преобразование Фурье -Fourier transform

Примером применения преобразования Фурье является определение составляющих высоты звука в форме музыкального сигнала . Это изображение является результатом применения преобразования с постоянной добротностью ( преобразование, связанное с Фурье ) к форме волны фортепианного аккорда до мажор . Первые три пика слева соответствуют частотам основной частоты аккорда (до, ми, соль). Остальные меньшие пики представляют собой более высокочастотные обертоны основного звука. Алгоритм обнаружения высоты тона может использовать относительную интенсивность этих пиков, чтобы сделать вывод, какие ноты нажал пианист.

В математике преобразование Фурье ( FT ) — это преобразование , которое преобразует функцию в форму, описывающую частоты, присутствующие в исходной функции. Выход преобразования представляет собой комплексную функцию частоты. Термин преобразование Фурье относится как к этой комплексной функции, так и к математической операции . Когда необходимо провести различие, преобразование Фурье иногда называют представлением исходной функции в частотной области . Преобразование Фурье аналогично разложению звука музыкального аккорда на интенсивность составляющих его нот .

Красная синусоида может быть описана амплитудой пика (1), размахом (2), среднеквадратичным значением (3) и длиной волны (4). Красная и синяя синусоиды имеют разность фаз θ .
Верхний ряд показывает единичный импульс как функцию времени ( f ( t ) ) и его преобразование Фурье как функцию частоты ( ( ω ) ). Нижний ряд показывает задержанный единичный импульс как функцию времени ( g ( t ) ) и его преобразование Фурье как функцию частоты ( ĝ ( ω ) ). Трансляция (т.е. задержка) во временной области интерпретируется как сложные фазовые сдвиги в частотной области. Преобразование Фурье разлагает функцию на собственные функции для группы переводов. Мнимая часть ĝ ( ω ) инвертируется, потому что в преобразовании Фурье использовался отрицательный показатель степени знака, который является значением по умолчанию, полученным из ряда Фурье, но знак не имеет значения для преобразования, которое не будет обращено .

Функции, локализованные во временной области, имеют преобразования Фурье, которые разбросаны по частотной области, и наоборот, явление, известное как принцип неопределенности . Критическим случаем для этого принципа является функция Гаусса , имеющая существенное значение в теории вероятностей и статистике , а также при изучении физических явлений с нормальным распределением (например, диффузии ) . Преобразование Фурье функции Гаусса — это еще одна функция Гаусса. Жозеф Фурье ввел преобразование в своем исследовании теплопередачи , где функции Гаусса появляются как решения уравнения теплопроводности .

Преобразование Фурье можно формально определить как несобственный интеграл Римана , что делает его интегральным преобразованием , хотя это определение не подходит для многих приложений, требующих более сложной теории интегрирования. Например, многие относительно простые приложения используют дельта-функцию Дирака , которую можно формально рассматривать как функцию, но для обоснования требуется математически более сложная точка зрения.

Преобразование Фурье также можно обобщить на функции нескольких переменных в евклидовом пространстве, переводя функцию трехмерного «позиционного пространства» в функцию трехмерного импульса (или функцию пространства и времени в функцию четырехмерного импульса). ). Эта идея делает пространственное преобразование Фурье очень естественным при изучении волн, а также в квантовой механике , где важно уметь представлять волновые решения как функции либо положения, либо импульса, а иногда и того и другого. В общем, функции, к которым применимы методы Фурье, являются комплекснозначными и, возможно, векторнозначными . Возможно дальнейшее обобщение функций над группами , которые, помимо исходного преобразования Фурье на R или R n (рассматриваемых как добавляемые группы), включают, в частности, преобразование Фурье с дискретным временем (ДВПФ, группа = Z ), дискретное преобразование Фурье (DFT, группа = Z mod N ) и ряд Фурье или круговое преобразование Фурье (группа = S 1 , единичный круг ≈ замкнутый конечный интервал с отождествленными концами). Последний обычно используется для обработки периодических функций . Быстрое преобразование Фурье (БПФ) — это алгоритм вычисления ДПФ.

Определения

Преобразование Фурье на R

Преобразование Фурье является расширением ряда Фурье , которое в своей наиболее общей форме вводит использование комплексных экспоненциальных функций . Например, для функции амплитуда и фаза частотного компонента на частоте задается этим комплексным числом:

Расширение обеспечивает частотный континуум компонентов с использованием бесконечного интеграла интегрирования:

преобразование Фурье

 

 

 

 

( Уравнение 1 )

Здесь преобразование функции по частоте обозначается комплексным числом , что является лишь одним из нескольких общепринятых соглашений. Вычисление уравнения 1 для всех значений дает функцию частотной области . Когда независимая переменная ( ) представляет время (часто обозначается ), переменная преобразования ( ) представляет частоту (часто обозначается ). Например, если время измеряется в секундах , то частота в герцах .

Для каждой частоты амплитуда ( абсолютное значение ) комплексного значения представляет собой амплитуду составной комплексной синусоиды с этой частотой, интегрированной по области, а аргумент комплексного значения представляет сдвиг фазы комплексной синусоиды . Если частота отсутствует, преобразование имеет значение 0 для этой частоты. Преобразование Фурье не ограничивается функциями времени, но область исходной функции обычно называют временной областью . Теорема обращения Фурье обеспечивает процесс синтеза , который воссоздает исходную функцию из ее представления в частотной области.

Ключом к интерпретации уравнения 1 является то, что эффект умножения на заключается в вычитании из каждой частотной составляющей функции (см. также Отрицательная частота ). Таким образом, составляющая, которая была в конце, заканчивается на нуле герц, а интеграл дает свою амплитуду, потому что все остальные компоненты являются колебательными и интегрируются до нуля по бесконечному интервалу.

Функции и часто называют парой преобразований Фурье . Общая нотация для обозначения пар преобразования:

Функция может быть восстановлена ​​из ее ряда Фурье при подходящих условиях. Когда это возможно, ряд Фурье дает формулу обращения:

Точно так же при подходящих условиях формула обращения Фурье на :

Интеграл обращения Фурье

 

 

 

 

( Уравнение 2 )

Комплексное число , передает как амплитуду, так и фазу частоты . Таким образом, уравнение 2 представляет собой взвешенную сумму сложных экспоненциальных функций. Это известно как теорема обращения Фурье , и впервые она была представлена ​​в Аналитической теории тепла Фурье , хотя доказательство по современным стандартам было дано гораздо позже.

Другие условные обозначения

Другие общие соглашения и обозначения, в том числе использование угловой частоты ω вместо обычной частоты ξ , см. в разделах Другие соглашения и Другие обозначения ниже. Преобразование Фурье в евклидовом пространстве рассматривается отдельно, в котором переменная x часто представляет положение и импульс ξ . Соглашения, выбранные в этой статье, относятся к гармоническому анализу и характеризуются как уникальные соглашения, такие как унитарное преобразование Фурье на L 2 и гомоморфизм алгебр из L 1 в L без перенормировки меры Лебега.

Существует множество других характеристик преобразования Фурье. Например, можно использовать теорему Стоуна – фон Неймана : преобразование Фурье является единственным унитарным переплетением для симплектического и евклидова представлений Шредингера группы Гейзенберга .

Фон

История

В 1821 году Фурье заявил (см. Жозеф Фурье § Аналитическая теория тепла ), что любую функцию, непрерывную или прерывистую, можно разложить в ряд синусов. Эта важная работа была исправлена ​​и дополнена другими, чтобы заложить основу для различных форм преобразования Фурье, используемых с тех пор.

Сложные синусоиды

В общем случае коэффициенты представляют собой комплексные числа, имеющие две эквивалентные формы (см. формулу Эйлера ):

Продукт с ( Eq.2 ) имеет следующие формы:

Примечательно, как легко произведение было упрощено с помощью полярной формы и как легко была выведена прямоугольная форма с помощью применения формулы Эйлера.

Отрицательная частота

Одним из аспектов преобразования Фурье, который часто сбивает с толку, является использование отрицательной частоты . Когда частота понимается как скорость того, как часто что-то происходит, или в физике как 1/T за некоторый период времени T. Эти представления о частоте по своей сути положительны. Но значение в уравнении 1 позволяет принимать любое действительное число.

Для функций с действительными значениями существует простая связь между значениями преобразования Фурье для положительных и отрицательных (см. Сопряжение ниже). Это позволяет избежать темы отрицательных частот с помощью синусоидального и косинусного преобразований . Но большинство авторов предпочитают использовать уравнение 1 вместо двух преобразований. Одна из причин этого заключается в том, что многие приложения должны использовать преобразование Фурье комплекснозначных функций, таких как уравнения в частных производных , радиолокация , нелинейная оптика , квантовая механика и другие. В этих случаях значение преобразования Фурье на отрицательных частотах отличается от значения на реальных частотах, и они важны. В этих ситуациях понятие частоты определяется преобразованием Фурье, а не обращением к частоте или периоду.

Преобразование Фурье для периодических функций

Преобразование Фурье периодической функции нельзя определить непосредственно с помощью интегральной формулы. Для определения интеграла в уравнении 1 функция должна быть абсолютно интегрируемой . Вместо этого обычно используют ряды Фурье . Можно расширить определение, включив в него периодические функции, рассматривая их как умеренные распределения .

Это позволяет увидеть связь между рядом Фурье и преобразованием Фурье для периодических функций, имеющих сходящийся ряд Фурье . Если периодическая функция с периодом имеет сходящийся ряд Фурье, то:

где – коэффициенты ряда Фурье . Другими словами, преобразование Фурье представляет собой гребенчатую функцию Дирака , зубцы которой умножаются на коэффициенты ряда Фурье.

Выборка преобразования Фурье

Преобразование Фурье интегрируемой функции может производиться через равные промежутки времени. Эти выборки могут быть получены из одного цикла периодической функции, коэффициенты ряда Фурье которой пропорциональны этим выборкам по формуле суммирования Пуассона :

Интегрируемость обеспечивает сходимость периодического суммирования. Таким образом, образцы могут быть определены:

Когда имеет компактную поддержку , имеет конечное число терминов в пределах интервала интегрирования. Когда нет компактной поддержки, числовая оценка требует приближения, такого как сужение или усечение количества терминов.

Пример

На следующих рисунках наглядно показано, как преобразование Фурье измеряет наличие частоты в конкретной функции. Изображенная функция f ( t ) = cos(6π t ) e −π t 2 колеблется с частотой 3  Гц (если t измеряет секунды) и быстро стремится к 0. (Второй фактор в этом уравнении — огибающая функция , которая формирует непрерывную синусоиду в короткий импульс. Его общая форма - функция Гаусса ). Эта функция была специально выбрана, чтобы иметь реальное преобразование Фурье, которое можно легко построить. Первое изображение содержит его график. Для расчета мы должны проинтегрировать e i 2π(3 t ) f ( t ) . На втором изображении показан график реальной и мнимой частей этой функции. Действительная часть подынтегрального выражения почти всегда положительна, потому что, когда f ( t ) отрицательно, действительная часть e i 2π (3 t ) также отрицательна. Поскольку они колеблются с одинаковой скоростью, когда f ( t ) положительна, то же самое имеет и действительная часть e i 2π(3 t ) . В результате, когда вы интегрируете действительную часть подынтегральной функции, вы получаете относительно большое число (в данном случае1/2). С другой стороны, когда вы пытаетесь измерить отсутствующую частоту, как в случае, когда мы смотрим на , вы видите, что как действительная, так и мнимая составляющая этой функции быстро меняются между положительными и отрицательными значениями, как показано на третьем графике. изображение. Следовательно, в этом случае подынтегральная функция колеблется достаточно быстро, так что интеграл очень мал, а значение преобразования Фурье для этой частоты близко к нулю.

