Конструируемая вселенная - Constructible universe

В математике , в теории множеств , то конструктивны Вселенная (или конструктивны вселенной Гёделя ), обозначим через L , является частным классом из наборов , которые могут быть описаны исключительно в терминах более простых множеств. L - объединение конструктивной иерархии L _α  . Он был введен Куртом Гёделем в его статье 1938 года «Непротиворечивость аксиомы выбора и обобщенной гипотезы континуума». Этим он доказал, что конструируемая вселенная является внутренней моделью теории множеств ZF (то есть теории множеств Цермело – Френкеля).с исключенной аксиомой выбора ), а также что аксиома выбора и гипотеза обобщенного континуума верны в конструируемой вселенной. Это показывает, что оба предложения согласуются с основными аксиомами теории множеств, если сам ZF непротиворечив. Поскольку многие другие теоремы верны только в системах, в которых верно одно или оба предложения, их согласованность является важным результатом.

Что L является

L можно рассматривать как строится в «стадии» , напоминающих строительство фон Неймана Вселенной , V . Этапы индексируются порядковыми номерами . В вселенной фон Неймана, на преемника стадии, один принимает V _{& alpha ; +1} , чтобы множество всех подмножеств на предыдущей стадии, V _{& alpha} ; . Напротив, в конструируемой вселенной L Гёделя используются только те подмножества предыдущего этапа, которые:

• определяется формулой на формальном языке теории множеств,
• с параметрами из предыдущего этапа и,
• с кванторами, интерпретируемыми как диапазон, превышающий предыдущий этап.

Ограничивая себя наборами, определенными только в терминах того, что уже было построено, можно гарантировать, что результирующие множества будут построены таким образом, который не зависит от особенностей окружающей модели теории множеств и содержится в любой такой модели.

Определять

L определяется трансфинитной рекурсией следующим образом:

• ${\ displaystyle L_ {0}: = \ varnothing.}$
• ${\ displaystyle L _ {\ alpha +1}: = \ operatorname {Def} (L _ {\ alpha}).}$
• Если - предельный ординал , то Здесь α < λ означает, что α предшествует λ .${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle L _ {\ lambda}: = \ bigcup _ {\ alpha <\ lambda} L _ {\ alpha}.}$
• ${\ displaystyle L: = \ bigcup _ {\ alpha \ in \ mathbf {Ord}} L _ {\ alpha}.}$Здесь Ord обозначает класс всех ординалов.

Если z является элементом L _α , то z = { y | y ∈ L _α и y ∈ z } ∈ Def ( L _α ) = L _{α + 1} . Таким образом , L _{& alpha} ; представляет собой подмножество L _{α + 1} , который представляет собой подмножество множества мощности в L _{& alpha} ; . Следовательно, это башня вложенных транзитивных множеств . Но сам L - правильный класс .

Элементы L называются «конструктивными» множествами; а сама L - это «конструируемая вселенная». « Аксиома конструктивности », он же « V = L », говорит , что каждое множество (из V ) конструктивно, то есть в L .

Дополнительные сведения о множествах L _α

Эквивалентное определение для L _α :

Для любого конечного ординала n множества L _n и V _n одинаковы (независимо от того, равно ли V L или нет), и, следовательно, L _ω = V _ω : их элементы являются в точности наследственно конечными множествами . Равенство за пределами этого пункта не выполняется. Даже в моделях ZFC, в которых V равно L , L _{ω +1} является надлежащим подмножеством V _{ω +1} , и после этого L _{α +1} является собственным подмножеством множества _{степеней} L _α для всех α > ω . С другой стороны, V = L означает, что V _α равно L _α, если α = ω _α , например, если α недоступен. В более общем смысле, V = L влечет H _α = L _α для всех бесконечных кардиналов α .

Если α - бесконечный ординал, то существует биекция между L _α и α , и эта биекция конструктивна. Таким образом, эти множества равносильны в любой модели теории множеств, которая их включает.

Как определено выше, Def ( X ) - это множество подмножеств X, определенных Δ ₀ формулами (по отношению к иерархии Леви , т. Е. Формулам теории множеств, содержащим только ограниченные кванторы ), которые используют в качестве параметров только X и его элементы.

