Абелева группа - Abelian group

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Кляйн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , абелева группа , которая также называется коммутативной группой , представляет собой группу , в которой результат применения групповой операции двух элементов группы не зависит от порядка , в котором они записаны. То есть групповая операция коммутативна . При сложении как операции целые и действительные числа образуют абелевы группы, и понятие абелевой группы можно рассматривать как обобщение этих примеров. Абелевы группы названы в честь математика начала 19 века Нильса Хенрика Абеля .

Концепция абелевой группы лежит в основе многих фундаментальных алгебраических структур , таких как поля , кольца , векторные пространства и алгебры . Теория абелевых групп обычно проще, чем теория их неабелевых аналогов, а конечные абелевы группы очень хорошо изучены и полностью классифицированы .

Алгебраические структуры
Группа -как Группа Полугруппа  / Моноид Стеллаж и quandle Квазигруппа и петля Абелева группа Магма Группа Ли Теория групп
Кольцо -как Звенеть Rng Полукруглый Рядом с кольцом Коммутативное кольцо Интегральный домен Поле Дивизионное кольцо Теория колец
Lattice -как Решетка Полурешетка Дополненная решетка Общий заказ Алгебра Гейтинга Булева алгебра Карта решеток Теория решетки
Модуль- подобный Модуль Группа с операторами Векторное пространство Линейная алгебра
Алгебра- подобный Алгебра Ассоциативный Неассоциативный Составная алгебра Алгебра Ли Оценено Биалгебра
v т е

Определение

Групповые структуры
	Тотальность	Ассоциативность	Личность	Обратимость	Коммутативность
Полугрупоидный	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Малая категория	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Группоид	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Магма	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Квазигруппа	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Единичная магма	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Петля	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный	Ненужный
Обратная полугруппа	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый	Ненужный
Моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Ненужный
Коммутативный моноид	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный	Необходимый
Группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Ненужный
Абелева группа	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый	Необходимый
^ α Замыкание, которое используется во многих источниках, является аксиомой, эквивалентной тотальности, хотя и определяется по-другому.

Абелева группа представляет собой набор , вместе с операцией , которая сочетает в себе любые два элемента и из , чтобы сформировать еще один элемент обозначается . Этот символ является общим заполнителем для конкретной данной операции. Чтобы квалифицироваться как абелева группа, множество и операция должны удовлетворять пяти требованиям, известным как аксиомы абелевой группы : ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle \ cdot}$ ${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A,}$${\ displaystyle a \ cdot b}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ Displaystyle (А, \ cdot)}$

Закрытие

Для всех , в , результат операции тоже в .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a \ cdot b}$${\ displaystyle A}$

Ассоциативность

Для всех , и в , уравнение выполнено.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle (а \ cdot b) \ cdot c = a \ cdot (b \ cdot c)}$

Элемент идентичности

Существует элемент в , такой, что для всех элементов в , уравнение выполняется.${\ displaystyle e}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle е \ cdot а = а \ cdot е = а}$

Обратный элемент

Для каждого в существует элемент в таким образом, что , где есть единичный элемент.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a = e}$${\ displaystyle e}$

Коммутативность

Для всех , в , .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle a \ cdot b = b \ cdot a}$

Группа, в которой групповая операция не коммутативна, называется «неабелевой группой» или «некоммутативной группой».

Факты

Обозначение

Существует два основных правила обозначений абелевых групп - аддитивные и мультипликативные.

соглашение	Операция	Личность	Полномочия	Обратный
Добавление	${\ displaystyle x + y}$	0	${\ displaystyle nx}$	${\ displaystyle -x}$
Умножение	${\ displaystyle x \ cdot y}$ или ${\ displaystyle xy}$	1	${\ Displaystyle х ^ {п}}$	${\ displaystyle x ^ {- 1}}$

Как правило, мультипликативная запись - это обычная запись для групп, а аддитивная запись - это обычная запись для модулей и колец . Аддитивная нотация также может использоваться, чтобы подчеркнуть, что конкретная группа является абелевой, когда рассматриваются как абелевы, так и неабелевы группы, некоторыми заметными исключениями являются почти кольца и частично упорядоченные группы , где операция записывается аддитивно, даже когда неабелева .

