Гомоморфизм - Homomorphism

В алгебре , А гомоморфизм является структура , сохраняющих отображение между двумя алгебраических структур одного и того же типа (например , в виде двух групп , два кольца , или двух векторных пространств ). Слово гомоморфизм происходит из древнегреческого языка : ὁμός ( гомос ) означает «такой же» и μορφή ( морфе ) означает «форма» или «форма». Однако это слово, по-видимому, было введено в математику из-за (неправильного) перевода немецкого ähnlich, означающего «подобный», на ὁμός, означающего «такой же». Термин «гомоморфизм» появился еще в 1892 году, когда его приписали немецкому математику Феликсу Клейну (1849–1925).

Гомоморфизмы векторных пространств также называются линейными отображениями , и их изучение является предметом линейной алгебры .

Понятие гомоморфизма было обобщено под названием морфизма на многие другие структуры, которые либо не имеют базового набора, либо не являются алгебраическими. Это обобщение является отправной точкой теории категорий .

Гомоморфизм также может быть изоморфизмом , эндоморфизмом , автоморфизмом и т. Д. (См. Ниже). Каждый из них может быть определен способом, который может быть обобщен на любой класс морфизмов.

Определение

Гомоморфизм - это отображение между двумя алгебраическими структурами одного типа (то есть с одним и тем же именем), которое сохраняет операции структур. Это означает карту между двумя наборами , снабженную одинаковой структурой, так что если это операция структуры (здесь для упрощения предполагается, что это бинарная операция ), то ${\ displaystyle f: от A \ до B}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ cdot}$

{\ Displaystyle е (х \ cdot y) = е (х) \ cdot f (y)}

для каждой пары , элементов . Часто говорят, что сохраняет операцию или совместимо с операцией. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle f}$

Формально, карта сохраняет операцию по валентности к , определенную на обоих и если ${\ displaystyle f: от A \ до B}$ ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle f (\ mu _ {A} (a_ {1}, \ ldots, a_ {k})) = \ mu _ {B} (f (a_ {1}), \ ldots, f (a_ {k })),}

для всех элементов в . ${\ displaystyle a_ {1}, ..., a_ {k}}$ ${\ displaystyle A}$

Операции, которые должны быть сохранены гомоморфизмом, включают 0-арные операции , то есть константы. В частности, когда элемент идентичности требуется типом структуры, элемент идентичности первой структуры должен быть отображен в соответствующий элемент идентичности второй структуры.

Например:

A полугруппового гомоморфизм является отображением между полугруппами , сохраняющей операцией полугрупповой.
Моноид гомоморфизм является отображением между моноидами , что сохраняет операцию моноидной и отображает единичный элемент первого моноида к количеству второго моноида (единичный элемент является 0-арной операции ).
Гомоморфизм групп есть отображение между группами , сохраняющим групповой операцией. Это означает, что гомоморфизм группы отображает единичный элемент первой группы в единичный элемент второй группы и отображает инверсию элемента первой группы в инверсию образа этого элемента. Таким образом, гомоморфизм полугрупп между группами обязательно является гомоморфизмом групп.
Кольцевой гомоморфизм является отображение между кольцами , сохраняющий кольцо сложение, умножение кольца и мультипликативный идентичности . Будет ли сохранена мультипликативная идентичность, зависит от определения используемого кольца . Если мультипликативное тождество не сохраняется, возникает rng- гомоморфизм.
Линейное отображение есть гомоморфизм векторных пространств ; то есть групповой гомоморфизм между векторными пространствами, сохраняющий структуру абелевой группы и скалярное умножение .
Модульный гомоморфизм , также называется линейное отображение между модулями , определяется аналогично.
Гомоморфизм алгебры является отображение, сохраняющее алгебраические операции.

Алгебраическая структура может иметь более одной операции, и для сохранения каждой операции требуется гомоморфизм. Таким образом, отображение, сохраняющее только некоторые операции, не является гомоморфизмом структуры, а только гомоморфизмом подструктуры, полученной рассмотрением только сохраненных операций. Например, отображение между моноидами, которое сохраняет операцию моноида, а не единичный элемент, не является гомоморфизмом моноида, а только гомоморфизмом полугруппы.