Общая ситуация может быть немного сложнее, чем эта, но по сути это то, как преобразование Фурье измеряет, какая часть отдельной частоты присутствует в функции f ( t ) .

Свойства преобразования Фурье

Здесь мы предполагаем, что f ( x ) , g ( x ) и h ( x ) являются интегрируемыми функциями : измеримыми по Лебегу на вещественной прямой, удовлетворяющими:

Обозначим преобразования Фурье этих функций как ( ξ ) , ĝ ( ξ ) и ĥ ( ξ ) соответственно.

Основные свойства

Преобразование Фурье обладает следующими основными свойствами:

Линейность

Для любых комплексных чисел a и b , если h ( x ) = af ( x ) + bg ( x ) , то ĥ ( ξ ) = a ( ξ ) + ( ξ ) .

Перевод / сдвиг времени

Анимация, показывающая преобразование Фурье сдвинутого во времени сигнала. [Вверху] исходный сигнал (желтый), непрерывно сдвинутый во времени (синий). [Внизу] Результирующее преобразование Фурье сдвинутого во времени сигнала. Обратите внимание, как компоненты с более высокой частотой вращаются в комплексной плоскости быстрее, чем компоненты с более низкой частотой.
Для любого действительного числа x 0 , если h ( x ) = f ( xx 0 ) , то ĥ ( ξ ) = e ix 0 ξ ( ξ ) .

Модуляция/сдвиг частоты

Для любого действительного числа ξ 0 , если h ( x ) = e iξ 0 x f ( x ) , то ĥ ( ξ ) = ( ξξ 0 ) .

Масштабирование времени

Для ненулевого действительного числа a , если h ( x ) = f ( ax ) , затем
Случай a = −1 приводит к свойству обращения времени , которое гласит: если h ( x ) = f (−x ) , то ĥ ( ξ ) = ( −ξ ) .

Симметрия

Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их четную и нечетную части , получается четыре компонента, обозначаемые ниже индексами RE, RO, IE и IO. И существует взаимно-однозначное отображение между четырьмя компонентами сложной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования :

Отсюда вытекают различные отношения, например :

  • Преобразование функции с действительным знаком ( f RE + f RO ) является четной симметричной функцией RE + i IO . И наоборот, четно-симметричное преобразование подразумевает вещественную временную область.
  • Преобразованием мнимозначной функции ( i f IE + i f IO ) является нечетная симметричная функция RO + i IE , и верно обратное.
  • Преобразованием четно-симметричной функции ( f RE + i f IO ) является функция с действительным знаком RE + RO , и верно обратное.
  • Преобразование нечетно-симметричной функции ( f RO + i f IE ) является мнимозначной функцией i IE + i IO , и верно обратное.

Спряжение

Если h ( x ) = f ( x ) , то
В частности, если f реально, то выполняется условие реальности
то есть является эрмитовой функцией . А если f чисто мнимое, то

Реальная и мнимая часть времени

  • Если , то .
  • Если , то .

Компонент нулевой частоты

Подставляя ξ = 0 в определение, получаем
Это то же самое, что и интеграл от f по всей его области, а также известное как среднее значение или постоянное смещение функции.

Обратимость и периодичность

При подходящих условиях на функцию ее можно восстановить из ее преобразования Фурье . В самом деле, обозначая оператор преобразования Фурье через , так , тогда для подходящих функций применение преобразования Фурье дважды просто переворачивает функцию: , что можно интерпретировать как «обращение времени». Поскольку обращение времени является двухпериодическим, применение этого дважды дает , поэтому оператор преобразования Фурье является четырехпериодическим, и аналогичным образом обратное преобразование Фурье может быть получено путем трехкратного применения преобразования Фурье: . В частности, преобразование Фурье обратимо (при подходящих условиях).

Точнее, определяя оператор четности таким образом , что имеем:

Эти равенства операторов требуют тщательного определения пространства рассматриваемых функций, определения равенства функций (равенство в каждой точке? равенство почти везде ?) и определения равенства операторов, то есть определения топологии пространства функций и пространства операторов в вопрос. Это верно не для всех функций, но верно при различных условиях, которые составляют содержание различных форм теоремы обращения Фурье .

Эта четырехкратная периодичность преобразования Фурье аналогична повороту плоскости на 90°, особенно потому, что двукратная итерация приводит к обращению, и фактически эту аналогию можно уточнить. В то время как преобразование Фурье можно просто интерпретировать как переключение временной области и частотной области, а обратное преобразование Фурье переключает их обратно, более геометрически его можно интерпретировать как поворот на 90° в частотно-временной области (рассматривая время как ось x и частота как ось y ), а преобразование Фурье можно обобщить до дробного преобразования Фурье , которое включает повороты на другие углы. Это может быть дополнительно обобщено на линейные канонические преобразования , которые можно визуализировать как действие специальной линейной группы SL 2 ( R ) на частотно-временной плоскости с сохраненной симплектической формой, соответствующей принципу неопределенности , ниже. Этот подход особенно изучается при обработке сигналов при частотно-временном анализе .

Единицы и двойственность

Частотная переменная должна иметь единицы, обратные единицам исходной области определения функции (обычно называемой t или x ). Например, если t измеряется в секундах, ξ должно выражаться в циклах в секунду или в герцах . Если шкала времени выражена в единицах 2 π секунд, то вместо этого обычно используется другая греческая буква ω для обозначения угловой частоты (где ω = 2π ξ ) в радианах в секунду. Если использовать x для единиц длины, то ξ должна быть обратной длине, например, волновым числам . Другими словами, существует две версии реальной линии: одна представляет собой диапазон t и измеряется в единицах t , а другая представляет собой диапазон ξ и измеряется в единицах, обратных единицам t . Эти две разные версии реальной линии нельзя отождествлять друг с другом. Следовательно, преобразование Фурье переходит из одного пространства функций в другое пространство функций: функции, которые имеют другую область определения.

В общем случае ξ всегда следует рассматривать как линейную форму на пространстве своей области определения, то есть вторую вещественную прямую следует рассматривать как двойственное пространство первой вещественной прямой. См. статью о линейной алгебре для более формального объяснения и более подробной информации. Эта точка зрения становится существенной при обобщении преобразования Фурье на общие группы симметрии , в том числе и на случай рядов Фурье.

Что не существует одного предпочтительного способа (часто говорят «неканонический способ») для сравнения двух версий реальной линии, которые участвуют в преобразовании Фурье — фиксация единиц на одной линии не влияет на масштаб единиц на другой. другая линия — причина множества соперничающих соглашений об определении преобразования Фурье. Различные определения, возникающие в результате различного выбора единиц измерения, различаются различными константами.

Пусть – форма преобразования Фурье через обыкновенную частоту ξ .

Поскольку альтернативная форма (которую преобразование Фурье § Другие соглашения называют неунитарной формой угловой частоты) не имеет значения в ее определении.

но имеет коэффициент в соответствующей формуле обращения

Альтернативная форма (которую преобразование Фурье § Другие соглашения называют унитарной формой по угловой частоте) имеет коэффициент в своем определении

а также имеет тот же множитель в соответствующей формуле обращения, что дает симметричное соотношение

В других соглашениях преобразование Фурье имеет i в показателе степени вместо - i , и наоборот для формулы обращения. Это соглашение распространено в современной физике и используется по умолчанию для Wolfram Alpha , и не означает, что частота стала отрицательной, поскольку не существует канонического определения положительности для частоты сложной волны. Это просто означает, что это амплитуда волны     вместо волны   (первая, со знаком минус, часто видна во временной зависимости для синусоидальных плосковолновых решений уравнения электромагнитной волны или во временной зависимости для квантовой волны функции ). Многие тождества, связанные с преобразованием Фурье, остаются в силе в этих соглашениях при условии, что все условия, которые явно включают i , заменены на - i . В электротехнике буква j обычно используется для мнимой единицы вместо i, потому что i используется для тока.

При использовании безразмерных единиц постоянные коэффициенты могут даже не записываться в определении преобразования. Например, в теории вероятностей характеристическая функция Φ функции плотности вероятности f случайной величины X непрерывного типа определяется без отрицательного знака в экспоненте, а поскольку единицы x пренебрегаются, то 2 π также не существует. :

(В теории вероятностей и в математической статистике использование преобразования Фурье — Стилтьеса предпочтительнее, так как очень многие случайные величины не являются непрерывными и не обладают функцией плотности, и нужно рассматривать не функции, а распределения, т. е . , меры, которые обладают «атомами».)

С более высокой точки зрения групповых характеров , которая является гораздо более абстрактной, все эти произвольные выборы исчезают, как будет объяснено в следующем разделе этой статьи, в котором рассматривается понятие преобразования Фурье функции на локально компактном абелевом пространстве . группа .

Равномерная непрерывность и лемма Римана–Лебега

Прямоугольная функция интегрируема по Лебегу .
Функция sinc , которая является преобразованием Фурье прямоугольной функции, ограничена и непрерывна, но не интегрируема по Лебегу.

Преобразование Фурье может быть определено в некоторых случаях для неинтегрируемых функций, но преобразования Фурье интегрируемых функций обладают несколькими сильными свойствами.

Преобразование Фурье любой интегрируемой функции f равномерно непрерывно и

По лемме Римана–Лебега ,

Однако не обязательно должен быть интегрируемым. Например, преобразование Фурье прямоугольной функции , которая является интегрируемой, является sinc функцией , которая не является интегрируемой по Лебегу , потому что ее несобственные интегралы ведут себя аналогично знакопеременным гармоническим рядам , сходясь к сумме, но не будучи абсолютно сходящимися .

Обратное преобразование вообще невозможно записать в виде интеграла Лебега . Однако, когда обе f и интегрируемы, обратное равенство

держит почти везде . То есть преобразование Фурье инъективно на L1 ( R ) . (Но если f непрерывно, то равенство имеет место для каждого x .)

Теорема Планшереля и теорема Парсеваля

Пусть f ( x ) и g ( x ) интегрируемы, и пусть ( ξ ) и ĝ ( ξ ) — их преобразования Фурье. Если f ( x ) и g ( x ) также интегрируемы с квадратом , то формула Парсеваля выглядит следующим образом:

где черта обозначает комплексное сопряжение .