Таблица умножения

Чтобы проверить, что конечная группа абелева, таблица (матрица), известная как таблица Кэли, может быть построена аналогично таблице умножения . Если группа под операцией , -й запись этой таблицы содержит продукт . ${\ displaystyle G = \ {g_ {1} = e, g_ {2}, \ dots, g_ {n} \}}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle (я, j)}$${\ displaystyle g_ {i} \ cdot g_ {j}}$

Группа абелева тогда и только тогда, когда эта таблица симметрична относительно главной диагонали. Это верно, поскольку группа абелева тогда и только тогда, когда для всех , то есть тогда и только тогда, когда запись в таблице равна записи для всех , т. Е. Таблица симметрична относительно главной диагонали. ${\ displaystyle g_ {i} \ cdot g_ {j} = g_ {j} \ cdot g_ {i}}$${\ displaystyle i, j = 1, ..., n}$${\ displaystyle (я, j)}$${\ displaystyle (j, i)}$${\ displaystyle i, j = 1, ..., n}$

Примеры

• Для целых чисел и операций добавления , обозначаемые , операция + сочетает в себе любые два целых числе , чтобы сформировать третье целое число, сложение ассоциативно, ноль является аддитивной идентичностью , каждое целое число имеет аддитивную инверсию , и операция сложения коммутативна , так как для любого два целых числа и .${\ displaystyle +}$${\ Displaystyle (\ mathbb {Z}, +)}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle -n}$${\ Displaystyle п + т = т + п}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$
• Каждая циклическая группа абелева, потому что если , находятся в , то . Таким образом, целых чисел , образуют абелеву группу по сложению, как это делают целые числа по модулю , .${\ displaystyle G}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle xy = a ^ {m} a ^ {n} = a ^ {m + n} = a ^ {n} a ^ {m} = yx}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$
• Каждое кольцо является абелевой группой относительно своей операции сложения. В коммутативном кольце обратимые элементы или единицы образуют абелеву мультипликативную группу . В частности, действительные числа являются абелевой группой относительно сложения, а ненулевые действительные числа являются абелевой группой относительно умножения.
• Каждая подгруппа абелевой группы нормальна , поэтому каждая подгруппа порождает фактор-группу . Подгруппы, фактор-группы и прямые суммы абелевых групп снова абелевы. Конечные простые абелевы группы - это в точности циклические группы простого порядка .
• Концепции абелевой группы и - модуля совпадают. Более конкретно, каждый -модуль является абелевой группой со своей операцией сложения, и каждая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел уникальным образом.${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

В общем случае матрицы , даже обратимые матрицы, не образуют абелеву группу при умножении, потому что умножение матриц, как правило, не коммутативно. Однако некоторые группы матриц являются абелевыми группами при матричном умножении - одним из примеров является группа матриц вращения . ${\ displaystyle 2 \ times 2}$

Исторические заметки

Камилла Джордан назвала абелевы группы в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , потому что Абель обнаружил, что коммутативность группы многочлена означает, что корни многочлена могут быть вычислены с использованием радикалов .

Характеристики

Если - натуральное число и является элементом абелевой группы, записанной аддитивно, то можно определить как ( слагаемые) и . Таким образом, становится модулем над кольцом целых чисел. Фактически, модули над можно отождествить с абелевыми группами. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle nx}$${\ Displaystyle х + х + \ cdots + х}$${\ displaystyle n}$${\ Displaystyle (-n) х = - (nx)}$${\ displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Теоремы об абелевых группах (т. Е. О модулях над областью главных идеалов ) часто можно обобщить до теорем о модулях над произвольной областью главных идеалов. Типичным примером является классификация конечно порожденных абелевых групп, которая является специализацией структурной теоремы для конечно порожденных модулей над областью главных идеалов . В случае конечно порожденных абелевых групп, эта теорема гарантирует , что абелевые расколы группы в качестве прямой суммы в виде группы кручения и свободная абелевой группы . Первый может быть записан как прямая сумма конечного числа групп вида для простого, а последний - прямая сумма конечного числа копий . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {k} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle p}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Если существуют два групповых гомоморфизма между абелевыми группами, то их сумма , определяемая с помощью , снова является гомоморфизмом. (Это неверно, если это неабелева группа.) Таким образом, множество всех гомоморфизмов групп из в сам по себе является абелевой группой. ${\ displaystyle f, g: G \ to H}$${\ displaystyle f + g}$${\ Displaystyle (е + г) (х) = е (х) + г (х)}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle {\ text {Hom}} (G, H)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$

