Алгебраическая топология - Algebraic topology
Алгебраическая топология - это раздел математики, который использует инструменты абстрактной алгебры для изучения топологических пространств . Основная цель - найти алгебраические инварианты, которые классифицируют топологические пространства с точностью до гомеоморфизма , хотя обычно большинство из них классифицируют с точностью до гомотопической эквивалентности .
Хотя алгебраическая топология в первую очередь использует алгебру для изучения топологических проблем, иногда также возможно использование топологии для решения алгебраических задач. Алгебраическая топология, например, позволяет удобное доказательство , что любая подгруппа из свободной группы является свободной группой.
Основные разделы алгебраической топологии
Ниже приведены некоторые из основных областей, изучаемых в алгебраической топологии:
Гомотопические группы
В математике гомотопические группы используются в алгебраической топологии для классификации топологических пространств . Первая и простейшая гомотопическая группа - это фундаментальная группа , которая записывает информацию о петлях в пространстве. Интуитивно гомотопические группы записывают информацию об основной форме или отверстиях топологического пространства.
Гомология
В алгебраической топологии и абстрактной алгебре , гомологиях (в части от грека ὁμός Homos «идентичный») определенная общая процедура , чтобы связать последовательность из абелевых групп или модулей с заданным математическим объектом , такими как топологическое пространство или группа .
Когомологии
В теории гомологии и алгебраической топологии, когомология является общим термином для последовательности из абелевых групп , определенных из со-цепным комплекса . То есть когомологии определяются как абстрактное изучение коцепей , коциклов и кограниц . Когомологии можно рассматривать как метод присвоения алгебраических инвариантов топологическому пространству, имеющему более тонкую алгебраическую структуру, чем гомологии . Когомологии возникают из алгебраической дуализации конструкции гомологий. Говоря менее абстрактным языком, коцепи в фундаментальном смысле должны присваивать «количества» цепям теории гомологии.
Коллекторы
Многообразие является топологическим пространством , что вблизи каждая точка напоминает евклидово пространства . Примеры включают плоскость , сферу и тор , которые все могут быть реализованы в трех измерениях, а также бутылку Клейна и реальную проективную плоскость, которые не могут быть реализованы в трех измерениях, но могут быть реализованы в четырех измерениях. Обычно результаты в алгебраической топологии сосредотачиваются на глобальных, недифференцируемых аспектах многообразий; например двойственность Пуанкаре .
Теория узлов
Теория узлов - это изучение математических узлов . Узел математика, вдохновленный узлами, которые появляются в повседневной жизни на шнурках и веревках, отличается тем, что концы соединены вместе, так что его нельзя развязать. В точном математическом языке, узел является вложением из круга в 3-мерном евклидовом пространстве , . Два математических узла эквивалентны, если один может быть преобразован в другой посредством деформации самого себя (известной как окружающая изотопия ); эти преобразования соответствуют манипуляциям с завязанной нитью, которые не связаны с разрезанием нити или пропусканием нити через себя.
Комплексы
Симплициальный комплекс представляет собой топологическое пространство определенного вида, построенное «склейку» точки , линейные сегменты , треугольники , и их н - мерных аналоги (см иллюстрации). Симплициальные комплексы не следует путать с более абстрактным понятием симплициального множества, появляющимся в современной теории симплициальных гомотопий. Чисто комбинаторный аналог симплициального комплекса - абстрактный симплициальный комплекс .
Комплекс CW - это тип топологического пространства, введенный Дж. Х. К. Уайтхедом для удовлетворения потребностей теории гомотопий . Этот класс пространств шире и обладает некоторыми лучшими категориальными свойствами, чем симплициальные комплексы , но все же сохраняет комбинаторный характер, позволяющий выполнять вычисления (часто с гораздо меньшим комплексом).
Метод алгебраических инвариантов
Старым названием предмета была комбинаторная топология , подразумевающая акцент на том, как пространство X было построено из более простых (современный стандартный инструмент для такого построения - комплекс CW ). В 1920-х и 1930-х годах все большее внимание уделялось исследованию топологических пространств путем нахождения их соответствий алгебраическим группам , что привело к изменению названия на алгебраическую топологию. Название комбинаторной топологии до сих пор иногда используется, чтобы подчеркнуть алгоритмический подход, основанный на разложении пространств.
В алгебраическом подходе можно найти соответствие между пространствами и группами, которое уважает отношение гомеоморфизма (или более общей гомотопии ) пространств. Это позволяет преобразовать утверждения о топологических пространствах в утверждения о группах, которые имеют большую управляемую структуру, что часто упрощает доказательство этих утверждений. Это можно сделать двумя основными способами: через фундаментальные группы или, в более общем смысле , через теорию гомотопий и через группы гомологий и когомологий . Фундаментальные группы дают нам основную информацию о структуре топологического пространства, но они часто неабелевы, и с ними может быть сложно работать. Фундаментальная группа (конечного) симплициального комплекса действительно имеет конечное представление .