Другое определение, данное Гёделем, характеризует каждое L _{α +1} как пересечение множества _{степеней} L _α с замыканием под набором из девяти явных функций, подобно операциям Гёделя . В этом определении нет ссылки на определимость. ${\ Displaystyle L _ {\ alpha} \ чашка \ {L _ {\ alpha} \}}$

Все арифметические подмножества ω и отношения на ω принадлежат L _{ω +1} (поскольку арифметическое определение дает единицу в L _{ω +1} ). Наоборот, любое подмножество ω, принадлежащее L _{ω +1,} является арифметическим (поскольку элементы L _ω могут быть закодированы натуральными числами таким образом, что ∈ определимо, т. Е. Арифметически). С другой стороны, L _{ω +2} уже содержит некоторые неарифметические подмножества ω , такие как набор (кодирование натуральных чисел) истинных арифметических утверждений (это может быть определено из L _{ω +1,} поэтому оно находится в L _{ω +2} ).

Все гиперарифметические подмножества ω и отношения на ω принадлежат (где обозначает ординал Черча – Клини ), и, наоборот, любое подмножество ω , принадлежащее к, является гиперарифметическим. ${\ displaystyle L _ {\ omega _ {1} ^ {\ mathrm {CK}}}}$${\ displaystyle \ omega _ {1} ^ {\ mathrm {CK}}}$${\ displaystyle L _ {\ omega _ {1} ^ {\ mathrm {CK}}}}$

L - стандартная внутренняя модель ZFC.

L - стандартная модель, то есть это транзитивный класс, использующий реальную взаимосвязь элементов, поэтому он хорошо обоснован . L представляет собой внутреннюю модель, т.е. она содержит все порядковые числа V , и не имеет никаких «дополнительных» наборы , кроме тех , в V , но это может быть собственным подклассом V . L является моделью ZFC , что означает, что она удовлетворяет следующим аксиомам :

• Аксиома регулярности : каждое непустое множество x содержит некоторый элемент y, такой что x и y - непересекающиеся множества.

( L , ∈) является подструктурой ( V , ∈), которая хорошо обоснована, поэтому L хорошо обоснована. В частности, если у ∈ х ∈ L , то в силу транзитивности L , у ∈ L . Если мы используем тот же y, что и в V , то он по-прежнему не пересекается с x, потому что мы используем то же отношение элементов и не было добавлено никаких новых наборов.

• Аксиома протяженности : два набора одинаковы, если они имеют одинаковые элементы.

Если x и y находятся в L и имеют одинаковые элементы в L , то по транзитивности L они имеют одинаковые элементы (в V ). Таким образом, они равны (в V и, следовательно, в L ).

• Аксиома пустого множества : {} - это множество.

{} = L ₀ = { y | y ∈ L ₀ и y = y } ∈ L ₁ . Таким образом , {} ∈ L . Так как элемент соотношения одинакова и не было добавлено никаких новых элементов, это пустое множество L .

• Аксиома спаривания : если x , y - множества, то { x , y } - это множество.

Если x ∈ L и y ∈ L , то существует некоторый ординал α такой, что x ∈ L _α и y ∈ L _α . Тогда { x , y } = { s | s ∈ L _α и ( s = x или s = y )} ∈ L _{α +1} . Таким образом , { х , у } ∈ L и имеет такое же значение для L , как и для V .

• Аксиома объединения : для любого множества x существует множество y , элементы которого являются в точности элементами элементов x .

Если x ∈ L _α , то его элементы лежат в L _α, а их элементы также лежат в L _α . Итак, y является подмножеством L _α . y = { s | s ∈ L _α и существует z ∈ x такой, что s ∈ z } ∈ L _{α +1} . Таким образом , у ∈ L .

• Аксиома бесконечности : существует такое множество x , что {} находится в x, и всякий раз, когда y находится в x , объединение также .${\ Displaystyle у \ чашка \ {у \}}$

Из трансфинитной индукции получаем, что каждый ординал α ∈ L _{α +1} . В частности, ш ∈ L _{ш + 1} и , следовательно , ш ∈ L .

• Аксиома разделения : дано любое множество S и любое предложение P ( x , z ₁ , ..., z _n ), { x | x ∈ S и P ( x , z ₁ , ..., z _n )} - множество.