Несколько сродни размерности в векторных пространствах , каждая абелева группа имеет ранг . Он определяется как максимальная мощность набора линейно независимых (над целыми числами) элементов группы. Конечные абелевы группы и группы кручения имеют ранг нуль, и каждая абелева группа ранга нуль является группой кручения. Целые числа и рациональные числа имеют ранг один, как и любая ненулевая аддитивная подгруппа рациональных чисел. С другой стороны, мультипликативная группа ненулевых рациональных чисел имеет бесконечный ранг, поскольку это свободная абелева группа с набором простых чисел в качестве основы (это следует из основной теоремы арифметики ).

Центр группы является множество элементов, коммутирующих с каждым элементом . Группа абелева тогда и только тогда, когда она равна своему центру . Центр группы всегда является характеристической абелевой подгруппой в . Если фактор-группа группы по центру циклическая, то абелева. ${\ Displaystyle Z (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle Z (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle G / Z (G)}$${\ displaystyle G}$

Конечные абелевы группы

Циклические группы целых чисел по модулю${\ displaystyle n}$ , были одними из первых примеров групп. Оказывается, произвольная конечная абелева группа изоморфна прямой сумме конечных циклических групп степенного порядка простых чисел, и эти порядки определены однозначно, образуя полную систему инвариантов. Группа автоморфизмов конечной абелевой группы может быть непосредственно описана в терминах этих инвариантов. Теория была впервые развита в статье 1879 года Георга Фробениуса и Людвига Штикельбергера, а затем была упрощена и обобщена на конечно порожденные модули над областью главных идеалов, составив важную главу линейной алгебры . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / п \ mathbb {Z}}$

Любая группа простого порядка изоморфна циклической группе и, следовательно, абелева. Любая группа, порядок которой является квадратом простого числа, также абелева. На самом деле для каждого простого числа существует (с точностью до изоморфизма) ровно две группы порядка , а именно и . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} \ times \ mathbb {Z} _ {p}}$

Классификация

Основная теорема конечных абелевых групп утверждает , что любая конечная абелева группа может быть представлена в виде прямой суммы циклических подгрупп простого порядка -Power; она также известна как базисная теорема для конечных абелевых групп . Более того, группы автоморфизмов циклических групп являются примерами абелевых групп. Это обобщается основной теоремой о конечно порожденных абелевых группах , причем конечные группы являются частным случаем, когда G имеет нулевой ранг ; это, в свою очередь, допускает многочисленные дальнейшие обобщения. ${\ displaystyle G}$

Эта классификация была доказана Леопольдом Кронекером в 1870 году, хотя она не была сформулирована в современных теоретико-групповых терминах до более позднего времени, и ей предшествовала аналогичная классификация квадратичных форм Карла Фридриха Гаусса в 1801 году; подробности см. в истории .

Циклическая группа порядка изоморфна прямой сумме и тогда и только тогда , когда и являются взаимно простыми . Отсюда следует, что любая конечная абелева группа изоморфна прямой сумме вида ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {mn}}$${\ displaystyle mn}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {п}}$${\ displaystyle m}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ bigoplus _ {я = 1} ^ {и} \ \ mathbb {Z} _ {к_ {я}}}$

любым из следующих канонических способов:

• числа являются степенями (не обязательно различных) простых чисел,${\ displaystyle k_ {1}, k_ {2}, \ dots, k_ {u}}$
• или делит , что делит , и так далее до .${\ displaystyle k_ {1}}$ ${\ displaystyle k_ {2}}$${\ displaystyle k_ {3}}$${\ displaystyle k_ {u}}$

