Инъективный модуль - Injective module

В математике , особенно в области абстрактной алгебры, известной как теория модулей , инъективный модуль - это модуль Q, который разделяет определенные желательные свойства с Z -модулем Q всех рациональных чисел . В частности, если Q - подмодуль какого-то другого модуля, то он уже является прямым слагаемым этого модуля; Кроме того , учитывая подмодуль модуля Y , то любой модульный гомоморфизм из этого подмодуля в Q может быть расширен до гомоморфизма из всех Y на Q . Эта концепция является двойной к тому , что из проекционных модулей . Инъективные модули были введены в ( Baer 1940 ) и подробно обсуждаются в учебнике ( Lam 1999 , §3).

Инъективные модули были тщательно изучены, и в их терминах определено множество дополнительных понятий: Инъективные когенераторы - это инъективные модули, которые точно представляют всю категорию модулей. Инъективные разрешения измеряют, насколько далек от инъективного модуль с точки зрения инъективного измерения, и представляют модули в производной категории . Инъективные оболочки являются максимальными существенными расширениями и оказываются минимальными инъективными расширениями. Каждый инъективный модуль над нётеровым кольцом однозначно представляет собой прямую сумму неразложимых модулей, и их структура хорошо изучена. Инъективный модуль над одним кольцом может не быть инъективным над другим, но есть хорошо изученные методы изменения колец, которые обрабатывают особые случаи. Кольца , которые сами инъективные модули имеют ряд интересных свойств и включают кольца , такие как групповые кольца из конечных групп над полями . Инъективные модули включают делимые группы и обобщаются понятием инъективных объектов в теории категорий .

Определение

Левый модуль Q над кольцом R инъективен, если он удовлетворяет одному (а значит, всем) из следующих эквивалентных условий:

• Если Q является подмодулем некоторых другого левого R - модуля M , то существует еще один подмодуль K из М такого , что М является внутренней прямой суммой из Q и К , т.е. Q + K = M и Q ∩ K = {0}.
• Любая короткая точная последовательность 0 → Q → M → K → 0 левых R -модулей расщепляется .
• Если X и Y - левые R -модули, f  : X → Y - инъективный гомоморфизм модулей и g  : X → Q - произвольный гомоморфизм модулей, то существует модульный гомоморфизм h  : Y → Q такой, что hf = g , т. Е. такая, что коммутирует следующая диаграмма :

• Контравариантны Хомы функтор Hom (-, Q ) из категории левого R -модулей в категории абелевых групп является точной .

Инъективные правые R -модули определяются полностью аналогично.

Примеры

Первые примеры

Очевидно, нулевой модуль {0} инъективен.

Учитывая поле к , каждый к - векторное пространство Q является инъективным к -модулю. Причина: если Q является подпространством V , мы можем найти базис из Q и распространить его на основе V . Новые простирающиеся базисные векторы охватывают подпространство K из V и V является внутренней прямой суммой Q и K . Обратите внимание, что прямое дополнение K к Q не определяется однозначно Q , и аналогично расширяющее отображение h в приведенном выше определении обычно не является уникальным.

Рациональные числа Q (с добавлением) образуют инъективную абелеву группу (т. Е. Инъективный Z -модуль). Фактор - группа Q / Z , и группа окружности также инъективными Z -модулями. Фактор-группа Z / n Z при n > 1 инъективна как Z / n Z -модуль, но не инъективна как абелева группа.

