Прерывистая линейная карта - Discontinuous linear map

В математике , линейные карты образуют важный класс «простые» функции , сохраняющих алгебраическую структуру линейных пространств и часто используются в качестве приближения к более общим функциям (см линейного приближения ). Если задействованные пространства также являются топологическими пространствами (то есть топологическими векторными пространствами ), то имеет смысл спросить, все ли линейные отображения непрерывны . Оказывается , что для отображений , определенных на бесконечномерных мерных топологических векторных пространств (например, бесконечномерным нормированные пространства ), то ответ , как правило , нет: существуют разрывные линейные отображения . Если область определения завершена , это сложнее; существование таких отображений можно доказать, но доказательство опирается на выбранную аксиому и не дает явного примера.

Линейное отображение из конечномерного пространства всегда непрерывно

Пусть X и Y два нормированных пространств и е линейное отображение из X в Y . Если Х представляет конечномерен , выберем базис ( е 1 , е 2 , ..., е п ) в X , которые могут быть приняты , чтобы единичные векторы. Потом,

и так по неравенству треугольника ,

Сдача

и используя тот факт, что

для некоторого C > 0, которое следует из того факта, что любые две нормы в конечномерном пространстве эквивалентны , находим

Таким образом, является ограниченным линейным оператором и, следовательно, непрерывным. На самом деле, чтобы увидеть это, просто отметим , что е является линейным, и , следовательно , для некоторой универсальной константы K . Таким образом, для любого мы можем выбрать так, что ( и - нормированные шары вокруг и ), что дает непрерывность.

Если X бесконечномерно, это доказательство не удастся, поскольку нет гарантии, что супремум M существует. Если Y - нулевое пространство {0}, единственное отображение между X и Y - это нулевое отображение, которое тривиально непрерывно. Во всех остальных случаях, когда X является бесконечномерным и Y не нулевое пространство, можно найти дискретную карту из X в Y .

Конкретный пример

Примеры разрывных линейных отображений легко построить в неполных пространствах; на любой последовательности Коши линейно независимых векторов, не имеющей предела, существует такой линейный оператор , что величины неограниченно растут. В некотором смысле линейные операторы не являются непрерывными, потому что в пространстве есть «дыры».

Например, рассмотрим пространство X вещественнозначных гладких функций на интервале [0, 1] с равномерной нормой , т. Е.

Производное -при-а-точка на карте, задается

определенный на X и с действительными значениями, является линейным, но не непрерывным. Действительно, рассмотрим последовательность

для n ≥1. Эта последовательность сходится равномерно к постоянно нулевой функции, но

при n → ∞, вместо которого было бы справедливо для непрерывного отображения. Обратите внимание, что T вещественнозначен, и поэтому на самом деле является линейным функционалом на X (элементе алгебраического сопряженного пространства X * ). Линейное отображение XX, которое каждой функции сопоставляет ее производную, также разрывно. Обратите внимание, что хотя оператор производной не является непрерывным, он замкнут .

Важно то, что домен здесь не полный. Разрывные операторы на полных пространствах требуют немного больше работы.

Неконструктивный пример

Алгебраический базис для действительных чисел как векторного пространства над рациональными числами известен как базис Гамеля (обратите внимание, что некоторые авторы используют этот термин в более широком смысле для обозначения алгебраического базиса любого векторного пространства). Обратите внимание, что любые два несоизмеримых числа, например 1 и π, линейно независимы. Можно найти базис Гамеля, содержащий их, и определить отображение f из R в R так, чтобы f (π) = 0, f действовала как тождество на остальной части базиса Гамеля и продолжалась на все R по линейности. Пусть { r n } n - любая последовательность рациональных чисел, сходящаяся к π. Тогда lim n f ( r n ) = π, но f (π) = 0. По построению f линейна над Q (не над R ), но не непрерывна. Обратите внимание, что f также нельзя измерить ; аддитивная вещественная функция линейна тогда и только тогда , когда оно измеримо, так что для каждой такой функции есть множество Витали . Конструкция f опирается на аксиому выбора.