Обозначения для операций не обязательно должны совпадать в источнике и цели гомоморфизма. Например, действительные числа образуют группу для сложения, а положительные действительные числа образуют группу для умножения. Экспоненциальная функция

{\ Displaystyle х \ mapsto е ^ {х}}

удовлетворяет

{\ Displaystyle е ^ {х + у} = е ^ {х} е ^ {у},}

и, таким образом, является гомоморфизмом между этими двумя группами. Это даже изоморфизм (см. Ниже), поскольку его обратная функция , натуральный логарифм , удовлетворяет

{\ Displaystyle \ пер (ху) = \ пер (х) + \ пер (у),}

и также является гомоморфизмом групп.

Примеры

Monoid гомоморфизм из моноида

(

N

, +, 0)

к моноиду

(

Н

, х, 1)

, определяются . Это инъективно , но не сюръективно .

{\ displaystyle f}

{\ Displaystyle е (х) = 2 ^ {х}}

В действительных числах являются кольцом , имеющим как сложения и умножения. Множество всех 2 × 2 матриц также кольцо, в соответствии с матрицей дополнения и умножением матриц . Если мы определим функцию между этими кольцами следующим образом:

{\ displaystyle f (r) = {\ begin {pmatrix} r & 0 \\ 0 & r \ end {pmatrix}}}

где $r$ - действительное число, то $f$ - гомоморфизм колец, поскольку $f$ сохраняет оба сложения:

{\ displaystyle f (r + s) = {\ begin {pmatrix} r + s & 0 \\ 0 & r + s \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r & 0 \\ 0 & r \ end {pmatrix}} + {\ begin {pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \ end {pmatrix}} = f (r) + f (s)}

и умножение:

{\ displaystyle f (rs) = {\ begin {pmatrix} rs & 0 \\ 0 & rs \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} r & 0 \\ 0 & r \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} s & 0 \\ 0 & s \ end {pmatrix}} = f (r) \, f (s).}

В качестве другого примера ненулевые комплексные числа образуют группу при операции умножения, как и ненулевые действительные числа. (Ноль должен быть исключен из обеих групп, поскольку он не имеет мультипликативного обратного , что требуется для элементов группы.) Определите функцию от ненулевых комплексных чисел до ненулевых действительных чисел следующим образом: ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle f (z) = | z |.}

То есть это абсолютное значение (или модуль) комплексного числа . Тогда является гомоморфизмом групп, так как он сохраняет умножение: ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle f}$

{\ Displaystyle f (z_ {1} z_ {2}) = | z_ {1} z_ {2} | = | z_ {1} || z_ {2} | = f (z_ {1}) f (z_ { 2}).}

Обратите внимание, что $f$ не может быть расширен до гомоморфизма колец (от комплексных чисел к действительным числам), поскольку он не сохраняет сложение:

{\ Displaystyle | z_ {1} + z_ {2} | \ neq | z_ {1} | + | z_ {2} |.}

В качестве другого примера на диаграмме показан гомоморфизм моноида от моноида к моноиду . Из-за разных названий соответствующих операций, свойствам сохранения структуры удовлетворяют суммы до и . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle (\ mathbb {N}, +, 0)}$ ${\ Displaystyle (\ mathbb {N}, \ раз, 1)}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) \ раз е (у)}$ ${\ displaystyle f (0) = 1}$

Композиционная алгебра над полем имеет квадратичную форму , называемую нормой , , которая представляет собой групповой гомоморфизм из мультипликативной группы из мультипликативной группы . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle N: от A \ до F}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle F}$

Специальные гомоморфизмы

Некоторые виды гомоморфизмов имеют определенное имя, которое также определено для общих морфизмов .

Изоморфизм

Изоморфизм между алгебраических структур одного и того же типа обычно определяется как биективном гомоморфизм.

В более общем контексте теории категорий изоморфизм определяется как морфизм , имеющий обратный, который также является морфизмом. В конкретном случае алгебраических структур эти два определения эквивалентны, хотя они могут различаться для неалгебраических структур, которые имеют базовый набор.

