Изображение (математика) - Image (mathematics)

${\ displaystyle f}$- функция от домена к домену . Желтый овал внутри - это изображение${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle f.}$

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Клейн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

В математике , то изображение из функции является множество всех выходных значений оно может произвести.

В более общем плане , оценивая данную функцию на каждом элементе данного подмножества своей области производит набор, называемый « образ из под (или через) ». Аналогичным образом , прообраз (или прообраз ) данное подмножество из области значений от есть множество всех элементов области , что карты к членам${\ displaystyle f}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle B.}$

Изображение и инверсное изображение также могут быть определены для общих бинарных отношений , а не только для функций.

Определение

Слово «изображение» используется тремя взаимосвязанными способами. В этих определениях - это функция от множества до множества.${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Изображение элемента

Если является членом то образ под обозначается это значение в применении к альтернативно известен как выход для аргумента${\ displaystyle x}$${\ displaystyle X,}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f (x),}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x.}$ ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x.}$

Учитывая функция называется « принимает значение » или « взять в качестве значения » , если существует какое - то в области функции, такие , что Аналогично, учитывая множество , как говорит, « взять значение » , если существует какое - то в области функции в так что, однако, « принимает [все] значения в » и « оценивается в » означает, что для каждой точки в домене. ${\ displaystyle y,}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x) = y.}$${\ displaystyle S,}$ ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f (x) \ in S.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle f (x) \ in S}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle f}$

Изображение подмножества

Образ подмножества под обозначаться есть подмножество , которое может быть определено с помощью набора-строитель обозначений следующим образом : ${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f [A],}$${\ displaystyle Y}$

$${\ Displaystyle е [А] = \ {е (х): х \ в А \}}$$

Когда нет риска путаницы, просто записывается как Это общепринятое соглашение; предполагаемое значение должно быть выведено из контекста. Это делает функцию которого домен представляет собой набор мощности из (множество всех подмножеств в ), и чей кообласть есть множество мощности См § Notation ниже для больше. ${\ displaystyle f [A]}$${\ displaystyle f (A).}$${\ Displaystyle е [\, \ cdot \,]}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$

Изображение функции

Изображение функции является изображением всей его области , также известной как диапазон функции. Такое использование следует избегать , так как слово «диапазон» также часто используется для обозначения кообласти из${\ displaystyle f.}$

Обобщение на бинарные отношения

Если это произвольное бинарное отношение на то множество называется изображение, или диапазон, из Двойственно, множество называется областью${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle X \ раз Y,}$${\ displaystyle \ {y \ in Y: xRy {\ text {для некоторых}} x \ in X \}}$${\ displaystyle R.}$${\ displaystyle \ {x \ in X: xRy {\ text {для некоторых}} y \ in Y \}}$${\ displaystyle R.}$

Обратное изображение

Пусть быть функцией от к The прообраза или прообраза множества под обозначенном это подмножество определяется ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y.}$${\ displaystyle B \ substeq Y}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [B],}$${\ displaystyle X}$

$${\ displaystyle f ^ {- 1} [B] = \ {x \ in X \, | \, f (x) \ in B \}.}$$

Другие обозначения включают в себя и обратное изображение множества одноэлементного , обозначаемом либо также называют волокном или волокном через или заданный уровень из Множества всех слоев над элементами представляет собой семейство множеств , индексированных${\ displaystyle f ^ {- 1} (В)}$${\ displaystyle f ^ {-} (B).}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [\ {y \}]}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [y],}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y.}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle Y.}$

Например, для функции обратное изображение было бы снова, если нет риска путаницы, может быть обозначено и может также рассматриваться как функция от набора степеней до множества степеней Обозначение не должно быть путать с для обратной функции , хотя она совпадает с обычной для биекций в этом прообразе Under является изображением Under${\ Displaystyle е (х) = х ^ {2},}$${\ displaystyle \ {4 \}}$${\ displaystyle \ {- 2,2 \}.}$${\ displaystyle f ^ {- 1} [B]}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (B),}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle Y}$${\ displaystyle X.}$${\ displaystyle f ^ {- 1}}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle f ^ {- 1}.}$

