Автоморфизм - Automorphism

Автоморфизм из Клейна четыре группы , показанных как отображение между двумя графами Кэлей , перестановками в обозначениях цикла , а также отображение между двумя столами октав .

В математике , автоморфизм является изоморфизмом из математического объекта к самому себе. В некотором смысле это симметрия объекта и способ сопоставления объекта с самим собой при сохранении всей его структуры. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу , называемую группой автоморфизмов . Это, грубо говоря, группа симметрии объекта.

Определение

В контексте абстрактной алгебры математический объект - это алгебраическая структура, такая как группа , кольцо или векторное пространство . Автоморфизм просто биективен гомоморфизм объекта с самим собой. (Определение гомоморфизма зависит от типа алгебраической структуры; см., Например, гомоморфизм групп , гомоморфизм колец и линейный оператор ).

Тождественный морфизм ( тождественное отображение ) называется тривиальным автоморфизм в некоторых контекстах. Соответственно, другие (неединичные) автоморфизмы называются нетривиальными автоморфизмами .

Точное определение автоморфизма зависит от типа рассматриваемого «математического объекта» и от того, что именно составляет «изоморфизм» этого объекта. Наиболее общий контекст, в котором эти слова имеют значение, - это абстрактный раздел математики, называемый теорией категорий . Теория категорий имеет дело с абстрактными объектами и морфизмами между этими объектами.

В теории категорий автоморфизм - это эндоморфизм (т. Е. Морфизм от объекта к самому себе), который также является изоморфизмом (в категориальном смысле слова, то есть существует правый и левый обратный эндоморфизм).

Это очень абстрактное определение, поскольку в теории категорий морфизмы не обязательно являются функциями, а объекты не обязательно являются множествами. Однако в большинстве конкретных настроек объекты будут иметь некоторую дополнительную структуру, а морфизмы будут функциями, сохраняющими эту структуру.

Группа автоморфизмов

Если автоморфизмы объекта X образует множество (вместо правильного класса ), то они образуют группу в соответствии с составом из морфизмов . Эта группа называется группой автоморфизмов из X .

Закрытие

Другой автоморфизм - это композиция двух автоморфизмов.

Ассоциативность

Часть определения категории состоит в том, что композиция морфизмов ассоциативна.

Личность

Тождество - это морфизм тождества от объекта к самому себе, который является автоморфизмом.

Перевернутые

По определению каждый изоморфизм имеет обратный, который также является изоморфизмом, а поскольку обратный также является эндоморфизмом того же объекта, он является автоморфизмом.

Группа автоморфизмов объекта X в категории C обозначается Aut _C ( X ) или просто Aut ( X ), если категория ясна из контекста.