Точнее, если

{\ displaystyle f: от A \ до B}

является (гомо) морфизмом, он имеет обратный, если существует гомоморфизм

{\ displaystyle g: B \ to A}

такой, что

{\ displaystyle f \ circ g = \ operatorname {Id} _ {B} \ qquad {\ text {and}} \ qquad g \ circ f = \ operatorname {Id} _ {A}.}

Если и имеют базовые множества, и имеет обратный , то биективен. На самом деле, это инъективны как предполагает и является сюръективны , а для любого в , один есть , и есть образ элемента . ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle f: от A \ до B}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle е (х) = е (у)}$ ${\ Displaystyle х = г (е (х)) = г (е (у)) = у}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ Displaystyle х = е (г (х))}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle A}$

И наоборот, если это биективен гомоморфизм между алгебраических структур, пусть отображение , таким образом, что это единственный элемент из таких , что . Имеется и остается только показать, что $g$ - гомоморфизм. Если это бинарная операция структуры, для каждой пары , из элементов , один имеет ${\ displaystyle f: от A \ до B}$ ${\ displaystyle g: B \ to A}$ ${\ displaystyle g (y)}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle е (х) = у}$ ${\ displaystyle f \ circ g = \ operatorname {Id} _ {B} {\ text {and}} g \ circ f = \ operatorname {Id} _ {A},}$ ${\ displaystyle *}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle y}$ ${\ displaystyle B}$

{\ displaystyle g (x * _ {B} y) = g (f (g (x)) * _ {B} f (g (y))) = g (f (g (x) * _ {A}) g (y))) = g (x) * _ {A} g (y),}

и , таким образом, совместим с. Поскольку доказательство аналогично для любой арности , это показывает, что это гомоморфизм. ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle *.}$ ${\ displaystyle g}$

Это доказательство не работает для неалгебраических структур. Например, для топологических пространств морфизм - это непрерывное отображение , а обратное к биективному непрерывному отображению не обязательно непрерывно. Изоморфизм топологических пространств, называемый гомеоморфизмом или бинепрерывным отображением , таким образом, является биективным непрерывным отображением, обратное к которому также непрерывно.

Эндоморфизм

Эндоморфизм гомоморфизм которого домен равна кообласть , или, более общо, морфизм источник которого равен цели.

Эндоморфизмы алгебраической структуры или объекта категории образуют моноид при композиции.

Эндоморфизмы векторного пространства или модуля образуют кольцо . В случае векторного пространства или свободного модуля конечной размерности выбор базиса индуцирует кольцевой изоморфизм между кольцом эндоморфизмов и кольцом квадратных матриц той же размерности.

Автоморфизм

Автоморфизм является эндоморфизме также является изоморфизмом.

Автоморфизмы алгебраической структуры или объекта категории образуют группу по композиции, которая называется группой автоморфизмов структуры.

Многие группы, получившие название, являются группами автоморфизмов некоторой алгебраической структуры. Например, общая линейная группа - это группа автоморфизмов векторного пространства размерности над полем . ${\ displaystyle \ operatorname {GL} _ {n} (k)}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle k}$

Группы автоморфизмов полей были введены Эварист Галуа для изучения корней из многочленов , и являются основой теории Галуа .

Мономорфизм

Для алгебраических структур мономорфизмы обычно определяются как инъективные гомоморфизмы.

В более общем контексте теории категорий мономорфизм определяется как морфизм, который можно сократить слева . Это означает , что (гомо) морфизм является мономорфизмом , если для любой пары , морфизмов из любого другого объекта к , а затем вытекает . ${\ displaystyle f: от A \ до B}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle е \ сирк г = е \ сирк ч}$ ${\ displaystyle g = h}$

Эти два определения мономорфизма эквивалентны для всех обычных алгебраических структур. Точнее, они эквивалентны для полей , для которых каждый гомоморфизм является мономорфизмом, а для сортов с универсальной алгеброй , то есть алгебраические структуры , для которых операция и аксиомы (тождества) определены без каких - либо ограничений (поля не является многообразие, так как мультипликативная обратная операция определяется либо как унарная операция, либо как свойство умножения, которые в обоих случаях определены только для ненулевых элементов).

В частности, два определения мономорфизма эквивалентны для множеств , магм , полугрупп , моноидов , групп , колец , полей , векторных пространств и модулей .