Коммутативные примеры

В более общем смысле , для любой области целостности R с полем частных K , то R - модуль K является инъективным R - модуль, и действительно наименьшее инъективны R - модуль , содержащий R . Для любого дедекиндова домена , то фактор - модуль K / R инъективен, и его неразложимые слагаемые являются локализациями для ненулевого простых идеалов . Нулевой идеал является также главным и соответствует инъективному K . Таким образом, между простыми идеалами и неразложимыми инъективными модулями существует соответствие 1-1. ${\ Displaystyle R _ {\ mathfrak {p}} / R}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$

Особенно богатая теория коммутативных нётеровых колец принадлежит Эбену Матлису ( Lam 1999 , §3I). Каждый инъективный модуль однозначно представляет собой прямую сумму неразложимых инъективных модулей, а неразложимые инъективные модули однозначно идентифицируются как инъективные оболочки факторов R / P, где P изменяется по простому спектру кольца. Инъективная оболочка R / P в качестве R - модуль является канонически R _Р модуль, и является Р _Р -инъективны оболочка R / P . Другими словами, достаточно рассмотреть локальные кольца . Кольцо эндоморфизмов инъективной оболочки R / P является завершение из R в P . ${\ displaystyle {\ hat {R}} _ {P}}$

Двумя примерами являются инъективная оболочка Z -модуля Z / p Z ( группа Прюфера ) и инъективная оболочка k [ x ] -модуля k (кольцо обратных многочленов). Последнее легко описывается как k [ x , x ⁻¹ ] / xk [ x ]. Этот модуль имеет базис, состоящий из «обратных одночленов», то есть x ^{- n} для n = 0, 1, 2,…. Умножение на скаляры происходит так, как ожидалось, а умножение на x происходит нормально, за исключением того, что x · 1 = 0. Кольцо эндоморфизмов - это просто кольцо формальных степенных рядов .

Артинианские примеры

Если G - конечная группа и k - поле с характеристикой 0, то в теории представлений групп показывается, что любое подпредставление данного представления уже является прямым слагаемым данного. В переводе на язык модулей это означает, что все модули над групповой алгеброй kG инъективны. Если характеристика k не равна нулю, следующий пример может помочь.

Если A - единичная ассоциативная алгебра над полем k с конечной размерностью над k , то Hom _k (-, k ) является двойственностью между конечно порожденными левыми A -модулями и конечно порожденными правыми A- модулями. Следовательно, конечно порожденные инъективные левые A -модули - это в точности модули вида Hom _k ( P , k ), где P - конечно порожденный проективный правый A- модуль. Для симметрических алгебр двойственность проявляется особенно хорошо, и проективные модули и инъективные модули совпадают.

Для любого артинового кольца , как и для коммутативных колец , существует соответствие 1-1 между первичными идеалами и неразложимыми инъективными модулями. Соответствие в этом случае, возможно, еще проще: простой идеал является аннулятором единственного простого модуля, а соответствующий неразложимый инъективный модуль является его инъективной оболочкой . Для конечномерных алгебр над полями эти инъективные оболочки являются конечно порожденными модулями ( Лам 1999 , §3G, §3J).

Вычисление инъективных оболочек

Если является нётеровым кольцом и является первичным идеалом, устанавливается как инъективная оболочка. Инъективная оболочка над артиновым кольцом может быть вычислена как модуль . Это модуль той же длины, что и . В частности, для стандартного градуированного кольца и , инъективный модуль, давая инструменты для вычисления неразложимых инъективных модулей для артиновых колец над . ${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle E = E (R / {\ mathfrak {p}})}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}} ^ {k}}$${\ displaystyle (0: _ {E} {\ mathfrak {p}} ^ {k})}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}} ^ {k}}$${\ displaystyle R _ {\ bullet} = к [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] _ {\ bullet}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ displaystyle E = \ oplus _ {i} {\ text {Hom}} (R_ {i}, k)}$${\ displaystyle k}$

Самовнушение

Локальное кольцо Артина инъективно над самим собой тогда и только тогда, когда является 1-мерным векторным пространством над . Это означает, что каждое локальное кольцо Горенштейна, которое также является Артиновым, инъективно над самим собой, поскольку имеет одномерный цоколь. Простым не примером является кольцо с максимальным идеалом и полем вычетов . Цоколь у него двухмерный. Поле вычетов имеет инъективную оболочку . ${\ displaystyle (R, {\ mathfrak {m}}, K)}$${\ Displaystyle soc (R)}$${\ displaystyle K}$${\ Displaystyle R = \ mathbb {C} [x, y] / (x ^ {2}, xy, y ^ {2})}$${\ Displaystyle (х, у)}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ cdot x \ oplus \ mathbb {C} \ cdot y}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ mathbb {C}} (\ mathbb {C} \ cdot x \ oplus \ mathbb {C} \ cdot y, \ mathbb {C})}$