Индукцией по подформулам P можно показать, что существует α такое, что L _α содержит S и z ₁ , ..., z _n и ( P истинно в L _α тогда и только тогда, когда P истинно в L (это называется " принцип отражения ")). Итак, { x | x ∈ S и P ( x , z ₁ , ..., z _n ) выполняется в L } = { x | х ∈ L _α и х ∈ S и Р ( х , г ₁ , ..., г _п ) имеет место в L _{& alpha} ; } ∈ L _{α +1} . Таким образом, подмножество в L .

• Аксиома замены : для любого множества S и любого отображения (формально определенного как предложение P ( x , y ), где P ( x , y ) и P ( x , z ) влечет y = z ), { y | существует x ∈ S такой, что P ( x , y )} - множество.

Пусть Q ( х , у ) есть формула, релятивизирует P в L , т.е. все кванторы в Р ограничены L . Q - гораздо более сложная формула, чем P , но это все же конечная формула, и поскольку P было отображением над L , Q должно быть отображением над V ; Таким образом , мы можем применить замену в V в Q . Итак { y | y ∈ L и существует x ∈ S такой, что P ( x , y ) выполняется в L } = { y | существует й ∈ S такие , что Q ( х , у )} есть множество в V и подкласс L . Снова используя аксиому замены в V , мы можем показать, что должно быть такое α , что это множество является подмножеством L _α ∈ L _{α +1} . Тогда можно использовать аксиому разделения в L , чтобы закончить показывая , что она является элементом L .

• Аксиома набора мощности : для любого набора x существует набор y , такой, что элементы y являются в точности подмножествами x .

В общем, некоторые подмножества множества в L не будут в L . Таким образом , весь набор мощности множества в L , как правило , не может быть в L . Что нам нужно здесь , чтобы показать , что пересечение множества мощности с L находится в L . Используйте замену в V, чтобы показать, что существует α такое, что пересечение является подмножеством L _α . Тогда пересечение есть { z | z ∈ L _α и z является подмножеством x } ∈ L _{α +1} . Таким образом, требуемое множество в L .

• Аксиома выбора : данный набор x взаимно непересекающихся непустых множеств, есть набор y (набор выбора для x ), содержащий ровно один элемент из каждого члена x .

Можно показать, что существует определимая упорядоченность L, определение которой работает точно так же в самом L. Таким образом , каждый выбирает наименьший элемент каждого члена х , чтобы сформировать у с помощью аксиомы объединения и разделения в L .

Обратите внимание , что доказательство того, что L является моделью ZFC только требует , чтобы V быть моделью ZF, т.е. мы не предполагаем , что аксиома имеет место в V .

L является абсолютным и минимальным

Если W является любой стандартной моделью ZF разделяя те же порядковые , как V , то L определено в W является такой же , как L , определенного в V . В частности, L _α одно и то же в W и V для любого ординала α . Те же формулы и параметры в Def ( L _α ) создают те же конструктивные множества в L _{α +1} .

Кроме того, поскольку L является подклассом V и аналогично L является подклассом W , L - это наименьший класс, содержащий все ординалы, который является стандартной моделью ZF. Действительно, L является пересечением всех таких классов.

Если существует множество W в V , которая является стандартной моделью из ZF, а порядковое κ есть множество ординалов , которые происходят в W , то L _κ является L из W . Если существует набор, который является стандартной моделью ZF, то наименьшим из таких наборов является L _κ . Этот набор называется минимальной моделью ZFC. Используя нисходящую теорему Левенгейма – Сколема , можно показать, что минимальная модель (если она существует) является счетным множеством.

Конечно, любая непротиворечивая теория должна иметь модель, поэтому даже в минимальной модели теории множеств есть множества, которые являются моделями ZF (при условии, что ZF непротиворечива). Однако эти установленные модели нестандартны. В частности, они не используют нормальное отношение элементов и не имеют достаточного обоснования.

Поскольку и L для L, и V для L являются действительными L, а L для L _κ и V для L _κ являются действительными L _κ , мы получаем, что V = L истинно в L и в любом L _κ, что это модель фирмы ZF. Однако V = L не выполняется ни в какой другой стандартной модели ZF.

