Максимальный идеал - Maximal ideal

В математике , точнее в теории колец , максимальный идеал - это идеал, который является максимальным (относительно включения множества ) среди всех собственных идеалов. Другими словами, I - максимальный идеал кольца R, если между I и R нет других идеалов .

Максимальные идеалы имеют важное значение , так как факторгруппы колец максимальными идеалами являются простыми кольцами , а в частном случае унитальных коммутативных колец они также поля .

В некоммутативной теории колец максимальный правый идеал определяется аналогично как максимальный элемент в ч.у.м. собственных правых идеалов, и аналогично максимальный левый идеал определяется как максимальный элемент ч.у.м. собственных левых идеалов. Поскольку односторонний максимальный идеал не обязательно двусторонний, фактор R / не обязательно является кольцо, но это простой модуль над R . Если R имеет единственный максимальный правый идеал, то R называется локальным кольцом , а максимальный правый идеал также является единственным максимальным левым и единственным максимальным двусторонним идеалом кольца и фактически является радикалом Джекобсона J ( R ).

Кольцо может иметь уникальный максимальный двусторонний идеал и при этом не иметь уникальных максимальных односторонних идеалов: например, в кольце квадратных матриц 2 на 2 над полем нулевой идеал является максимальным двусторонним идеалом. , но есть много максимальных правых идеалов.

Определение

Существуют и другие эквивалентные способы выражения определения максимальных односторонних и максимальных двусторонних идеалов. Учитывая кольцо R и собственный идеал I в R (то есть я ≠ R ), I является максимальным идеалом R , если любой из следующих эквивалентных условий:

  • Там не существует никакой другой собственный идеал J из R , так что I ⊊ J .
  • Для любого идеала J с I ⊆ J , либо J = I или J = R .
  • Фактор-кольцо R / I - простое кольцо.

Есть аналогичный список для односторонних идеалов, для которых будут приведены только правые версии. Для правого идеала A кольца R следующие условия эквивалентны тому, что A является максимальным правым идеалом кольца R :

  • Там не существует никакого другого надлежащего правоидеальный B в R , так что ⊊ B .
  • Для любого правого идеала B с A ⊆ B , либо B = A или B = R .
  • Фактормодуль R / A является простым правым R -модулем.

Максимальные правые / левые / двусторонние идеалы являются двойным понятием , что и минимальных идеалов .

Примеры

  • Если F - поле, то единственный максимальный идеал - это {0}.
  • В кольце Z целых чисел максимальные идеалы - это главные идеалы, порожденные простым числом.
  • В более общем смысле, все ненулевые простые идеалы максимальны в области главных идеалов .
  • Идеал - это максимальный идеал в кольце . Как правило, максимальные идеалы имеют вид где - простое число, а - многочлен от неприводимого по модулю .
  • Каждый первичный идеал является максимальным идеалом в булевом кольце, т. Е. Кольцом, состоящим только из идемпотентных элементов. Фактически, каждый простой идеал максимален в коммутативном кольце всякий раз, когда существует такое целое число , что для любого .
  • Максимальные идеалы кольца многочленов являются главными идеалами, порожденными для некоторых .
  • В более общем смысле, максимальные идеалы кольца многочленов K [ x 1 , ..., x n ] над алгебраически замкнутым полем K - это идеалы вида ( x 1  -  a 1 , ..., x n  -  a n ) . Этот результат известен как слабый Nullstellensatz .

Характеристики

  • Важный идеал кольца, называемый радикалом Джекобсона, можно определить с помощью максимальных правых (или максимальных левых) идеалов.
  • Если R - коммутативное кольцо с единицей с идеалом m , то k = R / m - поле тогда и только тогда, когда m - максимальный идеал. В этом случае R / m называется полем вычетов . Этот факт может потерпеть неудачу в неунитарных кольцах. Например, это максимальный идеал в , но не поле.
  • Если L - максимальный левый идеал, то R / L - простой левый R -модуль. В кольцах с единицей, наоборот, возникает любой простой левый R -модуль. Между прочим это показывает , что коллекция представителей простого левого R -модулями на самом деле множество , так как он может быть поставлен в соответствие с частью множества максимальных левых идеалов R .
  • Теорема Крулля (1929): Каждое ненулевое кольцо с единицей имеет максимальный идеал. Результат также верен, если "идеальный" заменить на "правый идеал" или "левый идеал". В более общем смысле верно, что каждый ненулевой конечно порожденный модуль имеет максимальный подмодуль. Предположим, что I - идеал, не являющийся R (соответственно, A - правый идеал, не являющийся R ). Тогда R / I - кольцо с единицей (соответственно, R / A - конечно порожденный модуль), и поэтому приведенные выше теоремы можно применить к фактору, чтобы заключить, что существует максимальный идеал (соответственно максимальный правый идеал)кольца R содержащий I (соответственно A ).
  • Теорема Крулля может быть неверной для колец без единицы. Радикальное кольцо , то есть кольцо , в котором Jacobson радикал представляет собой полное кольцо, не имеет простых модулей и , следовательно , не имеет максимальное права или левые идеалов. Смотрите обычные идеалы, чтобы узнать о возможных способах обойти эту проблему.
  • В коммутативном кольце с единицей каждый максимальный идеал является первичным идеалом . Обратное не всегда верно: например, в любой неполевой области целостности нулевой идеал является простым идеалом, который не является максимальным. Коммутативные кольца, в которых простые идеалы максимальны, известны как нульмерные кольца , где в качестве размерности используется размерность Крулля .
  • Максимальный идеал некоммутативного кольца может не быть простым в коммутативном смысле. Например, пусть будет кольцо всех матриц над . Это кольцо имеет максимальный идеал для любого простого числа , но это не первичный идеал, поскольку (в данном случае ) и не входят в , но . Однако максимальные идеалы некоммутативных колец являются главными в обобщенном смысле ниже.

Обобщение

Для R - модуля A , A максимальный подмодуль М из А является подмодулем М ≠ , удовлетворяющий тем свойством , что для любого другого подмодуль N , M ⊆ N ⊆ означает N = M или N = A . Эквивалентно, M является максимальным подмодулем тогда и только тогда, когда фактор-модуль A / M является простым модулем . Максимальные правые идеалы кольца R в точности максимальные подмодули модуля R R .

В отличие от колец с единицей ненулевой модуль не обязательно имеет максимальные подмодули. Однако, как отмечалось выше, конечно порожденные ненулевые модули имеют максимальные подмодули, а также проективные модули имеют максимальные подмодули.

Как и в случае с кольцами, можно определить радикал модуля с помощью максимальных подмодулей. Кроме того, максимальные идеалы могут быть обобщены путем определения максимального суб-бимодулем M из более бимодуля B , чтобы быть надлежащим суб-бимодуль M , которая содержится ни в каком другом надлежащего суб-бимодуля М . Максимальные идеалы R тогда именно максимальные суб-бимодули бимодуле R R R .

Рекомендации