Модули над алгебрами Ли

Для алгебры Ли над полем характеристики 0 категория модулей имеет относительно прямое описание своих инъективных модулей. Используя универсальную обертывающую алгебру, любой инъективный -модуль может быть построен из -модуля${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle {\ mathcal {M}} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {k} (U ({\ mathfrak {g}}), V)}$

для некоторого -векторного пространства . Обратите внимание, что это векторное пространство имеет структуру -модуля из инъекции${\ displaystyle k}$${\ displaystyle V}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ hookrightarrow U ({\ mathfrak {g}})}$

Фактически, каждый -модуль имеет инъекцию в некоторый, и каждый инъективный -модуль является прямым слагаемым некоторого . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {k} (U ({\ mathfrak {g}}), V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} _ {k} (U ({\ mathfrak {g}}), V)}$

Теория

Структурная теорема для коммутативных нётеровых колец

Над коммутативным нётеровым кольцом каждый инъективный модуль является прямой суммой неразложимых инъективных модулей, а каждый неразложимый инъективный модуль является инъективной оболочкой поля вычетов в простом числе . То есть для инъективного существует изоморфизм${\ displaystyle R}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ displaystyle I \ in {\ text {Mod}} (R)}$

${\ Displaystyle I \ cong \ bigoplus _ {я} E (R / {\ mathfrak {p}} _ {i})}$

где - инъективные оболочки модулей . Кроме того, если - инъективная оболочка некоторого модуля, то - ассоциированные простые числа модуля . ${\ displaystyle E (R / {\ mathfrak {p}} _ {i})}$${\ Displaystyle R / {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle {\ mathfrak {p}} _ {i}}$${\ displaystyle M}$

Подмодули, частные, продукты и суммы

Любое произведение (даже бесконечного числа) инъективных модулей инъективно; наоборот, если прямое произведение модулей инъективно, то каждый модуль инъективен ( Лам 1999 , стр. 61). Всякая прямая сумма конечного числа инъективных модулей инъективна. В общем случае подмодули, фактор-модули или бесконечные прямые суммы инъективных модулей не обязательно должны быть инъективными. Каждый подмодуль каждого инъективного модуля инъективен тогда и только тогда, когда кольцо артиново полупросто ( Golan & Head 1991 , p. 152); каждый фактор-модуль каждого инъективного модуля инъективен тогда и только тогда, когда кольцо наследственно ( Lam 1999 , Th. 3.22); каждая бесконечная прямая сумма инъективных модулей инъективна тогда и только тогда, когда кольцо нётерово , ( Lam 1999 , Th 3.46).

Критерий Бэра

В оригинальной статье Бэра он доказал полезный результат, обычно известный как критерий Бэра, для проверки того, является ли модуль инъективным: левый R -модуль Q инъективен тогда и только тогда, когда любой гомоморфизм g  : I → Q, определенный на левом идеале I из R может быть распространено на все R .

Используя этот критерий, можно показать, что Q - инъективная абелева группа (т. Е. Инъективный модуль над Z ). В более общем смысле абелева группа инъективна тогда и только тогда, когда она делима . В более общем плане: модуль над областью главных идеалов инъективен тогда и только тогда, когда он делим (случай векторных пространств является примером этой теоремы, поскольку каждое поле является областью главных идеалов и каждое векторное пространство делимо). Что касается общей области целостности, у нас все еще есть одно значение: каждый инъективный модуль над областью целостности делим.

