Факторное кольцо - Quotient ring

В теории колец , ветвь абстрактной алгебры , фактор - кольцо , также известная как фактор кольцо , разностная кольцо или кольцо классов вычетов , является построением весьма похоже на факторгруппы из теории групп и фактор - пространство в линейной алгебре . Это конкретный пример частного с точки зрения общей теории универсальной алгебры . Начиная с кольцом R и двустороннего идеала I в R , новое кольцо, фактор - кольцо R / I , строится, элементами которого являются классы смежности из I в R , подлежащих особому + и операций.

Факторпространства кольца отличается от так называемого «фактора - поля», или области фракций , из области целостности , а также из более общих «кольца частных» полученных локализации .

Формальное построение кольца частных

Учитывая кольцо и двусторонний идеал в , мы можем определить отношение эквивалентности на следующим образом:

если и только если есть в .

Используя идеальные свойства, нетрудно проверить, что это отношение конгруэнтности . В случае , если мы говорим , что и являются конгруэнтно по модулю . Класс эквивалентности элемента в определяется выражением

.

Этот класс эквивалентности также иногда называют и называют «классом вычетов по модулю ».

Множество всех таких классов эквивалентности обозначается ; оно становится кольцом, фактор-кольцом или фактор-кольцом по модулю , если определить

  • ;
  • .

(Здесь нужно проверить, что эти определения корректно определены . Сравните смежный класс и факторгруппу .) Нулевой элемент is , а мультипликативное тождество равно .

Отображение из в, определяемое с помощью, является сюръективным гомоморфизмом колец , иногда называемым естественным фактор-отображением или каноническим гомоморфизмом .

Примеры

  • Фактор - кольцо R / {0 } является естественно изоморфна к R , и R / R является нулевым кольцом {0}, так как , по нашему определению, для любого г в R , мы имеем , что [ г ] = г + "R" : = { r + b  : b ∈ "R" }}, что равно самому R. Это согласуется с правилом большого пальца , что чем больше идеал I , тем меньше фактор - кольцо R / I . Если I - собственный идеал кольца R , т. Е. IR , то R / I не является нулевым кольцом.
  • Рассмотрим кольцо целых чисел Z и идеал четных чисел , обозначаемый 2 Z . Тогда фактор-кольцо Z / 2 Z имеет только два элемента: смежный класс 0 + 2 Z, состоящий из четных чисел, и смежный класс 1 + 2 Z, состоящий из нечетных чисел; применяя определение, [ z ] = z + 2 Z  : = { z + 2 y : 2 y ∈ 2 Z } , где 2 Z - идеал четных чисел. Оно естественно изоморфно конечному полю из двух элементов F 2 . Интуитивно: если вы думаете обо всех четных числах как о 0, то каждое целое число равно либо 0 (если оно четное), либо 1 (если оно нечетное и поэтому отличается от четного числа на 1). Модульная арифметика - это, по сути, арифметика в кольце частных Z / n Z (которое имеет n элементов).
  • Теперь рассмотрим кольцо R [ X ] многочленов от переменной X с действительными коэффициентами и идеал I = ( X 2 + 1), состоящий из всех кратных многочлена X 2 + 1 . Фактор-кольцо R [ X ] / ( X 2 + 1) естественно изоморфно полю комплексных чисел C , причем класс [ X ] играет роль мнимой единицы i . Причина в том, что мы «заставили» X 2 + 1 = 0 , т.е. X 2 = −1 , что является определяющим свойством i .
  • Обобщая предыдущий пример, фактор-кольца часто используются для построения расширений полей . Предположим, что K - некоторое поле, а f - неприводимый многочлен в K [ X ]. Тогда L = K [ X ] / ( f ) - поле, минимальным многочленом над K которого является f , которое содержит K, а также элемент x = X + ( f ) .
  • Одним из важных примеров предыдущего примера является построение конечных полей. Рассмотрим, например, поле F 3 = Z / 3 Z с тремя элементами. Многочлен f ( X ) = X 2 + 1 неприводим над F 3 (поскольку у него нет корня), и мы можем построить фактор-кольцо F 3 [ X ] / ( f ) . Это поле с 3 2 = 9 элементами, обозначенное F 9 . Остальные конечные поля могут быть построены аналогичным образом.
  • В координатных кольцах из алгебраических многообразий являются важными примерами факторколец в алгебраической геометрии . В качестве простого случая рассмотрим вещественное многообразие V = {( x , y ) | х 2 = у 3 } как подмножество вещественной плоскости R 2 . Кольцо вещественных полиномиальных функций , определенное на V может быть идентифицировано с фактор - кольцо R [ X , Y ] / ( Х 2 - Да 3 ) , и это координатное кольцо V . Многообразие V теперь исследуется путем изучения его координатного кольца.
  • Пусть М является С - многообразие и р является точкой М . Рассмотрим кольцо R = C ( M ) всех C -функции , определенной на М , и пусть я идеал в R , состоящее из функций F , которые тождественно равны нулю в некоторой окрестности U из р (где U может зависеть от F ) . Тогда фактор-кольцо R / I - это кольцо ростков C -функций на M в точке p .
  • Рассмотрим кольцо F конечных элементов поля гипердействительной * R . Он состоит из всех гиперреалистических чисел, отличающихся от стандартного действительного числа на бесконечно малую величину, или, что эквивалентно: всех гиперреальных чисел x, для которых существует стандартное целое число n с - n < x < n . Множество I всех чисел бесконечно малых в * R , вместе с 0, является идеалом в F , и фактор - кольцо F / I изоморфно действительных чисел R . Изоморфизм индуцируются сопоставляя каждый элемент х из F в стандартную часть из х , то есть уникального действительного числа , которое отличается от й бесконечно малого. Фактически, можно получить тот же результат, а именно R , если начать с кольца F конечных гиперрациональных чисел (т. Е. Отношения пары гиперинтегральных чисел ), см. Построение действительных чисел .