Раскол -мономорфизм гомоморфизм , который имеет левый обратный и , таким образом , он сам по себе является правым обратным этого другого гомоморфизма. То есть гомоморфизм является расщепляемым мономорфизмом, если существует такой гомоморфизм , что расщепляемый мономорфизм всегда является мономорфизмом для обоих значений мономорфизма . Для множеств и векторных пространств каждый мономорфизм является расщепляемым мономорфизмом, но это свойство не выполняется для большинства общих алгебраических структур. ${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие от B \ до A}$ ${\ displaystyle g \ circ f = \ operatorname {Id} _ {A}.}$

Доказательство эквивалентности двух определений мономорфизмов

Инъективный гомоморфизм остается отменяемым : Если один имеет для каждого дюйма , общего источника и . Если инъективен, то , значит , и так . Это доказательство работает не только для алгебраических структур, но и для любой категории , объектами которой являются множества, а стрелки - карты между этими множествами. Например, инъективное непрерывное отображение - это мономорфизм в категории топологических пространств . ${\ Displaystyle е \ сирк г = е \ сирк ч,}$ ${\ Displaystyle е (г (х)) = е (час (х))}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle г (х) = час (х)}$ ${\ displaystyle g = h}$

Для доказательства того, что, наоборот, сокращаемый слева гомоморфизм инъективен, полезно рассмотреть свободный объект на ${\ displaystyle x}$ . Учитывая разнообразие алгебраических структур свободного объекта на это пара , состоящая из алгебраической структуры этого многообразия и элемента из удовлетворяющих следующего универсального свойства : для каждой структуры многообразия, и каждый элемент из , существует единственный гомоморфизм такой , что . Например, для наборов свободный объект - это просто ; для полугрупп свободный объект - это как полугруппа, изоморфная аддитивной полугруппе натуральных чисел; для моноидов свободный объект на том, который, как моноид, изоморфен аддитивному моноиду неотрицательных целых чисел; для групп свободный объект на - это бесконечная циклическая группа, которая, как группа, изоморфна аддитивной группе целых чисел; для колец свободный объект на } - это кольцо многочленов для векторных пространств или модулей , свободный объект на - это векторное пространство или свободный модуль, который имеет в качестве основы. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle s}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle f: L \ to S}$ ${\ displaystyle f (x) = s}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ {х \}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ {х, х ^ {2}, \ ldots, х ^ {п}, \ ldots \},}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle \ {1, x, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {n}, \ ldots \},}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ {\ ldots, x ^ {- n}, \ ldots, x ^ {- 1}, 1, x, x ^ {2}, \ ldots, x ^ {n}, \ ldots \},}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [х];}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$

Если свободный объект над существует, то каждый левый отменяемый гомоморфизм инъективен ${\ displaystyle x}$ : пусть будет левым отменяемым гомоморфизмом, и два элемента из таких . По определению свободного объекта существуют гомоморфизмы и из в такие, что и . Как , по единственности в определении универсального свойства. Как это левый отменяемый, один имеет , и , таким образом . Следовательно, инъективно. ${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$ ${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle е (а) = е (Ь)}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ Displaystyle г (х) = а}$ ${\ Displaystyle ч (х) = Ь}$ ${\ Displaystyle е (г (х)) = е (час (х))}$ ${\ Displaystyle е \ сирк г = е \ сирк ч,}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g = h}$ ${\ displaystyle a = b}$ ${\ displaystyle f}$

Наличие свободного объекта на для разнообразия ${\ displaystyle x}$ (см также свободного объект § Наличие ): Для построения свободного объекта над , рассмотрит множество из хорошо образованных формул , построенных из и операций структуры. Две такие формулы называются эквивалентными, если можно перейти от одной к другой, применяя аксиомы ( тождества структуры). Это определяет отношение эквивалентности , если тождества не подчиняются условиям, то есть если кто-то работает с разнообразием. Тогда операции сорта хорошо определены на множестве классов эквивалентности в течение этого отношения. Несложно показать, что полученный объект является свободным объектом . ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle W}$ ${\ displaystyle W}$