Обозначения для изображения и инверсии

Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, могут сбивать с толку. Альтернативой является предоставление явных имен для изображения и прообраза как функций между наборами степеней:

Обозначение стрелки

• ${\ displaystyle f ^ {\ rightarrow}: {\ mathcal {P}} (X) \ to {\ mathcal {P}} (Y)}$ с участием ${\ Displaystyle е ^ {\ rightarrow} (А) = \ {е (а) \; | \; а \ в А \}}$
• ${\ displaystyle f ^ {\ leftarrow}: {\ mathcal {P}} (Y) \ to {\ mathcal {P}} (X)}$ с участием ${\ Displaystyle е ^ {\ leftarrow} (B) = \ {a \ in X \; | \; f (a) \ in B \}}$

Обозначение звезд

• ${\ displaystyle f _ {\ star}: {\ mathcal {P}} (X) \ to {\ mathcal {P}} (Y)}$ вместо того ${\ displaystyle f ^ {\ rightarrow}}$
• ${\ displaystyle f ^ {\ star}: {\ mathcal {P}} (Y) \ to {\ mathcal {P}} (X)}$ вместо того ${\ displaystyle f ^ {\ leftarrow}}$

Другая терминология

• Альтернативное обозначение, используемое в математической логике и теории множеств :${\ displaystyle f [A]}$${\ displaystyle f \, '' A.}$
• Некоторые тексты относятся к изображению в качестве диапазона , но это использованию следует избегать , так как слово «диапазон» также часто используется для обозначения кообласти из${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f,}$${\ displaystyle f.}$

Примеры

1. ${\ displaystyle f: \ {1,2,3 \} \ к \ {a, b, c, d \}}$ определяется ${\ Displaystyle е (х) = \ влево \ {{\ begin {matrix} a, & {\ mbox {if}} x = 1 \\ a, & {\ mbox {if}} x = 2 \\ c, & {\ mbox {if}} x = 3. \ end {matrix}} \ right.}$
   Изображение множества Under является изображение функции является прообразом из является прообразом из также прообразом является пустое множество${\ displaystyle \ {2,3 \}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle е (\ {2,3 \}) = \ {а, с \}.}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle \ {a, c \}.}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {a \}) = \ {1,2 \}.}$${\ Displaystyle \ {а, б \}}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {1,2 \}) = \ {1,2 \}.}$${\ displaystyle \ {b, d \},}$ ${\ displaystyle \ {\, \} = \ varnothing.}$
2. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$ определяется ${\ displaystyle f (x) = x ^ {2}.}$
   Изображение из Under является и изображение из IS (множество всех положительных действительных чисел и нуля). Прообраз из Under является прообразом множества под пустым множеством, потому что отрицательные числа не имеют квадратные корни в множестве действительных чисел.${\ displaystyle \ {- 2,3 \}}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle е ^ {- 1} (\ {- 2,3 \}) = \ {4,9 \},}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {+}}$${\ displaystyle \ {4,9 \}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f ^ {- 1} (\ {4,9 \}) = \ {- 3, -2,2,3 \}.}$${\ Displaystyle N = \ {п \ in \ mathbb {R}: п <0 \}}$${\ displaystyle f}$
3. ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R}}$ определяется ${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}.}$
   Волокна являются концентрические круги о происхождении , самого происхождения, и пустое множество , в зависимости от того , соответственно. (если тогда слой - это множество всех, удовлетворяющих уравнению центра координат концентрического кольца )${\ Displaystyle е ^ {- 1} (\ {а \})}$${\ displaystyle a> 0, a = 0, {\ text {или}} a <0,}$${\ displaystyle a> 0,}$${\ Displaystyle е ^ {- 1} (\ {а \})}$${\ Displaystyle (х, у) \ в \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = a.}$
4. Если это многообразие и является канонической проекцией из касательного расслоения к тому волокон из являются касательными пространствами Это также является пример расслоения .${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ pi: TM \ to M}$ ${\ displaystyle TM}$${\ displaystyle M,}$${\ displaystyle \ pi}$ ${\ displaystyle T_ {x} (M) {\ text {for}} x \ in M.}$
5. Фактор - группа является гомоморфным.