С другой стороны, группы гомологий и когомологий абелевы и во многих важных случаях конечно порождены. Конечно порожденные абелевы группы полностью классифицированы, и с ними особенно легко работать.
Настройка в теории категорий
Вообще говоря, все конструкции алгебраической топологии функториальны ; здесь зародились понятия категории , функтора и естественного преобразования . Фундаментальные группы, группы гомологий и когомологий являются не только инвариантами основного топологического пространства в том смысле, что два гомеоморфных топологических пространства имеют одинаковые ассоциированные группы, но и их ассоциированные морфизмы также соответствуют - непрерывное отображение пространств индуцирует групповой гомоморфизм на ассоциированные группы, и эти гомоморфизмы могут использоваться, чтобы показать несуществование (или, гораздо более глубоко, существование) отображений.
Одним из первых математиков, которые начали работать с различными типами когомологий, был Жорж де Рам . Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий через когомологий де Рама , или Чех или пучковыми исследовать разрешимость дифференциальных уравнений , заданных на многообразии в вопросе. Де Рам показал, что все эти подходы взаимосвязаны и что для замкнутого ориентированного многообразия числа Бетти, полученные с помощью симплициальных гомологий, были теми же числами, что и числа, полученные с помощью когомологий де Рама. Это было расширено в 1950-х годах, когда Сэмюэл Эйленберг и Норман Стинрод обобщили этот подход. Они определили гомологии и когомологии как функторы, снабженные естественными преобразованиями, подчиняющимися определенным аксиомам (например, слабая эквивалентность пространств переходит в изоморфизм групп гомологий), проверили, что все существующие (ко) теории гомологий удовлетворяют этим аксиомам, а затем доказали, что такие аксиоматизация однозначно характеризует теорию.
Приложения алгебраической топологии
Классические приложения алгебраической топологии включают:
- Теорема Брауэра о неподвижной точке : каждое непрерывное отображение единичного n- диска в себя имеет неподвижную точку.
- Свободным рангом n- й группы гомологий симплициального комплекса является n- е число Бетти , которое позволяет вычислить характеристику Эйлера – Пуанкаре .
- Можно использовать дифференциальную структуру гладких многообразий через когомологий де Рама , или Чех или пучковыми исследовать разрешимость дифференциальных уравнений , заданных на многообразии в вопросе.
- Многообразие ориентируемо, когда группа целых гомологий верхней размерности является целыми числами, и неориентируемым, когда оно равно 0.
- П -сфера допускает нигде не исчезающий непрерывного блок векторного поле тогда и только тогда , когда п нечетно. (Для n = 2 это иногда называют « теоремой о волосатом шарике ».)
- Теорема Борсука – Улама : любое непрерывное отображение n -сферы в n- евклидово пространство отождествляет хотя бы одну пару антиподальных точек.
- Любая подгруппа свободной группы свободна. Этот результат весьма интересен, поскольку утверждение чисто алгебраическое, но простейшее из известных доказательств - топологическое. А именно, любая свободная группа G может быть реализована как фундаментальная группа графа X . Основная теорема о накрывающих пространствах говорит нам, что каждая подгруппа H группы G является фундаментальной группой некоторого накрывающего пространства Y группы X ; но каждый такой Y снова является графом. Следовательно, его фундаментальная группа H свободна. С другой стороны, этот тип приложений также упрощается за счет использования покрывающих морфизмов группоидов , и этот метод дал теоремы о подгруппах, еще не доказанные методами алгебраической топологии; см. Хиггинс (1971) .
- Топологическая комбинаторика .
Известные алгебраические топологи
- Фрэнк Адамс
- Майкл Атья
- Энрико Бетти
- Арман Борель
- Кароль Борсук
- Луитцен Эгбертус Ян Брауэр
- Уильям Браудер
- Рональд Браун
- Анри Картан
- Альбрехт Долд
- Чарльз Эресманн
- Сэмюэл Эйленберг
- Ганс Фройденталь
- Питер Фрейд
- Пьер Габриэль
- Александр Гротендик
- Аллен Хэтчер
- Фридрих Хирцебрух
- Хайнц Хопф
- Майкл Дж. Хопкинс
- Витольд Гуревич
- Эгберт ван Кампен
- Даниэль Кан
- Герман Кюннет
- Рут Лоуренс
- Соломон Лефшец
- Жан Лере
- Сондерс Мак Лейн
- Марк Маховальд
- Дж. Питер Мэй
- Барри Мазур
- Джон Милнор
- Джон Коулман Мур
- Джек Морава
- Эмми Нётер
- Сергей Новиков
- Григорий Перельман
- Лев Понтрягин
- Николае Попеску
- Михаил Постников
- Дэниел Квиллен
- Жан-Пьер Серр
- Стивен Смейл
- Эдвин Спаниер
- Норман Стинрод
- Деннис Салливан
- Рене Том
- Хироши Тода
- Леопольд Виеторис
- Хасслер Уитни
- JHC Уайтхед
- Гордон Томас Уайберн
Важные теоремы алгебраической топологии
- Теорема Бейкера – Месси
- Теорема Борсука – Улама.