Эпиморфизм

В алгебре , эпиморфизмы часто определяются как сюръективные гомоморфизмы. С другой стороны, в теории категорий , эпиморфизмами определяются как правые аннулированы морфизмов . Это означает , что (гомо) морфизм является эпиморфизмом , если для любой пары , морфизмов от до любого другого объекта , равенство вытекает . ${\ displaystyle f: от A \ до B}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ displaystyle h}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ Displaystyle г \ CIRC F = H \ CIRC F}$ ${\ displaystyle g = h}$

Сюръективный гомоморфизм всегда сокращается справа, но обратное не всегда верно для алгебраических структур. Однако два определения эпиморфизма эквивалентны для множеств , векторных пространств , абелевых групп , модулей (см. Ниже для доказательства) и групп . Важность этих структур во всей математике, особенно в линейной алгебре и гомологической алгебре , может объяснить сосуществование двух неэквивалентных определений.

Алгебраические структуры, для которых существуют несюръективные эпиморфизмы, включают полугруппы и кольца . Самый простой пример - включение целых чисел в рациональные числа , которое является гомоморфизмом колец и мультипликативных полугрупп. Для обеих структур это мономорфизм и несюръективный эпиморфизм, но не изоморфизм.

Широкое обобщение этого примера - локализация кольца мультипликативным множеством. Каждая локализация - это кольцевой эпиморфизм, который, вообще говоря, не сюръективен. Поскольку локализации являются фундаментальными в коммутативной алгебре и алгебраической геометрии , это может объяснить, почему в этих областях определение эпиморфизмов как сокращаемых справа гомоморфизмов обычно предпочтительнее.

Расщепляющий эпиморфизм является гомоморфизмом, имеет правую обратные и , таким образом , он сам по себе является левым обратным этим другим гомоморфизмом. То есть гомоморфизм является расщепленным эпиморфизмом, если существует такой гомоморфизм , что расщепленный эпиморфизм всегда является эпиморфизмом для обоих значений эпиморфизма . Для множеств и векторных пространств каждый эпиморфизм является расщепляемым эпиморфизмом, но это свойство не выполняется для большинства общих алгебраических структур. ${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие от B \ до A}$ ${\ displaystyle f \ circ g = \ operatorname {Id} _ {B}.}$

Таким образом, у одного есть

{\ displaystyle {\ text {разделенный эпиморфизм}} \ подразумевает {\ text {эпиморфизм (сюръективный)}} \ подразумевает {\ text {эпиморфизм (правый отменяемый)}};}

последняя импликация - эквивалентность множеств, векторных пространств, модулей и абелевых групп; первая импликация - эквивалентность множеств и векторных пространств.

Эквивалентность двух определений эпиморфизма

Позвольте быть гомоморфизмом. Мы хотим доказать, что если оно не сюръективно, то оно не может быть сокращено правильно. ${\ displaystyle f \ двоеточие от A \ до B}$

В случае множеств, пусть будет элементом, которому не принадлежит , и определите так , что это функция идентичности , и что для каждого, кроме любого другого элемента . Ясно, что не может быть отменено правильно, так как и ${\ displaystyle b}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle f (A)}$ ${\ displaystyle g, h \ двоеточие B \ to B}$ ${\ displaystyle g}$ ${\ Displaystyle ч (х) = х}$ ${\ displaystyle x \ in B,}$ ${\ displaystyle h (b)}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g \ neq h}$ ${\ Displaystyle г \ CIRC F = H \ CIRC F.}$

В случае векторных пространств, абелевых групп и модулей доказательство основывается на существовании коядров и на том факте, что нулевые отображения являются гомоморфизмами: пусть - коядро и - каноническое отображение, такое что . Позвольте быть нулевым отображением. Если не является сюръективным, и, следовательно (одно - нулевое отображение, а другое - нет). Таким образом , не отменяется, поскольку (оба являются нулевым отображением от до ). ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle g \ двоеточие от B \ до C}$ ${\ Displaystyle г (е (А)) = 0}$ ${\ displaystyle h \ двоеточие от B \ до C}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle C \ neq 0}$ ${\ displaystyle g \ neq h}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle г \ CIRC F = H \ CIRC F}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle C}$