Например, могут быть выражены в виде прямой суммы двух циклических подгрупп порядка 3 и 5: . То же самое можно сказать и о любой абелевой группе порядка 15, что приводит к замечательному заключению, что все абелевы группы порядка 15 изоморфны . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {15}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {15} \ cong \ {0,5,10 \} \ oplus \ {0,3,6,9,12 \}}$

В качестве другого примера каждая абелева группа порядка 8 изоморфна либо (целым числам от 0 до 7 при сложении по модулю 8), (нечетным целым числам от 1 до 15 при умножении по модулю 16) или . ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {8}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {4} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2} \ oplus \ mathbb {Z} _ {2}}$

См. Также список малых групп для конечных абелевых групп порядка 30 или меньше.

Автоморфизмы

Можно применить основную теорему для подсчета (а иногда и определения) автоморфизмов данной конечной абелевой группы . Для этого используется тот факт, что если расщепляется как прямая сумма подгрупп взаимно простого порядка, то ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle H \ oplus K}$

${\ displaystyle \ operatorname {Aut} (H \ oplus K) \ cong \ operatorname {Aut} (H) \ oplus \ operatorname {Aut} (K).}$

Учитывая это, основная теорема показывает, что для вычисления группы автоморфизмов достаточно отдельно вычислить группы автоморфизмов силовских -подгрупп (то есть все прямые суммы циклических подгрупп, каждая из которых имеет порядок степени ). Зафиксируем простое число и предположим, что показатели циклических множителей силовской -подгруппы расположены в порядке возрастания: ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle p}$

${\ displaystyle e_ {1} \ leq e_ {2} \ leq \ cdots \ leq e_ {n}}$

для некоторых . Нужно найти автоморфизмы ${\ displaystyle n> 0}$

${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {1}}} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p ^ {e_ {n}}}.}$

Один частный случай - это когда , так что в силовской -подгруппе есть только один циклический коэффициент простой мощности . В этом случае можно использовать теорию автоморфизмов конечной циклической группы . Другой частный случай - это когда произвольно, но для . Здесь считается, что он имеет вид ${\ Displaystyle п = 1}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle e_ {i} = 1}$${\ Displaystyle 1 \ Leq я \ Leq п}$${\ displaystyle P}$

${\ displaystyle \ mathbf {Z} _ {p} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbf {Z} _ {p},}$

поэтому элементы этой подгруппы можно рассматривать как составляющие векторное пространство размерности над конечным полем элементов . Таким образом, автоморфизмы этой подгруппы задаются обратимыми линейными преобразованиями, так что ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {p}}$

${\ Displaystyle \ OperatorName {Aut} (P) \ cong \ mathrm {GL} (п, \ mathbf {F} _ {p}),}$

где - соответствующая полная линейная группа . Легко показать, что это порядок ${\ displaystyle \ mathrm {GL}}$

${\ displaystyle \ left | \ operatorname {Aut} (P) \ right | = (p ^ {n} -1) \ cdots (p ^ {n} -p ^ {n-1}).}$

В наиболее общем случае, когда и произвольны, группу автоморфизмов определить труднее. Однако известно, что если определить ${\ displaystyle e_ {i}}$${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle d_ {k} = \ max \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} ^ {\,} \}}$

а также

${\ displaystyle c_ {k} = \ min \ {r \ mid e_ {r} = e_ {k} \}}$

то имеет место, в частности , и ${\ Displaystyle к \ leq d_ {к}}$${\ displaystyle c_ {k} \ leq k}$

${\ Displaystyle \ left | \ OperatorName {Aut} (P) \ right | = \ prod _ {k = 1} ^ {n} (p ^ {d_ {k}} - p ^ {k-1}) \ prod _ {j = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {j}}) ^ {n-d_ {j}} \ prod _ {i = 1} ^ {n} (p ^ {e_ {i} - 1}) ^ {n-c_ {i} +1}.}$

Можно проверить, что это дает заказы в предыдущих примерах как особые случаи (см. Hillar, C., & Rhea, D.).

