Расширение группы - Group extension

В математике , A группа расширений является общим средством описания группы в терминах конкретной нормальной подгруппы и фактор - группы . Если Q и N две группы, то G является продолжением из Q на N , если существует короткая точная последовательность

{\ displaystyle 1 \ to N \; {\ overset {\ iota} {\ to}} \; G \; {\ overset {\ pi} {\ to}} \; Q \ to 1.}

Если G является расширением Q от N , то G представляет собой группу, является нормальной подгруппой в G и фактор - группа является изоморфна к группе Q . Расширения групп возникают в контексте проблемы расширения , когда группы Q и N известны и свойства группы G должны быть определены. Обратите внимание, что фраза « G является расширением N посредством Q » также используется некоторыми. ${\ Displaystyle \ йота (N)}$ ${\ Displaystyle G / \ iota (N)}$

Поскольку любая конечная группа G обладает максимальной нормальной подгруппой N с простой фактор-группой G / N , все конечные группы могут быть построены как серии расширений с конечными простыми группами . Этот факт послужил мотивацией для завершения классификации конечных простых групп .

Расширение называется центральным расширением если подгруппа N лежит в центре в G .

Расширения в целом

Одно расширение, прямой продукт , сразу очевидно. Если требуется G и Q , чтобы быть абелевых групп , то множество классов изоморфизма расширений Q по заданной (абелевой) группы Н является фактически группа, которая изоморфна к

{\ displaystyle \ operatorname {Ext} _ {\ mathbb {Z}} ^ {1} (Q, N);}

ср. Ext функтор . Известно несколько других общих классов расширений, но не существует теории, которая рассматривала бы все возможные расширения одновременно. Расширение группы обычно описывается как серьезная проблема; это называется проблемой расширения .

Для того, чтобы рассмотреть некоторые примеры, если G = K × H , то G является продолжением как H и K . В более общем смысле , если G является полупрямым произведением из K и H , записывается в виде , то G является расширением H от K , поэтому такие продукты , как сплетение представить дополнительные примеры расширений. ${\ displaystyle G = K \ rtimes H}$

Проблема с расширением

Вопрос о том, какие группы G являются расширениями H посредством N , называется проблемой расширения и интенсивно изучается с конца девятнадцатого века. Что касается его мотивации, рассмотрим, что композиционный ряд конечной группы - это конечная последовательность подгрупп { A _i }, где каждая A _{i +1} является расширением A _i некоторой простой группой . Классификация конечных простых групп дает нам полный список конечных простых групп; поэтому решение проблемы расширения дало бы нам достаточно информации для построения и классификации всех конечных групп в целом.

Классификация расширений

Решение проблемы расширения сводится к классификации всех расширений H по K ; или, что более практично, выражая все такие расширения в терминах математических объектов, которые легче понять и вычислить. В общем, это очень сложная проблема, и все наиболее полезные результаты классифицируют расширения, удовлетворяющие некоторым дополнительным условиям.

Важно знать, когда два расширения эквивалентны или совпадают. Мы говорим, что расширения

{\ displaystyle 1 \ to K {\ stackrel {i} {{} \ to {}}} G {\ stackrel {\ pi} {{} \ to {}}} H \ to 1}

а также

{\ displaystyle 1 \ to K {\ stackrel {i '} {{} \ to {}}} G' {\ stackrel {\ pi '} {{} \ to {}}} H \ to 1}

являются эквивалентом (или конгруэнтны) , если существует изоморфизм групп решений коммутативных диаграммы рисунке 1. В самом деле, достаточно иметь гомоморфизм групп; из-за предполагаемой коммутативности диаграммы отображение вынуждено быть изоморфизмом по короткой лемме о пяти . ${\ displaystyle T: G \ to G '}$ ${\ displaystyle T}$

Рисунок 1

Предупреждение

Может случиться так, что расширения и неэквивалентны, но G и G ' изоморфны как группы. Например, существуют неэквивалентные расширения четырехгруппы Клейна с помощью , но есть, с точностью до изоморфизма групп, только четыре группы порядка, содержащие нормальную подгруппу порядка с фактор-группой, изоморфной четырехгруппе Клейна . ${\ Displaystyle 1 \ к К \ к G \ к H \ к 1}$ ${\ Displaystyle 1 \ к К \ к G ^ {\ prime} \ к Н \ к 1}$ ${\ displaystyle 8}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle 8}$ ${\ displaystyle 2}$

Тривиальные расширения

Тривиальное расширение является расширением

{\ Displaystyle 1 \ к К \ к G \ к H \ к 1}

что эквивалентно расширению

{\ Displaystyle 1 \ до К \ до К \ раз от Н \ до Н \ до 1}

где левая и правая стрелки - соответственно включение и проекция каждого фактора . ${\ displaystyle K \ times H}$

Классификация раздельных расширений

Расширение раскола является расширением

{\ Displaystyle 1 \ к К \ к G \ к H \ к 1}

с таким гомоморфизмом , что переход от H к G с помощью s, а затем обратно к H с помощью фактор-отображения короткой точной последовательности индуцирует тождественное отображение на H, т . е .. В этой ситуации обычно говорят, что s разбивает указанную выше точную последовательность . ${\ Displaystyle s \ двоеточие от H \ до G}$ ${\ displaystyle \ pi \ circ s = \ mathrm {id} _ {H}}$