Теорема Планшереля , которая следует из вышеизложенного, утверждает, что

Теорема Планшереля позволяет распространить преобразование Фурье по аргументу непрерывности на унитарный оператор в L2 ( R ) . На L 1 ( R ) ∩ L 2 ( R ) это расширение согласуется с исходным преобразованием Фурье, определенным на L 1 ( R ) , таким образом расширяя область преобразования Фурье до L 1 ( R ) + L 2 ( R ) (и следовательно, в L p ( R ) для 1 ≤ p ≤ 2 ). Теорема Планшереля имеет интерпретацию в науках, согласно которой преобразование Фурье сохраняет энергию исходной величины. Терминология этих формул не совсем стандартизирована. Теорема Парсеваля была доказана только для рядов Фурье и впервые доказана Ляпуновым. Но формула Парсеваля имеет смысл и для преобразования Фурье, и поэтому, хотя в контексте преобразования Фурье она была доказана Планшерелем, ее до сих пор часто называют формулой Парсеваля, отношением Парсеваля или даже теоремой Парсеваля.

См. Двойственность Понтрягина для общей формулировки этого понятия в контексте локально компактных абелевых групп.

Формула суммирования Пуассона

Формула суммирования Пуассона (PSF) представляет собой уравнение, которое связывает коэффициенты ряда Фурье периодического суммирования функции со значениями непрерывного преобразования Фурье функции. Формула суммирования Пуассона говорит, что для достаточно регулярных функций f ,

Он имеет множество полезных форм, которые являются производными от основного путем применения свойств масштабирования и сдвига во времени преобразования Фурье. Формула имеет приложения в технике, физике и теории чисел . Частотная область, двойная стандартной формуле суммирования Пуассона, также называется преобразованием Фурье с дискретным временем .

Суммирование Пуассона обычно связано с физикой периодических сред, например с теплопроводностью по окружности. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности на окружности называется тета-функцией . Он используется в теории чисел для доказательства свойств преобразования тета-функций, которые оказываются типом модулярной формы , и в более общем плане он связан с теорией автоморфных форм , где он появляется на одной стороне формулы следа Сельберга .

Дифференциация

Предположим, что f ( x ) — абсолютно непрерывная дифференцируемая функция, и f , и ее производная f′ интегрируемы. Тогда преобразование Фурье производной определяется выражением

В более общем смысле преобразование Фурье n- й производной f ( n ) задается выражением

Аналогично,

Применяя преобразование Фурье и используя эти формулы, некоторые обыкновенные дифференциальные уравнения можно преобразовать в алгебраические уравнения, решить которые гораздо проще. Эти формулы также приводят к эмпирическому правилу « f ( x ) является гладким тогда и только тогда, когда ( ξ ) быстро падает до 0 при | ξ | → ∞ ». Используя аналогичные правила для обратного преобразования Фурье, можно также сказать, что « f ( x ) быстро падает до 0 при | x |→∞ тогда и только тогда, когда ( ξ ) является гладким».

Теорема свертки

Преобразование Фурье переводит между сверткой и умножением функций. Если f ( x ) и g ( x ) — интегрируемые функции с преобразованиями Фурье ( ξ ) и ĝ ( ξ ) соответственно, то преобразование Фурье свертки задается произведением преобразований Фурье ( ξ ) и ĝ ( ξ ) (при других соглашениях для определения преобразования Фурье может появиться постоянный множитель).

Это означает, что если:

где обозначает операцию свертки, тогда:

В линейной инвариантной во времени (LTI) теории систем принято интерпретировать g ( x ) как импульсную характеристику LTI-системы с входом f ( x ) и выходом h ( x ) , поскольку замена единичного импульса на f ( x ) час ( Икс ) знак равно г ( Икс ) . В этом случае ĝ ( ξ ) представляет собой частотную характеристику системы.

Наоборот, если f ( x ) можно разложить как произведение двух суммируемых с квадратом функций p ( x ) и q ( x ) , то преобразование Фурье f ( x ) задается сверткой соответствующих преобразований Фурье ( ξ ) и q ( ξ ) .

Теорема о взаимной корреляции

Аналогичным образом можно показать, что если h ( x ) является взаимной корреляцией f ( x ) и g ( x ) :

тогда преобразование Фурье h ( x ) :

В частном случае автокорреляция функции f ( x ) :

для которого

собственные функции

Преобразование Фурье — это линейное преобразование, собственные функции которого подчиняются закону

Набор собственных функций находится, если учесть, что однородное дифференциальное уравнение

приводит к собственным функциям преобразования Фурье до тех пор, пока форма уравнения остается инвариантной относительно преобразования Фурье. Другими словами, каждое решение и его преобразование Фурье подчиняются одному и тому же уравнению. Следовательно, при условии единственности решений каждое решение должно быть собственной функцией преобразования Фурье. Форма уравнения остается неизменной при преобразовании Фурье, если ее можно разложить в степенной ряд, в котором для всех членов один и тот же множитель любого из них возникает из множителей , введенных правилами дифференцирования при преобразовании Фурье однородного дифференциального уравнения, поскольку этот множитель может затем отменить. Простейшее допустимое приводит к стандартному нормальному распределению .

В более общем смысле набор собственных функций также можно найти, заметив, что правила дифференцирования подразумевают, что обыкновенное дифференциальное уравнение

с постоянной и являющейся непостоянной четной функцией остается инвариантной по форме при применении преобразования Фурье к обеим частям уравнения. Дается простейший пример, эквивалентный рассмотрению уравнения Шрёдингера для квантового гармонического осциллятора . Соответствующие решения обеспечивают важный выбор ортонормированного базиса для L 2 ( R ) и задаются «физическими» функциями Эрмита . Эквивалентно можно использовать

где He n ( x ) — «вероятностные» полиномы Эрмита , определяемые как

В соответствии с этим соглашением для преобразования Фурье мы имеем, что

Другими словами, функции Эрмита образуют полную ортонормированную систему собственных функций для преобразования Фурье на L2 ( R ) . Однако такой выбор собственных функций не является единственным. Из-за того, что существует только четыре различных собственных значения преобразования Фурье (четвертые корни из единицы ± 1 и ± i ), и любая линейная комбинация собственных функций с одним и тем же собственным значением дает другую собственную функцию. Вследствие этого можно разложить L2 ( R ) как прямую сумму четырех пространств H0 , H1 , H2 и H3 , где преобразование Фурье действует на Hek просто путем умножения на ik .

Поскольку полный набор функций Эрмита ψ n обеспечивает разрешение тождества, они диагонализируют оператор Фурье, т. е. преобразование Фурье может быть представлено такой суммой членов, взвешенных указанными выше собственными значениями, и эти суммы могут быть явно суммированы:

Этот подход к определению преобразования Фурье был впервые предложен Норбертом Винером . Помимо других свойств, функции Эрмита экспоненциально быстро убывают как в частотной, так и во временной областях, и поэтому они используются для определения обобщения преобразования Фурье, а именно дробного преобразования Фурье, используемого в частотно-временном анализе. В физике это преобразование было введено Эдвардом Кондоном . Это изменение базисных функций становится возможным, потому что преобразование Фурье является унитарным преобразованием при использовании правильных соглашений . Следовательно, при надлежащих условиях можно ожидать, что он будет результатом самосопряженного генератора через

Оператор представляет собой числовой оператор квантового гармонического осциллятора, записанный как

Его можно интерпретировать как генератор дробных преобразований Фурье для произвольных значений t и обычного непрерывного преобразования Фурье для конкретного значения с ядром Мелера, реализующим соответствующее активное преобразование . Собственные функции являются функциями Эрмита , которые, следовательно, также являются собственными функциями

При распространении преобразования Фурье на распределения гребенка Дирака также является собственной функцией преобразования Фурье.

Связь с группой Гейзенберга

Группа Гейзенберга — это некоторая группа унитарных операторов в гильбертовом пространстве L 2 ( R ) квадратично суммируемых комплекснозначных функций f на прямой, порожденная сдвигами ( T y f )( x ) = f ( x + y ) и умножение на e iξx , ( M ξ f )( x ) = e iξx f ( x ) . Эти операторы не коммутируют, так как их (групповой) коммутатор

которое представляет собой умножение на константу (независимую от x ) e iξyU (1) ( группа кругов единичных модульных комплексных чисел). Как абстрактная группа группа Гейзенберга представляет собой трехмерную группу Ли троек ( x , ξ , z ) ∈ R 2 × U (1) с групповым законом

Обозначим группу Гейзенберга через H 1 . Описанная выше процедура описывает не только структуру группы , но и стандартное унитарное представление группы H1 в гильбертовом пространстве, которое мы обозначаем через ρ :  H1 B ( L2 ( R ) ) . Определим линейный автоморфизм R 2 формулой

так что J 2 знак равно - я . Это J может быть расширено до единственного автоморфизма H 1 :

Согласно теореме Стоуна–фон Неймана унитарные представления ρ и ρj унитарно эквивалентны , поэтому существует единственный сплетник WU ( L2 ( R )) такой, что

Этот оператор W является преобразованием Фурье.

Многие из стандартных свойств преобразования Фурье являются прямым следствием этой более общей структуры. Например, квадрат преобразования Фурье, W 2 , является переплетением, связанным с J 2 = - I , и поэтому мы имеем ( W 2 f )( x ) = f (- x ) является отражением исходной функции f .

Сложный домен

Интеграл для преобразования Фурье

можно изучать при комплексных значениях его аргумента ξ . В зависимости от свойств f , это может вообще не сходиться с вещественной оси или может сходиться к сложной аналитической функции для всех значений ξ = σ + или что-то среднее между ними.

Теорема Пэли -Винера утверждает, что f является гладкой (т. е. n -кратно дифференцируемой для всех положительных целых чисел n ) и имеет компактный носитель тогда и только тогда, когда ( σ + ) является голоморфной функцией , для которой существует константа a > 0 такая что для любого целого числа n ≥ 0 ,

для некоторой константы C . (В этом случае f поддерживается на [− a , a ] .) Это можно выразить, сказав, что целая функция , быстро убывающая по σ (при фиксированном τ ) и экспоненциально растущая по τ (равномерно по σ ).

(Если f не гладкая, а только L 2 , утверждение остается верным при n = 0 .) Пространство таких функций комплексного переменного называется пространством Пэли — Винера. Эта теорема была обобщена на полупростые группы Ли .

Если f поддерживается на полупрямой t ≥ 0 , то f называется «причинным», потому что функция импульсного отклика физически реализуемого фильтра должна обладать этим свойством, поскольку никакое следствие не может предшествовать своей причине. Пейли и Винер показали, что тогда продолжается до голоморфной функции на комплексной нижней полуплоскости τ < 0 , которая стремится к нулю при стремлении τ к бесконечности. Обратное неверно, и неизвестно, как охарактеризовать преобразование Фурье причинной функции.

преобразование Лапласа

Преобразование Фурье ( ξ ) связано с преобразованием Лапласа F ( s ) , которое также используется для решения дифференциальных уравнений и анализа фильтров .

Может случиться так, что функция f , для которой интеграл Фурье вообще не сходится на вещественной оси, тем не менее имеет комплексное преобразование Фурье, определенное в некоторой области комплексной плоскости .

Например, если f ( t ) имеет экспоненциальный рост, т. е.

для некоторых констант C , a ≥ 0 , тогда

сходящимся для всех τ < − a , является двусторонним преобразованием Лапласа функции f .

Более обычная версия («односторонняя») преобразования Лапласа:

Если f также является причинным и аналитическим, тогда: Таким образом, распространение преобразования Фурье на комплексную область означает, что оно включает преобразование Лапласа как частный случай в случае причинных функций, но с заменой переменной s = iξ .