Критерий Бэра был усовершенствован во многих отношениях ( Голан & Head 1991 , стр. 119), в том числе в результате ( Smith , 1981 ) и ( Vamos 1983 ) , что для коммутативного нётерового кольца, достаточно рассмотреть только простые идеалы I . Двойственный критерий Бэра, который дает тест на проективность, в целом неверен. Например, Z -модуль Q удовлетворяет двойственному критерию Бэра, но не является проективным. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFVamos1983 ( справка )

Инъективные когенераторы

Может быть , самый важный инъективный модуль является абелевой группой Q / Z . Это инъективен когенератор в категории абелевых групп , что означает , что оно инъективно и любой другой модуль содержатся в достаточно большом продукте копий Q / Z . Так, в частности, каждая абелева группа является подгруппой инъективной. Примечательно, что это верно и для любого кольца: каждый модуль является подмодулем инъективного, или «в категории левых R -модулей достаточно инъективных». Чтобы доказать это, мы используем особые свойства абелевой группы Q / Z для построения инъективного когенератора в категории левых R -модулей.

Для левого R -модуля M так называемый «символьный модуль» M ⁺ = Hom _Z ( M , Q / Z ) является правым R -модулем, который демонстрирует интересную двойственность не между инъективными модулями и проективными модулями , а между инъективные модули и плоские модули ( Enochs & Jenda 2001 , стр. 78–80) . Для любого кольца R левый R -модуль является плоским тогда и только тогда, когда его символьный модуль инъективен. Если R нётеров слева, то левый R -модуль инъективен тогда и только тогда, когда его символьный модуль плоский. ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFEnochsJenda2001 ( справка )

Инъективные корпуса

Инъективная оболочка модуля является наималейшим инъективен модулем , содержащим данные один и была описана в ( Экманном & Шопфе 1953 ) . ошибка harv: цель отсутствует: CITEREFEckmannShopf1953 ( справка )

Можно использовать инъективные оболочки для определения минимальной инъективной резольвенты (см. Ниже). Если каждый член инъективной резольвенты является инъективной оболочкой коядра предыдущего отображения, то инъективная резольвента имеет минимальную длину.

Инъективные разрешения

Каждый модуль M также имеет инъективную резольвенту : точную последовательность вида

0 → M → I ⁰ → I ¹ → I ² → ...

где I ^j - инъективные модули. Инъективные разрешения могут использоваться для определения производных функторов, таких как функтор Ext .

Длиной конечного инъективного разрешения является первым индексом п таким , что я ^п отличен от нуля , и я ^я  = 0 для I больше , чем п . Если модуль M допускает конечную инъективную резольвенту, минимальная длина среди всех конечных инъективных резольвент M называется его инъективной размерностью и обозначается id ( M ). Если M не допускает конечной инъективной резольвенты, то по соглашению инъективная размерность называется бесконечной. ( Лам 1999 , §5C) В качестве примера рассмотрим модуль M такой, что id ( M ) = 0. В этой ситуации точность последовательности 0 → M → I ₀ → 0 указывает на то, что стрелка в центре является изоморфизм, а значит, и сам M инъективен.

Эквивалентно, инъективная размерность M - это минимальное целое число (если оно есть, в противном случае ∞) n такое, что Ext^N
_A(-, M ) = 0 для всех N > n .

Неразложимые

Каждый инъективный подмодуль инъективного модуля является прямым слагаемым, поэтому важно понимать неразложимые инъективные модули ( Lam 1999 , §3F).

Каждый неразложимый инъективный модуль имеет локальное кольцо эндоморфизмов . Модуль называется равномерным модулем, если любые два ненулевых подмодуля имеют ненулевое пересечение. Для инъективного модуля M следующие утверждения эквивалентны:

• M неразложим
• M ненулевой и является инъективной оболочкой любого ненулевого подмодуля
• M равномерный
• M - инъективная оболочка равномерного модуля
• M - инъективная оболочка равномерного циклического модуля
• M имеет локальное кольцо эндоморфизмов

Над нётеровым кольцом каждый инъективный модуль является прямой суммой (однозначно определенных) неразложимых инъективных модулей. В случае коммутативного нётерова кольца это дает особенно хорошее понимание всех инъективных модулей, описанных в ( Matlis 1958 ). Неразложимые инъективные модули являются инъективные оболочки модулей R / P для р простой идеал кольца R . Кроме того, инъективная оболочка М из R / р имеет возрастающую фильтрацию с помощью модулей М _п задается аннигиляторами идеалов р ^п и М _{п + 1} / М _п изоморфна как конечномерный векторного пространство над полем частных к ( p ) из R / p в Hom _{R / p} ( p ⁿ / p ^{n +1} , k ( p )).