Этот пример может быть расширен до общей теоремы о существовании разрывных линейных отображений на любом бесконечномерном нормированном пространстве (пока область не тривиальна).

Общая теорема существования

Можно доказать, что разрывные линейные отображения существуют в более общем смысле, даже если пространство полно. Пусть Х и Y быть нормированные пространства над полем K , где K = R или K = C . Предположим, что X бесконечномерно и Y не является нулевым пространством. Мы найдем разрывное линейное отображение f из X в K , что будет означать существование разрывного линейного отображения g из X в Y, заданного формулой g ( x ) = f ( x ) y 0, где y 0 - произвольное ненулевое значение. вектор в Y .

Если X бесконечномерно, то показать существование линейного функционала, который не является непрерывным, сводится к построению неограниченного f . Для этого рассмотрим последовательность ( е п ) п ( п ≥ 1) линейно независимых векторов в X . Определять

для каждого п = 1, 2, ... Заполните эту последовательность линейно независимых векторов в векторном пространстве основу из X , и определить Т на других векторах в базисе равного нуля. Определенное таким образом T будет однозначно продолжаться до линейного отображения на X , и, поскольку оно явно не ограничено, оно не является непрерывным.

Обратите внимание, что, используя тот факт, что любой набор линейно независимых векторов может быть дополнен до базиса, мы неявно использовали аксиому выбора, которая была не нужна для конкретного примера в предыдущем разделе, кроме одной.

Роль аксиомы выбора

Как отмечалось выше, аксиома выбора (AC) используется в общей теореме существования разрывных линейных отображений. Фактически не существует конструктивных примеров разрывных линейных отображений с полной областью определения (например, банаховых пространств ). В анализе, который обычно практикуется работающими математиками, всегда используется аксиома выбора (это аксиома теории множеств ZFC ); таким образом, для аналитика все бесконечномерные топологические векторные пространства допускают разрывные линейные отображения.

С другой стороны, в 1970 году Роберт М. Соловея выставлены модели из теории множеств , в которой каждое множество действительных чисел измеримо. Это означает, что разрывных линейных действительных функций не существует. Ясно, что AC не держится в модели.

Результат Соловея показывает, что нет необходимости предполагать, что все бесконечномерные векторные пространства допускают разрывные линейные отображения, и есть школы анализа, которые придерживаются более конструктивистской точки зрения. Например, Х.Г. Гарнир в поисках так называемых «пространств сновидений» (топологических векторных пространств, на которых каждое линейное отображение в нормированное пространство непрерывно) был вынужден принять ZF + DC + BP (зависимый выбор - это ослабленная форма и свойство Бэра является отрицание сильного переменного тока) , как и его аксиомы доказывающего Garnir-Райт закрыло граф теоремы , которая состояние, между прочим, что любое линейное отображение из F-пространств на TVS непрерывно. Достигая крайности конструктивизма , существует теорема Цейтена , которая утверждает, что каждая функция непрерывна (это следует понимать в терминологии конструктивизма, согласно которой только представимые функции считаются функциями). Таких позиций придерживается лишь незначительное меньшинство работающих математиков.

В результате существование разрывных линейных отображений зависит от AC; с теорией множеств без AC согласуется отсутствие разрывных линейных отображений на полных пространствах. В частности, никакая конкретная конструкция, такая как производная, не может преуспеть в определении разрывного линейного отображения всюду на полном пространстве.

Закрытые операторы

Многие естественные линейные разрывные операторы являются замкнутыми , класс операторов, которые разделяют некоторые черты непрерывных операторов. Имеет смысл спросить, какие линейные операторы в данном пространстве замкнуты. Теорема о замкнутом графе утверждает, что всюду определенный замкнутый оператор во всей области является непрерывным, поэтому для получения разрывного замкнутого оператора необходимо разрешить операторы, которые определены не везде.

