Презентация группы - Presentation of a group

В математике , презентация является одним из способов задания группы . Представление группы G содержит множество S из генераторов -SO , что каждый элемент группы может быть записан в виде произведения степеней некоторых из этих генераторов-и множества R из соотношений между этими генераторами. Затем мы говорим, что G имеет представление

${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle.}$

Неформально, G имеет вышеуказанное представление , если это «свободная группа» порожден S субъектом только к отношениям R . Формально группа G называется иметь выше представление , если оно изоморфно к фактору в виде свободной группы на S по нормальной подгруппе , порожденные соотношения R .

В качестве простого примера циклическая группа порядка n имеет представление

${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {n} = 1 \ rangle,}$

где 1 - групповая идентичность. Это может быть записано эквивалентно как

${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {n} \ rangle,}$

благодаря соглашению, согласно которому термины, не содержащие знака равенства, считаются равными групповой идентичности. Такие термины называются связями , что позволяет отличать их от отношений, содержащих знак равенства.

У каждой группы есть презентация, и на самом деле много разных презентаций; презентация часто является наиболее компактным способом описания структуры группы.

Тесно связанная, но отличающаяся от других концепция - это абсолютное представление группы .

Фон

Свободная группа на множестве S представляет собой группу , где каждый элемент может быть однозначно описана как конечной длины произведение вида:

${\ displaystyle s_ {1} ^ {a_ {1}} s_ {2} ^ {a_ {2}} \ cdots s_ {n} ^ {a_ {n}}}$

где s _i - элементы S, смежные s _i - разные, а a _i - ненулевые целые числа (но n может быть нулевым). В менее формальных терминах группа состоит из слов в образующих и их обратных , при условии исключения только генератора с соседним вхождением его обратного.

Если G - любая группа, а S - порождающее подмножество G , то каждый элемент G также имеет указанную выше форму; но в целом, эти продукты не будут однозначно описать элемент G .

Например, группа диэдра D ₈ шестнадцатого порядка может быть образована вращением r порядка 8; и флип, е , 2 - го порядка; и , конечно , любой элемент из D ₈ является продуктом г « с и е » с.

Однако у нас есть, например, rfr = f , r ⁷ = r ⁻¹ и т. Д., Поэтому такие произведения не уникальны в D ₈ . Каждая такая эквивалентность продукта может быть выражена как равенство идентичности, например

rfrf = 1 ,

r ⁸ = 1 , или

f ² = 1‍ .

Неформально, мы можем рассматривать эти продукты в левой части как элементы свободной группы F = < r , f > и можем рассматривать подгруппу R группы F, которая порождается этими строками; каждый из которых также был бы эквивалентен 1, если рассматривать его как продукты в D ₈ .

Если мы затем позволим N быть подгруппой в F, порожденной всеми сопряженными x ⁻¹ Rx группы R , то по определению следует, что каждый элемент N является конечным произведением x ₁ ⁻¹ r ₁ x ₁ ... x _m ⁻¹ r _m x _m членов таких конъюгатов. Отсюда следует, что каждый элемент N , рассматриваемый как продукт в D ₈ , также будет оцениваться как 1; и , таким образом , что N нормальная подгруппа F . Таким образом , D ₈ изоморфна фактор - группе F / N . Затем мы говорим, что D ₈ имеет представление

${\ displaystyle \ langle r, f \ mid r ^ {8} = 1, f ^ {2} = 1, (rf) ^ {2} = 1 \ rangle.}$

Здесь набор образующих S = { r , f  }, а набор отношений R = { r ⁸ = 1, f ² = 1, ( rf ) ² = 1} . Мы часто видим сокращенное R , что дает представление

${\ displaystyle \ langle r, f \ mid r ^ {8} = f ^ {2} = (rf) ^ {2} = 1 \ rangle.}$

В еще более короткой форме знаки равенства и тождества опускаются, чтобы перечислить только набор отношений, которым является { r ⁸ , f ² , ( rf ) ² } . Это дает презентацию

${\ displaystyle \ langle r, f \ mid r ^ {8}, f ^ {2}, (rf) ^ {2} \ rangle.}$

Все три презентации эквивалентны.