- Теорема Брауэра о неподвижной точке
- Клеточная аппроксимационная теорема
- Теорема Дольда – Тома
- Теорема Эйленберга – Ганея
- Теорема Эйленберга – Зильбера.
- Теорема Фрейденталя о подвеске
- Теорема Гуревича
- Теорема Кюннета
- Теорема Лефшеца о неподвижной точке
- Теорема Лере – Хирша.
- Теорема двойственности Пуанкаре
- Теорема Зейферта – ван Кампена
- Теорема об универсальном коэффициенте
- Теорема Уайтхеда
Смотрите также
- Алгебраическая K-теория
- Точная последовательность
- Глоссарий алгебраической топологии
- Топология Гротендика
- Теория высших категорий
- Многомерная алгебра
- Гомологическая алгебра
- K-теория
- Алгеброид Ли
- Ложь группоид
- Важные публикации по алгебраической топологии
- Спектральная последовательность Серра
- Пучок
- Топологическая квантовая теория поля
Примечания
использованная литература
- Аллегретти, Дилан Г.Л. (2008), Симплициальные множества и теорема ван Кампена (Обсуждает обобщенные версии теоремы ван Кампена применительно к топологическим пространствам и симплициальным множествам).
- Бредон, Глен Э. (1993), Топология и геометрия , Тексты для выпускников по математике, 139 , Springer, ISBN 0-387-97926-3.
- Браун Р. (2007), Теория многомерных групп (Дает общее представление о многомерных теоремах Ван Кампена, касающихся множественных группоидов) .
- Brown, R .; Разак, А. (1984), "Теорема Ван Кампена для объединения несвязных пространств", Arch. Математика. , 42 : 85-88, DOI : 10.1007 / BF01198133. «Дает общую теорему о фундаментальном группоиде с множеством базовых точек пространства, которое является объединением открытых множеств».
- Brown, R .; Харди, К .; Kamps, H .; Портер, Т. (2002), "Гомотопический двойной группоид хаусдорфового пространства" , Теория приложений. Категории , 10 (2): 71–93.
- Brown, R .; Хиггинс, П. Дж. (1978), "О связи между вторыми относительными гомотопическими группами некоторых родственных пространств", Proc. Лондонская математика. Soc. , S3-36 (2): 193-212, DOI : 10.1112 / PLMS / s3-36.2.193. «Первая двумерная версия теоремы ван Кампена».
- Браун, Рональд; Хиггинс, Филип Дж .; Сивера, Рафаэль (2011), Неабелева алгебраическая топология: фильтрованные пространства, скрещенные комплексы, кубические гомотопические группоиды , Трактаты Европейского математического общества по математике, 15 , Европейское математическое общество, arXiv : math / 0407275 , ISBN 978-3-03719-083-8, заархивировано из оригинала 04.06.2009 Это обеспечивает теоретико-гомотопический подход к базовой алгебраической топологии, не нуждающийся в базисе в сингулярных гомологиях или методе симплициальной аппроксимации. В нем много материала о скрещенных модулях .
- Фрали, Джон Б. (1976), Первый курс абстрактной алгебры (2-е изд.), Чтение: Аддисон-Уэсли , ISBN 0-201-01984-1
- Гринберг, Марвин Дж .; Харпер, Джон Р. (1981), Алгебраическая топология: первый курс, исправленное издание , серия лекций по математике, Westview / Perseus, ISBN 9780805335576. Функториальный, алгебраический подход, первоначально разработанный Гринбергом, с геометрической приправой, добавленной Харпером.
- Хэтчер, Аллен (2002), Алгебраическая топология , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-79540-0. Современное геометрическое введение в алгебраическую топологию.
- Хиггинс, Филип Дж. (1971), Заметки о категориях и группоидах , Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 9780442034061
- Маундер, CRF (1970), Алгебраическая топология , Лондон: Ван Ностранд Рейнхольд, ISBN 0-486-69131-4.
- Том Дик, Таммо (2008), Алгебраическая топология , Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество, ISBN 978-3-03719-048-7
- ван Кампен, Эгберт (1933), "О связи между фундаментальными группами некоторых связанных пространств", American Journal of Mathematics , 55 (1): 261–7, JSTOR 51000091
дальнейшее чтение
- Хэтчер, Аллен (2002). Алгебраическая топология . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-79160-X.и ISBN 0-521-79540-0 .
- "Алгебраическая топология" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
- Май JP (1999). Краткий курс алгебраической топологии (PDF) . Издательство Чикагского университета . Проверено 27 сентября 2008 . В разделе 2.7 дается теоретико-категориальное представление теоремы в виде копредела в категории группоидов.