L и большие кардиналы

Так как Ord ⊂ L ⊆ V , свойство порядковых , которые зависят от отсутствия функции или другой структуры (т.е. Π ₁ ^ZF формула) сохраняется при переходе вниз от V до L . Следовательно , начальные порядковые кардиналов остаются начальными в L . Регулярные порядковые остаются регулярными в L . Слабые предельные кардиналы становятся сильными предельными кардиналами в L , так как обобщенная гипотеза континуума имеет в L . Слабо недоступные кардиналы становятся сильно недоступными. Слабо Мало кардиналов становится сильно Мало. И в более общем случае , любой большой кардинальное свойство слабее 0 ^# (см список больших кардинальных свойств ) будут сохранены в L .

Тем не менее, 0 ^# ложна в L даже если оно истинно в V . Таким образом, все большие кардиналы, существование которых подразумевает 0 ^#, перестают обладать этими большими кардинальными свойствами, но сохраняют свойства более слабые, чем 0 #, которыми они также обладают. Например, измеримые кардиналы перестают быть измеримы , но остаются в Мало L .

Если 0 ^# имеет место в V , то существует замкнутый неограничена класс ординалов , которые являются неразличимыми в L . В то время как некоторые из них даже не начальные порядковые в V , они имеют все большие кардинальные свойства слабее , чем 0 ^# в L . Кроме того, любая строго возрастающая функция класса из класса неразличимых к себе может быть продлена в уникальном пути к элементарному вложению из L в L . Это дает L красивую структуру повторяющихся сегментов.

L можно хорошо упорядочить

Существуют различные способы хорошо заказа L . Некоторые из них связаны с «тонкой структурой» L , которая была впервые описана Рональдом Бьорном Йенсеном в его статье 1972 года, озаглавленной «Тонкая структура конструируемой иерархии». Вместо объяснения тонкой структуры мы дадим схему того, как L может быть хорошо упорядочен, используя только определение, данное выше.

Предположим, что x и y - два разных набора в L, и мы хотим определить, x < y или x > y . Если x впервые появляется в L _{α +1,} а y сначала появляется в L _{β +1} и β отличается от α , то пусть x < y тогда и только тогда, когда α < β . В дальнейшем считаем, что β = α .

На этапе L _{α +1} = Def ( L _α ) используются формулы с параметрами из L _α для определения наборов x и y . Если не учитывать (на данный момент) параметры, формулам можно присвоить стандартную гёделевскую нумерацию натуральными числами. Если Φ - это формула с наименьшим гёделевским числом, которое можно использовать для определения x , а Ψ - это формула с наименьшим гёделевским числом, которое может использоваться для определения y , а Ψ отличается от Φ , то пусть x < y, если и только если Φ < Ψ в гёделевской нумерации. В дальнейшем считаем, что Ψ = Φ .

Предположим, что Φ использует n параметров из L _α . Предположим, что z ₁ , ..., z _n - это последовательность параметров, которые можно использовать с Φ для определения x , а w ₁ , ..., w _n делает то же самое для y . Тогда пусть x < y тогда и только тогда, когда либо z _n < w _n, либо ( z _n = w _n и z _{n - 1} < w _{n - 1} ), либо (z _n = w _n и z _{n - 1} = w _{n - 1} и z _{n - 2} < w _{n - 2} ) и т. д. Это называется обратным лексикографическим порядком ; если есть несколько последовательностей параметров, которые определяют один из наборов, мы выбираем наименьший из них в этом порядке. Понятно, что возможные значения каждого параметра упорядочены в соответствии с ограничением упорядочения L до L _α , поэтому это определение включает трансфинитную рекурсию по α .

Упорядоченность значений отдельных параметров обеспечивается индуктивной гипотезой трансфинитной индукции. Значения n наборов параметров хорошо упорядочены при заказе продукта. Формулы с параметрами хорошо упорядочены по упорядоченной сумме (по числам Гёделя) упорядоченных состояний. И L хорошо упорядочен упорядоченной суммой (индексированной α ) порядков на L _{α +1} .

Обратите внимание, что этот хороший порядок может быть определен в самом L с помощью формулы теории множеств без параметров, только со свободными переменными x и y . И эта формула дает одно и то же значение истинности независимо от того, оценивается ли она в L , V или W (какая-то другая стандартная модель ZF с такими же порядковыми номерами), и мы будем предполагать, что формула неверна, если x или y не входят в L .