Обозначение

Хотя обозначение ⟨ S | R ⟩ используется в этой статье , для презентации в настоящее время является наиболее распространенным, более ранние авторы использовали различные вариации на том же формате. К таким обозначениям относятся следующие:

• ⟨ S | R ⟩
• ( S | R )
• { S ; R }
• ⟨ S ; R ⟩

Определение

Пусть S некоторое множество , и пусть F _S является свободной группой на S . Пусть R - набор слов на S , поэтому R естественным образом дает подмножество слов . Для того, чтобы сформировать группу с презентации , возьмите частное от наименьшего нормального делителя , который содержит каждый элемент R . (Эта подгруппа называется нормальным замыканием N группы R in .) Затем группа определяется как фактор-группа${\ displaystyle F_ {S}}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$${\ displaystyle F_ {S}}$ ${\ displaystyle F_ {S}}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle = F_ {S} / N.}$

Элементы S называются генераторами из и элементов R называются реляторами . Говорят, что группа G имеет представление, если G изоморфна . ${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$

Это является обычной практикой реляторов записи в виде , где х и у являются словами на S . Это значит, что . Это интуитивно означает, что изображения x и y должны быть равны в фактор-группе. Так, например, r ⁿ в списке отношений эквивалентен . ${\ displaystyle x = y}$${\ displaystyle y ^ {- 1} x \ in R}$${\ Displaystyle г ^ {п} = 1}$

Для конечной группы G можно построить представление группы G из таблицы группового умножения следующим образом. Возьмем S как элементы множества G и R как все слова формы , где - запись в таблице умножения. ${\ displaystyle g_ {i}}$${\ displaystyle g_ {i} g_ {j} g_ {k} ^ {- 1}}$${\ displaystyle g_ {i} g_ {j} = g_ {k}}$

Альтернативное определение

В качестве альтернативы определение группового представления может быть переработано в терминах классов эквивалентности слов в алфавите . В этой перспективе мы объявляем два слова эквивалентными, если можно перейти от одного к другому с помощью последовательности ходов, где каждый ход состоит из добавления или удаления последовательной пары или для некоторого x в S , или путем добавления или удаление последовательной копии связующего звена. Элементы группы - это классы эквивалентности, а групповая операция - это конкатенация. ${\ Displaystyle S \ чашка S ^ {- 1}}$${\ displaystyle xx ^ {- 1}}$${\ displaystyle x ^ {- 1} x}$

Эта точка зрения особенно распространена в области комбинаторной теории групп .

Конечно представленные группы

Представление называется конечно порожденным, если S конечно, и конечно связанным, если R конечно. Если оба конечны, это называется конечным представлением . Группа конечно порождена (соответственно конечно связана , конечно представленный ), если он имеет представление, которое конечно порождено (соответственно конечно связанное, конечное представление). Группа, которая имеет конечное представление с одним отношением, называетсягруппойс одним отношением.

Рекурсивно представленные группы

Если S индексируется множеством I, состоящим из всех натуральных чисел N или их конечного подмножества, то легко установить простое кодирование один к одному (или нумерацию Гёделя ) f  : F _S → N из свободной группы на S к натуральным числам, так что мы можем найти алгоритмы, которые, учитывая f ( w ), вычисляют w , и наоборот. Затем мы можем назвать подмножество U в F _S рекурсивным (соответственно рекурсивно перечислимым ), если f ( U ) рекурсивно (соответственно рекурсивно перечислимым). Если S проиндексирован, как указано выше, а R рекурсивно перечислим, то представление является рекурсивным представлением, и соответствующая группа представлена рекурсивно . Это использование может показаться странным, но можно доказать, что если у группы есть представление с рекурсивно перечислимым R, то у нее есть еще одно с рекурсивным R.

Каждая конечно представленная группа представлена ​​рекурсивно, но есть рекурсивно представленные группы, которые не могут быть конечно представлены. Однако теорема Грэма Хигмана утверждает, что конечно порожденная группа имеет рекурсивное представление тогда и только тогда, когда она может быть вложена в конечно определенную группу. Отсюда можно вывести, что существует (с точностью до изоморфизма) только счетное число конечно порожденных рекурсивно представленных групп. Бернхард Нейман показал, что существует несчетное количество неизоморфных двух образующих групп. Следовательно, существуют конечно порожденные группы, которые не могут быть представлены рекурсивно.

История

Одно из первых представлений группы по образующим и отношениям было дано ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его икозианском исчислении - представлении группы икосаэдра . Первое систематическое исследование было проведено Вальтером фон Дейком , учеником Феликса Клейна , в начале 1880-х годов, заложив основы комбинаторной теории групп .

Примеры

В следующей таблице приведены некоторые примеры презентаций для часто изучаемых групп. Обратите внимание, что в каждом случае возможно множество других презентаций. Перечисленная презентация не обязательно является наиболее эффективной из возможных.