С другой, возможно, более классической точки зрения, преобразование Лапласа по своей форме включает дополнительный экспоненциальный регулирующий член, который позволяет ему сходиться за пределами воображаемой линии, где определено преобразование Фурье. Как таковое, оно может сходиться для не более чем экспоненциально расходящихся рядов и интегралов, тогда как исходное разложение Фурье не может, что позволяет анализировать системы с расходящимися или критическими элементами. Двумя конкретными примерами линейной обработки сигналов являются построение сетей всепроходных фильтров из критической гребенки и смягчающих фильтров с помощью точной компенсации полюса-нуля на единичной окружности. Такие конструкции распространены в обработке звука, где требуется высоко нелинейная фазовая характеристика, например, в реверберации.

Кроме того, когда для работы по обработке сигналов требуются расширенные импульсные импульсные характеристики, самый простой способ их получить — это иметь одну схему, которая создает расходящуюся временную характеристику, а затем нейтрализовать ее расхождение с помощью задержанного противоположного и компенсационного отклика. Здесь только промежуточная схема задержки допускает классическое описание Фурье, что является критическим. Обе схемы в сторону неустойчивы и не допускают сходящегося разложения Фурье. Однако они допускают описание области Лапласа с идентичными полуплоскостями сходимости в комплексной плоскости (или, в дискретном случае, в Z-плоскости), в которой их эффекты компенсируются.

В современной математике преобразование Лапласа условно относят к методам Фурье. Оба они включены в гораздо более общую и более абстрактную идею гармонического анализа .

Инверсия

Если является комплексно-аналитическим для aτb , то

по интегральной теореме Коши . Следовательно, формула обращения Фурье может использовать интегрирование по разным линиям, параллельным действительной оси.

Теорема: Если f ( t ) = 0 для t < 0 и | ж ( т ) | < Се а | т | для некоторых констант C , a > 0 , то

для любого τ < −а/.

Из этой теоремы следует формула обращения Меллина для преобразования Лапласа:

для любого b > a , где F ( s ) — преобразование Лапласа функции f ( t ) .

Гипотезы могут быть ослаблены, как и в результатах Карлесона и Ханта, до f ( t ) e при L 1 при условии, что f имеет ограниченную вариацию в замкнутой окрестности t (см. теорему Дирихле–Дини ) , значение f в момент t принимается за среднее арифметическое левого и правого пределов при условии, что интегралы берутся в смысле главных значений Коши.

L 2 версии этих формул обращения также доступны.

Преобразование Фурье в евклидовом пространстве

Преобразование Фурье может быть определено в любом произвольном количестве измерений n . Как и в случае с одномерным пространством, существует множество соглашений. Для интегрируемой функции f ( x ) в этой статье используется определение:

где x и ξn -мерные векторы , а x · ξскалярное произведение векторов. В качестве альтернативы ξ можно рассматривать как принадлежащее дуальному векторному пространству , и в этом случае скалярное произведение становится сокращением x и ξ , обычно записывается как x , ξ .

Все основные свойства, перечисленные выше, справедливы для n -мерного преобразования Фурье, как и теоремы Планшереля и Парсеваля. Когда функция интегрируема, преобразование Фурье по-прежнему равномерно непрерывно и выполняется лемма Римана–Лебега .

Принцип неопределенности

Вообще говоря, чем более сконцентрировано f ( x ) , тем более разбросанным должно быть его преобразование Фурье ( ξ ) . В частности, свойство масштабирования преобразования Фурье можно рассматривать как говорящее: если мы сжимаем функцию по x , ее преобразование Фурье растягивается по ξ . Невозможно произвольно сконцентрировать как функцию, так и ее преобразование Фурье.

Компромисс между уплотнением функции и ее преобразованием Фурье можно формализовать в виде принципа неопределенности , рассматривая функцию и ее преобразование Фурье как сопряженные переменные относительно симплектической формы в частотно-временной области : из с точки зрения линейного канонического преобразования , преобразование Фурье представляет собой поворот на 90° в частотно-временной области и сохраняет симплектическую форму .

Предположим, что f ( x ) является интегрируемой и интегрируемой с квадратом функцией. Без ограничения общности предположим, что f ( x ) нормировано:

Из теоремы Планшереля следует , что ( ξ ) также нормирована.

Разброс вокруг x = 0 может быть измерен дисперсией около нуля , определяемой выражением

С точки зрения вероятности, это второй момент | ж ( Икс ) | 2 около нуля.

Принцип неопределенности утверждает, что если f ( x ) абсолютно непрерывна и функции x · f ( x ) и f ( x ) интегрируемы с квадратом, то

.

Равенство достигается только в случае

где σ > 0 произвольно и C 1 =42/σтак что f является L 2 -нормализованным. Другими словами, где f является (нормализованной) функцией Гаусса с дисперсией σ 2 /2 π с центром в нуле, а ее преобразование Фурье является функцией Гаусса с дисперсией σ −2 /2 π .

Фактически из этого неравенства следует, что:

для любого x 0 , ξ 0R .

В квантовой механике волновые функции импульса и положения представляют собой пары преобразований Фурье с точностью до коэффициента постоянной Планка . При правильном учете этой константы приведенное выше неравенство становится утверждением принципа неопределенности Гейзенберга .

Более сильным принципом неопределенности является принцип неопределенности Хиршмана , который выражается как:

где H ( p )дифференциальная энтропия функции плотности вероятности p ( x ) :

где логарифмы могут быть по любому согласованному основанию. Равенство достигается для гауссианы, как и в предыдущем случае.

Синусные и косинусные преобразования

Первоначальная формулировка преобразования Фурье использовала не комплексные числа, а скорее синусы и косинусы. Статистики и другие специалисты до сих пор используют эту форму. Абсолютно интегрируемая функция f , для которой выполняется обращение Фурье, может быть разложена по истинным частотам (избегая отрицательных частот, которые иногда считаются трудно интерпретируемыми физически) λ следующим образом :

Это называется разложением по тригонометрическому интегралу или интегральным разложением Фурье. Коэффициентные функции a и b можно найти, используя варианты косинусного преобразования Фурье и синусного преобразования Фурье (нормализации, опять же, не стандартизированы):

и

В старой литературе упоминаются две функции преобразования: косинусное преобразование Фурье a и синусоидальное преобразование Фурье b .

Функция f может быть восстановлена ​​​​из синусного и косинусного преобразования с использованием

вместе с тригонометрическими тождествами. Это называется интегральной формулой Фурье.

Сферические гармоники

Пусть множество однородных гармонических многочленов степени k на Rn обозначается через Ak . Множество Ak состоит из телесных сферических гармоник степени k . Сплошные сферические гармоники играют ту же роль в высших измерениях, что и полиномы Эрмита в первом измерении. В частности, если f ( x ) = e − π | х | 2 P ( x ) для некоторого P ( x ) в A k , тогда ( ξ ) знак равно я k ж ( ξ ) . Пусть множество Hk является замыканием в L2 ( Rn ) линейных комбинаций функций вида f ( | x |) P ( x ) , где P ( x ) принадлежит Ak . Тогда пространство L2 ( Rn ) является прямой суммой пространств Hk , и преобразование Фурье отображает каждое пространство Hk в себя , и можно охарактеризовать действие преобразования Фурье на каждое пространство Hk .

Пусть f ( x ) = f 0 (| x |) P ( x )P ( x ) в A k ), тогда

где

Здесь J ( n + 2 k − 2)/2 обозначает функцию Бесселя первого рода с порядкомп + 2 к - 2/2. Когда k = 0 , это дает полезную формулу для преобразования Фурье радиальной функции. По сути, это преобразование Ганкеля . Более того, существует простая рекурсия, связывающая случаи n + 2 и n , позволяющая вычислить, например, трехмерное преобразование Фурье радиальной функции из одномерной.

Проблемы с ограничением

В более высоких измерениях становится интересным изучение проблем ограничения для преобразования Фурье. Преобразование Фурье интегрируемой функции непрерывно, и определено ограничение этой функции на любое множество. Но для функции, интегрируемой с квадратом, преобразование Фурье могло бы быть общим классом функций, интегрируемых с квадратом. Таким образом, ограничение преобразования Фурье функции L 2 ( R n ) не может быть определено на множествах меры 0. Это все еще активная область изучения, чтобы понять проблемы ограничения в L p для 1 < p < 2 . Удивительно, но в некоторых случаях можно определить ограничение преобразования Фурье на множество S при условии, что S имеет ненулевую кривизну. Особый интерес представляет случай, когда S единичная сфера в Rn . В этом случае теорема Томаса– Стейна об ограничениях утверждает , что ограничение преобразования Фурье на единичную сферу в Rn является ограниченным оператором в L p при условии, что 1 ≤ p2 п + 2/п + 3.

Одно заметное различие между преобразованием Фурье в 1 измерении и более высокими измерениями касается оператора частичной суммы. Рассмотрим возрастающий набор измеримых множеств ER , индексированных R ∈ (0,∞) : например, шары радиуса R с центром в начале координат или кубы со стороной 2 R . Для данной интегрируемой функции f рассмотрим функцию f R , определяемую следующим образом:

Предположим дополнительно , что fLp ( Rn ) . Для n = 1 и 1 < p < ∞ , если взять E R = (− R , R ) , то f R сходится к f в L p при стремлении R к бесконечности в силу ограниченности преобразования Гильберта . Наивно можно надеяться, что то же самое верно и для n > 1 . В случае, когда E R взят в качестве куба со стороной R , сходимость сохраняется. Другим естественным кандидатом является евклидов шар E R = { ξ  : | ξ | < р } . Чтобы этот оператор частичной суммы сходился, необходимо, чтобы множитель для единичного шара был ограничен в L p ( R n ) . Для n ≥ 2 знаменитая теорема Чарльза Феффермана гласит , что множитель для единичного шара никогда не ограничен, если только p = 2 . На самом деле, когда p ≠ 2 , это показывает, что не только f R не может сходиться к f в L p , но и для некоторых функций fL p ( R n ) f R даже не является элементом L p .

Преобразование Фурье на функциональных пространствах

На пространствах L p

На Л 1

Определение преобразования Фурье интегральной формулой

справедливо для интегрируемых по Лебегу функций f ; то есть fL 1 ( R n ) .

Преобразование Фурье F  : L1 ( Rn ) L∞ ( Rn ) является ограниченным оператором . _ Это следует из наблюдения, что

что показывает, что его операторная норма ограничена 1. Действительно, она равна 1, что видно, например, из преобразования функции rect . Образ L1 есть подмножество пространства C0 ( Rn ) непрерывных функций , стремящихся к нулю на бесконечности (лемма Римана–Лебега ) , хотя и не все пространство . Действительно, простой характеристики изображения не существует.

На Л 2

Поскольку гладкие функции с компактным носителем интегрируемы и плотны в L2 ( Rn ) , теорема Планшереля позволяет нам распространить определение преобразования Фурье на общие функции в L2 ( Rn ) по соображениям непрерывности. Преобразование Фурье в L 2 ( R n ) больше не задается обычным интегралом Лебега, хотя его можно вычислить с помощью несобственного интеграла , здесь это означает, что для L 2 функции f ,

где предел берется в смысле L 2 . (В более общем случае вы можете взять последовательность функций, находящихся на пересечении L 1 и L 2 и сходящихся к f в L 2 -норме, и определить преобразование Фурье f как L 2 -предел Фурье-нормы. преобразования этих функций.)