Ядро

Любой гомоморфизм определяет отношение эквивалентности на по тогда и только тогда, когда . Отношение называется ядро из . Это отношение конгруэнтности на . Множество фактора , то можно придать структуру того же типа , как , естественным образом, путем определения операций множества фактора по , для каждой операции с . В этом случае изображение в соответствии с гомоморфизмом обязательно изоморфно с ; этот факт является одной из теорем об изоморфизме . ${\ displaystyle f: от X \ до Y}$ ${\ displaystyle \ sim}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle a \ sim b}$ ${\ Displaystyle е (а) = е (Ь)}$ ${\ displaystyle \ sim}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X / {\ sim}}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ Displaystyle [х] \ аст [у] = [х \ аст у]}$ ${\ displaystyle \ ast}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle X / \! \ sim}$

Когда алгебраическая структура является группой для некоторой операции, класс эквивалентности из единичного элемента этой операции достаточно , чтобы охарактеризовать отношение эквивалентности. В этом случае фактор по отношению эквивалентности обозначается (обычно читается как « mod »). Кроме того, в этом случае, это , а не , что называется ядро из . Ядра гомоморфизмов данного типа алгебраической структуры естественным образом снабжены некоторой структурой. Этот структурный тип ядер совпадает с рассмотренной структурой в случае абелевых групп , векторных пространств и модулей , но отличается и получил конкретное название в других случаях, например, нормальная подгруппа для ядер групповых гомоморфизмов и идеалов. для ядер гомоморфизмов колец (в случае некоммутативных колец ядра являются двусторонними идеалами ). ${\ displaystyle K}$ ${\ Displaystyle X / K}$ ${\ displaystyle X}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ sim}$ ${\ displaystyle f}$

Реляционные структуры

В теории моделей понятие алгебраической структуры обобщается на структуры, включающие как операции, так и отношения. Пусть L - сигнатура, состоящая из символов функций и отношений, а A , B - две L -структуры. Тогда гомоморфизм из A в B - это отображение h из области A в область B такое, что

h ( F ^A ( a ₁ ,…, a _n )) = F ^B ( h ( a ₁ ),…, h ( a _n )) для каждого n -арного функционального символа F в L ,
R ( ₁ , ..., _п ) означает R ^B ( час ( ₁ ), ..., ч ( _п )) для каждого п -ичный символа отношения R в L .

В частном случае всего с одним бинарным отношением мы получаем понятие гомоморфизма графов . Подробное обсуждение реляционных гомоморфизмов и изоморфизмов см.

Теория формального языка

Гомоморфизмы также используются при изучении формальных языков и часто кратко называются морфизмами. Для алфавитов Σ ₁ и Σ ₂ функция h : Σ ₁^∗ → Σ ₂^∗ такая, что h ( uv ) = h ( u ) h ( v ) для всех u и v в Σ ₁^∗ , называется гомоморфизмом на Σ ₁^∗ . Если h гомоморфизм на Σ ₁^∗ и ε обозначает пустую строку, то h называется ε-свободным гомоморфизмом, когда h ( x ) ≠ ε для всех x ≠ ε в Σ ₁^∗ .

Множество Σ ^∗ слов, образованное из алфавита Σ, можно рассматривать как свободный моноид, порожденный Σ. Здесь моноидная операция - это конкатенация, а единичный элемент - это пустое слово. С этой точки зрения гомоморфизм языка - это в точности гомоморфизм моноида.

Смотрите также

Непрерывная функция
Диффеоморфизм
Гомоморфное шифрование
Гомоморфное разделение секретов - упрощенный децентрализованный протокол голосования
Морфизм

Примечания

Цитаты

использованная литература

Стэнли Н. Беррис; HP Sankappanavar (2012). Курс универсальной алгебры (PDF) . ISBN 978-0-9880552-0-9.
Mac Lane, Saunders (1971), Категории для работающих математиков , Тексты для выпускников по математике , 5 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-90036-5, Zbl 0232,18001
Fraleigh, John B .; Кац, Виктор Дж. (2003), Первый курс абстрактной алгебры , Аддисон-Уэсли, ISBN 978-1-292-02496-7

Languages

In other projects