Конечно порожденные абелевы группы

Абелева группа конечно порождено , если оно содержит конечное множество элементов (называемые генераторы ) таких , что каждый элемент группы является линейной комбинацией с целыми коэффициентами элементов G . ${\ Displaystyle G = \ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n} \}}$

Пусть L - свободная абелева группа с базисом.Существует единственный гомоморфизм групп такой, что ${\ displaystyle B = \ {b_ {1}, \ ldots, b_ {n} \}.}$ ${\ displaystyle p \ двоеточие L \ к A,}$

${\ displaystyle p (b_ {i}) = x_ {i} \ quad {\ text {for}} i = 1, \ ldots, n.}$

Этот гомоморфизм сюръективен , а его ядро конечно порождено (поскольку целые числа образуют нётерово кольцо ). Рассмотрим матрицу M с целыми элементами, в которой элементы j- го столбца являются коэффициентами j- го генератора ядра. Затем абелева группа изоморфна коядру линейной карты , определенный М . Наоборот, каждая целочисленная матрица определяет конечно порожденную абелеву группу.

Отсюда следует, что изучение конечно порожденных абелевых групп полностью эквивалентно изучению целочисленных матриц. В частности, изменение порождающего набора A эквивалентно умножению M слева на унимодулярную матрицу (то есть обратимая целочисленная матрица, обратная которой также является целочисленной матрицей). Изменение порождающего множества ядра матрицы M эквивалентно умножению M справа на унимодулярную матрицу.

Смит нормальная форма из М является матрицей

${\ displaystyle S = UMV,}$

где U и V унимодулярны, а S - матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю, ненулевые диагональные элементы являются первыми и являются делителем для i > j . Существование и форма нормали Смита доказывают, что конечно порожденная абелева группа A является прямой суммой${\ displaystyle d_ {1,1}, \ ldots, d_ {k, k}}$${\ displaystyle d_ {j, j}}$${\ displaystyle d_ {я, я}}$

${\ displaystyle \ mathbb {Z} ^ {r} \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {1,1} \ mathbb {Z} \ oplus \ cdots \ oplus \ mathbb {Z} / d_ {k, k} \ mathbb {Z},}$

где r - количество нулевых строк внизу r (а также ранг группы). Это основная теорема конечно порожденных абелевых групп .

Существование алгоритмов для нормальной формы Смита показывает, что основная теорема о конечно порожденных абелевых группах является не только теоремой об абстрактном существовании, но обеспечивает способ вычисления выражения конечно порожденных абелевых групп в виде прямых сумм.

Бесконечные абелевы группы

Простейшая бесконечная абелева группа - это бесконечная циклическая группа . Любая конечно порожденная абелева группа изоморфна прямой сумме копий и конечной абелевой группы, которая , в свою очередь, разлагается в прямую сумму конечного числа циклических групп из простых энергетических порядков. Даже при том , что разложение не является уникальным, число , называется рангом из , и простых сил , дающие порядки конечных циклических слагаемых однозначно. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle r}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle A}$

Напротив, классификация общих бесконечно порожденных абелевых групп далека от завершения. Делимые группы , т. Е. Абелевы группы , в которых уравнение допускает решение для любого натурального числа и элемента из , составляют один важный класс бесконечных абелевых групп, которые можно полностью охарактеризовать. Каждая делимая группа изоморфна прямой сумму с слагаемыми изоморфным и прюферовыми группами для различных простых чисел , а мощность множества слагаемых каждого типа определяется однозначно. Кроме того, если делимая группа является подгруппой абелевой группы , то допускает прямое дополнение: подгруппа из таких , что . Таким образом, делимые группы являются инъективными модулями в категории абелевых групп , и, наоборот, каждая инъективная абелева группа делима ( критерий Бэра ). Абелева группа без ненулевых делимых подгрупп называется приведенной . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle nx = a}$${\ displaystyle x \ in A}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p} / Z_ {p}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle C}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G = A \ oplus C}$

Два важных специальные классы бесконечных абелевых групп с диаметрально противоположных свойств являются торсионные группы и группы без кручения , примерами которых являются группами (периодические) и (кручения). ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} / \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Торсионные группы

