Степень трансцендентности - Transcendence degree

В абстрактной алгебре , то степень трансцендентности из расширения полого L / K некоторая довольно грубая мера «размера» расширения. В частности, оно определенно как самая большая мощность в качестве алгебраически независимое подмножество из L над K .

Подмножество S из L является базисом трансцендентности из L / K , если оно алгебраически независимо над K , и если , кроме того , L является алгебраическим расширением поля K ( S ) (поле , полученного присоединения элементов S к K ). Можно показать, что каждое расширение поля имеет основу трансцендентности и что все базы трансцендентности имеют одинаковую мощность; эта мощность равна степени трансцендентности расширения и обозначается trdeg _K  L или trdeg ( L / K ).

Если поле K не указано, степень трансцендентности поля L - это его степень относительно простого поля той же характеристики , т. Е. Q, если L имеет характеристику 0, и F _p, если L имеет характеристику p .

Расширение поля L / K является чисто трансцендентным, если существует подмножество S в L , алгебраически независимое над K и такое, что L = K ( S ).

Примеры

• Расширение является алгебраическим тогда и только тогда, когда его степень трансцендентности равна 0; пустое множество служит трансцендентности основе здесь.
• Поле рациональных функций от n переменных K ( x ₁ , ..., x _n ) является чисто трансцендентным расширением со степенью трансцендентности n над K ; мы можем, например, взять { x ₁ , ..., x _n } в качестве базы трансцендентности.
• В более общем смысле , степень трансцендентности поля функций L из с п - мерного алгебраического многообразия над полем К является п .
• Q ( √2 , е ) имеет степень трансцендентности 1 над Q , так как √2 является алгебраическим , а е является трансцендентным .
• Степень трансцендентности C или R над Q - это мощность континуума . (Это следует из того, что любой элемент имеет только счетное число алгебраических элементов над ним в Q , поскольку Q сам счетно.)
• Степень трансцендентности Q ( e , π ) над Q равна либо 1, либо 2; точный ответ неизвестен, поскольку неизвестно, являются ли e и π алгебраически независимыми.
• Если S является компактной римановой поверхностью , поле С ( S ) из мероморфных функций на S имеет степень трансцендентности 1 над C .

Аналогия с размерностями векторного пространства

Здесь есть аналогия с теорией размерностей векторного пространства . Аналогия сопоставляет алгебраически независимые множества с линейно независимыми множествами ; множества S такие, что L алгебраична над K ( S ) с остовными множествами ; основы трансцендентности с основаниями ; и степень трансцендентности с измерением. Тот факт, что базы трансцендентности всегда существуют (как и тот факт, что базы всегда существуют в линейной алгебре), требует аксиомы выбора . Доказательство того, что любые две базы имеют одинаковую мощность, в каждом случае зависит от леммы об обмене .

Эту аналогию можно сделать более формальной, наблюдая, что линейная независимость в векторных пространствах и алгебраическая независимость в расширениях полей образуют примеры матроидов , называемых линейными матроидами и алгебраическими матроидами соответственно. Таким образом, степень трансцендентности является ранговой функцией алгебраического матроида. Каждый линейный матроид изоморфен алгебраическому матроиду, но не наоборот.

Факты

Если М / л является расширение поля и L / K является еще одним расширение полей, то степень трансцендентности М / К , равна сумме степеней трансцендентности M / L и L / K . Это доказано, показав , что трансценденция основу M / K можно получить, взяв объединение в трансцендентности основе M / L и один из L / K .

Приложения

Базы трансцендентности - полезный инструмент для доказательства различных утверждений о существовании гомоморфизмов полей. Вот пример: даны алгебраически замкнутое поле L , подполе K и полевой автоморфизм f поля K , существует полевой автоморфизм L, расширяющий f (т. Е. Чье ограничение на K равно f ). Для доказательства, один начинается с базисом трансцендентности S из L / K . Элементы K ( S ) - это просто частные от многочленов от элементов S с коэффициентами в K ; поэтому автоморфизм f может быть расширен до одного из K ( S ), посылая каждый элемент S самому себе. Поле L является алгебраическим замыканием из K ( S ) и алгебраических замыканий является уникальной с точностью до изоморфизма; это означает , что автоморфизм может быть дополнительно простирались от K ( S ) к L .

В качестве другого приложения, мы покажем , что есть (много) собственно подполя поля комплексного чисел C , которые (как поля) , изоморфного С . Для доказательства, взять базис трансцендентности S из C / Q . S - бесконечное (даже несчетное) множество, поэтому существует (много) отображений f : S → S, которые инъективны, но не сюръективны . Любое такое отображение можно продолжить до гомоморфизма полей Q ( S ) → Q ( S ), который не является сюръективным. Такой гомоморфизм полей, в свою очередь, может быть расширен до алгебраического замыкания C , и полученные гомоморфизмы полей C → C не сюръективны.

Степень трансцендентности может дать интуитивное понимание размера поля. Например, теорема Зигеля утверждает, что если X - компактное связное комплексное многообразие размерности n и K ( X ) обозначает поле (глобально определенных) мероморфных функций на нем, то trdeg _C ( K ( X )) ≤  п .

использованная литература