Ядро (алгебра) - Kernel (algebra)

В алгебре , то ядро из гомоморфизма (функция , которая сохраняет структуру ) , как правило, прообраз 0 (за исключение групп , работа которых обозначаются мультипликативным, где ядро представляет собой прообраз 1). Важным частным случаем является ядро линейного отображения . Ядро матрицы , также называется нуль - пространство , является ядром линейного отображения , заданного матрицей.

Ядро гомоморфизма сводится к 0 (или 1) тогда и только тогда, когда гомоморфизм инъективен , то есть если прообраз каждого элемента состоит из одного элемента. Это означает, что ядро можно рассматривать как меру степени, в которой гомоморфизм не может быть инъективным.

Для некоторых типов структур, таких как абелевы группы и векторные пространства , возможные ядра являются в точности подструктурами того же типа. Это не всегда так, и иногда возможные ядра получали специальное название, например, нормальная подгруппа для групп и двусторонние идеалы для колец .

Ядра позволяют определять фактор-объекты (также называемые фактор-алгебрами в универсальной алгебре и коядрами в теории категорий ). Для многих типов алгебраической структуры основная теорема о гомоморфизмах (или первая теорема об изоморфизме ) утверждает, что образ гомоморфизма изоморфен факторпространству по ядру.

Понятие ядра было распространено на такие структуры, что прообраз отдельного элемента не достаточно для решения, является ли гомоморфизм инъективным. В этих случаях ядро является отношением конгруэнтности .

Эта статья представляет собой обзор некоторых важных типов ядер в алгебраических структурах.

Обзор примеров

Линейные карты

Пусть V и W будут векторные пространства над в поле (или в более общем плане , модули в течение кольца ) , и пусть Т быть линейным отображением из V в W . Если 0 _Вт является нулевой вектор из W , то ядро Т является прообразом от нулевого подпространства { 0 _W }; то есть подмножество из V , состоящее из всех тех элементов V , которые отображаются с помощью Т к элементу 0 _Вт . Ядро обычно обозначается как $ker T$ или его разновидность:

{\ displaystyle \ ker T = \ {\ mathbf {v} \ in V: T (\ mathbf {v}) = \ mathbf {0} _ {W} \}.}

Поскольку линейное отображение сохраняет нулевые векторы, нулевой вектор 0 _V поля V должен принадлежать ядру. Преобразование T инъективно тогда и только тогда, когда его ядро сводится к нулевому подпространству.

Ядро кег Т всегда линейное подпространство в V . Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-пространстве V / (ker T ). Первая теорема об изоморфизме для векторных пространств состояний , что этот фактор пространство естественно изоморфно к изображению на Т (который является подпространством W ). Как следствие, размерность в V равна размерности ядра плюс размер изображения.

Если V и W являются конечномерен и основы были выбраны, то Т может быть описано с помощью матрицы М , а ядро может быть вычислена путем решения однородной системы линейных уравнений М V = 0 . В этом случае ядро Т может быть идентифицировано с ядром матрицы М , которая также называется «нуль - пространство» из М . Размерность нуль - пространства, называется недействительность М , определяется числом столбцов М минус ранга из М , как следствие теоремы ранга дефектности .

Решение однородных дифференциальных уравнений часто сводится к вычислению ядра некоторых дифференциальных операторов . Например, чтобы найти все дважды дифференцируемые функции f от вещественной прямой к самой себе такие, что

{\ Displaystyle xf '' (x) + 3f '(x) = f (x),}

пусть V - пространство всех дважды дифференцируемых функций, пусть W - пространство всех функций, и определим линейный оператор T из V в W следующим образом:

{\ Displaystyle (Tf) (x) = xf '' (x) + 3f '(x) -f (x)}

для f в V и x произвольное действительное число . Тогда все решения дифференциального уравнения в кег Т .

Аналогичным образом можно определить ядра для гомоморфизмов между модулями над кольцом . Это включает ядра для гомоморфизмов между абелевыми группами как частный случай. Этот пример отражает сущность ядер в общих абелевых категориях ; см. Ядро (теория категорий) .