Абелева группа называется периодическим или кручения , если каждый элемент имеет конечный порядок . Прямая сумма конечных циклических групп периодична. Хотя обратное утверждение в целом неверно, известны некоторые частные случаи. Первая и вторая теоремы Прюфера утверждают, что если является периодической группой, и она либо имеет ограниченный показатель , т. Е. Для некоторого натурального числа , либо счетна и -высоты элементов конечны для каждого , то изоморфна группе прямая сумма конечных циклических групп. Мощность множества прямых слагаемых, изоморфных в таком разложении, является инвариантом . Позднее эти теоремы были включены в критерий Куликова . В другом направлении Хельмут Ульм нашел распространение второй теоремы Прюфера на счетные абелевы -группы с элементами бесконечной высоты: эти группы полностью классифицируются с помощью их инвариантов Ульма . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle nA = 0}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {m} \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle p}$

Группы без кручения и смешанные

Абелева группа называется без кручения, если каждый ненулевой элемент имеет бесконечный порядок. Несколько классов абелевых групп без кручения широко изучены:

• Свободные абелевы группы , т. Е. Произвольные прямые суммы${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• Котсионные и алгебраически компактные группы без кручения, такие как -адические целые числа${\ displaystyle p}$
• Стройные группы

Абелева группа, не являющаяся ни периодической, ни без кручения, называется смешанной . Если - абелева группа и является ее подгруппой кручения , то фактор-группа не имеет кручения. Однако, в целом подгруппа кручения не является прямым слагаемым , так это не изоморфны . Таким образом, теория смешанных групп включает в себя нечто большее, чем просто объединение результатов о периодических группах и группах без кручения. Аддитивная группа целых чисел представляет собой -модуль без кручения . ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle Т (А)}$${\ Displaystyle A / T (A)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle Т (А) \ oplus А / Т (А)}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Инварианты и классификация

Одним из самых основных инвариантов бесконечной абелевой группы является ее ранг : мощность максимального линейно независимого подмножества . Абелевы группы ранга 0 - это в точности периодические группы, а абелевы группы без кручения ранга 1 обязательно являются подгруппами и могут быть полностью описаны. В более общем смысле абелева группа без кручения конечного ранга является подгруппой в . С другой стороны, группа целых -адических чисел является абелевой группой без кручения бесконечного -ранга, а группы с разными не изоморфны, так что этот инвариант даже не полностью отражает свойства некоторых известных групп. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {r}}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p} ^ {n}}$${\ displaystyle n}$

Все описанные выше классификационные теоремы для конечно порожденных, делимых, счетных периодических абелевых групп без кручения и ранга 1 были получены до 1950 г. и составляют основу классификации более общих бесконечных абелевых групп. Важными техническими инструментами, используемыми при классификации бесконечных абелевых групп, являются чистые и базовые подгруппы. Введение различных инвариантов абелевых групп без кручения было одним из путей дальнейшего прогресса. Более свежие открытия можно найти в книгах Ирвинга Каплански , Ласло Фукса , Филиппа Гриффита и Дэвида Арнольда , а также в материалах конференций по теории абелевых групп, опубликованных в Lecture Notes in Mathematics .

Аддитивные группы колец

Аддитивная группа кольца является абелевой группой, но не все абелевы группы являются аддитивными группами колец (с нетривиальным умножением). Некоторые важные темы в этой области исследования:

• Тензорное произведение
• Результаты ALS Corner о счетных группах без кручения
• Работа Шелаха по снятию ограничений по количеству элементов
• Кольцо Burnside

Отношение к другим математическим темам

Многие большие абелевы группы обладают естественной топологией , которая превращает их в топологические группы .

Совокупность всех абелевых групп вместе с гомоморфизмами между ними образует категорию , прототип абелевой категории . ${\ displaystyle {\ textbf {Ab}}}$

Ванда Шмелев  ( 1955 ) доказала, что теория абелевых групп первого порядка, в отличие от ее неабелевых аналогов, разрешима. Большинство алгебраических структур, кроме булевых , неразрешимы .