Многие свойства преобразования Фурье в L 1 переносятся на L 2 с помощью подходящего ограничивающего аргумента.

Кроме того, F  : L 2 ( R n ) → L 2 ( R n ) является унитарным оператором . Чтобы оператор был унитарным, достаточно показать, что он биективен и сохраняет скалярное произведение , так что в этом случае они следуют из теоремы обращения Фурье в сочетании с тем фактом, что для любых f , gL2 ( Rn ) мы иметь

В частности, образ L 2 ( R n ) сам подвергается преобразованию Фурье.

На других L p

Определение преобразования Фурье можно распространить на функции из L p ( R n ) для 1 ≤ p ≤ 2 путем разложения таких функций на часть «толстый хвост» в L 2 плюс часть «толстое тело» в L 1 . В каждом из этих пространств преобразование Фурье функции из Lp ( Rn ) находится в Lq ( Rn ) , где q =п/р - 1является сопряженным по Гельдеру p (по неравенству Хаусдорфа–Юнга ). Однако, за исключением p = 2 , изображение нелегко охарактеризовать. Дальнейшие расширения становятся более техническими. Преобразование Фурье функций в L p для диапазона 2 < p < ∞ требует изучения распределений. На самом деле можно показать, что в Lp есть функции с p > 2 , так что преобразование Фурье не определяется как функция.

Закаленные дистрибутивы

Можно рассмотреть возможность расширения области преобразования Фурье от L 1 + L 2 путем рассмотрения обобщенных функций или распределений. Распределение на Rn это непрерывный линейный функционал на пространстве Cc ( Rn ) гладких функций с компактным носителем, снабженный подходящей топологией . Тогда стратегия состоит в том, чтобы рассмотреть действие преобразования Фурье на C c ( R n ) и перейти к распределениям по двойственности. Препятствием для этого является то , что преобразование Фурье не отображает Cc ( Rn ) в Cc ( Rn ) . На самом деле преобразование Фурье элемента в Cc ( Rn ) не может обращаться в нуль на открытом множестве ; см. приведенное выше обсуждение принципа неопределенности. Правильное пространство здесь — это немного большее пространство функций Шварца . Преобразование Фурье является автоморфизмом пространства Шварца как топологического векторного пространства и, таким образом, индуцирует автоморфизм двойственного ему пространства умеренных распределений. Умеренные распределения включают в себя все упомянутые выше интегрируемые функции, а также хорошо ведущие себя функции полиномиального роста и распределения с компактным носителем.

Для определения преобразования Фурье умеренного распределения пусть f и g - интегрируемые функции, а и ĝ - их преобразования Фурье соответственно. Тогда преобразование Фурье подчиняется следующей формуле умножения:

Каждая интегрируемая функция f определяет (индуцирует) распределение T f соотношением

для всех функций Шварца ф . Таким образом, имеет смысл определить преобразование Фурье f из T f следующим образом:

для всех функций Шварца ф . Распространение этого на все умеренные распределения T дает общее определение преобразования Фурье.

Распределения можно дифференцировать, и упомянутая выше совместимость преобразования Фурье с дифференцированием и сверткой остается справедливой для умеренных распределений.

Обобщения

Преобразование Фурье – Стилтьеса

Преобразование Фурье конечной борелевской меры µ на ​​R n определяется выражением:

Это преобразование продолжает пользоваться многими свойствами преобразования Фурье интегрируемых функций. Одно заметное отличие состоит в том, что лемма Римана-Лебега неверна для мер. В случае, когда = f ( x ) dx , приведенная выше формула сводится к обычному определению преобразования Фурье функции f . В случае, когда µ представляет собой распределение вероятностей, связанное со случайной величиной X , преобразование Фурье-Стилтьеса тесно связано с характеристической функцией , но типичные соглашения в теории вероятностей принимают e iξx вместо e iξx . В случае, когда распределение имеет функцию плотности вероятности, это определение сводится к преобразованию Фурье, применяемому к функции плотности вероятности, опять же с другим выбором констант.

Преобразование Фурье можно использовать для характеристики мер. Теорема Бохнера характеризует, какие функции могут возникнуть как преобразование Фурье – Стилтьеса положительной меры на окружности.

Более того, дельта-функция Дирака хотя и не является функцией, но является конечной борелевской мерой. Его преобразование Фурье является постоянной функцией (конкретное значение которой зависит от формы используемого преобразования Фурье).

Локально компактные абелевы группы

Преобразование Фурье можно обобщить на любую локально компактную абелеву группу. Локально компактная абелева группа — это абелева группа , которая в то же время является локально компактным хаусдорфовым топологическим пространством , так что групповая операция непрерывна. Если G — локально компактная абелева группа, она имеет трансляционно-инвариантную меру µ , называемую мерой Хаара . Для локально компактной абелевой группы G множество неприводимых, т. е. одномерных, унитарных представлений называются ее характерами . При своей естественной групповой структуре и топологии поточечной сходимости множество характеров Ĝ само является локально компактной абелевой группой, называемой двойственной по Понтрягину группе G . Для функции f из L1 ( G ) ее преобразование Фурье определяется выражением

В этом случае верна лемма Римана–Лебега; ( ξ ) — функция, обращающаяся в нуль на бесконечности на Ĝ .

Преобразование Фурье на T = R/Z является примером; здесь T — локально компактная абелева группа, и меру Хаара µ на ​​T можно рассматривать как меру Лебега на [0,1). Рассмотрим представление T на комплексной плоскости C , которая является одномерным комплексным векторным пространством. Имеется группа представлений (которые неприводимы, так как C 1-мерна), где для .

Характер такого представления, т. е. след для каждого и , есть он сам. В случае представления конечной группы таблица характеров группы G — это строки векторов, каждая строка которых является характером одного неприводимого представления группы G , и эти векторы образуют ортонормированный базис пространства классовых функций, отображающихся из G в C по лемме Шура. Теперь группа T уже не конечная, но по-прежнему компактная и сохраняет ортонормированность таблицы характеров. Каждая строка таблицы является функцией, и скалярный продукт между двумя функциями класса (все функции являются функциями класса, поскольку T абелева) определяется как с нормализующим фактором . Последовательность является ортонормированным базисом пространства функций классов .

Для любого представления V конечной группы G , может быть выражено как промежуток ( являются иррепрезентациями G ), таким образом, что . Аналогично для и , . Двойственность Понтрягина есть и при , есть ее преобразование Фурье при .

преобразование Гельфанда

Преобразование Фурье также является частным случаем преобразования Гельфанда . В этом конкретном контексте она тесно связана с определенной выше картой двойственности Понтрягина.

Для заданной абелевой локально компактной хаусдорфовой топологической группы G по-прежнему рассматривается пространство L1 ( G ) , определенное с помощью меры Хаара . Со сверткой в ​​качестве умножения L1 ( G ) является абелевой банаховой алгеброй . Он также имеет инволюцию *, заданную выражением

Взятие пополнения по наибольшей возможной C * -норме дает ее обертывающую C * -алгебру, называемую групповой C * -алгеброй C * ( G ) группы G . (Любая C * -норма на L1 ( G ) ограничена нормой L1 , поэтому их верхняя грань существует.)

Для любой абелевой С * -алгебры А преобразование Гельфанда дает изоморфизм между А и С0 ( А ^) , где А ^ — мультипликативные линейные функционалы, т. е. одномерные представления, на А со слабой-*-топологией . Карта просто дается

Оказывается, что мультипликативные линейные функционалы от C *( G ) после соответствующей идентификации являются в точности характерами G , а преобразование Гельфанда при ограничении на плотное подмножество L 1 ( G ) является преобразованием Фурье–Понтрягина.

Компактные неабелевы группы

Преобразование Фурье также может быть определено для функций на неабелевой группе при условии, что группа компактна . Если исключить предположение, что основная группа абелева, неприводимые унитарные представления не всегда должны быть одномерными. Это означает, что преобразование Фурье на неабелевой группе принимает значения как операторы гильбертова пространства. Преобразование Фурье на компактных группах является основным инструментом в теории представлений и некоммутативном гармоническом анализе .

Пусть G — компактная хаусдорфова топологическая группа . Обозначим через Σ совокупность всех классов изоморфизма конечномерных неприводимых унитарных представлений наряду с определенным выбором представления U ( σ ) в гильбертовом пространстве конечной размерности для каждого σΣ . Если µ — конечная борелевская мера на G , то преобразование Фурье–Стилтьеса µ — это оператор на H σ , определяемый равенством

где U ( σ ) комплексно-сопряженное представление U ( σ ) , действующее на . Если µ абсолютно непрерывна относительно левоинвариантной вероятностной меры λ на G , представленной в виде

для некоторого fL1 ( λ ) преобразование Фурье f отождествляется с преобразованием Фурье–Стилтьеса µ .

Отображение

определяет изоморфизм между банаховым пространством M ( G ) конечных борелевских мер (см. пространство rca ) и замкнутым подпространством банахова пространства C∞ (Σ), состоящим из всех последовательностей E = ( ) , индексированных Σ из (ограниченных) линейные операторы E σ  : H σH σ, для которых норма

конечно. « Теорема о свертке » утверждает, кроме того , что этот изоморфизм банаховых пространств на самом деле является изометрическим изоморфизмом C*-алгебр в подпространство C∞ (Σ) . Умножение на M ( G ) задается сверткой мер и инволюцией *, определяемой формулой

и C (Σ) имеет естественную структуру C * -алгебры как операторы гильбертова пространства.

Справедлива теорема Петера –Вейля , и следует версия формулы обращения Фурье ( теорема Планшереля ): если fL2 ( G ) , то

где сумма понимается как сходящаяся в смысле L 2 .

Обобщение преобразования Фурье на некоммутативную ситуацию также частично способствовало развитию некоммутативной геометрии . В этом контексте категориальным обобщением преобразования Фурье на некоммутативные группы является двойственность Таннаки-Крейна , которая заменяет группу характеров категорией представлений. Однако при этом теряется связь с гармоническими функциями.

Альтернативы

В терминах обработки сигналов функция (времени) представляет собой представление сигнала с идеальным временным разрешением , но без информации о частоте, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное разрешение по частоте , но без информации о времени: величина преобразования Фурье в точке сколько частотного содержания существует, но местоположение определяется только фазой (аргумент преобразования Фурье в точке), а стоячие волны не локализованы во времени - синусоида продолжается до бесконечности, не затухая. Это ограничивает полезность преобразования Фурье для анализа сигналов, локализованных во времени, особенно переходных процессов или любого сигнала конечной протяженности.

В качестве альтернативы преобразованию Фурье в частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования или частотно-временные распределения для представления сигналов в форме, которая имеет некоторую информацию о времени и некоторую информацию о частоте. между ними. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье или дробное преобразование Фурье , или другие функции для представления сигналов, такие как вейвлет-преобразования и чирплет-преобразования , причем вейвлет-аналогом (непрерывного) преобразования Фурье является непрерывное вейвлет-преобразование .

