Характеристическая подгруппа - Characteristic subgroup

В математике , особенно в области абстрактной алгебры, известной как теория групп , характеристическая подгруппа - это подгруппа, которая отображается на себя каждым автоморфизмом родительской группы . Поскольку каждое отображение сопряжения является внутренним автоморфизмом , каждая характеристическая подгруппа нормальна ; хотя обратное не гарантируется. Примеры характеристических подгрупп включают коммутатор и центр группы .

Определение

Подгруппа H группы G называется характеристической подгруппой, если для любого автоморфизма φ группы G выполняется φ ( H ) ≤ H ; затем записать H обугленного G .

Было бы равносильно потребовать более сильного условия φ ( H ) = H для любого автоморфизма φ группы G , поскольку φ −1 ( H ) ≤ H влечет обратное включение H ≤ φ ( H ) .

Основные свойства

Для H char G любой автоморфизм группы G индуцирует автоморфизм фактор-группы G / H , который порождает гомоморфизм Aut ( G ) → Aut ( G / H ) .

Если G имеет единственную подгруппу H данного индекса, то Н характерно в G .

Связанные понятия

Нормальная подгруппа

Подгруппа группы H , инвариантная относительно всех внутренних автоморфизмов, называется нормальной ; также инвариантная подгруппа.

∀φ ∈ Inn ( G ) : φ [ H ] ≤ H

Поскольку Inn ( G ) ⊆ Aut ( G ) и характеристическая подгруппа инвариантна относительно всех автоморфизмов, каждая характеристическая подгруппа нормальна. Однако не всякая нормальная подгруппа характерна. Вот несколько примеров:

  • Пусть H нетривиальная группа, и пусть G является прямым произведением , H × H . Тогда обе подгруппы {1} × H и H × {1} нормальны, но ни одна из них не является характеристической. В частности, ни одна из этих подгрупп не инвариантна относительно автоморфизма ( x , y ) → ( y , x ) , который переключает два фактора.
  • В качестве конкретного примера пусть V - четырехгруппа Клейна (которая изоморфна прямому произведению 2 × 2 ). Поскольку эта группа абелева , каждая подгруппа нормальна; но каждая перестановка 3-х неединичных элементов является автоморфизмом V , поэтому 3 подгруппы порядка 2 не являются характеристическими. Здесь V = { e , a , b , ab } . Рассмотрим H = { e , a } и рассмотрим автоморфизм T ( e ) = e , T ( a ) = b , T ( b ) = a , T ( ab ) = ab ; Затем Т ( Н ) не содержится в H .
  • В группе кватернионов порядка 8 каждая из циклических подгрупп порядка 4 нормальна, но ни одна из них не является характеристической. Однако подгруппа {1, −1} является характеристической, поскольку это единственная подгруппа порядка 2.
  • Если n четно, группа диэдра порядка 2 n имеет 3 подгруппы индекса 2, все из которых нормальные. Одна из них - циклическая подгруппа, которая характерна. Две другие подгруппы диэдральны; они переставляются внешним автоморфизмом родительской группы и поэтому не являются характеристическими.

Строго характеристическая подгруппа

А строго характеристическая подгруппа , иливыделенная подгруппа , инвариантная относительносюръективных эндоморфизмов. Дляконечных группсюръективность эндоморфизма влечет инъективность, поэтому сюръективный эндоморфизм является автоморфизмом; таким образом, бытьстрого характеристикойэквивалентнохарактеристике. Для бесконечных групп это уже не так.

Полностью характеристическая подгруппа

Для еще более сильного ограничения полностью характеристическая подгруппа (также полностью инвариантная подгруппа ; ср. Инвариантная подгруппа), H , группы G , является группой, остающейся инвариантной относительно любого эндоморфизма группы G ; это,

∀φ ∈ End ( G ): φ [ H ] ≤ H .

Каждая группа имеет себя (несобственную подгруппу) и тривиальную подгруппу в качестве двух своих полностью характеристических подгрупп. Коммутант группы всегда является полностью характеристической подгруппой.

Каждый эндоморфизм группы G индуцирует эндоморфизм группы G / H , что дает отображение End ( G ) → End ( G / H ) .

Вербальная подгруппа

Еще более сильным ограничением является вербальная подгруппа , которая является образом полностью инвариантной подгруппы свободной группы при гомоморфизме. В общем, любая вербальная подгруппа всегда полностью характерна. Для любой редуцированной свободной группы и, в частности, для любой свободной группы верно и обратное: каждая полностью характеристическая подгруппа вербальна.

Транзитивность

Свойство быть характеристическим или полностью характеристическим является переходным ; если Н является (полностью) характеристической подгруппой K и K является (полностью) характеристической подгруппой группы G , то Н является (полностью) характеристической подгруппой группы G .

Н символ K символ GH символ G .

Более того, хотя нормальность не является транзитивной, верно, что каждая характеристическая подгруппа нормальной подгруппы является нормальной.

Н символ KGHG

Точно так же, хотя быть строго характеристической (выделенной) не транзитивно, верно, что каждая полностью характеристическая подгруппа строго характеристической подгруппы является строго характеристической.

Однако, в отличие от нормальности, если Н символ G и К является подгруппой группы G , содержащей H , то в общем H не обязательно характерна в K .

H char G , H < K < GH char K

Контейнеры

Каждая подгруппа, которая является полностью характеристической, безусловно, является строго характеристической и характеристической; но характеристическая или даже строго характеристическая подгруппа не обязательно должна быть полностью характеристической.

Центр группы всегда строго характеристическая подгруппа, но не всегда в полной мере характерно. Например, конечная группа порядка 12, Sym (3) × ℤ / 2ℤ , имеет гомоморфизм, переводящий ( π , y ) в ((1, 2) y , 0) , который принимает центр, 1 × ℤ / 2ℤ , в подгруппу Sym (3) × 1 , которая пересекает центр только в единице.

Взаимосвязь между этими свойствами подгруппы может быть выражена как:

ПодгруппаНормальная подгруппаХарактеристическая подгруппа ⇐ Строго характеристическая подгруппа ⇐ Полностью характеристическая подгруппаВербальная подгруппа

Примеры

Конечный пример

Рассмотрим группу G = S 3 × ℤ 2 (группу порядка 12, которая является прямым произведением симметрической группы порядка 6 и циклической группы порядка 2). Центр G изоморфна своей второй фактор 2 . Обратите внимание, что первый фактор, S 3 , содержит подгруппы, изоморфные 2 , например {e, (12)} ; пусть f : ℤ 2 → S 3 - отображение морфизма 2 на указанную подгруппу. Тогда композиция проекции G на его второй множитель 2 , а затем F , с последующим включением S 3 в G в качестве первого фактора, обеспечивает эндоморфизм G , при котором изображение центра, 2 , является не содержится в центре, так что здесь центр не вполне характеристическая подгруппа группы G .

Циклические группы

Каждая подгруппа циклической группы характеристична.

Подгрупповые функторы

Производная подгруппа (или коммутатор) группы является вербальной подгруппой. Кручения подгруппа из абелевой группы является вполне характеристической подгруппой.

Топологические группы

Компонента единицы из топологической группы всегда является характеристической подгруппой.

Смотрите также

Рекомендации