Характеристики

Контрпримеры, основанные на действительных числах, определенных путем демонстрации того, что равенство, как правило, не обязательно для некоторых законов: ${\ displaystyle \ mathbb {R},}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle х \ mapsto х ^ {2},}$
Изображение, показывающее неравные множества: Наборы и показаны синим цветом непосредственно под осью, а их пересечение показано зеленым цветом .${\ displaystyle f \ left (A \ cap B \ right) \ subsetneq f (A) \ cap f (B).}$${\ Displaystyle A = [- 4,2]}$${\ displaystyle B = [- 2,4]}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle A_ {3} = [- 2,2]}$
${\ displaystyle f \ left (f ^ {- 1} \ left (B_ {3} \ right) \ right) \ subsetneq B_ {3}.}$
${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (f \ left (A_ {4} \ right) \ right) \ supsetneq A_ {4}.}$

Общий

Для каждой функции и всех подмножеств и справедливы следующие свойства: ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle B \ substeq Y,}$

Изображение	Прообраз
${\ Displaystyle f (X) \ substeq Y}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (Y) = X}$
${\ Displaystyle е \ влево (е ^ {- 1} (Y) \ вправо) = е (X)}$	${\ Displaystyle е ^ {- 1} (е (X)) = X}$
${\ Displaystyle е \ влево (е ^ {- 1} (B) \ вправо) \ substeq B}$ (равно, если, например, если сюръективно) ${\ Displaystyle B \ substeq f (X);}$${\ displaystyle f}$	${\ Displaystyle е ^ {- 1} (е (А)) \ supseteq A}$ (равно, если является инъективным) ${\ displaystyle f}$
${\ displaystyle f (f ^ {- 1} (B)) = B \ cap f (X)}$	${\ displaystyle \ left (е \ vert _ {A} \ right) ^ {- 1} (B) = A \ cap f ^ {- 1} (B)}$
${\ Displaystyle е \ влево (е ^ {- 1} (е (А)) \ вправо) = е (А)}$	${\ Displaystyle е ^ {- 1} \ влево (е \ влево (е ^ {- 1} (В) \ вправо) \ вправо) = е ^ {- 1} (В)}$
${\ displaystyle f (A) = \ varnothing \, {\ text {тогда и только тогда, когда}} \, A = \ varnothing}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) = \ varnothing \, {\ text {тогда и только тогда, когда}} \, B \ substeq Y \ setminus f (X)}$
${\ displaystyle f (A) \ supseteq B \, {\ text {тогда и только тогда, когда}} {\ text {там существует}} C \ substeq A {\ text {такое, что}} f (C) = B}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) \ supseteq A \, {\ text {тогда и только тогда, когда}} \, f (A) \ substeq B}$
${\ displaystyle f (A) \ supseteq f (X \ setminus A) \, {\ text {тогда и только тогда, когда}} \, f (A) = f (X)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (B) \ supseteq f ^ {- 1} (Y \ setminus B) \, {\ text {тогда и только тогда, когда}} \, f ^ {- 1} (B) = ИКС}$
${\ Displaystyle е (Икс \ setminus A) \ supseteq f (X) \ setminus f (A)}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (Y \ setminus B) = X \ setminus f ^ {- 1} (B)}$
${\ displaystyle f \ left (A \ cup f ^ {- 1} (B) \ right) \ substeq f (A) \ cup B}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (е (A) \ чашка B) \ supseteq A \ чашка f ^ {- 1} (B)}$
${\ displaystyle f \ left (A \ cap f ^ {- 1} (B) \ right) = f (A) \ cap B}$	${\ Displaystyle f ^ {- 1} (е (A) \ cap B) \ supseteq A \ cap f ^ {- 1} (B)}$

Также:

• ${\ displaystyle f (A) \ cap B = \ varnothing \, {\ text {тогда и только тогда, когда}} \, A \ cap f ^ {- 1} (B) = \ varnothing}$