Группа	Презентация	Комментарии
свободная группа на S	${\ displaystyle \ langle S \ mid \ varnothing \ rangle}$	Свободная группа «свободна» в том смысле, что не подчиняется никаким отношениям.
С п , то циклическая группа порядка п	${\ displaystyle \ langle a \ mid a ^ {n} \ rangle}$
D n , диэдральная группа порядка 2 n	${\ displaystyle \ langle r, f \ mid r ^ {n}, f ^ {2}, (rf) ^ {2} \ rangle}$	Здесь r представляет собой вращение, а f - отражение.
D ∞ , то бесконечная группа диэдра	${\ displaystyle \ langle r, f \ mid f ^ {2}, (rf) ^ {2} \ rangle}$
Dic n , дициклическая группа	${\ displaystyle \ langle r, f \ mid r ^ {2n}, r ^ {n} = f ^ {2}, frf ^ {- 1} = r ^ {- 1} \ rangle}$	Группа кватернионов Q 8 является частным случаем, когда n = 2
Z × Z	${\ displaystyle \ langle x, y \ mid xy = yx \ rangle}$
Z / м Z × Z / n Z	${\ displaystyle \ langle x, y \ mid x ^ {m}, y ^ {n}, xy = yx \ rangle}$
свободная абелева группа на S	${\ displaystyle \ langle S \ mid R \ rangle}$где R - множество всех коммутаторов элементов S
S n , симметрическая группа на n символах	генераторы: отношения: ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n-1}}$ ${\ Displaystyle \ sigma _ {я} ^ {2} = 1}$, ${\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {if}} j \ neq i \ pm 1}$, ${\ Displaystyle \ сигма _ {я} \ сигма _ {я + 1} \ сигма _ {я} = \ сигма _ {я + 1} \ сигма _ {я} \ сигма _ {я + 1} \}$ Последний набор отношений можно преобразовать в ${\ Displaystyle {(\ sigma _ {я} \ sigma _ {я + 1}}) ^ {3} = 1 \}$ используя . ${\ Displaystyle \ sigma _ {я} ^ {2} = 1}$	Здесь σ i - это перестановка, которая меняет местами i- й элемент на i + 1-й. Произведение σ i σ i +1 является 3-циклом на множестве { i , i +1, i +2}.
В п , что группы кос	генераторы: ${\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ ldots, \ sigma _ {n-1}}$ связи: ${\ displaystyle \ sigma _ {i} \ sigma _ {j} = \ sigma _ {j} \ sigma _ {i} {\ mbox {if}} j \ neq i \ pm 1}$, ${\ Displaystyle \ сигма _ {я} \ сигма _ {я + 1} \ сигма _ {я} = \ сигма _ {я + 1} \ сигма _ {я} \ сигма _ {я + 1} \}$	Обратите внимание на сходство с симметричной группой; единственное отличие - удаление связи . ${\ Displaystyle \ sigma _ {я} ^ {2} = 1}$
V 4 ≅ D 2 , группа Клейна 4	${\ displaystyle \ langle s, t \ mid s ^ {2}, t ^ {2}, (st) ^ {2} \ rangle}$
T ≅ A 4 , тетраэдрическая группа	${\ displaystyle \ langle s, t \ mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {3} \ rangle}$
O ≅ S 4 , октаэдрическая группа	${\ displaystyle \ langle s, t \ mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {4} \ rangle}$
I ≅ A 5 , группа икосаэдра	${\ displaystyle \ langle s, t \ mid s ^ {2}, t ^ {3}, (st) ^ {5} \ rangle}$
Q 8 , группа кватернионов	${\ displaystyle \ langle i, j \ mid i ^ {4}, jij = i, iji = j \ rangle \,}$	Для альтернативного представления см. Dic n выше с n = 2.
SL (2, Z )	${\ displaystyle \ langle a, b \ mid aba = bab, (aba) ^ {4} \ rangle}$	топологически a и b можно представить как скручивание Дена на торе
GL (2, Z )	${\ displaystyle \ langle a, b, j \ mid aba = bab, (aba) ^ {4}, j ^ {2}, (ja) ^ {2}, (jb) ^ {2} \ rangle}$	нетривиальное Z / 2 Z - групповое расширение SL (2, Z )
PSL (2, Z ), модульная группа	${\ displaystyle \ langle a, b \ mid a ^ {2}, b ^ {3} \ rangle}$	PSL (2, Z ) - свободное произведение циклических групп Z / 2 Z и Z / 3 Z
Группа Гейзенберга	${\ displaystyle \ langle x, y, z \ mid z = xyx ^ {- 1} y ^ {- 1}, xz = zx, yz = zy \ rangle}$
BS ( m , n ), группы Баумслага – Солитэра	${\ displaystyle \ langle a, b \ mid a ^ {n} = ba ^ {m} b ^ {- 1} \ rangle}$
Группа Сиськи	${\ displaystyle \ langle a, b \ mid a ^ {2}, b ^ {3}, (ab) ^ {13}, [a, b] ^ {5}, [a, bab] ^ {4}, ((ab) ^ {4} ab ^ {- 1}) ^ {6} \ rangle}$	[ a , b ] - коммутатор