Примеры

• В теории множеств произвольная перестановка элементов множества X является автоморфизмом. Группа автоморфизмов X также называется симметрической группе X .
• В элементарных арифметиках , множество целых чисел , Z , рассматриваемое как группа по сложению, имеет единственный нетривиальный автоморфизм: отрицание. Однако, рассматриваемое как кольцо, оно имеет только тривиальный автоморфизм. Вообще говоря, отрицание - это автоморфизм любой абелевой группы , но не кольца или поля.
• Групповой автоморфизм - это групповой изоморфизм группы в себя. Неформально это перестановка элементов группы таким образом, чтобы структура оставалась неизменной. Для каждой группы G существует естественный гомоморфизм групп G → Aut ( G ) , чей образ является группой Inn ( G ) из внутренних автоморфизмов и чье ядро является центром в G . Таким образом, если G имеет тривиальный центр, ее можно вложить в свою группу автоморфизмов.
• В линейной алгебре , эндоморфизм векторного пространства V является линейным оператором V → V . Автоморфизм является обратимым линейным оператором на V . Когда векторное пространство конечномерно, группа автоморфизмов V совпадает с общей линейной группой GL ( V ). (Алгебраическая структура всех эндоморфизмов V сама по себе является алгеброй над тем же базовым полем, что и V , обратимые элементы которой в точности состоят из GL ( V ).)
• Поле автоморфизм является биективен кольцевым гомоморфизмом из поля к самому себе. В случаях рациональных чисел ( Q ) и действительных чисел ( R ) нет нетривиальных полевых автоморфизмов. Некоторые подполя в R имеют нетривиальные полевые автоморфизмы, которые, однако, не распространяются на все R (потому что они не могут сохранить свойство числа, имеющего квадратный корень в R ). В случае комплексных чисел , C , существует единственный нетривиальный автоморфизм , который посылает R в R : комплексное сопряжение , но существует бесконечное ( несчетное ) множество «диких» автоморфизмы ( в предположении аксиомы выбора ). Полевые автоморфизмы важны для теории расширений полей , в частности расширений Галуа . В случае расширения Галуа L / K подгруппа всех автоморфизмов L фиксирующих K точечно называется группа Галуа расширения.
• Группа автоморфизмов кватернионов ( H ) как кольца является внутренними автоморфизмами по теореме Сколема – Нётер : отображения вида a ↦ bab ⁻¹ . Эта группа изоморфна с SO (3) , группы вращений в 3-мерном пространстве.
• Группа автоморфизмов октонионов ( O ) - это исключительная группа Ли G ₂ .
• В теории графов автоморфизм графа является перестановкой узлов, сохраняющих края и не-ребра. В частности, если два узла соединены ребром, то же самое происходит и с их изображениями при перестановке.
• В геометрии автоморфизм можно назвать движением пространства. Также используется специализированная терминология:
  • В метрической геометрии автоморфизм - это самоизометрия . Группа автоморфизмов также называется группой изометрий .
  • В категории римановых поверхностей автоморфизм - это биголоморфное отображение (также называемое конформным отображением ) поверхности на себя. Например, автоморфизмы сферы Римана являются преобразованиями Мёбиуса .
  • Автоморфизм дифференцируемого многообразия М является Диффеоморфизмом от М к себе. Группу автоморфизмов иногда обозначают Diff ( M ).
  • В топологии морфизмы между топологическими пространствами называются непрерывными отображениями , а автоморфизм топологического пространства - это гомеоморфизм пространства на себя или самогомеоморфизм (см. Группу гомеоморфизмов ). В этом примере недостаточно, чтобы морфизм был биективным, чтобы быть изоморфизмом.

История

Один из самых ранних групповых автоморфизмов (автоморфизм группы, а не просто группы автоморфизмов точек) был дан ирландским математиком Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1856 году в его икозиановом исчислении , где он обнаружил автоморфизм второго порядка, написав:

так что это новый пятый корень единства, связанный с прежним пятым корнем отношениями совершенной взаимности.${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ lambda}$

Внутренний и внешний автоморфизмы

В некоторых категориях, особенно в группах , кольцах и алгебрах Ли, можно разделить автоморфизмы на два типа, называемые «внутренними» и «внешними» автоморфизмами.

В случае групп внутренние автоморфизмы - это сопряжения элементами самой группы. Для каждого элемента a группы G сопряжение с помощью a - это операция φ _a  : G → G, заданная формулой φ _a ( g ) = aga ⁻¹ (или a ⁻¹ ga ; использование меняется). Легко проверить, что сопряжение с помощью a является групповым автоморфизмом. Внутренние автоморфизмы образуют нормальную подгруппу в Aut ( G ), обозначаемую Inn ( G ); это называется леммой Гурса .

Остальные автоморфизмы называются внешними автоморфизмами . Фактор - группа Aut ( G ) / Inn ( G ) обычно обозначается Out ( G ); нетривиальные элементы - это смежные классы , содержащие внешние автоморфизмы.

То же определение справедливо для любого кольца с единицей или алгебры, где a - любой обратимый элемент . Для алгебр Ли определение несколько иное.

Смотрите также

• Антиавтоморфизм
• Автоморфизм (в головоломках судоку)
• Характеристическая подгруппа
• Кольцо эндоморфизмов
• Автоморфизм Фробениуса
• Морфизм
• Автоморфизм порядка (в теории порядка ).
• Автоморфизм, сохраняющий отношения
• Дробное преобразование Фурье

Рекомендации

Внешние ссылки

• Автоморфизм в энциклопедии математики
• Вайсштейн, Эрик В. «Автоморфизм» . MathWorld .