Хорошо известно, что аксиома выбора эквивалентна способности хорошо упорядочить каждый набор. Возможность правильно упорядочить соответствующий класс V (как мы сделали здесь с L ) эквивалентна аксиоме глобального выбора , которая более действенна, чем обычная аксиома выбора, поскольку она также охватывает собственные классы непустых множеств.

L имеет принцип отражения

Доказательство , что аксиома разделения , аксиома замены и аксиома выбора удержания в L требует (по крайней мере , как показано выше) использование принципа отражения для L . Здесь мы описываем такой принцип.

Индукция по п < ω , мы можем использовать ZF в V , чтобы доказать , что для любого порядкового & alpha ; , есть порядковое β > α такое , что для любого предложения P ( г ₁ , ..., г _к ) с г ₁ ,. .., z _k в L _β и содержащий менее n символов (считая постоянный символ для элемента L _β как один символ), мы получаем, что P ( z ₁ , ..., z _k ) выполняется в L _β, если и только если он держит в L .

Гипотеза обобщенного континуума верна в L

Пусть , и пусть Т быть любым построимо подмножество S . Тогда существует некоторый β с , значит , для некоторой формулы Φ и некоторый взятый из . По нисходящей теореме Левенгейма – Сколема и коллапсу Мостовского должно существовать некоторое транзитивное множество K, содержащее и некоторое , и имеющее ту же теорию первого порядка, что и с замененным ; и этот K будет иметь тот же кардинал, что и . Поскольку верно в , то оно верно и в K , поэтому для некоторого γ, имеющего тот же кардинал, что и α . А потому и есть та же теория. Так что на самом деле T находится внутри . ${\ displaystyle S \ in L _ {\ alpha}}$${\ displaystyle T \ in L _ {\ beta +1}}$${\ displaystyle T = \ {x \ in L _ {\ beta}: x \ in S \ wedge \ Phi (x, z_ {i}) \} = \ {x \ in S: \ Phi (x, z_ {i }) \}}$${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle L _ {\ beta}}$${\ displaystyle L _ {\ alpha}}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle L _ {\ beta}}$${\ displaystyle w_ {i}}$${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle L _ {\ alpha}}$${\ Displaystyle V = L}$${\ displaystyle L _ {\ beta}}$${\ Displaystyle К = L _ {\ gamma}}$${\ displaystyle T = \ {x \ in L _ {\ beta}: x \ in S \ wedge \ Phi (x, z_ {i}) \} = \ {x \ in L _ {\ gamma}: x \ in S \ клин \ Phi (x, w_ {i}) \}}$${\ displaystyle L _ {\ beta}}$${\ displaystyle L _ {\ gamma}}$${\ displaystyle L _ {\ gamma +1}}$

Таким образом, все конструктивные подмножества бесконечного множества S имеют ранги (не более чем) с тем же кардиналом κ, что и ранг S ; отсюда следует , что если δ является начальным порядковым для каппа ⁺ , а затем служит в качестве «силового набора» из S в L . Таким образом это «силовой набор» . А это, в свою очередь, означает, что «силовой набор» S имеет кардинальное значение не более || δ ||. Если предположить, что сама S имеет кардинал κ , тогда «набор мощности» должен иметь кардинал в точности κ ⁺ . Но это именно обобщенный континуум гипотеза релятивизирована к L . ${\ Displaystyle L \ cap {\ mathcal {P}} (S) \ substeq L _ {\ delta}}$${\ Displaystyle L \ cap {\ mathcal {P}} (S) \ in L _ {\ delta +1}}$

Конструируемые множества определяются из ординалов

Существует формула теории множеств, которая выражает идею, что X = L _α . В нем есть только свободные переменные для X и α . Используя это, мы можем расширить определение каждого конструктивного множества. Если s ∈ L _{α +1} , то s = { y | y ∈ L _α и Φ ( y , z ₁ , ..., z _n ) выполняется в ( L _α , ∈)} для некоторой формулы Φ и некоторых z ₁ , ..., z _n в L _α . Это эквивалентно тому, что: для всех y , y ∈ s тогда и только тогда [существует X такое, что X = L _α и y ∈ X и Ψ ( X , y , z ₁ , ..., z _n )] где Ψ ( X , ...) является результатом ограничения каждого квантора в Ф (...) для X . Заметим, что каждый z _k ∈ L _{β +1} для некоторого β < α . Объедините формулы для z с формулой для s и примените экзистенциальные кванторы к z снаружи, и вы получите формулу, которая определяет конструктивное множество s, используя только порядковые числа α, которые появляются в выражениях типа X = L _{α в} качестве параметров.

