Автоморфизм - Automorphism


Из Википедии, свободной энциклопедии

В математике , автоморфизм является изоморфизмом из математического объекта к самому себе. Это, в некотором смысле, в симметрии объекта, и способ отображения объекта на себя, сохраняя при этом все ее структуры. Множество всех автоморфизмов объекта образует группу , называемую группой автоморфизмов . Это, грубо говоря, в группу симметрии объекта.

Определение

В контексте абстрактной алгебры , математический объект представляет собой алгебраическую структуру , такие как группы , кольца , или векторном пространстве . Автоморфизм просто биективен гомоморфизм объекта с самим собой. (Определение гомоморфизма зависит от типа алгебраической структуры, см, например, групповой гомоморфизм , кольцевой гомоморфизм и линейного оператора ).

Тождественный морфизм ( тождественное отображение ) называется тривиальным автоморфизм в некоторых контекстах. Соответственно, другие (не тождественные) автоморфизмы называются нетривиальных автоморфизмов .

Точное определение автоморфизма зависит от типа «математического объекта» в вопросе и что, именно, представляет собой «изоморфизм» этот объект. Наиболее общие условия , в которых эти слова имеют значение является абстрактной ветвью математики называемой теорией категорий . Теория Категория сделки с абстрактными объектами и морфизмов между этими объектами.

В теории категорий, автоморфизм является эндоморфизмом (т.е. морфизм от объекта к самому себе) , который также является изоморфизм (в категорическом смысле этого слова).

Это очень абстрактное определение, поскольку в теории категории, морфизмы не обязательно функции и объекты не обязательно являются множествами. В большинстве конкретных установок, однако, объекты будут наборы с некоторой дополнительной структурой и морфизмы будут функции, сохраняющие эту структуру.

группа автоморфизма

Если автоморфизмы объекта X образует множество (вместо правильного класса ), то они образуют группу в соответствии с составом из морфизмов . Эта группа называется группой автоморфизмов из X .

закрытие
Состав двух автоморфизмов другой автоморфизм.
Ассоциативность
Она является частью определения категории, что композиция морфизмов ассоциативно.
тождественность
Идентичность тождественный морфизм от объекта к самому себе, что автоморфизм.
обратны
По определению каждый изоморфизм имеет обратный, который также является изоморфизмом, а так как обратное также эндоморфизмов того же объекта, является изоморфизмом.

Группа автоморфизмов объекта X в категории C обозначается Aut C ( X ), или просто Aut ( X ) , если категория ясно из контекста.

Примеры

история

Одна из самых ранних групп автоморфизмов (автоморфизм группы, а не просто группа автоморфизмов точек) был дан ирландский математик Уильям Роуэн Гамильтон в 1856 году, в его икосианы , где он обнаружил порядка два автоморфизм, запись:

так что это новый пятый корень из единицы, связанный с бывшим пятым корнем отношениями совершенной взаимности.

Внутренние и внешние автоморфизмы

В некоторых категориях, в частности групп , кольцах и алгебрах Ли -Он можно разделить автоморфизмы на два типа, называемые «внутренние» и «внешние» автоморфизмами.

В случае групп, то внутренние автоморфизмы являются конъюгации на элементы самой группы. Для каждого элемента в группы G , сопряжение является операция φ в  : GG , заданной φ в ( г ) = AGA -1 (или в -1 га ; использование изменяется). Можно легко проверить , что сопряжение при помощи является группой автоморфизмов. Внутренние автоморфизмы образуют нормальную подгруппу в Aut ( G ), обозначаемой Inn ( G ); это называется лемма Гурса .

Остальные автоморфизмы называются внешние автоморфизмы . Фактор - группа Aut ( G ) / Inn ( G ) обычно обозначается Out ( G ); ненулевые элементы являются смежности , которые содержат внешние автоморфизмы.

Же определение имеет место в любом унитальном кольце или алгебре , где является любым обратимым элементом . Для алгебр Ли определение немного отличается.

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ PJ Пал, R Damrath (2001). "§7.5.5 АВТОМОРФИЗМЫ". Математические основы вычислительной техники (Felix Пал перевод под ред.). Springer. п. 376. ISBN  3-540-67995-2 .
  2. ^ Yale, Пол Б. (май 1966 г.). «Автоморфизмы комплексных чисел» (PDF) . Математика Magazine . 39 (3): 135-141. DOI : 10,2307 / 2689301 . JSTOR  2689301 .
  3. ^ Lounesto, Pertti (2001), Клиффорд алгебры и Спиноры (2 - е изд.), Cambridge University Press, стр. 22-23, ISBN  0-521-00551-5
  4. ^ Справочник по алгебре , 3 , Elsevier , 2003, стр. 453
  5. ^ Сэр Уильям Роуэн Гамильтон (1856). «Меморандум уважая новую систему корней единства» (PDF) . Философский журнал . 12 : 446.

внешняя ссылка