Групповые гомоморфизмы

Пусть G и H будут группы , и пусть е будет гомоморфизмом из G в H . Если е _Н является единичным элементом из Н , то ядро из F является прообразом одноэлементного множества { е _Н }; то есть подмножество G , состоящее из всех тех элементов G , которые отображаются с помощью F к элементу е _Н . Ядро обычно обозначают $ker f$ (или его вариант). В символах:

{\ Displaystyle \ ker f = \ {g \ in G: f (g) = e_ {H} \}.}

Поскольку гомоморфизм групп сохраняет единичные элементы, единичный элемент e _G группы G должен принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество { e _G }. Это верно , потому что если гомоморфизм е не инъективно, то существует с таким образом, что . Это означает, что , что эквивалентно утверждению, что поскольку гомоморфизмы групп переводят обратные в обратные и поскольку . Другими словами, . И наоборот, если существует элемент , то , следовательно, f не инъективен. ${\ displaystyle a, b \ in G}$ ${\ displaystyle a \ neq b}$ ${\ Displaystyle е (а) = е (Ь)}$ ${\ Displaystyle е (а) е (б) ^ {- 1} = е_ {Н}}$ ${\ displaystyle f (ab ^ {- 1}) = e_ {H}}$ ${\ Displaystyle е (а) е (Ь ^ {- 1}) = е (ab ^ {- 1})}$ ${\ displaystyle ab ^ {- 1} \ in \ ker f}$ ${\ displaystyle g \ neq e_ {G} \ in \ ker f}$ ${\ Displaystyle f (g) = f (e_ {G}) = e_ {H}}$

Оказывается, ker f не только подгруппа группы G, но и нормальная подгруппа . Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-группе G / (ker f ). Первая теорема об изоморфизме для групп утверждает , что фактор - группа естественно изоморфна образом F (который является подгруппой H ).

В частном случае абелевых групп это работает точно так же, как и в предыдущем разделе.

Пример

Пусть G - циклическая группа на 6 элементах {0,1,2,3,4,5} с модулярным сложением , H - циклическая группа на 2 элементах {0,1} с модулярным сложением, а f - гомоморфизм, отображающий каждый элемент г в G к элементу г по модулю 2 в H . Тогда кег е = {0, 2, 4}, так как все эти элементы отображаются в 0 _H . Фактор-группа G / (ker f ) состоит из двух элементов: {0,2,4} и {1,3,5}. Это действительно изоморфна H .

Гомоморфизмы колец

Пусть R и S будут кольца (предполагается унитальная ) , и пусть F быть кольцевой гомоморфизм из R к S . Если 0 _S является нулевым элементом из S , то ядро из F является его ядро , как линейное отображение над целыми числами, или, что эквивалентно, в качестве аддитивных групп. Это прообраз нулевого идеала {0 _S }, которая является, подмножество R , состоящее из всех тех элементов R , которые отображаются с помощью F к элементу 0 _S . Ядро обычно обозначают $ker f$ (или его разновидность). В символах:

{\ displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {r \ in R: f (r) = 0_ {S} \} {\ mbox {.}}}

Так как кольцевой гомоморфизм сохраняет нулевые элементы, нулевой элемент 0 _R из R должны принадлежать к ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество {0 _R }. Это всегда так, если R - поле , а S - не нулевое кольцо .

Так как кек е содержат мультипликативную идентичность только тогда , когда S является нулевым кольцом, то оказывается, что ядро , как правило , не является Подкольцом из R. Ядра является суб RNG , и, более точно, двусторонний идеал в R . Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-кольце R / (ker f ). Первая теорема об изоморфизме колец утверждает, что это фактор-кольцо естественно изоморфно образу f (который является подкольцом S ). (обратите внимание, что кольца не обязательно должны быть единичными для определения ядра).

В некоторой степени это можно рассматривать как частный случай ситуации для модулей, поскольку все они являются бимодулями над кольцом R :

Сам R ;
любой двусторонний идеал кольца R (например, ker f );
любое факторкольцо R (такое как R / (ker f )); а также
кообласть любого кольцевого гомоморфизма которого домен R (например, S , то кообласть F ).

Однако теорема об изоморфизме дает более сильный результат, потому что изоморфизмы колец сохраняют умножение, а изоморфизмы модулей (даже между кольцами) в целом нет.

Этот пример отражает суть ядер в общих алгебрах Мальцева .

Гомоморфизмы моноидов

Пусть M и N быть моноиды и пусть е будет Моноид гомоморфизм из М в N . Тогда ядро из F является подмножеством прямого произведения М × М , состоящее из всех тех упорядоченных пар элементов из М , компоненты которых оба нанесены на карту F к одному элементу в N . Ядро обычно обозначают $ker f$ (или его вариант). В символах:

{\ displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {(m, m ') \ in M ​​\ times M: f (m) = f (m') \} {\ mbox {.}}}

Поскольку f - функция , элементы вида ( m , m ) должны принадлежать ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только диагональное множество {(m, m): m в M }.

Оказывается, ker f является отношением эквивалентности на M и фактически отношением конгруэнтности . Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-моноиде M / (ker f ). Первая теорема об изоморфизме для моноидов утверждает , что этот фактор Моноид естественно изоморфен образом F (который является подмоноидом из N ), (для конгруэнции отношения).

Это сильно отличается от приведенных выше примеров. В частности, прообраз единичного элемента N является не достаточно , чтобы определить ядро е .