Альтернативные сложные самолеты

Факторы R [ X ] / ( X ) , R [X] / ( X + 1) и R [ X ] / ( X - 1) все изоморфны R и поначалу не представляют особого интереса. Но обратите внимание, что R [ X ] / ( X 2 ) называется плоскостью двойственных чисел в геометрической алгебре. Он состоит только из линейных двучленов как «остатков» после уменьшения элемента R [ X ] на X 2 . Эта альтернативная комплексная плоскость возникает как подалгебра всякий раз, когда алгебра содержит вещественную прямую и нильпотент .

Кроме того, факторное кольцо R [ X ] / ( X 2 - 1) действительно разделяется на R [ X ] / ( X + 1) и R [ X ] / ( X - 1) , поэтому это кольцо часто рассматривается как прямое сумма RR . Тем не менее, альтернативное комплексное число z = x + y j предлагается j как корень из X 2 - 1 , по сравнению с i как корень из X 2 + 1 = 0 . Эта плоскость расщепленных комплексных чисел нормализует прямую сумму R 'R , предоставляя базис {1, j} для 2-пространства, где единица алгебры находится на единичном расстоянии от нуля. С этой основой блоком гипербола может быть по сравнению с единичной окружностью на обычной комплексной плоскости .

Кватернионы и альтернативы

Пусть Х и Y являются два, не коммутирующий, неизвестные и образуют свободную алгебру RX , Y . Тогда кватернионы Гамильтона 1843 года можно представить в виде

Если Y 2 - 1 заменить на Y 2 + 1 , то получится кольцо расщепленных кватернионов . Замена плюса на минус в обоих квадратичных биномах также приводит к расщепленным кватернионам. Из антикоммутативного свойства YX = - XY следует, что XY имеет в качестве своего квадрата

( XY ) ( XY ) = X ( YX ) Y = - X ( XY ) Y = - XXYY = -1.