Приложения

Некоторые задачи, такие как некоторые дифференциальные уравнения, легче решать, когда применяется преобразование Фурье. В этом случае решение исходной задачи восстанавливается с помощью обратного преобразования Фурье.

Линейные операции, выполняемые в одной области (временной или частотной), имеют соответствующие операции в другой области, которые иногда легче выполнить. Операция дифференцирования во временной области соответствует умножению на частоту, поэтому некоторые дифференциальные уравнения легче анализировать в частотной области. Также свертка во временной области соответствует обычному умножению в частотной области (см. теорему о свертке ). После выполнения желаемых операций преобразование результата может быть выполнено обратно во временную область. Гармонический анализ - это систематическое изучение взаимосвязи между частотной и временной областями, включая виды функций или операций, которые являются «более простыми» в той или иной степени, и имеет глубокие связи со многими областями современной математики.

Анализ дифференциальных уравнений

Возможно, наиболее важным применением преобразования Фурье является решение дифференциальных уравнений в частных производных . Таким образом можно трактовать многие уравнения математической физики девятнадцатого века. Фурье изучал уравнение теплопроводности, которое в одном измерении и в безразмерных единицах имеет вид

Пример, который мы приведем, немного более сложный, — это волновое уравнение в одном измерении,

Как обычно, проблема не в том, чтобы найти решение: их бесконечно много. Проблема заключается в так называемой «краевой задаче»: найти решение, удовлетворяющее «граничным условиям».

Здесь f и g — заданные функции. Для уравнения теплопроводности может потребоваться только одно граничное условие (обычно первое). Но для волнового уравнения остается бесконечно много решений y , удовлетворяющих первому граничному условию. Но когда налагаются оба условия, есть только одно возможное решение.

Легче найти преобразование Фурье ŷ решения, чем найти решение напрямую. Это связано с тем, что преобразование Фурье переводит дифференцирование в умножение на двойственную Фурье переменную, и поэтому уравнение в частных производных, применяемое к исходной функции, преобразуется в умножение на полиномиальные функции двойственных переменных, применяемые к преобразованной функции. После того, как ŷ определено, мы можем применить обратное преобразование Фурье, чтобы найти y .

Метод Фурье заключается в следующем. Во-первых, заметим, что любая функция форм

удовлетворяет волновому уравнению. Они называются элементарными решениями.

Во-вторых, заметим, что поэтому любой интеграл

удовлетворяет волновому уравнению для произвольных a + , a , b + , b . Этот интеграл можно интерпретировать как непрерывную линейную комбинацию решений линейного уравнения.

Теперь это напоминает формулу синтеза Фурье функции. Фактически это реальное обратное преобразование Фурье от a ± и b ± по переменной x .

Третий шаг заключается в изучении того, как найти конкретные неизвестные функции коэффициентов a ± и b ± , которые приведут к тому, что y удовлетворяет граничным условиям. Нас интересуют значения этих решений при t = 0 . Итак, мы установим t = 0 . Предполагая, что условия, необходимые для обращения Фурье, выполнены, мы можем затем найти синусное и косинусное преобразования Фурье (по переменной x ) обеих сторон и получить

и

Точно так же, взяв производную от y по t , а затем применив синусное и косинусное преобразования Фурье, мы получим

и

Это четыре линейных уравнения для четырех неизвестных a ± и b ± в терминах синус- и косинус-преобразований Фурье граничных условий, которые легко решаются с помощью элементарной алгебры при условии, что эти преобразования могут быть найдены.

Таким образом, мы выбрали набор элементарных решений, параметризованных ξ , общее решение которых было бы (непрерывной) линейной комбинацией в виде интеграла по параметру ξ . Но этот интеграл был в виде интеграла Фурье. Следующим шагом было выражение граничных условий через эти интегралы и установка их равными заданным функциям f и g . Но эти выражения также приняли форму интеграла Фурье из-за свойств преобразования Фурье производной. Последним шагом было использование обращения Фурье путем применения преобразования Фурье к обеим сторонам, таким образом получая выражения для коэффициентных функций a ± и b ± в терминах заданных граничных условий f и g .

С более высокой точки зрения процедура Фурье может быть переформулирована более концептуально. Поскольку есть две переменные, мы будем использовать преобразование Фурье как по x , так и по t , а не действовать, как это делал Фурье, который преобразовывал только пространственные переменные. Обратите внимание, что ŷ следует рассматривать в смысле распределения, поскольку y ( x , t ) не будет L1 : как волна, она будет сохраняться во времени и, таким образом, не является преходящим явлением. Но оно будет ограниченным, поэтому его преобразование Фурье можно определить как распределение. Рабочие свойства преобразования Фурье, относящиеся к этому уравнению, заключаются в том, что оно преобразует дифференцирование по x в умножение на iξ , а дифференцирование по t — в умножение на if , где f — частота. Тогда волновое уравнение становится алгебраическим уравнением относительно ŷ :

Это эквивалентно требованию ŷ ( ξ , f ) = 0 , если только ξ = ± f . Это сразу объясняет, почему выбор элементарных решений, сделанный нами ранее, сработал так хорошо: очевидно, = δ ( ξ ± f ) будут решениями. Применяя к этим дельта-функциям обращение Фурье, мы получаем выбранные ранее элементарные решения. Но с более высокой точки зрения элементарные решения не выбираются, а рассматривается пространство всех распределений, которые опираются на (вырожденную) конику ξ 2f 2 = 0 .

С тем же успехом мы можем рассматривать распределения с носителем на конике, которые задаются распределениями одной переменной на прямой ξ = f плюс распределения на прямой ξ = − f следующим образом: если Φ — любая пробная функция,

где s + и s - распределения одной переменной.

Тогда обращение Фурье дает для граничных условий нечто очень похожее на то, что мы имели более конкретно выше (положим Φ ( ξ , f ) = e i 2π( + tf ) , что явно имеет полиномиальный рост):

и

Теперь, как и прежде, применение преобразования Фурье с одной переменной по переменной x к этим функциям от x дает два уравнения относительно двух неизвестных распределений s ± (которые можно считать обычными функциями, если граничные условия L 1 или L 2 ).

С вычислительной точки зрения недостатком, конечно, является то, что нужно сначала вычислить преобразования Фурье граничных условий, затем собрать из них решение, а затем вычислить обратное преобразование Фурье. Формулы в закрытой форме встречаются редко, за исключением случаев, когда существует некоторая геометрическая симметрия, которую можно использовать, а численные расчеты затруднены из-за колебательного характера интегралов, что делает сходимость медленной и трудной для оценки. Для практических расчетов часто используют другие методы.

В двадцатом веке эти методы были распространены на все линейные уравнения в частных производных с полиномиальными коэффициентами, а за счет расширения понятия преобразования Фурье на интегральные операторы Фурье также и некоторые нелинейные уравнения.

Фурье-спектроскопия

Преобразование Фурье также используется в ядерном магнитном резонансе (ЯМР) и в других видах спектроскопии , например в инфракрасном ( FTIR ). В ЯМР экспоненциально сформированный сигнал свободного индукционного затухания (FID) регистрируется во временной области и преобразуется Фурье в форму лоренцевской линии в частотной области. Преобразование Фурье также используется в магнитно-резонансной томографии (МРТ) и масс-спектрометрии .

Квантовая механика

Преобразование Фурье полезно в квантовой механике по крайней мере двумя способами. Начнем с того, что основная концептуальная структура квантовой механики постулирует существование пар дополнительных переменных , связанных принципом неопределенности Гейзенберга . Например, в одном измерении пространственная переменная q , скажем, частицы может быть измерена только квантовомеханическим « оператором положения » за счет потери информации об импульсе p частицы. Следовательно, физическое состояние частицы может быть описано либо функцией, называемой «волновой функцией», от q , либо функцией от p , но не функцией обеих переменных. Переменная p называется сопряженной переменной к q . В классической механике физическое состояние частицы (существующей в одном измерении для простоты изложения) задавалось бы одновременным присвоением определенных значений как p , так и q . Таким образом, множество всех возможных физических состояний представляет собой двумерное реальное векторное пространство с осью p и осью q , называемое фазовым пространством .

Напротив, квантовая механика выбирает поляризацию этого пространства в том смысле, что она выбирает подпространство половинной размерности, например, только ось q , но вместо того, чтобы рассматривать только точки, берет множество всех комплекснозначных «волновые функции» на этой оси. Тем не менее, выбор оси p является одинаково допустимой поляризацией, дающей другое представление набора возможных физических состояний частицы, связанное с первым представлением преобразованием Фурье.

Физически реализуемыми состояниями являются L 2 , поэтому по теореме Планшереля их преобразования Фурье также являются L 2 . (Обратите внимание, что поскольку q выражается в единицах расстояния, а p — в единицах импульса, наличие постоянной Планка в показателе степени делает показатель безразмерным , как и должно быть.)

Следовательно, преобразование Фурье можно использовать для перехода от одного способа представления состояния частицы с помощью волновой функции положения к другому способу представления состояния частицы: с помощью волновой функции импульса. Возможно бесконечно много различных поляризаций, и все они одинаково верны. Возможность преобразовывать состояния из одного представления в другое с помощью преобразования Фурье не только удобна, но и является основной причиной принципа неопределенности Гейзенберга .

Другое использование преобразования Фурье как в квантовой механике, так и в квантовой теории поля заключается в решении применимого волнового уравнения. В нерелятивистской квантовой механике уравнение Шредингера для изменяющейся во времени волновой функции в одном измерении, не подверженной внешним силам, имеет вид

Это то же самое, что и уравнение теплопроводности, за исключением присутствия воображаемой единицы i . Для решения этого уравнения можно использовать методы Фурье.

При наличии потенциала, заданного функцией потенциальной энергии V ( x ) , уравнение принимает вид

«Элементарными решениями», как мы назвали их выше, являются так называемые «стационарные состояния» частицы, и описанный выше алгоритм Фурье еще может быть использован для решения краевой задачи о будущей эволюции ψ учитывая его значения для t = 0 . Ни один из этих подходов не имеет большого практического применения в квантовой механике. Краевые задачи и эволюция волновой функции во времени не представляют большого практического интереса: наиболее важны стационарные состояния.

В релятивистской квантовой механике уравнение Шредингера становится волновым уравнением, как это было обычно в классической физике, за исключением того, что рассматриваются комплекснозначные волны. Простым примером в отсутствие взаимодействий с другими частицами или полями является свободное одномерное уравнение Клейна–Гордона–Шредингера–Фока, на этот раз в безразмерных единицах:

Это с математической точки зрения то же самое, что и решенное выше волновое уравнение классической физики (но с комплекснозначной волной, что не имеет значения в методах). Это очень полезно в квантовой теории поля: каждую отдельную фурье-компоненту волны можно рассматривать как отдельный гармонический осциллятор, а затем квантовать, процедура, известная как «второе квантование». Методы Фурье были адаптированы также для работы с нетривиальными взаимодействиями.

Наконец, числовой оператор квантового гармонического осциллятора можно интерпретировать, например, через ядро ​​Мелера , как генератор преобразования Фурье .