Универсальная алгебра

Все перечисленные случаи можно объединить и обобщить в универсальную алгебру .

Общий случай

Пусть и B будут алгебраические структурами данного типа , и пусть й гомоморфизм этого типа от А до B . Тогда ядро из F является подмножеством прямого произведения × A , состоящее из всех тех упорядоченных пар элементов А , компоненты которых оба нанесены на карту F к одному элементу в B . Ядро обычно обозначают $ker$ $f$ (или его вариант). В символах:

{\ displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {(a, a ') \ in A \ times A: f (a) = f (a') \} {\ mbox {.}}}

Поскольку f - функция , элементы вида ( a , a ) должны принадлежать ядру.

Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является в точности диагональное множество {( a , a ): a ∈ A }.

Легко видеть, что ker f является отношением эквивалентности на A и фактически отношением конгруэнтности . Таким образом, имеет смысл говорить о фактор-алгебре A / (ker f ). Первая теорема об изоморфизме в общих универсальных состояниях алгебры , что фактор - алгебра естественным образом изоморфна образом F (который является подалгеброй в B ).

Обратите внимание, что определение ядра здесь (как в примере моноида) не зависит от алгебраической структуры; это чисто набор -theoretic понятие. Для получения дополнительной информации об этой общей концепции, помимо абстрактной алгебры, см. Ядро функции .

Алгебры Мальцева

В случае алгебр Мальцева эту конструкцию можно упростить. Каждая алгебра Мальцева имеет специальный нейтральный элемент ( нулевой вектор в случае векторных пространств , единичный элемент в случае коммутативных групп и нулевой элемент в случае колец или модулей). Характерной чертой алгебры Мальцева является то, что мы можем восстановить все отношение эквивалентности ker f из класса эквивалентности нейтрального элемента.

Более конкретно, пусть и Б быть Мальцевские алгебраические структуры данного типа , и пусть F гомоморфизм этого типа от A до B . Если е _Б является нейтральным элементом B , то ядро из F является прообразом из одноточечного множества { е _B }; то есть подмножество из А , состоящее из всех тех элементов A , которые отображаются с помощью F к элементу х _B . Ядро обычно обозначают $ker$ $f$ (или его вариант). В символах:

{\ displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {a \ in A: f (a) = e_ {B} \} {\ mbox {.}}}

Так как гомоморфизм алгебры Мальцева сохраняет нейтральные элементы, единичный элемент е из А должен принадлежать к ядру. Гомоморфизм f инъективен тогда и только тогда, когда его ядром является только одноэлементное множество { e _A }.

Понятие идеала обобщается на любую алгебру Мальцева (как линейное подпространство в случае векторных пространств, нормальная подгруппа в случае групп, двусторонние идеалы в случае колец и подмодуль в случае модулей ). Оказывается, ker f не является подалгеброй в A , но является идеалом. Тогда имеет смысл говорить о фактор-алгебре G / (ker f ). Первая теорема об изоморфизме для алгебр Мальцева утверждает, что эта фактор-алгебра естественно изоморфна образу f (который является подалгеброй B ).

Связь между этим и отношением конгруэнтности для более общих типов алгебр заключается в следующем. Во-первых, ядро как идеал - это класс эквивалентности нейтрального элемента e _A относительно ядра как конгруэнции. Для обратного направления нам понадобится понятие фактора в алгебре Мальцева (которое является делением с обеих сторон для групп и вычитанием для векторных пространств, модулей и колец). Используя это, элементы a и b из A эквивалентны в соответствии с ядром-как-конгруэнцией тогда и только тогда, когда их фактор a / b является элементом ядра-как-идеала.

Алгебры с неалгебраической структурой

Иногда алгебры снабжены неалгебраической структурой в дополнение к их алгебраическим операциям. Например, можно рассматривать топологические группы или топологические векторные пространства , снабженные топологией . В этом случае мы ожидаем, что гомоморфизм f сохранит эту дополнительную структуру; в топологических примерах мы хотели бы, чтобы f было непрерывным отображением . Процесс может натолкнуться на препятствия с фактор-алгебрами, которые могут быть некорректными. В топологических примерах мы можем избежать проблем, требуя, чтобы топологические алгебраические структуры были хаусдорфовы (как это обычно делается); тогда ядро (как бы оно ни было построено) будет замкнутым множеством, и фактор-пространство будет работать нормально (а также по Хаусдорфу).

Ядра в теории категорий

Понятие ядра в теории категорий является обобщением ядер абелевых алгебр; см. Ядро (теория категорий) . Категорическим обобщением ядра как отношения конгруэнтности является пара ядер . (Существует также понятие разностного ядра или двоичного эквалайзера .)

Languages

In other projects