Есть еще много направлений текущих исследований:

• Среди абелевых групп без кручения конечного ранга хорошо изучены только конечно порожденный случай и случай ранга 1 ;
• В теории абелевых групп без кручения бесконечного ранга остается много нерешенных проблем;
• В то время как счетные абелевы группы кручения хорошо понятны с помощью простых представлений и инвариантов Ульма, случай счетных смешанных групп гораздо менее зрел.
• Известно, что многие мягкие расширения теории абелевых групп первого порядка неразрешимы.
• Конечные абелевы группы остаются темой исследований в вычислительной теории групп .

Более того, абелевы группы бесконечного порядка приводят, что довольно удивительно, к глубоким вопросам о теории множеств, которая обычно считается лежащей в основе всей математики. Возьмем проблему Уайтхеда : все ли группы Уайтхеда бесконечного порядка также являются свободными абелевыми группами ? В 1970-х годах Сахарон Шелах доказал, что проблема Уайтхеда:

• Неразрешимая в ZFC ( аксиомах Цермело – Френкеля ) обычная аксиоматическая теория множеств, из которой может быть выведена почти вся современная математика. Проблема Уайтхеда также является первым вопросом в обычной математике, который оказался неразрешимым в ZFC;
• Неразрешимо, даже если ZFC дополнить гипотезой обобщенного континуума в качестве аксиомы;
• Положительно ответил, если ZFC дополнен аксиомой конструктивности (см. Утверждения, истинные в L ).

Заметка о типографике

Среди математических прилагательных , полученных от собственного имени в виде математике , слово «абелева» редко в том , что он часто пишется со строчной а , а не прописной А , отсутствие капитализации является молчаливое признание не только от степени к имя Абеля было официально закреплено, но также и о том, насколько повсеместно в современной математике представлены концепции, введенные им.

Смотрите также

• Коммутаторная подгруппа  - наименьшая нормальная подгруппа, по которой фактор коммутативен.
• Абелианизация  - Факторизация группы по ее коммутаторной подгруппе
• Группа диэдра порядка 6  - Некоммутативная группа с 6 элементами, наименьшая неабелева группа
• Элементарная абелева группа  - коммутативная группа, в которой все ненулевые элементы имеют один и тот же порядок
• Группа Гротендика  - абелева группа, построенная из коммутативного моноида так же, как целые числа из натуральных чисел
• Двойственность Понтрягина  - двойственность для локально компактных абелевых групп

Примечания

использованная литература

• Кокс, Дэвид (2004). Теория Галуа . Wiley-Interscience . ISBN 9781118031339. Руководство по ремонту  2119052 .
• Фукс, Ласло (1970). Бесконечные абелевы группы . Чистая и прикладная математика. 36-я . Академическая пресса . Руководство по ремонту  0255673 .
• Фукс, Ласло (1973). Бесконечные абелевы группы . Чистая и прикладная математика. 36-II. Академическая пресса . Руководство по ремонту  0349869 .
• Гриффит, Филипп А. (1970). Теория бесконечных абелевых групп . Чикагские лекции по математике. Издательство Чикагского университета . ISBN 0-226-30870-7.
• Герштейн, IN (1975). Темы по алгебре (2-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-02371-X.
• Хиллар, Кристофер; Рея, Даррен (2007). «Автоморфизмы конечных абелевых групп» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 114 (10): 917–923. arXiv : math / 0605185 . Bibcode : 2006math ...... 5185H . DOI : 10.1080 / 00029890.2007.11920485 . JSTOR  27642365 . S2CID  1038507 .
• Джейкобсон, Натан (2009). Основы алгебры I (2-е изд.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-47189-1.
• Роуз, Джон С. (2012). Курс теории групп . Dover Publications . ISBN 978-0-486-68194-8. Полное и неизменное переиздание работы, впервые опубликованной издательством Cambridge University Press, Кембридж, Англия, в 1978 году.
• Шмелев, Ванда (1955). «Элементарные свойства абелевых групп» (PDF) . Fundamenta Mathematicae . 41 (2): 203–271. DOI : 10,4064 / фм-41-2-203-271 . Руководство по ремонту  0072131 . Zbl  0248.02049 .

внешние ссылки

• «Абелева группа» . Энциклопедия математики . EMS Press . 2001 [1994].