Смена колец

Важно иметь возможность рассматривать модули над подкольцами или факторкольцами , особенно, например, с кольцами многочленов . В общем, это сложно, но известен ряд результатов ( Lam 1999 , p. 62).

Пусть S и R - кольца, а P - левый R , правый S бимодуль , плоский как левый R модуль. Для любого инъективного правого S -модуля M множество модульных гомоморфизмов Hom _S ( P , M ) является инъективным правым R -модулем. Например, если R - такое подкольцо в S , что S - плоский R -модуль, то каждый инъективный S -модуль является инъективным R -модулем. В частности, если R - область целостности, а S - его поле частных , то каждое векторное пространство над S является инъективным R -модулем. Аналогично, каждый инъективный R [ x ] -модуль является инъективным R -модулем.

Для частных колец R / I смена колец также очень очевидна. R - модуль представляет собой R / Я -модуль именно тогда , когда он аннулируется I . Подмодуль ann _I ( M ) = { m в M  : im = 0 для всех i в I } является левым подмодулем левого R -модуля M и является самым большим подмодулем в M, который является R / I -модулем. Если M инъективный левый R -модуль, то ann _I ( M ) инъективный левый R / I -модуль. Применяя это к R = Z , I = n Z и M = Q / Z , мы получаем знакомый факт, что Z / n Z инъективен как модуль над собой. Хотя инъективные R -модули легко преобразовать в инъективные R / I -модули, этот процесс не преобразует инъективные R -разрешения в инъективные R / I -разрешения, и гомология полученного комплекса является одной из первых и фундаментальных областей. изучения относительной гомологической алгебры.

В учебнике ( Rotman 1979 , p. 103) есть ошибочное доказательство того, что локализация сохраняет инъективные объекты, но в ( Dade 1981 ) был приведен контрпример .

Самоинъективные кольца

Каждое кольцо с единицей является свободным модулем и, следовательно, является проективным как модуль над самим собой, но кольцо реже инъективно как модуль над собой ( Lam 1999 , §3B). Если кольцо инъективно над собой как правый модуль, то оно называется самоинъективным справа кольцом . Каждая алгебра Фробениуса самоинъективна, но никакая область целостности , не являющаяся полем, не является самоинъективной. Каждый собственный фактор из дедекиндовым области самоинъективно.

Нётерово справа самоинъективное справа кольцо называется квазифробениусовым кольцом и является двусторонним артиновым и двусторонне инъективным кольцом ( Lam 1999 , Th. 15.1). Важным модульным свойством квазифробениусовских колец является то, что проективные модули являются в точности инъективными модулями.

Обобщения и специализации

Инъективные объекты

Также говорят об инъективных объектах в категориях, более общих, чем категории модулей, например, в категориях функторов или в категориях пучков O _X -модулей над некоторым окольцованным пространством ( X , O _X ). Используется следующее общее определение: объект Q из категории С является инъективны , если для любого мономорфизма F  : X → Y в C и любого морфизма г  : X → Q существует морфизм ч  : Y → Q с ВЧ = г .

Делимые группы

Понятие инъективного объекта в категории абелевых групп изучалось несколько независимо от инъективных модулей под термином делимая группа . Здесь Z -модуль M инъективен тогда и только тогда, когда n ⋅ M = M для любого ненулевого целого числа n . Здесь отношения между плоскими модулями , чистыми подмодулями и инъективными модулями более ясны, поскольку это просто относится к определенным свойствам делимости элементов модуля на целые числа.

