Подгруппа кручения - Torsion subgroup

В теории абелевых групп , то подгруппа кручение _Т абелева группа А является подгруппой из А , состоящая из всех элементов , которые имеют конечный порядок (то торсионные элементы из A ). Абелева группа A называется группой кручения (или периодической группой), если каждый элемент A имеет конечный порядок, и называется группой без кручения, если каждый элемент A, кроме единицы, имеет бесконечный порядок.

Доказательство того, что A _T замкнуто относительно групповой операции, основывается на коммутативности операции (см. Раздел «Примеры»).

Если A абелева, то подгруппа кручения T является полностью характеристической подгруппой группы A, а фактор-группа A / T не имеет кручения. Существует ковариантный функтор из категории абелевых групп в категорию торсионных групп, который переводит каждую группу в свою торсионную подгруппу, а каждый гомоморфизм - в его ограничение на торсионную подгруппу. Существует еще один ковариантный функтор из категории абелевых групп в категорию групп без кручения, который переводит каждую группу в ее фактор по ее подгруппе кручения и переводит каждый гомоморфизм в очевидный индуцированный гомоморфизм (который, как легко видеть, хорошо определен ).

Если будет конечно порождена и абелева, то она может быть записана в виде прямой суммы его кручения подгруппы Т и кручения подгруппы (но это не верно для всех бесконечно порожденных абелевых групп). В любом разложении A как прямой суммы подгруппы кручения S и подгруппы без кручения S должна быть равна T (но подгруппа без кручения не определена однозначно). Это ключевой шаг в классификации конечно порожденных абелевых групп .

p -степенные торсионные подгруппы

Для любой абелевой группы и любого простого числа p множество A _Tp элементов A, которые имеют порядок степени p, является подгруппой, называемой p -степенной подгруппой кручения или, более свободно, p -крученной подгруппой : ${\ Displaystyle (А, +)}$

${\ Displaystyle A_ {T_ {p}} = \ {a \ in A \; | \; \ существует n \ in \ mathbb {N} \ ;, p ^ {n} a = 0 \}. \;}$

Подгруппа кручения A _T изоморфна прямой сумме своих p -степенных подгрупп кручения по всем простым числам p :

${\ Displaystyle A_ {T} \ cong \ bigoplus _ {p \ in P} A_ {T_ {p}}. \;}$

Когда конечная абелева группа, _Tp совпадает с уникальным Силовом р -подгруппой из A .

Каждая p -степенная подгруппа кручения группы A является вполне характеристической подгруппой . Более того, любой гомоморфизм между абелевыми группами переводит каждую p -степенную подгруппу кручения в соответствующую p -степенную подгруппу кручения.

Для каждого простого числа p это обеспечивает функтор из категории абелевых групп в категорию p -степенных торсионных групп, который переводит каждую группу в свою p -степенную подгруппу кручения и ограничивает каждый гомоморфизм на p -степенные подгруппы кручения . Произведение по множеству всех простых чисел ограничения этих функторов на категорию торсионных групп является точным функтором из категории торсионных групп в произведение по всем простым числам категорий p -кручение групп. В некотором смысле это означает, что изолированное изучение p -кторсионных групп говорит нам все о торсионных группах в целом.

Примеры и дальнейшие результаты

4-торсионная подгруппа фактор-группы комплексных чисел по сложению решеткой.

• Торсионное подмножество неабелевой группы, вообще говоря, не является подгруппой. Например, в бесконечной группе диэдра , у которой есть представление :

⟨ Х , у | x ² = y ² = 1⟩

элемент xy является произведением двух элементов кручения, но имеет бесконечный порядок.

• Элементы кручения в нильпотентной группе образуют нормальную подгруппу .
• Каждая конечная абелева группа является периодической группой. Однако не всякая торсионная группа конечна: рассмотрим прямую сумму счетного числа копий циклической группы C ₂ ; это торсионная группа, так как каждый элемент имеет порядок 2. Нет необходимости иметь верхнюю границу порядков элементов в торсионной группе, если она не является конечно порожденной , как показывает пример фактор-группы Q / Z.
• Каждая свободная абелева группа без кручения, но обратное не верно, как показывает аддитивной группы рациональных чисел Q .
• Даже если A не конечно порождена, размер ее части без кручения определяется однозначно, как более подробно объясняется в статье о ранге абелевой группы .
• Абелева группа имеет кручение тогда и только тогда , когда это плоское как Z - модуль , что означает , что всякий раз , когда С является подгруппой некоторой абелевой группы B , то естественное отображение из тензорного произведения C ⊗ A к B ⊗ A является инъективным .
• Тензорирование абелевой группы A с помощью Q (или любой делимой группы ) убивает кручение. То есть, если Т является группа кручения , то Т ⊗ Q = 0. Для общей абелевой группы с торсионной подгруппа Т одна имеет ⊗ Q ≅ / Т ⊗ Q .
• Взятие подгруппы кручения превращает абелевы группы без кручения в корефлективную подкатегорию абелевых групп, в то время как факторизация по подгруппе кручения превращает абелевы группы без кручения в рефлексивную подкатегорию .

Смотрите также

• Кручение (алгебра)
• Абелева группа без кручения
• Торсионная абелева группа

Примечания

Рекомендации

• Эпштейн, Дэвид Б.А .; Кэннон, Джеймс У .; Холт, Дерек Ф .; Леви, Сильвио В.Ф .; Патерсон, Майкл С .; Терстон, Уильям П. (1992), Обработка текста в группах , Бостон, Массачусетс: издательство Jones and Bartlett, ISBN   0-86720-244-0