Сплит расширения очень легко классифицировать, так как расширение расщепляется тогда и только тогда , когда группа G является полупрямым произведением из K и H . Сами Полупрямые продукты легко классифицировать, потому что они находятся во взаимно однозначном соответствии с гомоморфизмами из , где Аи ( К ) является автоморфизм группы K . Полное обсуждение того, почему это так, см. В разделе « полупрямой продукт» . ${\ displaystyle H \ to \ operatorname {Aut} (K)}$

Предупреждение по терминологии

В математике расширением структуры K обычно называют структуру L, подструктурой которой является K. См., Например, расширение поля . Тем не менее, в теории групп терминологии противоположной закралась, отчасти из-за записи , который читает легко , как и расширения Q по N , а основное внимание уделяется группа Q . ${\ displaystyle \ operatorname {Ext} (Q, N)}$

В статье Рональда Брауна и Тимоти Портера о теории неабелевых расширений Отто Шрайера используется терминология, согласно которой расширение K дает более крупную структуру.

Центральное расширение

Центральное расширение группы G является короткой точной последовательностью групп

{\ Displaystyle 1 \ к А \ к Е \ к G \ к 1}

таким образом, что входит в , то центр из группы Е . Множество классов изоморфизма центральных расширений G посредством A (где G действует тривиально на A ) находится во взаимно однозначном соответствии с группой когомологий . ${\ Displaystyle Z (E)}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (G, A)}$

Примеры центральных расширений можно построить, взяв любую группу G и любую абелеву группу A и положив E равным . Такой пример разделения соответствует элементу 0 в соответствии с приведенным выше соответствием. Более серьезные примеры можно найти в теории проективных представлений в случаях, когда проективное представление не может быть поднято до обычного линейного представления . ${\ Displaystyle А \ раз G}$ ${\ displaystyle H ^ {2} (G, A)}$

В случае конечных совершенных групп существует универсальное совершенное центральное расширение .

Точно так же центральным расширением алгебры Ли является точная последовательность ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

{\ displaystyle 0 \ rightarrow {\ mathfrak {a}} \ rightarrow {\ mathfrak {e}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}} \ rightarrow 0}

такой что находится в центре . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {а}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {e}}}$

Существует общая теория центральных расширений в мальцевских многообразиях .

Обобщение на общие расширения

Существует аналогичная классификация всех расширений G посредством A в терминах гомоморфизмов из , утомительное, но явно проверяемое условие существования, включающее и группу когомологий . ${\ displaystyle G \ to \ operatorname {Out} (A)}$ ${\ displaystyle H ^ {3} (G, Z (A))}$ ${\ Displaystyle Н ^ {2} (G, Z (A))}$

Группы Ли

В теории групп Ли центральные расширения возникают в связи с алгебраической топологией . Грубо говоря, центральные расширения групп Ли дискретными группами аналогичны накрывающим группам . Точнее, связное накрывающее пространство $G *$ связной группы Ли $G$ естественным образом является центральным расширением группы $G$ таким образом, что проекция

{\ displaystyle \ pi \ двоеточие G ^ {*} \ to G}

является групповым гомоморфизмом и сюръективным. (Структура группы на $G *$ зависит от выбора отображения единичного элемента к идентичности в $G$ ). Например, когда $G *$ является универсальной покрышкой из $G$ , ядро П является фундаментальной группой из $G$ , которая , как известно быть абелевым (см. H-пространство ). Наоборот, для группы Ли $G$ и дискретной центральной подгруппы $Z$ фактор-группа $G / Z$ является группой Ли, а $G$ ее накрывающим пространством.

В более общем смысле, когда группы $A$ , $E$ и $G$ , входящие в центральное расширение, являются группами Ли, а отображения между ними являются гомоморфизмами групп Ли, то если алгебра Ли группы $G$ равна $g$ , алгебра Ли $A$ равна $a$ , а алгебра Ли группы Ли $E$ является $е$ , то $е$ является центральным расширением алгебры Ли в $г$ на . В терминологии теоретической физики генераторы $a$ называются центральными зарядами . Эти генераторы находятся в центре $e$ ; по теореме Нётер генераторы групп симметрии соответствуют сохраняющимся величинам, называемым зарядами .

Основными примерами центральных расширений как групп покрытия являются:

в спиновые группы , которые дважды Накройте специальные ортогональные группы , которые (в четной размерности) дважды покрывают проективную ортогональную группу .
в метаплектических группы , которые дважды покрывают симплектические группы .

Случай $SL 2 (R)$ включает бесконечную циклическую фундаментальную группу . Здесь задействованное центральное расширение хорошо известно в теории модульных форм в случае форм веса $½$ . Соответствующим проективным представлением является представление Вейля , построенное на основе преобразования Фурье , в данном случае на вещественной прямой . Метаплектические группы также встречаются в квантовой механике .

Смотрите также

использованная литература

Мак-Лейн, Сондерс (1975), гомологии , классика математики, Springer Verlag , ISBN 3-540-58662-8
Р. Л. Тейлор, Накрывающие группы несвязных топологических групп, Труды Американского математического общества , т. 5 (1954), 753–768.
Р. Браун, О. Мучук, Пересмотр покрывающих групп несвязных топологических групп, Математические слушания Кембриджского философского общества , вып. 115 (1994), 97–110.

Languages

In other projects