Обратная функция - Inverse function
Функция |
---|
х ↦ е ( х ) |
Примеры доменов и кодоменов |
Классы / свойства |
Конструкции |
Обобщения |
В математике , обратная функция (или анти-функция ) является функцией , которая «переворачивает» другая функция: если функция F подается на вход х дает результат у , то , применяя свой обратную функцию г к у дает результат х , т.е. g ( y ) = x тогда и только тогда, когда f ( x ) = y . Функция, обратная f , также обозначается как .
В качестве примера рассмотрим действительную функцию действительной переменной, заданную формулой f ( x ) = 5 x - 7 . Думая об этом как о пошаговой процедуре (а именно, возьмите число x , умножьте его на 5, а затем вычтите 7 из результата), чтобы отменить это и получить x обратно из некоторого выходного значения, скажем y , мы бы отменили каждый шаг в обратном порядке. В данном случае это означает прибавление 7 к y , а затем разделение результата на 5. В функциональной записи эта обратная функция будет иметь вид,
При y = 5 x - 7 получаем, что f ( x ) = y и g ( y ) = x .
Не все функции имеют обратные функции. Те, что есть, называются обратимыми . Чтобы функция f : X → Y имела обратную, она должна обладать тем свойством, что для каждого y в Y существует ровно один x в X такой, что f ( x ) = y . Это свойство гарантирует, что функция g : Y → X существует с необходимой связью с f .
Определения
Пусть F является функцией которого домен является множество X , и чей кообласть является множество Y . Тогда F является обратимым , если существует функция г с областью Y и областью значений X , со свойством:
Если е обратят, то функция г является уникальным , что означает , что существует ровно одна функции г , удовлетворяющий это свойство. Более того, также следует, что диапазоны значений g и f равны их соответствующим доменам. Функция г называется на обратное F , и, как правило , обозначают как F -1 , нотации , введенной Джон Фредерик Вильям Гершель в 1813 году.
Иначе говоря, функция, рассматриваемая как бинарное отношение , имеет обратное тогда и только тогда, когда обратное отношение является функцией в области Y , и в этом случае обратное отношение является обратной функцией.
Не все функции имеют инверсию. Чтобы функция имела обратную, каждый элемент y ∈ Y должен соответствовать не более чем одному x ∈ X ; функция f с этим свойством называется взаимно однозначной или инъекцией . Если F -1 , чтобы быть функцией от Y , то каждый элемент у ∈ Y должен соответствовать некоторым х ∈ Х . Функции с этим свойством называются сюръекциями . Это свойство выполняется по определению, если Y является изображением f , но может не выполняться в более общем контексте. Чтобы быть обратимой, функция должна быть как инъекцией, так и сюръекцией. Такие функции называются биекциями . Обратным инжекционного F : X → Y , который не является взаимно однозначное соответствие (то есть, не сюръекция), это лишь частичная функция на Y , что означает , что для некоторого у ∈ Y , F -1 ( у ) не определено. Если функция f обратима, то и она, и обратная к ней функция f −1 являются биекциями.
Другое соглашение используется в определении функций, называемое "теоретико-множественным" или "графическим" определением с использованием упорядоченных пар , что делает кодобласть и образ функции одинаковыми. Согласно этому соглашению, все функции сюръективны, поэтому биективность и инъективность одинаковы. Авторы, использующие это соглашение, могут использовать формулировку, что функция обратима тогда и только тогда, когда это инъекция. Эти два соглашения не должны вызывать путаницу, если помнить, что в этом альтернативном соглашении кодомен функции всегда принимается как изображение функции.
Пример: функции возведения в квадрат и квадратного корня
Функция f : R → [0, ∞), заданная формулой f ( x ) = x 2 , не является инъективной, поскольку каждый возможный результат y (кроме 0) соответствует двум различным начальным точкам в X - одной положительной и одной отрицательной, и поэтому эта функция необратима. С помощью этого типа функции невозможно вывести (уникальный) ввод из его вывода. Такая функция называется неинъективной или, в некоторых приложениях, с потерей информации.
Если область определения функции ограничена неотрицательными действительными числами, то есть функция переопределяется как f : [0, ∞) → [0, ∞) с тем же правилом, что и раньше, то функция является биективной и, следовательно, обратимый. Обратная функция здесь называется (положительной) функцией квадратного корня .
