Групповой гомоморфизм - Group homomorphism

Образ группового гомоморфизма ( h ) из G (слева) в H (справа). Меньший овал внутри H - это изображение h . N является ядром из ч и является смежным классом из N .

В математике для данных двух групп ( G , ∗) и ( H , ·) гомоморфизм группы из ( G , ∗) в ( H , ·) - это функция h  : G H такая, что для всех u и v из G считается, что

где групповая операция на левой стороне уравнения является то , что G и на правой стороне этого из Н .

Из этого свойства можно вывести, что h отображает единичный элемент e G группы G в единичный элемент e H группы H ,

и он также отображает обратное в обратное в том смысле, что

Следовательно, можно сказать, что h «согласовано со структурой группы».

Старые обозначения для гомоморфизма h ( x ) могут быть x h или x h , хотя их можно спутать с индексом или общим нижним индексом. В теории автоматов иногда гомоморфизмы пишутся справа от аргументов без скобок, так что h ( x ) становится просто xh .

В областях математики, где рассматриваются группы, наделенные дополнительной структурой, гомоморфизм иногда означает карту, которая учитывает не только структуру группы (как указано выше), но и дополнительную структуру. Например, часто требуется, чтобы гомоморфизм топологических групп был непрерывным.

Интуиция

Цель определения гомоморфизма группы - создать функции, сохраняющие алгебраическую структуру. Эквивалентное определение гомоморфизма групп: функция h  : G H является гомоморфизмом группы, если всякий раз

a b = c   имеем   h ( a ) ⋅ h ( b ) = h ( c ).

Другими словами, группа H в некотором смысле имеет алгебраическую структуру, аналогичную G, и гомоморфизм h ее сохраняет.

Типы

Мономорфизм
Групповой гомоморфизм, инъективный (или взаимно однозначный); т.е. сохраняет четкость.
Эпиморфизм
Гомоморфизм группы, который сюръективен (или на); т.е. достигает каждой точки в кодомене.
Изоморфизм
Гомоморфизм группы, который является биективным ; т.е. инъективный и сюръективный. Обратный к нему также является гомоморфизмом групп. В этом случае группы G и H называются изоморфными ; они различаются только обозначениями своих элементов и идентичны для всех практических целей.
Эндоморфизм
Гомоморфизм, h : G G ; домен и кодомен совпадают. Также называется эндоморфизмом G .
Автоморфизм
Биективный эндоморфизм и, следовательно, изоморфизм. Множество всех автоморфизмов из группы G , с функциональной композицией в качестве операции, образует собой группу, в группу автоморфизмов из G . Обозначается Aut ( G ). Например, группа автоморфизмов ( Z , +) содержит только два элемента, тождественное преобразование и умножение на −1; она изоморфна Z / 2 Z .

Образ и ядро

Мы определяем ядро h как набор элементов в G, которые отображаются в единицу в H

и образ h должен быть

Ядро и образ гомоморфизма можно интерпретировать как измерение того, насколько он близок к изоморфизму. В первой теореме изоморфизма утверждает , что образ гомоморфизма групп, ч ( G ) изоморфна фактор - группу G / кекли ч .

Ядро ч является нормальной подгруппой в G и изображение Н является подгруппой из H :

Если и только если ker ( h ) = { e G }, гомоморфизм h является групповым мономорфизмом ; т.е. h инъективен (однозначно). Инъекция напрямую указывает, что в ядре есть уникальный элемент, а уникальный элемент в ядре дает инъекцию:

Примеры

  • Рассмотрим циклическую группу Z / 3 Z = {0, 1, 2} и группу целых чисел Z с добавлением. Отображение h  : Z Z / 3 Z с h ( u ) = u mod 3 является гомоморфизмом групп. Он сюръективен, и его ядро ​​состоит из всех целых чисел, которые делятся на 3.
  • Рассмотрим группу

    Для любого комплексного числа u функция f u  : G C * определяется следующим образом:

    является гомоморфизмом групп.
  • Рассмотрим мультипликативную группу положительных действительных чисел ( R + , ⋅) для любого комплексного числа u функцию f u  : R + C, определенную следующим образом:
    является гомоморфизмом групп.
  • Экспоненциальное отображение дает гомоморфизм групп из группы действительных чисел R с добавлением к группе ненулевых вещественных чисел R * с умножением. Ядро - это {0}, а изображение состоит из положительных действительных чисел.
  • Экспоненциальное отображение также дает гомоморфизм группы из группы комплексных чисел C с добавлением к группе ненулевых комплексных чисел C * с умножением. Это отображение сюръективно и имеет ядро ​​{2π ki  : k Z }, как видно из формулы Эйлера . Поля, подобные R и C, которые имеют гомоморфизмы из их аддитивной группы в их мультипликативную группу, поэтому называются экспоненциальными полями .

Категория групп

Если h  : G H и k  : H K гомоморфизмы групп, то k h  : G K тоже . Это показывает, что класс всех групп вместе с гомоморфизмами групп как морфизмами образует категорию .

Гомоморфизмы абелевых групп

Если G и Н являются абелевы (т.е. коммутативным) групп, то множество Horn ( G , H ) всех гомоморфизмов группы от G до H сам абелева группа: сумма ч + к из двух гомоморфизмов определяются

( Ч + к ) ( у ) = ч ( у ) + к ( у ) для всех U в G .

Коммутативность H необходима для доказательства того, что h + k снова является гомоморфизмом групп.

Сложение гомоморфизмов согласовано с композицией гомоморфизмов в следующем смысле: если f принадлежит Hom ( K , G ) , h , k являются элементами Hom ( G , H ) , а g принадлежит Hom ( H , L ) , тогда

( h + k ) ∘ f = ( h f ) + ( k f )    и    g ∘ ( h + k ) = ( g h ) + ( g k ) .

Так как композиция является ассоциативной , это показывает , что множество End ( G ) всех эндоморфизмов абелевой группы образует кольцо , то кольцо эндоморфизмов из G . Например, кольцо эндоморфизмов абелевой группы , состоящая из прямой суммы из м копия Z / п Z изоморфна кольца м матрица с размерностью м матрицы с элементами из Z / н Z . Вышеупомянутая совместимость также показывает, что категория всех абелевых групп с гомоморфизмами групп образует преаддитивную категорию ; существование прямых сумм и корректных ядер делает эту категорию прототипом абелевой категории .

Смотрите также

Рекомендации

  • Даммит, Д.С. Фут, Р. (2004). Абстрактная алгебра (3-е изд.). Вайли. С. 71–72. ISBN   978-0-471-43334-7 .
  • Ланг, Серж (2002), Алгебра , Тексты для выпускников по математике , 211 (пересмотренное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN   978-0-387-95385-4 , MR   1878556 , Zbl   0984.00001

внешняя ссылка