Три типа бикватернионов также может быть записан в виде дробей с использованием свободной алгебры с тремя неизвестными RX , Y , Z ⟩ и построением соответствующих идеалов.

Характеристики

Ясно, что если R - коммутативное кольцо , то R / I тоже ; обратное, однако, в целом неверно.

Естественный факторное отображение р имеет I в качестве ядра ; поскольку ядро ​​любого гомоморфизма колец является двусторонним идеалом, мы можем утверждать, что двусторонние идеалы - это в точности ядра гомоморфизмов колец.

Тесная связь между кольцевыми гомоморфизмами, ядер и фактор - колец можно суммировать следующим образом : кольцевые гомоморфизмы , определенные на R / I являются по существу такими же , как кольцевых гомоморфизмов , определенных на R, равными нулю (т.е. равны нулю) на I . Более точно, для двустороннего идеала I в R и гомоморфизма колец f  : RS , ядро ​​которого содержит I , существует ровно один гомоморфизм колец g  : R / IS с gp = f (где p - естественный фактор карта). Карту г здесь даются хорошо определенным правило г ([ ]) = F ( в ) для всех а в R . В самом деле, это универсальное свойство можно использовать для определения фактор-колец и их естественных фактор-отображений.

Как следствие вышесказанного, получаем фундаментальное утверждение: любой гомоморфизм колец f  : RS индуцирует изоморфизм колец между фактор-кольцом R / ker ( f ) и образом im ( f ). (См. Также: основная теорема о гомоморфизмах .)

Идеалы R и R / I тесно связаны: естественное фактор-отображение обеспечивает биекцию между двусторонними идеалами R , содержащими I, и двусторонними идеалами R / I (то же самое верно для левого и правого идеалы). Эта связь между двусторонним идеалом распространяется на отношения между соответствующими фактор-кольцами: если M - двусторонний идеал в R , содержащий I , и мы пишем M / I для соответствующего идеала в R / I (т. Е. M / I = p ( M ) ) факторкольца R / M и ( R / I ) / ( M / I ) естественным образом изоморфны посредством (корректно определенного!) отображения a + M ↦ ( a + I ) + M / I .

Следующие факты оказываются полезными в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии : для коммутативности R ≠ {0} R / I является полем тогда и только тогда, когда I является максимальным идеалом , а R / I является областью целостности тогда и только тогда, когда I является идеал . Ряд подобных утверждений относится свойство идеал I к свойствам фактора - кольца R / I .

Китайская теорема об остатках утверждает , что, если идеал I является пересечением (или , что эквивалентно, произведение) попарно взаимно простых идеалов я 1 , ..., я K , то фактор - кольцо R / I изоморфно продукта из частного кольца R / I n , n = 1, ..., k .

Для алгебр над кольцом

Ассоциативная алгебра над коммутативным кольцом R является само кольцо. Если I - идеал в  A (замкнутый относительно R -умножения), то A  /  I наследует структуру алгебры над  R и является фактор-алгеброй .  

Смотрите также

Примечания

Дальнейшие ссылки

  • Ф. Каш (1978) Moduln und Ringe , переведенный Даром Уоллесом (1982) Модули и кольца , Academic Press , стр. 33.
  • Нил Х. Маккой (1948) Кольца и идеалы , §13 Кольца классов остатков, стр. 61, Математические монографии Каруса № 8, Математическая ассоциация Америки .
  • Джозеф Ротман (1998). Теория Галуа (2-е издание) . Springer. С. 21–3. ISBN 0-387-98541-7.
  • Б.Л. ван дер Варден (1970) Алгебра , переведенный Фредом Блюмом и Джоном Р. Шуленбергером, издательство Frederick Ungar Publishing, Нью-Йорк. См. Главу 3.5, «Идеалы. Кольца классов остатков», стр. 47–51.

внешние ссылки