Инверсии и композиция
Если f - обратимая функция с областью определения X и областью области Y , то
- , для каждого ; и для каждого .
Используя композицию функций , мы можем переписать этот оператор следующим образом:
- а также
где id X - функция идентичности на множестве X ; то есть функция, которая не изменяет свой аргумент. В теории категорий это утверждение используется как определение обратного морфизма .
Рассмотрение композиции функций помогает понять обозначение f −1 . Повторное составление функции с самой собой называется итерацией . Если f применяется n раз, начиная со значения x , то это записывается как f n ( x ) ; поэтому f 2 ( x ) = f ( f ( x )) и т. д. Поскольку f −1 ( f ( x )) = x , составление f −1 и f n дает f n −1 , «отменяя» эффект одного применение ф .
Обозначение
В то время как обозначение F -1 ( х ) может быть неправильно, ( е ( х )) -1 конечно же обозначает мультипликативный обратный из ф ( х ) и не имеет ничего общего с обратной функции F .
В соответствии с общими обозначениями, некоторые английские авторы используют такие выражения, как sin −1 ( x ), для обозначения обратной функции синуса, применяемой к x (на самом деле частично обратной ; см. Ниже). Другие авторы считают, что это можно спутать с обозначением мультипликативной обратной функции sin ( x ) , которую можно обозначить как (sin ( x )) −1 . Чтобы избежать путаницы, обратная тригонометрическая функция часто обозначается приставкой « arc » (от латинского arcus ). Например, функция, обратная синусу, обычно называется функцией арксинуса и записывается как arcsin ( x ) . Точно так же обратная гиперболическая функция обозначается префиксом « ar » (латинское ārea ). Например, функция , обратная гиперболическому синусу, обычно записывается как arsinh ( x ) . Другие обратные специальные функции иногда имеют префикс «inv», если следует избегать неоднозначности обозначения f −1 .
Характеристики
Поскольку функция - это особый тип бинарного отношения , многие свойства обратной функции соответствуют свойствам обратных отношений .
Уникальность
Если обратная функция существует для данной функции f , то она уникальна. Это следует из того, что обратная функция должна быть обратным соотношением, которое полностью определяется функцией f .
Симметрия
Существует симметрия между функцией и ее обратной. В частности, если F является обратимой функцией с областью X и областью значений Y , то его обратная F -1 есть домен Y и изображение X , а обратная F -1 является исходной функцией F . В символах для функций f : X → Y и f −1 : Y → X ,
- а также
Это утверждение является следствием импликации, что для обратимости f оно должно быть биективным. Инволютивная характер обратного может быть сжато выражена
Обратный к композиции функций дается формулой
Обратите внимание, что порядок g и f был изменен на обратный; чтобы отменить f, а затем g , мы должны сначала отменить g , а затем отменить f .
Например, пусть f ( x ) = 3 x и g ( x ) = x + 5 . Тогда композиция g ∘ f - это функция, которая сначала умножается на три, а затем складывает пять,
Чтобы обратить этот процесс вспять, мы должны сначала вычесть пять, а затем разделить на три,
Это композиция ( f −1 ∘ g −1 ) ( x ) .
Самообращение
Если X - это множество, то функция идентичности на X является собственной инверсией:
В целом, функция F : X → X равна его собственной обратной, если и только если композиция е ∘ е равно ид X . Такая функция называется инволюцией .
Инверсии в исчислении
Исчисление с одной переменной в первую очередь связано с функциями, которые отображают действительные числа в действительные числа. Такие функции часто определяются с помощью формул , например:
Сюръективная функция f от действительных чисел к действительным числам имеет обратную, если она взаимно однозначна. То есть график y = f ( x ) имеет для каждого возможного значения y только одно соответствующее значение x и, таким образом, проходит проверку горизонтальной линии .