Примером конечно порожденной группы, которая не является конечно представленной, является сплетение группы целых чисел с самой собой. ${\ Displaystyle \ mathbf {Z} \ wr \ mathbf {Z}}$

Некоторые теоремы

Теорема. У каждой группы есть презентация.

Чтобы убедиться в этом, учитывая группу G , рассмотрим свободную группу F _G на G . По универсальному свойству свободных групп существует единственный гомоморфизм групп φ: F _G → G , ограничение которого на G является тождественным отображением. Пусть K - ядро этого гомоморфизма. Тогда K нормальна в F _G , следовательно, совпадает с его нормальным замыканием, так ⟨ G | К ⟩ = F _G / K . Поскольку тождественное сюръективна, φ сюръективен, поэтому в первый изоморфизм теоремы , ⟨ G | К ⟩ ≅ им ( φ ) = G . Такое представление может быть крайне неэффективным, если и G, и K намного больше, чем необходимо.

Следствие. Каждая конечная группа имеет конечное представление.

В качестве образующих можно взять элементы группы, а в качестве отношений - таблицу Кэли .

Теорема Новикова – Буна.

Отрицательное решение проблемы тождества для групп состояний , что существует конечное представление ⟨ S | R ⟩ , для которых не существует алгоритм , который, с учетом двух слов у , v , решает , следует ли U и V описывают один и тот же элемент в группе. Это было показано Петром Новиковым в 1955 году, а другое доказательство было получено Уильямом Бун в 1958 году.

Конструкции

Предположим , что G имеет представление ⟨ S | R ⟩ и H имеет представление ⟨ T | Вопрос ⟩ с S и T будучи не пересекаются. потом

• свободное произведение G * H имеет представление ⟨ S , T | R , Q ⟩ и
• прямое произведение G × H имеет представление ⟨ S , T | R , Q , [ S , T ]⟩ , где [ S , T ] означает, что каждый элемент из S коммутирует с каждым элементом из T (см. Коммутатор ).

Дефицит

Дефицит конечной презентации ⟨ S | R ⟩ просто | S | - | R | и дефицит конечно определенной группы G , обозначаемой Защиту ( G ), является максимум дефицита над всеми презентациями G . Дефицит конечной группы неположителен. Шура мультипликатор конечной группы G может быть получен путем -def ( G ) генераторы, и G является эффективным , если это число не требуется.

Геометрическая теория групп

Представление группы определяет геометрию в смысле геометрической теории групп : у каждого есть граф Кэли , у которого есть метрика , называемая метрикой слова . Это также два результирующих порядка, слабый порядок и порядок Брюа , а также соответствующие диаграммы Хассе . Важный пример - группы Кокстера .

Кроме того, некоторые свойства этого графа ( грубая геометрия ) являются внутренними, то есть не зависят от выбора генераторов.

Смотрите также

• Преобразование Нильсена
• Преобразование Титце
• Презентация модуля
• Представление моноида

Примечания

использованная литература

• Кокстер, HSM ; Мозер, WOJ (1980). Генераторы и отношения для дискретных групп . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-09212-9. - В этом полезном справочнике есть таблицы представлений всех малых конечных групп, групп отражений и т. Д.
• Джонсон, DL (1997). Презентации групп (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-58542-2.- метод Шрайера, метод Нильсена, свободные представления, подгруппы и расширения HNN, теорема Голода – Шафаревича и др.
• Симс, Чарльз С. (1994). Вычисление с конечно представленными группами (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-13507-8. - фундаментальные алгоритмы из теоретической информатики, вычислительной теории чисел, вычислительной коммутативной алгебры и т. Д.

внешние ссылки

• де Корнюлье, Ив . «Групповая презентация» . MathWorld .
• Небольшие группы и их презентации на GroupNames