Чистые инъекции

В относительной гомологической алгебре свойство продолжения гомоморфизмов может потребоваться только для некоторых подмодулей, а не для всех. Например, чисто инъективный модуль - это модуль, в котором гомоморфизм чистого подмодуля может быть расширен на весь модуль.

использованная литература

Примечания

Учебники

• Андерсон, Фрэнк Уайли; Фуллер, Кент Р. (1992), Кольца и категории модулей , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97845-1, получено 30 июля 2016 г.
• Енохс, Эдгар Э .; Jenda, Overtoun MG (2000), Относительная гомологическая алгебра , Выставки де Грюйтера по математике, 30 , Берлин: Walter de Gruyter & Co., DOI : 10.1515 / 9783110803662 , ISBN 978-3-11-016633-0, Руководство по ремонту  1753146
• Голан, Джонатан С .; Хед, Том (1991), Модули и структура колец , Монографии и учебники по чистой и прикладной математике, 147 , Марсель Деккер, ISBN 978-0-8247-8555-0, Руководство по ремонту  1201818
• Лам, Цит-Юэн (1999), Лекции по модулям и кольцам , Тексты для выпускников по математике № 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0525-8 , ISBN 978-0-387-98428-5, Руководство по ремонту  1653294
• Ротман, Джозеф Дж. (1979), Введение в гомологическую алгебру , Чистая и прикладная математика, 85 , Бостон, Массачусетс: Academic Press , ISBN 978-0-12-599250-3, Руководство по ремонту  0538169

Основные источники

• Baer, Reinhold (1940), "Абелевы группы, являющиеся прямыми слагаемыми каждой содержащей абелевой группы", Бюллетень Американского математического общества , 46 (10): 800-807, DOI : 10,1090 / S0002-9904-1940-07306-9 , Руководство по ремонту  0002886 , Zbl  0024.14902
• Чейз, Стивен У. (1960), "Прямые произведения модулей", Труды Американского математического общества , Американского математического общества, Vol. 97, № 3, 97 (3): 457-473, DOI : 10,2307 / 1993382 , JSTOR  1993382 , МР  0120260
• Дейд, Эверетт С. (1981), "Локализация инъективных модулей", журнал алгебры , 69 (2): 416-425, DOI : 10,1016 / 0021-8693 (81) 90213-1 , МР  0617087
• Экманн, Б .; Шепф, А. (1953), "Убер injektive Moduln", Archiv дер Mathematik , 4 (2): 75-78, DOI : 10.1007 / BF01899665 , МР  0055978
• Ламбека, Йоахим (1963), "О кольце Утого в частных" , Canadian Journal математики , 15 : 363-370, DOI : 10,4153 / CJM-1963-041-4 , ISSN  0008-414X , МР  0147509
• Матлиса, Эбен (1958), "Инъективные модули над нетеровскими кольцами", Тихоокеанский журнал математика , 8 : 511-528, DOI : 10,2140 / pjm.1958.8.511 , ISSN  0030-8730 , MR  0099360
• Osofsky, BL (1964), "О кольцевых свойств инъективных оболочек", Канадский математический вестник , 7 : 405-413, DOI : 10,4153 / КМФ-1964-039-3 , ISSN  0008-4395 , МР  0166227
• Папп, Золтан (1959), «Об алгебраически замкнутых модулях», Publicationes Mathematicae Debrecen , 6 : 311–327, ISSN  0033-3883 , MR  0121390
• Смит, PF (1981), "Инъективные модули и простые идеалы", связь в алгебре , 9 (9): 989-999, DOI : 10,1080 / 00927878108822627 , MR  0614468
• Утуми, Юзо (1956), "О кольцах частных", Osaka Journal of Mathematics , 8 : 1–18, ISSN  0030-6126 , MR  0078966
• Vámos, P. (1983), "Идеалы и модули тестирования приемистости", Связь по алгебре , 11 (22): 2495-2505, DOI : 10,1080 / 00927878308822975 , MR  0733337