В следующей таблице показаны несколько стандартных функций и их обратные:
Функция f ( x ) Обратная f −1 ( y ) Примечания х + а у - а а - х а - у mx у/м м ≠ 0 1/Икс(т.е. x −1 ) 1/у(т.е. y −1 ) х , у ≠ 0 х 2 √ y (т.е. y 1/2 ) х , у ≥ 0 только х 3 3 √ y (т.е. y 1/3 ) нет ограничений на x и y х р p √ y (т.е. y 1 / p ) x , y ≥ 0, если p четно; целое число p > 0 2 х фунт у у > 0 e x ln y у > 0 10 х журнал y у > 0 а х войти в у у > 0 и а > 0 х е х W ( г ) x ≥ −1 и y ≥ −1 / e тригонометрические функции обратные тригонометрические функции различные ограничения (см. таблицу ниже) гиперболические функции обратные гиперболические функции различные ограничения
Формула обратного
Один из подходов к поиску формулы для f −1 , если она существует, состоит в том, чтобы решить уравнение y = f ( x ) относительно x . Например, если f - функция
тогда мы должны решить уравнение y = (2 x + 8) 3 относительно x :
Таким образом, обратная функция f −1 задается формулой
Иногда обратная функция не может быть выражена формулой с конечным числом членов. Например, если f - функция
тогда f является биекцией и, следовательно, обладает обратной функцией f −1 . Формула для этого обратного имеет бесконечное число слагаемых:
График обратного
Если f обратима, то график функции
совпадает с графиком уравнения
Это идентично уравнению y = f ( x ), которое определяет график f , за исключением того, что роли x и y поменялись местами. Таким образом, график f −1 может быть получен из графика f путем переключения положений осей x и y . Это эквивалентно отображению графика поперек линии y = x .
Обратные и производные
Непрерывная функция F обратит на его диапазоне (изображениях) , если и только если оно либо строго увеличением или уменьшение (без локальных максимумов или минимумов ). Например, функция
обратима, поскольку производная f ′ ( x ) = 3 x 2 + 1 всегда положительна.
Если функция F является дифференцируемой на интервале I и F ' ( х ) ≠ 0 для каждого х ∈ I , то обратная F -1 дифференцируема на F ( I ) . Если y = f ( x ) , производная обратного дается теоремой об обратной функции ,
Используя обозначения Лейбница, приведенная выше формула может быть записана как
Этот результат следует из цепного правила (см. Статью об обратных функциях и дифференцировании ).
Теорема об обратной функции может быть обобщена на функции многих переменных. В частности, дифференцируемый многомерная функция F : R п → R п обратит в окрестностях точки р при условии, что матрица Якоби из F на р является обратимой . В этом случае якобиан функции f −1 в точке f ( p ) является матрицей, обратной якобиану функции f в точке p .
Примеры из реального мира
- Пусть f будет функцией, которая преобразует температуру в градусах Цельсия в температуру в градусах Фаренгейта ,
- Предположим, f назначает каждому ребенку в семье год его рождения. Обратная функция выведет, какой ребенок родился в данном году. Однако, если в семье есть дети, родившиеся в одном году (например, двойня или тройня и т. Д.), То выходные данные не могут быть известны, если входными данными является общий год рождения. Также, если указан год, в котором не родился ни один ребенок, имя ребенка не может быть названо. Но если каждый ребенок родился в отдельном году, и если мы ограничим внимание тремя годами, в которые родился ребенок, то у нас действительно есть обратная функция. Например,
- Пусть R будет функцией, которая приводит к увеличению некоторой величины на x процентов, а F - функцией, вызывающей падение на x процентов. Применительно к 100 долларам с x = 10% мы обнаруживаем, что применение первой функции, за которой следует вторая, не восстанавливает исходное значение 100 долларов, демонстрируя тот факт, что, несмотря на внешний вид, эти две функции не являются обратными друг другу.
- Формула для расчета pH раствора: pH = -log10 [H +]. Во многих случаях нам нужно определить концентрацию кислоты на основе измерения pH. Используется обратная функция [H +] = 10 ^ -pH.
Обобщения
Частичные обратные
Даже если функция F не является взаимно однозначным, то можно определить частичный обратный из F путем ограничивая область. Например, функция
не взаимно однозначно, так как x 2 = (- x ) 2 . Однако функция становится взаимно однозначной, если мы ограничимся областью x ≥ 0 , и в этом случае
(Если вместо этого мы ограничимся областью x ≤ 0 , тогда обратная величина будет отрицательной величиной квадратного корня из y .) В качестве альтернативы, нет необходимости ограничивать область, если мы довольны тем, что обратная функция является многозначной функцией :
Иногда это многозначное обратное значение называется полным обратным к f , а части (например, √ x и - √ x ) - ветвями . Наиболее важная ветвь многозначной функции (например , положительный квадратный корень) называется главной ветвью , и его значение при г называется главное значением из F -1 ( у ) .