Обработка сигнала

Преобразование Фурье используется для спектрального анализа временных рядов. Тем не менее, объект статистической обработки сигналов обычно не применяет преобразование Фурье к самому сигналу. Даже если реальный сигнал действительно является нестационарным, на практике оказалось целесообразным моделировать сигнал функцией (или, альтернативно, случайным процессом), которая является стационарной в том смысле, что ее характерные свойства постоянны во все времена. Преобразование Фурье такой функции не существует в обычном смысле, и было сочтено более полезным для анализа сигналов вместо этого использовать преобразование Фурье ее автокорреляционной функции.

Автокорреляционная функция R функции f определяется выражением

Эта функция является функцией временной задержки τ между значениями f , подлежащими корреляции.

Для большинства функций f , встречающихся на практике, R является ограниченной четной функцией запаздывания τ и для типичных зашумленных сигналов оказывается равномерно непрерывной с максимумом при τ = 0 .

Функция автокорреляции, более правильно называемая функцией автоковариации, если только она не нормализована каким-либо подходящим образом, измеряет силу корреляции между значениями f , разделенными временной задержкой. Это способ поиска корреляции f с собственным прошлым. Это полезно даже для других статистических задач, помимо анализа сигналов. Например, если f ( t ) представляет собой температуру в момент времени t , можно ожидать сильную корреляцию с температурой с отставанием во времени на 24 часа.

Он обладает преобразованием Фурье,

Это преобразование Фурье называется функцией спектральной плотности мощности f . (Если сначала не отфильтровать из f все периодические компоненты , этот интеграл будет расходиться, но такие периодичности легко отфильтровать.)

Спектр мощности, как указано этой функцией плотности P , измеряет количество дисперсии, внесенной в данные частотой ξ . В электрических сигналах дисперсия пропорциональна средней мощности (энергии в единицу времени), поэтому спектр мощности описывает, насколько разные частоты влияют на среднюю мощность сигнала. Этот процесс называется спектральным анализом временных рядов и аналогичен обычному анализу дисперсии данных, не являющихся временными рядами ( ANOVA ).

Знание того, какие частоты «важны» в этом смысле, имеет решающее значение для правильного проектирования фильтров и для правильной оценки измерительных приборов. Это также может быть полезно для научного анализа явлений, ответственных за получение данных.

Спектр мощности сигнала также можно приблизительно измерить непосредственно путем измерения средней мощности, которая остается в сигнале после того, как все частоты за пределами узкой полосы были отфильтрованы.

Спектральный анализ проводится и для визуальных сигналов. Спектр мощности игнорирует все фазовые соотношения, что достаточно для многих целей, но для видеосигналов также необходимо использовать другие типы спектрального анализа, по-прежнему используя преобразование Фурье в качестве инструмента.

Другие обозначения

Другие общие обозначения для ( ξ ) включают:

Обозначение преобразования Фурье заглавной буквой, соответствующей букве преобразуемой функции (например, f ( x ) и F ( ξ ) ) особенно распространено в естественных науках и технике. В электронике вместо ξ часто используется омега ( ω ) из-за его интерпретации как угловой частоты, иногда его записывают как F ( ) , где jмнимая единица , чтобы указать на его связь с преобразованием Лапласа , а иногда это неофициально записывается как F (2π f ) , чтобы использовать обычную частоту. В некоторых контекстах, таких как физика элементарных частиц, один и тот же символ может использоваться как для функции, так и для ее преобразования Фурье, причем два различаются только своим аргументом : будет относиться к преобразованию Фурье из-за аргумента импульса, в то время как будет относиться к преобразованию Фурье из-за аргумента импульса к исходной функции из-за позиционного аргумента. Хотя тильды могут использоваться для обозначения преобразований Фурье, тильды также могут использоваться для обозначения модификации величины в более инвариантной по Лоренцу форме, например , поэтому следует соблюдать осторожность. Точно так же часто обозначает преобразование Гильберта .

Интерпретация комплексной функции ( ξ ) может быть облегчена, если выразить ее в форме полярных координат

в терминах двух действительных функций A ( ξ ) и φ ( ξ ) , где:

амплитуда и _

фаза (см. функцию arg ).

Тогда можно записать обратное преобразование:

которая представляет собой рекомбинацию всех частотных составляющих f ( x ) . Каждая компонента представляет собой комплексную синусоиду формы e ixξ , амплитуда которой равна A ( ξ ) и чей начальный фазовый угол (при x = 0 ) равен φ ( ξ ) .

Преобразование Фурье можно рассматривать как отображение функциональных пространств. Это отображение здесь обозначается F , а F ( f ) используется для обозначения преобразования Фурье функции f . Это отображение является линейным, что означает, что F также можно рассматривать как линейное преобразование в функциональном пространстве и подразумевает, что стандартное обозначение в линейной алгебре применения линейного преобразования к вектору (здесь функция f ) может использоваться для записи F f вместо F ( f ) . Поскольку результатом применения преобразования Фурье снова является функция, нас может интересовать значение этой функции, оцениваемое при значении ξ для ее переменной, и это обозначается либо как F f ( ξ ) , либо как ( F f )( ξ ) . Обратите внимание, что в первом случае неявно подразумевается, что F сначала применяется к f , а затем результирующая функция оценивается в ξ , а не наоборот.

В математике и различных прикладных науках часто бывает необходимо различать функцию f и значение f , когда ее переменная равна x , обозначаемой f ( x ) . Это означает, что такое обозначение, как F ( f ( x )) формально можно интерпретировать как преобразование Фурье значений f в x . Несмотря на этот недостаток, предыдущее обозначение появляется часто, часто когда необходимо преобразовать конкретную функцию или функцию определенной переменной. Например,

иногда используется для выражения того, что преобразование Фурье прямоугольной функции является функцией sinc , или

используется для выражения свойства сдвига преобразования Фурье.

Обратите внимание, что последний пример корректен только в предположении, что преобразованная функция является функцией x , а не x 0 .

Другие соглашения

Преобразование Фурье также можно записать в терминах угловой частоты :

единицами измерения являются радианы в секунду.

Замена ξ =ю/в приведенные выше формулы приводит к следующему соглашению:

В соответствии с этим соглашением обратное преобразование становится:

В отличие от соглашения, принятого в этой статье, когда преобразование Фурье определяется таким образом, оно больше не является унитарным преобразованием на L 2 ( R ) . Также меньше симметрии между формулами для преобразования Фурье и его обратной.

Другое соглашение состоит в том, чтобы равномерно разделить множитель между преобразованием Фурье и его обратным, что приводит к определениям:

Согласно этому соглашению, преобразование Фурье снова является унитарным преобразованием на L2 ( R ) . Это также восстанавливает симметрию между преобразованием Фурье и его обратным преобразованием.

Вариации всех трех соглашений могут быть созданы путем сопряжения комплексно-экспоненциального ядра как прямого, так и обратного преобразования. Знаки должны быть противоположными. Помимо этого, выбор (опять же) является вопросом соглашения.

Краткое изложение популярных форм преобразования Фурье, одномерное
обычная частота ξ (Гц) единый
угловая частота ω (рад/с) единый
неунитарный
Обобщение для n -мерных функций
обычная частота ξ (Гц) единый
угловая частота ω (рад/с) единый
неунитарный

Как обсуждалось выше, характеристическая функция случайной величины такая же, как преобразование Фурье – Стилтьеса ее меры распределения, но в этом контексте обычно используется другое соглашение для констант. Обычно характеристическая функция определяется

Как и в случае вышеприведенного соглашения о «неунитарной угловой частоте», множитель 2 π не появляется ни в нормирующей константе, ни в показателе степени. В отличие от любого из приведенных выше соглашений, это соглашение принимает противоположный знак в показателе степени.

Методы расчета

Подходящий метод вычисления во многом зависит от того, как представлена ​​исходная математическая функция и желаемая форма выходной функции.

Поскольку фундаментальное определение преобразования Фурье - это интеграл, функции, которые могут быть выражены в виде выражений в замкнутой форме, обычно вычисляются путем аналитической обработки интеграла, чтобы в результате получить выражение в замкнутой форме в сопряженной переменной преобразования Фурье. Это метод, используемый для создания таблиц преобразований Фурье, в том числе приведенных в таблице ниже ( Преобразование Фурье#Таблицы важных преобразований Фурье ).

Многие системы компьютерной алгебры, такие как Matlab и Mathematica , которые способны к символьной интеграции , способны аналитически вычислять преобразования Фурье. Например, чтобы вычислить преобразование Фурье cos(6π t ) e −π t 2 , можно ввести команду integrate cos(6*pi*t) exp(−pi*t^2) exp(-i*2*pi*f*t) from -inf to infв Wolfram Alpha .

Численное интегрирование функций закрытой формы

Если входная функция находится в закрытой форме, а желаемая выходная функция представляет собой серию упорядоченных пар (например, таблицу значений, из которой можно построить график) в указанной области, то преобразование Фурье может быть сгенерировано путем численного интегрирования . при каждом значении сопряженной переменной Фурье (например, частоте), для которой требуется значение выходной переменной. Обратите внимание, что этот метод требует вычисления отдельного численного интегрирования для каждого значения частоты, для которого требуется значение преобразования Фурье. Подход численного интегрирования работает с гораздо более широким классом функций, чем аналитический подход, потому что он дает результаты для функций, которые не имеют интегралов преобразования Фурье замкнутой формы.

Численное интегрирование ряда упорядоченных пар

Если входная функция представляет собой серию упорядоченных пар (например, временной ряд от многократного измерения выходной переменной в течение интервала времени), то выходная функция также должна быть серией упорядоченных пар (например, комплексное число в зависимости от частоты). в заданной области частот), если не сделаны определенные предположения и приближения, позволяющие аппроксимировать выходную функцию выражением в закрытой форме. В общем случае, когда предполагается, что доступный входной ряд упорядоченных пар представляет собой выборки, представляющие непрерывную функцию на интервале (например, зависимость амплитуды от времени), ряд упорядоченных пар, представляющих желаемую выходную функцию, может быть получен путем численного интегрирования входные данные на доступном интервале для каждого значения сопряженной переменной Фурье (например, частоты), для которой требуется значение преобразования Фурье.

Явное численное интегрирование по упорядоченным парам может дать выходное значение преобразования Фурье для любого желаемого значения переменной сопряженного преобразования Фурье (например, частоты), так что спектр может быть получен с любым желаемым размером шага и в любом желаемом диапазоне переменных для точное определение амплитуд, частот и фаз, соответствующих изолированным пикам. В отличие от ограничений в методах DFT и FFT, явное численное интегрирование может иметь любой желаемый размер шага и вычислять преобразование Фурье в любом желаемом диапазоне переменной сопряженного преобразования Фурье (например, частоты).

Дискретные преобразования Фурье и быстрые преобразования Фурье

Если упорядоченные пары, представляющие исходную входную функцию, равномерно распределены по своей входной переменной (например, равные временные шаги), то преобразование Фурье известно как дискретное преобразование Фурье (ДПФ ) , которое можно вычислить либо путем явного численного интегрирования, явной оценкой определения ДПФ или методами быстрого преобразования Фурье (БПФ). В отличие от явного интегрирования входных данных, использование методов ДПФ и БПФ дает преобразования Фурье, описываемые упорядоченными парами с размером шага, равным величине, обратной исходному интервалу дискретизации. Например, если входные данные отбираются каждые 10 секунд, выходные данные методов ДПФ и БПФ будут иметь частотный интервал 0,1 Гц.

