Алгебраическая топология - Algebraic topology

Тор , один из наиболее часто изучаемых объектов в алгебраической топологии

Алгебраическая топология - это раздел математики, который использует инструменты абстрактной алгебры для изучения топологических пространств . Основная цель - найти алгебраические инварианты, которые классифицируют топологические пространства с точностью до гомеоморфизма , хотя обычно большинство из них классифицируют с точностью до гомотопической эквивалентности .

Хотя алгебраическая топология в первую очередь использует алгебру для изучения топологических проблем, иногда также возможно использование топологии для решения алгебраических задач. Алгебраическая топология, например, позволяет удобное доказательство , что любая подгруппа из свободной группы является свободной группой.

Основные разделы алгебраической топологии

Ниже приведены некоторые из основных областей, изучаемых в алгебраической топологии:

Гомотопические группы

В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первая и простейшая гомотопическая группа - это фундаментальная группа , которая записывает информацию о петлях в пространстве. Интуитивно гомотопические группы записывают информацию об основной форме или отверстиях топологического пространства.

Гомология

В алгебраической топологии и абстрактной алгебре , гомологиях (в части от грека ὁμός Homos «идентичный») определенная общая процедура , чтобы связать последовательность из абелевых групп или модулей с заданным математическим объектом , такими как топологическое пространство или группа .

Когомологии

В теории гомологии и алгебраической топологии, когомология является общим термином для последовательности из абелевых групп , определенных из со-цепным комплекса . То есть когомологии определяются как абстрактное изучение коцепей , коциклов и кограниц . Когомологии можно рассматривать как метод присвоения алгебраических инвариантов топологическому пространству, имеющему более тонкую алгебраическую структуру, чем гомологии . Когомологии возникают из алгебраической дуализации конструкции гомологий. Говоря менее абстрактным языком, коцепи в фундаментальном смысле должны присваивать «количества» цепям теории гомологии.

Коллекторы

Многообразие является топологическим пространством , что вблизи каждая точка напоминает евклидово пространства . Примеры включают плоскость , сферу и тор , которые все могут быть реализованы в трех измерениях, а также бутылку Клейна и реальную проективную плоскость, которые не могут быть реализованы в трех измерениях, но могут быть реализованы в четырех измерениях. Обычно результаты в алгебраической топологии сосредотачиваются на глобальных, недифференцируемых аспектах многообразий; например двойственность Пуанкаре .

Теория узлов

Теория узлов - это изучение математических узлов . Узел математика, вдохновленный узлами, которые появляются в повседневной жизни на шнурках и веревках, отличается тем, что концы соединены вместе, так что его нельзя развязать. В точном математическом языке, узел является вложением из круга в 3-мерном евклидовом пространстве , . Два математических узла эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации самого себя (известной как окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не связаны с разрезанием нити или пропусканием нити через себя.

Комплексы

Симплициальный 3-комплекс.

Симплициальный комплекс представляет собой топологическое пространство определенного вида, построенное «склейку» точки , линейные сегменты , треугольники , и их н - мерных аналоги (см иллюстрации). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества, появляющимся в современной теории симплициальных гомотопий. Чисто комбинаторный аналог симплициального комплекса - абстрактный симплициальный комплекс .

Комплекс CW - это тип топологического пространства, введенный Дж. Х. К. Уайтхедом для удовлетворения потребностей теории гомотопий . Этот класс пространств шире и обладает некоторыми лучшими категориальными свойствами, чем симплициальные комплексы , но все же сохраняет комбинаторный характер, позволяющий выполнять вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом).

Метод алгебраических инвариантов

Старым названием предмета была комбинаторная топология , подразумевающая акцент на том, как пространство X было построено из более простых (современный стандартный инструмент для такого построения - комплекс CW ). В 1920-х и 1930-х годах все большее внимание уделялось исследованию топологических пространств путем нахождения их соответствий алгебраическим группам , что привело к изменению названия на алгебраическую топологию. Название комбинаторной топологии до сих пор иногда используется, чтобы подчеркнуть алгоритмический подход, основанный на разложении пространств.

В алгебраическом подходе можно найти соответствие между пространствами и группами, которое уважает отношение гомеоморфизма (или более общей гомотопии ) пространств. Это позволяет преобразовать утверждения о топологических пространствах в утверждения о группах, которые имеют большую управляемую структуру, что часто упрощает доказательство этих утверждений. Это можно сделать двумя основными способами: через фундаментальные группы или, в более общем смысле , через теорию гомотопий и через группы гомологий и когомологий . Фундаментальные группы дают нам основную информацию о структуре топологического пространства, но они часто неабелевы, и с ними может быть сложно работать. Фундаментальная группа (конечного) симплициального комплекса действительно имеет конечное представление .

С другой стороны, группы гомологий и когомологий абелевы и во многих важных случаях конечно порождены. Конечно порожденные абелевы группы полностью классифицированы, и с ними особенно легко работать.

Настройка в теории категорий

Вообще говоря, все конструкции алгебраической топологии функториальны ; здесь зародились понятия категории , функтора и естественного преобразования . Фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий являются не только инвариантами основного топологического пространства в том смысле, что два гомеоморфных топологических пространства имеют одинаковые ассоциированные группы, но и их ассоциированные морфизмы также соответствуют - непрерывное отображение пространств индуцирует групповой гомоморфизм на ассоциированные группы, и эти гомоморфизмы могут использоваться, чтобы показать несуществование (или, гораздо более глубоко, существование) отображений.

Одним из первых математиков, которые начали работать с различными типами когомологий, был Жорж де Рам . Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий через когомологий де Рама , или Чех или пучковыми исследовать разрешимость дифференциальных уравнений , заданных на многообразии в вопросе. Де Рам показал, что все эти подходы взаимосвязаны и что для замкнутого ориентированного многообразия числа Бетти, полученные с помощью симплициальных гомологий, были теми же числами, что и числа, полученные с помощью когомологий де Рама. Это было расширено в 1950-х годах, когда Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод обобщили этот подход. Они определили гомологии и когомологии как функторы, снабженные естественными преобразованиями, подчиняющимися определенным аксиомам (например, слабая эквивалентность пространств переходит в изоморфизм групп гомологий), проверили, что все существующие (ко) теории гомологий удовлетворяют этим аксиомам, а затем доказали, что такие аксиоматизация однозначно характеризует теорию.

Приложения алгебраической топологии

Классические приложения алгебраической топологии включают:

Известные алгебраические топологи

Важные теоремы алгебраической топологии

Смотрите также

Примечания

использованная литература

дальнейшее чтение