Для непрерывной функции на вещественной прямой требуется одна ветвь между каждой парой локальных экстремумов . Например, обратная кубической функции с локальным максимумом и локальным минимумом имеет три ветви (см. Рисунок рядом).
Эти соображения особенно важны для определения обратных тригонометрических функций . Например, функция синуса не является взаимно однозначной, поскольку
для каждого действительного x (и в более общем случае sin ( x + 2 π n ) = sin ( x ) для каждого целого числа n ). Однако синус взаимно однозначен на интервале [-π/2, π/2] , а соответствующий частичный обратный называется арксинусом . Это считается главной ветвью обратного синуса, поэтому главное значение обратного синуса всегда находится между -π/2 а также π/2. В следующей таблице описана основная ветвь каждой обратной тригонометрической функции:
функция Диапазон обычной основной стоимости Arcsin -π/2≤ грех −1 ( х ) ≤π/2 arccos 0 ≤ cos −1 ( x ) ≤ π арктан -π/2<tan −1 ( x ) <π/2 арккот 0 <cot −1 ( x ) < π arcsec 0 ≤ сек −1 ( x ) ≤ π arccsc -π/2≤ csc −1 ( x ) ≤π/2
Левый и правый обратные
Левый и правый инверсии не обязательно одинаковы. Если g является левым обратным для f , то g может быть, а может и не быть правым обратным для f ; и если g является правым обратным для f , то g не обязательно является левым обратным для f . Например, пусть f : R → [0, ∞) обозначает отображение в квадрат, такое, что f ( x ) = x 2 для всех x в R , и пусть g : [0, ∞) → R обозначает отображение квадратного корня, такое, что g ( x ) = √ x для всех x ≥ 0 . Тогда f ( g ( x )) = x для всех x в [0, ∞) ; то есть g является правым обратным к f . Однако g не является левым обратным к f , так как, например, g ( f (−1)) = 1 ≠ −1 .
Левый обратный
Если F : X → Y , A левый обратный для F (или втягивания из F ) является функцией г : Y → X такие , что композиция п с г слева дает функцию тождества:
То есть функция g удовлетворяет правилу
- Если , то
Таким образом, g должен быть равен обратному значению f на изображении f , но может принимать любые значения для элементов Y не на изображении.
Функция f инъективна тогда и только тогда, когда она имеет левый обратный или является пустой функцией.
- Если g - левый обратный к f , то f инъективен. Если f (x) = f (y) , то .
- Если f: X → Y инъективно, f либо пустая функция ( X = ∅ ), либо имеет левый обратный g: Y → X ( X ≠ ∅) , который можно построить следующим образом: для всех y ∈ Y , если y находится в образе f (существует x ∈ X такое, что f (x) = y ), пусть g (y) = x ( x уникален, поскольку f инъективен); в противном случае, пусть г (у) произвольный элемент X . Для всех x ∈ X , f (x) находится в образе f , поэтому g (f (x)) = x согласно вышеизложенному, поэтому g является левым обратным к f .
В классической математике каждая инъективная функция f с непустой областью обязательно имеет левую обратную; однако в конструктивной математике это может потерпеть неудачу . Например, левая инверсия включения {0,1} → R двухэлементного множества в вещественные числа нарушает неразложимость , давая втягивание вещественной прямой множеству {0,1} .
Право обратное
Правый обратный для F (или секции из F ) является функцией ч : Y → X таким образом, что
То есть функция h удовлетворяет правилу
- Если , то
Таким образом, h ( y ) может быть любым из элементов X, которые отображаются в y при f .
Функция f имеет правую обратную тогда и только тогда, когда она сюръективна (хотя построение такой обратной в общем случае требует аксиомы выбора ).
- Если h - правый обратный к f , то f сюръективен. Для всех есть такое что .