Таблицы важных преобразований Фурье

В следующих таблицах записаны некоторые преобразования Фурье в закрытой форме. Для функций f ( x ) и g ( x ) их преобразования Фурье обозначают через и ĝ . Включены только три наиболее распространенных соглашения. Может быть полезно заметить, что запись 105 дает связь между преобразованием Фурье функции и исходной функцией, которую можно рассматривать как связь между преобразованием Фурье и его инверсией.

Функциональные отношения, одномерные

Преобразования Фурье в этой таблице можно найти у Эрдели (1954) или Каммлера (2000 , приложение).

Функция Унитарное преобразование Фурье
, обычная частота
Унитарное преобразование Фурье
, угловая частота
Преобразование Фурье
неунитарное, угловая частота
Примечания
Определения
101 Линейность
102 Сдвиг во временной области
103 Сдвиг в частотной области, двойной 102
104 Масштабирование во временной области. Если | а | велика, то f ( a x ) концентрируется вокруг 0, расширяется и сглаживается.

105 Одно и то же преобразование применяется дважды, но x заменяет частотную переменную ( ξ или ω ) после первого преобразования.
106 поскольку f является функцией Шварца
107 Это двойное число 106
108 Обозначение fg обозначает свертку f и g — это правило является теоремой свертки
109 Это двойное число 108
110 Для f ( x ) чисто вещественное Эрмитова симметрия. z указывает на комплексное сопряжение .
113 Для f ( x ) чисто мнимого z указывает накомплексное сопряжение.
114 Комплексное сопряжение , обобщение 110 и 113
115 Это следует из правил 101 и 103 с использованием формулы Эйлера :
116 Это следует из 101 и 103 по формуле Эйлера :

Интегрируемые с квадратом функции, одномерные

Преобразования Фурье в этой таблице можно найти у Кэмпбелла и Фостера (1948) , Эрдейи (1954) или Каммлера (2000 , приложение).

Функция Унитарное преобразование Фурье
, обычная частота
Унитарное преобразование Фурье
, угловая частота
Преобразование Фурье
неунитарное, угловая частота
Примечания
Определения
201 Прямоугольный импульс и нормализованная функция sinc , определяемая здесь как sinc( x ) =грех (π х )/п х
202 Двойственно правилу 201. Прямоугольная функция — это идеальный фильтр нижних частот , а функция sinc — это некаузальная импульсная характеристика такого фильтра. Функция sinc определяется здесь как sinc( x ) =грех (π х )/п х
203 Функция tri( x ) является треугольной функцией
204 Двойное правило 203.
205 Функция u ( x ) является единичной ступенчатой ​​функцией Хевисайда и a > 0 .
206 Это показывает, что для унитарных преобразований Фурье функция Гаусса e αx 2 является собственным преобразованием Фурье для некоторого выбора α . Чтобы это было интегрируемым, мы должны иметь Re( α ) > 0 .
208 Для Re( a ) > 0 . То есть преобразование Фурье двусторонней убывающей показательной функции является функцией Лоренца .
209 Гиперболический секанс - это собственное преобразование Фурье.
210 H n многочлен Эрмита n -го порядка. Если a = 1 , то функции Гаусса–Эрмита являются собственными функциями оператора преобразования Фурье. Для вывода см. полином Эрмита . Формула сокращается до 206 для n = 0 .

Распределения, одномерные

Преобразования Фурье в этой таблице можно найти у Эрдели (1954) или Каммлера (2000 , приложение).

Функция Унитарное преобразование Фурье
, обычная частота
Унитарное преобразование Фурье
, угловая частота
Преобразование Фурье
неунитарное, угловая частота
Примечания
Определения
301 Распределение δ ( ξ ) обозначает дельта-функцию Дирака .
302 Двойное правило 301.
303 Это следует из 103 и 301.
304 Это следует из правил 101 и 303 с использованием формулы Эйлера :
305 Это следует из 101 и 303 с использованием
306 Это следует из 101 и 207 с использованием
307 Это следует из 101 и 207 с использованием
308 Здесь предполагается, что это реально. Для случая, когда альфа является сложной, см. запись 206 в таблице выше.
309 Здесь nнатуральное число , а δ ( n ) ( ξ )n - я производная распределения дельта-функции Дирака. Это правило следует из правил 107 и 301. Комбинируя это правило с 101, мы можем преобразовать все многочлены .
310 Двойственно правилу 308. δ ( n ) ( ξ ) является n- й производной по распределению дельта-функции Дирака. Это правило следует из 106 и 302.
311 Здесь sign( ξ )знаковая функция . Обратите внимание, что1/Иксне является дистрибутивом. При тестировании функций Шварца необходимо использовать главное значение Коши . Это правило полезно при изучении преобразования Гильберта .
312 1/х п- однородное распределение , определяемое производной по распределению
313 Эта формула верна для 0 > α > −1 . При α > 0 в начале координат возникают сингулярные члены, которые можно найти дифференцированием 318. Если Re α > −1 , то | х | α является локально интегрируемой функцией и, следовательно, умеренным распределением. Функция α ↦ | х | α — голоморфная функция из правой полуплоскости в пространство умеренных распределений. Он допускает уникальное мероморфное расширение до умеренного распределения, также обозначаемое | х | α для α ≠ −1, −3, ... (См. Однородное распределение .)
Частный случай числа 311.
314 Двойственно правилу 309. На этот раз преобразования Фурье нужно рассматривать как главное значение Коши .
315 Функция u ( x ) является единичной ступенчатой ​​функцией Хевисайда ; это следует из правил 101, 301 и 312.
316 Эта функция известна как функция гребенки Дирака . Этот результат может быть получен из 302 и 102 вместе с тем, что в качестве распределений.

317 Функция J 0 ( x ) является функцией Бесселя первого рода нулевого порядка .
318 Это обобщение 315. Функция J n ( x ) является функцией Бесселя первого рода n- го порядка . Функция Tn ( x ) является полиномом Чебышева первого рода .
319 γпостоянная Эйлера–Маскерони . При тестировании необходимо использовать интеграл конечной части.1/| ξ |или1/| ш |против функций Шварца . Детали этого могут изменить коэффициент дельта-функции.
320 Эта формула верна для 1 > α > 0 . Используйте дифференцирование, чтобы вывести формулу для более высоких показателей. u — функция Хевисайда.

Двумерные функции

Функция Унитарное преобразование Фурье
, обычная частота
Унитарное преобразование Фурье
, угловая частота
Преобразование Фурье
неунитарное, угловая частота
Примечания
400 Переменные ξ x , ξ y , ω x , ω y являются действительными числами. Интегралы берутся по всей плоскости.
401 Обе функции являются гауссианами, которые могут не иметь единичного объема.
402 Функция определяется как circ( r ) = 1 для 0 ≤ r ≤ 1 и равна 0 в противном случае. Результатом является распределение амплитуды диска Эйри , которое выражается с помощью J 1 ( функция Бесселя первого рода первого порядка ).
403 Это преобразование Ганкеля r −1 , двумерное «самопреобразование Фурье».
404

Формулы для общих n -мерных функций

Функция Унитарное преобразование Фурье
, обычная частота
Унитарное преобразование Фурье
, угловая частота
Преобразование Фурье
неунитарное, угловая частота
Примечания
500
501 Функция χ [0, 1] является индикаторной функцией отрезка [0, 1] . Функция Γ( x ) является гамма-функцией. Функция Jн/2+ δ — функция Бесселя первого рода порядкан/2+ δ . Если взять n = 2 и δ = 0, получится 402.
502 См. Потенциал Рисса , где константа определяется формулой. Формула также верна для всех αn , n + 2, ... путем аналитического продолжения, но тогда функцию и ее преобразования Фурье необходимо понимать как соответствующим образом регуляризованные умеренные распределения. См. однородное распределение .

503 Это формула для многомерного нормального распределения , нормализованного к 1 со средним значением 0. Переменные, выделенные жирным шрифтом, — это векторы или матрицы. Следуя обозначениям на вышеупомянутой странице, Σ = σ σ T и Σ −1 = σ −T σ −1
504 Здесь Re( α ) > 0

Смотрите также

Примечания

Цитаты

Рекомендации

  • Боашаш, Б., изд. (2003), Анализ и обработка сигналов время-частота: всеобъемлющий справочник , Оксфорд: Elsevier Science, ISBN 978-0-08-044335-5.
  • Брейсвелл, Р. Н. (2000), Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.), Бостон: McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-116043-8.
  • Кэмпбелл, Джордж; Фостер, Рональд (1948), Интегралы Фурье для практических приложений , Нью-Йорк: D. Van Nostrand Company, Inc..
  • Клозель, Лоран; Делорм, Патрис (1985), «Sur le théorème de Paley-Wiener invariant pour les groupes de Lie réductifs reels», Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I , 300 : 331–333.
  • де Гроот, Сибрен Р.; Мазур, Питер (1984), Неравновесная термодинамика (2-е изд.), Нью-Йорк: Дувр..
  • Эрдели, Артур, изд. (1954), Таблицы интегральных преобразований , том. 1, Макгроу-Хилл.
  • Фолланд, Джеральд (1989), Гармонический анализ в фазовом пространстве , Princeton University Press..
  • Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье , Прентис-Холл, ISBN 978-0-13-035399-3.
  • Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1970), Абстрактный гармонический анализ , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 152, vol. II: Структура и анализ для компактных групп. Анализ локально компактных абелевых групп, Springer , MR  0262773.
  • Джордан, Камилла (1883 г.), Cours d'Analyse de l'École Polytechnique , vol. II, Интегральный расчет: интегралы по определению и бесконечности (2-е изд.), Париж.
  • Каммлер, Дэвид (2000), Первый курс анализа Фурье , Прентис Холл, ISBN 978-0-13-578782-3.
  • Кириллов, Александр ; Гвишиани, Алексей Д. (1982) [1979], Теоремы и проблемы функционального анализа , Springer(перевод с русского).
  • Полянин А.Д.; Манжиров, А.В. (1998), Справочник по интегральным уравнениям , Бока-Ратон: CRC Press , ISBN 978-0-8493-2876-3.
  • Пресс, Уильям Х .; Фланнери, Брайан П.; Теукольский, Саул А .; Феттерлинг, Уильям Т. (1992), Численные рецепты на C: искусство научных вычислений, второе издание (2-е изд.), Cambridge University Press.
  • Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Сингапур: McGraw Hill, ISBN 978-0-07-100276-9.
  • Симонен, П.; Олкконен, Х. (1985), «Быстрый метод вычисления интегрального преобразования Фурье с помощью численного интегрирования Симпсона», Journal of Biomedical Engineering , 7 (4): 337–340, doi : 10.1016/0141-5425 (85) 90067-6 , PMID  4057997.
  • Винер, Норберт (1949), Экстраполяция, интерполяция и сглаживание стационарных временных рядов с инженерными приложениями , Кембридж, Массачусетс: Technology Press и John Wiley & Sons и Chapman & Hall.
  • Уилсон, Р.Г. (1995), Ряды Фурье и методы оптического преобразования в современной оптике , Нью-Йорк: Wiley , ISBN 978-0-471-30357-2.

Внешние ссылки