Множественные функции

Для функций и с подмножествами и следующие свойства: ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle g: Y \ to Z}$${\ displaystyle A \ substeq X}$${\ displaystyle C \ substeq Z,}$

• ${\ Displaystyle (г \ CIRC F) (А) = г (е (А))}$
• ${\ Displaystyle (г \ circ f) ^ {- 1} (C) = f ^ {- 1} (g ^ {- 1} (C))}$

Множественные подмножества домена или кодомена

Для функции и подмножеств и справедливы следующие свойства: ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$${\ displaystyle A, B \ substeq X}$${\ displaystyle S, T \ substeq Y,}$

Изображение	Прообраз
${\ Displaystyle A \ substeq B \, {\ text {подразумевает}} \, f (A) \ substeq f (B)}$	${\ Displaystyle S \ substeq T \, {\ text {подразумевает}} \, f ^ {- 1} (S) \ substeq f ^ {- 1} (T)}$
${\ Displaystyle f (A \ чашка B) = f (A) \ чашка f (B)}$	${\ Displaystyle е ^ {- 1} (S \ чашка T) = f ^ {- 1} (S) \ чашка f ^ {- 1} (T)}$
${\ Displaystyle е (A \ крышка B) \ substeq f (A) \ крышка f (B)}$ (равно, если является инъективным) ${\ displaystyle f}$	${\ displaystyle f ^ {- 1} (S \ cap T) = f ^ {- 1} (S) \ cap f ^ {- 1} (T)}$
${\ Displaystyle е (А \ setminus B) \ supseteq f (A) \ setminus f (B)}$ (равно, если является инъективным) ${\ displaystyle f}$	${\ Displaystyle е ^ {- 1} (S \ setminus T) = f ^ {- 1} (S) \ setminus f ^ {- 1} (T)}$
${\ Displaystyle е \ влево (A \ треугольник B \ вправо) \ supseteq f (A) \ треугольник f (B)}$ (равно, если является инъективным) ${\ displaystyle f}$	${\ Displaystyle е ^ {- 1} \ влево (S \ треугольник T \ вправо) = f ^ {- 1} (S) \ треугольник f ^ {- 1} (T)}$

Результаты, связывающие изображения и прообразы с ( булевой ) алгеброй пересечения и объединения, работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:

• ${\ displaystyle f \ left (\ bigcup _ {s \ in S} A_ {s} \ right) = \ bigcup _ {s \ in S} f \ left (A_ {s} \ right)}$
• ${\ Displaystyle е \ влево (\ bigcap _ {s \ in S} A_ {s} \ right) \ substeq \ bigcap _ {s \ in S} f \ left (A_ {s} \ right)}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcup _ {s \ in S} B_ {s} \ right) = \ bigcup _ {s \ in S} f ^ {- 1} \ left (B_ {s }\Правильно)}$
• ${\ displaystyle f ^ {- 1} \ left (\ bigcap _ {s \ in S} B_ {s} \ right) = \ bigcap _ {s \ in S} f ^ {- 1} \ left (B_ {s }\Правильно)}$

(Здесь может быть бесконечно, даже бесконечно .) ${\ displaystyle S}$

Относительно алгебры подмножеств, описанной выше, функция прообраза является решеточным гомоморфизмом , в то время как функция изображения является только полурешеточным гомоморфизмом (то есть, она не всегда сохраняет пересечения).

Смотрите также

• Биекция, инъекция и сюръекция  - Свойства математических функций
• Изображение (теория категорий)
• Ядро функции
• Инверсия набора  - математическая проблема поиска набора, отображаемого заданной функцией в определенный диапазон

Примечания

использованная литература

• Артин, Майкл (1991). Алгебра . Прентис Холл. ISBN 81-203-0871-9.
• Блит, Т.С. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
• Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC  945169917 .
• Халмос, Пол Р. (1960). Теория наивных множеств . Университетская серия по математике. Компания ван Ностранд. ISBN 9780442030643. Zbl  0087.04403 .
• Келли, Джон Л. (1985). Общая топология . Тексты для выпускников по математике . 27 (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
• Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260 .

Эта статья включает в себя материал из Fiber on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .