Проективный объект - Projective object

В теории категорий понятие проективного объекта обобщает понятие проективного модуля . Проективные объекты в абелевых категориях используются в гомологической алгебре . Двойное понятие проективного объекта является то , что из инъективного объекта .

Определение

Объект в категории является проективным , если для любого эпиморфизма и морфизма , существует морфизм такой , что , т.е. следующая диаграмма коммутирует : ${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle e: E \ twoheadrightarrow X}$ ${\ displaystyle f: P \ to X}$${\ displaystyle {\ overline {f}}: от P \ до E}$${\ displaystyle e \ circ {\ overline {f}} = f}$

То есть каждый морфизм влияет на каждый эпиморфизм . ${\ displaystyle P \ to X}$ ${\ displaystyle E \ twoheadrightarrow X}$

Если С является локально малой , т.е., в частности , представляет собой набор для любого объекта X в C , это определение эквивалентно условию , что Хомы функтор (также известный как corepresentable функтора ) ${\ displaystyle \ operatorname {Hom} _ {C} (P, X)}$

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (P, -) \ двоеточие {\ mathcal {C}} \ to \ mathbf {Set}}$

сохраняет эпиморфизмы .

Проективные объекты в абелевых категориях

Если категория C является абелевой категорией, такой как, например, категория абелевых групп , то P проективна тогда и только тогда, когда

${\ displaystyle \ operatorname {Hom} (P, -) \ двоеточие {\ mathcal {C}} \ to \ mathbf {Ab}}$

- точный функтор , где Ab - категория абелевых групп .

Абелева категория , как говорят, достаточно много проективных , если для каждого объекта из , есть проективный объект из и эпиморфизм Р к А или, что эквивалентно, короткая точная последовательность${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ displaystyle 0 \ to K \ to P \ longrightarrow A \ longrightarrow 0.}$

Цель этого определения - гарантировать, что любой объект A допускает проективное разрешение , т. Е. (Длинную) точную последовательность

${\ displaystyle \ dots P_ {2} \ to P_ {1} \ to P_ {0} \ to A \ to 0}$

где объекты проективны. ${\ displaystyle P_ {0}, P_ {1}, \ dots}$

Проективность относительно ограниченных классов

Semadeni (1963) обсуждает понятие проективной (и двойственно инъективны) объекты , относящиеся к так называемой бикатегории, который состоит из пары подкатегорий «инъекций» и «сюръекциями» в данной категории C . Эти подкатегории подчиняются определенным формальным свойствам, включая требование, чтобы любая сюръекция была эпиморфизмом. Проективный объект (относительно фиксированного класса сюръекций) тогда является объектом P, так что Hom ( P , -) превращает фиксированный класс сюръекций (в отличие от всех эпиморфизмов) в сюръекции множеств (в обычном смысле).

Свойства

• Копроизведение двух проективных объектов проективно.
• Отводной проективного объекта проективен.

Примеры

Утверждение, что все множества проективны, эквивалентно аксиоме выбора .

Проективные объекты в категории абелевых групп - это свободные абелевы группы .

Позвольте быть кольцо с единицей. Рассмотрим (абелеву) категорию - Mod левых -модулей. Проективные объекты в - Mod - это в точности проективные левые R-модули . Следовательно, сам является проективным объектом в - Mod . Двойственно инъективные объекты в - Mod - это в точности инъективные левые R-модули . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$

В категории левых (правых) -модулей тоже достаточно проективов. Это верно, поскольку для каждого левого (правого) -модуля мы можем принять свободный (и, следовательно, проективный) -модуль, порожденный порождающим множеством для (мы фактически можем принять за него ). Тогда каноническая проекция является необходимой сюръекцией . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle R}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$ ${\ displaystyle \ pi \ двоеточие с F \ на M}$

Проективные объекты в категории компактных хаусдорфовых пространств - это в точности экстремально несвязные пространства . Этот результат принадлежит Глисону (1958) с упрощенным доказательством, данным Рейнуотером (1959) .

В категории банаховых пространств и сжатий (т. Е. Функционалов с нормой не выше 1) эпиморфизмы - это в точности отображения с плотным образом . Wiweger (1969) показывает, что нулевое пространство - единственный проективный объект в этой категории. Однако существуют нетривиальные пространства, проективные по отношению к классу сюръективных сжатий. В категории нормированных векторных пространств со сжатиями (и сюръективными отображениями как «сюръекциями») проективные объекты - это в точности -пространства. Ошибка harvtxt: цель отсутствует: CITEREFWiweger1969 ( справка )${\ displaystyle l ^ {1}}$

${\ Displaystyle l ^ {1} (S) = \ {(x_ {s}) _ {s \ in S}, \ sum _ {s \ in S} || x_ {s} || <\ infty \} .}$

Ссылки

внешние ссылки

' „Проективный объект в nLab“ . ncatlab.org . Проверено 17 октября 2017 .