Тривиальная группа - Trivial group

В математике , А единичная группа или нулевая группа представляет собой группа , состоящая из одного элемента. Все такие группы изоморфны , поэтому часто говорят о тривиальных группы. Единственный элемент тривиальной группы - это тождественный элемент, и поэтому он обычно обозначается как таковой: или в зависимости от контекста. Если обозначить групповую операцию, то она определяется как${\ displaystyle 0,1,}$${\ displaystyle e}$${\ Displaystyle \, \ cdot \,}$${\ displaystyle e \ cdot e = e.}$

Аналогично определенное тривиальный моноид также является группой, поскольку его единственный элемент является обратным к нему и, следовательно, совпадает с тривиальной группой.

Тривиальную группу не следует путать с пустым набором , который не имеет элементов и не имеет элемента идентичности, не может быть группой.

Определения

Принимая во внимании любой группы , группа , состоящая только из единичного элемента является подгруппой из и, будучи тривиальной группой, называются${\ displaystyle G,}$${\ displaystyle G,}$единичная подгруппа из${\ displaystyle G.}$

Термин, когда упоминается « не имеет нетривиальных собственных подгрупп», относится к единственной подгруппе, которая является тривиальной группой и самой группой . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle \ {е \}}$${\ displaystyle G}$

Характеристики

Тривиальная группа циклическая по порядку ; как таковая она может быть обозначена или. Если групповая операция называется сложением, тривиальная группа обычно обозначается как. Если групповая операция называется умножением, то 1 может быть обозначением тривиальной группы. Их объединение приводит к тривиальному кольцу, в котором операции сложения и умножения идентичны и${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle Z_ {1}}$${\ displaystyle C_ {1}.}$${\ displaystyle 0.}$${\ displaystyle 0 = 1.}$

Тривиальная группа служит нулевым объектом в категории групп , что означает, что она является одновременно начальным и конечным объектами .

Тривиальную группу можно сделать (би-) упорядоченной группой , снабдив ее тривиальным нестрогим порядком ${\ Displaystyle \, \ leq.}$

Смотрите также

• Нулевой объект (алгебра)
• Список малых групп  - статья со списком в Википедии

Рекомендации

• Роуленд, Тодд и Вайсштейн, Эрик В. «Тривиальная группа» . MathWorld .