Идеальная группа - Perfect group

В математике , а точнее в теории групп , группа называется совершенной, если она равна своей собственной коммутаторной подгруппе , или, что то же самое, если группа не имеет нетривиальных абелевых факторов (эквивалентно, ее абелианизация , которая является универсальным абелевым фактором, тривиально). В символах совершенная группа - это такая группа, что G ⁽¹⁾ = G (коммутатор равна группе), или, что то же самое, такая, что G ^ab = {1} (ее абелианизация тривиальна).

Примеры

Наименьшей (нетривиальной) совершенной группой является знакопеременная группа A ₅ . В более общем смысле, любая неабелева простая группа совершенна, поскольку коммутант является нормальной подгруппой с абелевым фактором. И наоборот, идеальная группа не обязательно должна быть простой; например, специальная линейная группа над полем с 5 элементами, SL (2,5) (или двоичной икосаэдрической группой , которая изоморфна к нему) является совершенной , но не просто (она имеет нетривиальный центр , содержащий ). ${\ displaystyle \ left ({\ begin {smallmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {smallmatrix}} \ right) = \ left ({\ begin {smallmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \ end {smallmatrix}} \ right )}$

Прямое произведение любых двух простых групп является совершенным , но не просто; коммутатор двух элементов равен [( a , b ), ( c , d )] = ([ a , c ], [ b , d ]). Поскольку коммутаторы в каждой простой группе образуют набор порождающих, пары коммутаторов образуют набор порождающих прямого произведения.

В более общем смысле, квазипростая группа (совершенное центральное расширение простой группы), которое является нетривиальным расширением (и, следовательно, не является простой группой), совершенна, но не проста; сюда входят все неразрешимые непростые конечные специальные линейные группы SL ( n , q ) как расширения проективной специальной линейной группы PSL ( n , q ) (SL (2,5) является расширением PSL (2,5), которое изоморфно A ₅ ). Точно так же специальная линейная группа над действительными и комплексными числами совершенна, но общая линейная группа GL никогда не бывает совершенна (кроме случаев, когда она тривиальна или больше , когда она равна специальной линейной группе), поскольку определитель дает нетривиальную абелианизацию и действительно, коммутаторная подгруппа SL. ${\ displaystyle \ mathbb {F} _ {2}}$

Однако нетривиальная совершенная группа обязательно неразрешима ; и 4 делит свой порядок (если он конечен), более того, если 8 не делит порядок, то 3 делает.

Каждая ациклическая группа идеальна, но обратное неверно: A ₅ идеальна, но не ациклична (фактически, даже не суперсовершта ), см. ( Berrick & Hillman 2003 ). Фактически, для переменной группы идеально, но не суперсовершенно, с for . ${\ displaystyle n \ geq 5}$${\ displaystyle A_ {n}}$${\ Displaystyle Н_ {2} (А_ {п}, \ mathbb {Z}) = \ mathbb {Z} / 2}$${\ Displaystyle п \ geq 8}$

Любое частное совершенной группы прекрасно. Нетривиальная конечная совершенная группа, которая не является простой, тогда должна быть расширением по крайней мере одной меньшей простой неабелевой группы. Но это может быть расширение более чем одной простой группы. Фактически, прямое произведение идеальных групп также идеально.

Каждая совершенная группа G определяет другую совершенную группу E (ее универсальное центральное расширение ) вместе с сюръекцией f : E → G , ядро которой находится в центре E, так что f универсальна с этим свойством. Ядро f называется множителем Шура для G, потому что оно было впервые изучено Иссаи Шуром в 1904 году; она изоморфна группе гомологий . ${\ displaystyle H_ {2} (G)}$

В плюс строительстве в алгебраических К-теории , если мы рассмотрим группу для коммутативного кольца , потом подгруппы элементарных матриц образуют совершенную подгруппа. ${\ displaystyle \ operatorname {GL} (A) = {\ text {colim}} \ operatorname {GL} _ {n} (A)}$ ${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle E (R)}$

Гипотеза Оре

Поскольку коммутаторная подгруппа порождается коммутаторами, совершенная группа может содержать элементы, которые являются продуктами коммутаторов, но не сами коммутаторы. Эйстейн Оре доказал в 1951 году, что знакопеременные группы из пяти или более элементов содержат только коммутаторы, и предположил, что это так для всех конечных неабелевых простых групп. Гипотеза Оре была окончательно доказана в 2008 году. Доказательство опирается на классификационную теорему .

Лемма Грюна

Основным фактом о совершенных группах является лемма Грюна из ( Grün 1935 , Satz 4, p. 3): фактор -группа совершенной группы по ее центру бесцентра (имеет тривиальный центр).

Доказательство: если G - совершенная группа, пусть Z ₁ и Z ₂ обозначают первые два члена верхнего центрального ряда группы G (т. Е. Z ₁ - центр группы G , а Z ₂ / Z ₁ - центр группы G /. Z ₁ ). Если Н и К являются подгруппами G , обозначают коммутатор из H и K от [ H , K ] и заметим , что [ Z ₁ , G ] = 1 и [ Z ₂ , G ] ⊆ Z ₁ , и , следовательно , (соглашение , что [ X , Y , Z ] = [[ X , Y ], Z ] следует):

${\ Displaystyle [Z_ {2}, G, G] = [[Z_ {2}, G], G] \ substeq [Z_ {1}, G] = 1}$

${\ Displaystyle [G, Z_ {2}, G] = [[G, Z_ {2}], G] = [[Z_ {2}, G], G] \ substeq [Z_ {1}, G] = 1.}$

По лемме о трех подгруппах (или, что то же самое, по тождеству Холла-Витта ) следует, что [ G , Z ₂ ] = [[ G , G ], Z ₂ ] = [ G , G , Z ₂ ] = {1} . Следовательно, Z ₂ ⊆ Z ₁ = Z ( G ), и центр фактор-группы G / Z ( G ) - тривиальная группа .

Как следствие, все высшие центры (то есть высшие члены в верхнем центральном ряду ) совершенной группы равны центру.

Групповая гомология

С точки зрения групповых гомологий , совершенная группа - это в точности такая, у которой первая группа гомологий равна нулю: H ₁ ( G , Z ) = 0, поскольку первая группа гомологий группы является в точности абелианизацией группы, а совершенная означает тривиальную абелианизацию. Преимущество этого определения в том, что оно допускает усиление:

• Группа superperfect является тот , чьи первые две группы гомологии равны нулю: .${\ displaystyle H_ {1} (G, \ mathbb {Z}) = H_ {2} (G, \ mathbb {Z}) = 0}$
• Ациклическая группа , является одним все из которых (уменьшенных) групп гомологий равны нуль (Это эквивалентно всех , кроме групп гомологии в нуле.)${\ displaystyle {\ tilde {H}} _ {i} (G; \ mathbb {Z}) = 0.}$${\ displaystyle H_ {0}}$

Квази-совершенная группа

В частности, в области алгебраической K-теории группа называется квази-совершенной, если ее коммутаторная подгруппа совершенна; в символах квази-совершенная группа - это такая группа, что G ⁽¹⁾ = G ⁽²⁾ (коммутатор коммутаторной подгруппы является коммутаторной подгруппой), а совершенная группа - такая, что G ⁽¹⁾ = G ( коммутаторная подгруппа - это вся группа). См. ( Каруби 1973 , с. 301–411) и ( Инассаридзе, 1995 , с. 76).

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Идеальная группа» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Лемма Грюна» . MathWorld .