Чтобы быть более конкретным, пусть будет записана карта из в с доменом . Мы мало что потеряем, если заменим X закрытием . То есть, изучая не всюду определенные операторы, можно ограничиться плотно определенными операторами без потери общности.

Если граф из замкнуто в X × Y , мы называем Т закрытым . В противном случае, рассмотрим ее замыкание в X × Y . Если сам график некоторого оператора , называются закрывающимся , и называются замыкание в .

Таким образом, естественный вопрос о линейных операторах, которые не определены всюду, заключается в том, являются ли они замыкаемыми. Ответ: «не обязательно»; действительно, любое бесконечномерное нормированное пространство допускает незамкнутые линейные операторы. Как и в случае с разрывными операторами, рассмотренными выше, доказательство требует аксиомы выбора и, в общем, является неконструктивным, хотя, опять же, если X не является полным, существуют конструктивные примеры.

На самом деле, есть даже пример линейного оператора, график которого имеет замыкание все из X × Y . Такой оператор не закрывается. Пусть Х пространство полиномиальных функций из [0,1] , чтобы R и Y пространство полиномиальных функций из [2,3] , чтобы R . Они являются подпространствами C ([0,1]) и C ([2,3]) соответственно, и, следовательно, нормированными пространствами. Определите оператор T, который переводит полиномиальную функцию xp ( x ) на [0,1] в ту же функцию на [2,3]. Как следствие теоремы Стоуна – Вейерштрасса , график этого оператора плотен в X × Y , так что это дает своего рода максимально разрывное линейное отображение (не дающее нигде непрерывную функцию ). Обратите внимание, что X здесь не является полным, как и должно быть, когда существует такая конструктивная карта.

Воздействие на двойное пространство

Сопряженное пространство топологического векторного пространства есть совокупность непрерывных линейных отображений из пространства в основную область. Таким образом, неспособность некоторых линейных отображений быть непрерывными для бесконечномерных нормированных пространств означает, что для этих пространств необходимо различать алгебраическое двойственное пространство от непрерывного двойственного пространства, которое в таком случае является собственным подмножеством. Это иллюстрирует тот факт, что при анализе бесконечномерных пространств требуется дополнительная доза осторожности по сравнению с конечномерными.

За пределами нормированных пространств

Аргумент в пользу существования разрывных линейных отображений на нормированных пространствах может быть обобщен на все метризуемые топологические векторные пространства, особенно на все Фреше-пространства, но существуют бесконечномерные локально выпуклые топологические векторные пространства, в которых каждый функционал непрерывен. С другой стороны, теорема Хана – Банаха , применимая ко всем локально выпуклым пространствам, гарантирует существование многих непрерывных линейных функционалов и, следовательно, большого двойственного пространства. Фактически, каждому выпуклому множеству калибровка Минковского сопоставляет непрерывный линейный функционал . В результате пространства с меньшим количеством выпуклых множеств имеют меньше функционалов, а в худшем случае пространство может вообще не иметь функционалов, кроме нулевого функционала. Это так для пространств L p ( R , dx ) с 0 <  p  <1, из чего следует, что эти пространства невыпуклые. Отметим, что здесь указана мера Лебега на вещественной прямой. Существуют и другие пространства L p с 0 <  p  <1, которые действительно имеют нетривиальные двойственные пространства.

Другой такой пример - пространство действительных измеримых функций на единичном интервале с квазинормой, заданной формулой

Это нелокально выпуклое пространство имеет тривиальное сопряженное пространство.

Можно рассматривать даже более общие пространства. Например, существование гомоморфизма между полными сепарабельными метрическими группами также можно показать неконструктивно.

Заметки

Рекомендации

  • Константин Костара, Думитру Попа, Упражнения по функциональному анализу , Springer, 2003. ISBN  1-4020-1560-7 .
  • Шехтер, Эрик, Справочник по анализу и его основам , Academic Press, 1997. ISBN  0-12-622760-8 .