имеет неразрешимые формулы; поэтому аксиоматизация математики невозможна. Тем не менее, математику часто представляют (в том, что касается ее формального содержания) не чем иным , как теорией множеств в некоторой аксиоматизации, в том смысле, что каждое математическое утверждение или доказательство может быть преобразовано в формулы в рамках теории множеств.

Награды

Лицевая сторона медали Филдса

Возможно, самой престижной наградой в области математики является Филдсовская медаль , учрежденная в 1936 году и присуждаемая каждые четыре года (за исключением периода Второй мировой войны) до четырех человек. Медаль Филдса часто считается математическим эквивалентом Нобелевской премии.

Премия Вольфа по математике , учрежденная в 1978 году, присуждается за достижения в жизни. Еще одна крупная международная премия, Абелевская премия , была учреждена в 2002 г. и впервые присуждена в 2003 г. Медаль Черна была учреждена в 2010 г. в знак признания жизненных достижений. Эти награды присуждаются в знак признания определенного объема работ, которые могут быть инновационными или обеспечивать решение нерешенной проблемы в устоявшейся области.

Известный список из 23 открытых проблем , названный « проблемами Гильберта », был составлен в 1900 году немецким математиком Давидом Гильбертом . Этот список получил широкую известность среди математиков, и к настоящему времени решено не менее тринадцати задач. В 2000 году был опубликован новый список из семи важных проблем, озаглавленный « Проблемы премии тысячелетия ». Только одна из них, гипотеза Римана , дублирует одну из проблем Гильберта. Решение любой из этих задач влечет за собой вознаграждение в 1 миллион долларов. В настоящее время решена только одна из этих проблем — гипотеза Пуанкаре .

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Список используемой литературы

дальнейшее чтение