- Если f сюръективен, f имеет правый обратный h , который можно построить следующим образом: для всех существует хотя бы один такой, что (поскольку f сюръективен), поэтому мы выбираем одно значение h (y) .
Двусторонние перевернутые
Обратный, который является как левым, так и правым обратным ( двусторонний обратный ), если он существует, должен быть уникальным. Фактически, если функция имеет левый обратный и правый обратный, они оба являются одним и тем же двусторонним обратным, поэтому его можно назвать обратным .
- Если есть левый обратный и правый обратный , для всех , .
Функция имеет двустороннюю инверсию тогда и только тогда, когда она биективна.
- Биективная функция f инъективна, поэтому у нее есть левая обратная функция (если f - пустая функция, это ее собственная левая обратная функция ). f сюръективен, поэтому имеет правый обратный. Согласно вышесказанному, левая и правая инверсия одинаковы.
- Если f имеет двусторонний обратный g , то g является левым обратным и правым обратным к f , поэтому f инъективен и сюръективен.
Прообразы
Если f : X → Y - любая функция (не обязательно обратимая), прообраз (или прообраз ) элемента y ∈ Y - это множество всех элементов X, которые отображаются в y :
Прообраз у можно рассматривать как изображения от у по (многозначной) полной обратной функции F .
Аналогичным образом , если S любое подмножество из Y , прообраз S , обозначается , есть множество всех элементов X , которые отображаются на S :
Например, возьмем функцию f : R → R , где f : x ↦ x 2 . Эта функция не является обратимой по причинам, обсуждаемым в § Пример: функции возведения в квадрат и извлечения квадратного корня . Тем не менее, прообразы могут быть определены для подмножеств кодомена:
Прообраз одного элемента у ∈ Y - это одноэлементные множества { у } - иногда называют волокна из у . Когда Y представляет собой множество действительных чисел, он является общим для обозначения F -1 ({ у }) в качестве установленного уровня .
Смотрите также
- Теорема обращения Лагранжа дает разложение в ряд Тейлора обратной функции аналитической функции
- Интеграл от обратных функций
- Обратное преобразование Фурье
- Обратимые вычисления
Примечания
использованная литература
Библиография
- Бриггс, Уильям; Кокран, Лайл (2011). Исчисление / Ранняя трансцендентальная единичная переменная . Эддисон-Уэсли . ISBN 978-0-321-66414-3.
- Девлин, Кейт Дж. (2004). Множества, функции и логика / Введение в абстрактную математику (3-е изд.). Чепмен и Холл / CRC Mathematics . ISBN 978-1-58488-449-1.
- Флетчер, Питер; Пэтти, К. Уэйн (1988). Основы высшей математики . PWS-Kent. ISBN 0-87150-164-3.
- Lay, Стивен Р. (2006). Анализ / С введением в доказательство (4-е изд.). Пирсон / Прентис Холл . ISBN 978-0-13-148101-5.
- Смит, Дуглас; Эгген, Морис; Сент-Андре, Ричард (2006). Переход к высшей математике (6-е изд.). Томпсон Брукс / Коул . ISBN 978-0-534-39900-9.
- Томас-младший, Джордж Бринтон (1972). Исчисление и аналитическая геометрия. Часть 1: Функции одной переменной и аналитической геометрии (Альтернативная редакция). Эддисон-Уэсли .
- Вольф, Роберт С. (1998). Доказательство, логика и гипотеза / Набор инструментов математика . WH Freeman and Co. ISBN 978-0-7167-3050-7.
дальнейшее чтение
- Амазиго, Джон С.; Рубенфельд, Лестер А. (1980). «Неявные функции; якобианы; обратные функции». Расширенное исчисление и его приложения в инженерных и физических науках . Нью-Йорк: Вили. стр. 103 -120. ISBN 0-471-04934-4.
- Бинмор, Кен Г. (1983). «Обратные функции». Исчисление . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета . С. 161–197. ISBN 0-521-28952-1.
- Спивак, Майкл (1994). Исчисление (3-е изд.). Опубликовать или погибнуть. ISBN 0-914098-89-6.
- Стюарт, Джеймс (2002). Исчисление (5 изд.). Брукс Коул . ISBN 978-0-534-39339-7.
внешние ссылки
- "Обратная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]