Пример: множество {5, ω } конструктивно. Это единственный набор s, который удовлетворяет формуле:

где это сокращение от: ${\ displaystyle Ord (а)}$

Фактически, даже эта сложная формула была упрощена по сравнению с инструкциями, приведенными в первом абзаце. Но суть остается в силе: существует формула теории множеств, которая верна только для желаемого конструктивного множества s и содержит параметры только для ординалов.

Относительная конструктивность

Иногда желательно найти модель теории множеств, более узкую, как L , но включающую или находящуюся под влиянием множества, которое невозможно построить. Это порождает концепцию относительной конструктивности, из которой существует две разновидности, обозначаемые L ( A ) и L [ A ].

Класс L ( A ) для неконструируемого множества A является пересечением всех классов, которые являются стандартными моделями теории множеств и содержат A и все ординалы.

L ( A ) определяется трансфинитной рекурсией следующим образом:

• L ₀ ( A ) = наименьшее транзитивное множество, содержащее A в качестве элемента, то есть транзитивное замыкание { A }.
• L _{α +1} ( A ) = Def ( L _α ( A ))
• Если λ - предельный ординал, то .${\ Displaystyle L _ {\ lambda} (A) = \ bigcup _ {\ alpha <\ lambda} L _ {\ alpha} (A) \!}$
• ${\ Displaystyle L (A) = \ bigcup _ {\ alpha} L _ {\ alpha} (A) \!}$.

Если L ( A ) содержит хороший порядок транзитивного замыкания A, то он может быть расширен до хорошего порядка L ( A ). В противном случае выбранная аксиома потерпит неудачу в L ( A ).

Типичным примером является наименьшая модель, содержащая все действительные числа, которая широко используется в современной описательной теории множеств . ${\ Displaystyle L (\ mathbb {R})}$

Класс L [ A ] - это класс множеств, на построение которых влияет A , где A может быть (предположительно неконструктивным) множеством или собственным классом. В определении этого класса используется Def _A ( X ), который аналогичен Def ( X ), за исключением того, что вместо оценки истинности формул Φ в модели ( X , ∈) используется модель ( X , ∈, A ) где A - унарный предикат. Предназначена интерпретация А ( у ) есть у ∈ . Тогда из определения L [ ] точно , что из L только с Def заменен Def _A .

L [ A ] всегда является моделью аксиомы выбора. Даже если A является набором, A не обязательно сам является членом L [ A ], хотя всегда так, если A является набором ординалов.

Наборы в L ( A ) или L [ ], как правило , на самом деле не конструктивны, и свойства этих моделей могут быть совершенно отличными от свойств L самого.

Смотрите также

• Аксиома конструктивности
• Утверждения верны в L
• Принцип отражения
• Аксиоматическая теория множеств
• Переходный набор
• L (R)
• Порядковый определяемый

Примечания

использованная литература

• Барвайз, Джон (1975). Допустимые множества и структуры . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-07451-1.
• Девлин, Кейт Дж. (1984). Конструктивность . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 0-387-13258-9.
• Фельгнер, Ульрих (1971). Модели теории ZF-множеств . Конспект лекций по математике. Springer-Verlag. ISBN 3-540-05591-6.
• Гёдель, Курт (1938). «Непротиворечивость аксиомы выбора и гипотезы обобщенного континуума» . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . Национальная академия наук. 24 (12): 556–557. Bibcode : 1938PNAS ... 24..556G . DOI : 10.1073 / pnas.24.12.556 . JSTOR  87239 . PMC  1077160 . PMID  16577857 .
• Гёдель, Курт (1940). Непротиворечивость гипотезы континуума . Анналы математических исследований. 3 . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-07927-1. Руководство по ремонту  0002514 .
• Jech, Томас (2002). Теория множеств . Монографии Спрингера по математике (изд. 3-го тысячелетия). Springer. ISBN 3-540-44085-2.