Центр (теория групп) - Center (group theory)

В абстрактной алгебре , то центр из группы , G , является множество элементов , которые коммутируют с каждым элементом G . Он обозначается Z ( G ) , от немецкого Zentrum , что означает центр . В набор-строитель нотации ,

Z ( G ) = { z ∈ G | ∀ g ∈ G , zg = gz } .

Центр представляет собой нормальный делитель , Z ( G ) ⊲ G . Как подгруппа, она всегда характерна , но не обязательно полностью характерна . Фактор - группа , G / Z ( G ) , является изоморфно к внутренним автоморфизмам группы, Inn ( G ) .

Группа G абелева тогда и только тогда , когда Z ( G ) = G . В другом крайнем случае , группа называется бесцентровое , если Z ( G ) является тривиальным ; т.е. состоит только из тождественного элемента .

Элементы центра иногда называют центральными .

Как подгруппа

Центр G всегда подгруппа из G . В частности:

1. Z ( G ) содержит единичный элемент из G , так как он коммутирует с каждым элементом г , по определению: например , = г = г , где е является единицей;
2. Если х и у находятся в Z ( G ) , то и ху , с помощью ассоциативности: ( ху ) г = х ( YG ) = х ( Gy ) = ( XG ) у = ( GX ) у = г ( х ) для каждого g ∈ G ; т. е. Z ( G ) замкнуто;
3. Если х в Z ( G ) , то и х ^-1 , как, для всех г в G , х ^-1 коммутирует с г : ( дх = XG ) ⇒ ( х ^-1 Gxx ^-1 = х ^-1 xgx ^-1 ) ⇒ ( x ⁻¹ g = gx ⁻¹ ) .

Кроме того, центр G всегда нормальная подгруппа из G . Поскольку все элементы Z ( G ) коммутируют, оно замкнуто относительно сопряжения .

Классы сопряженности и централизаторы

По определению, центр - это набор элементов, для которых класс сопряженности каждого элемента является самим элементом; т.е. Cl ( g ) = { g } .

Центр также является пересечением всех центраторов каждого элемента G . Поскольку централизаторы являются подгруппами, это снова показывает, что центр является подгруппой.

Конъюгация

Рассмотрим отображение, ф : G → Aut ( G ) от G к группе автоморфизмов из G определяется F ( г ) = φ _г , где φ _г является автоморфизм G определяется

f ( g ) ( h ) = ϕ _g ( h ) = ghg ⁻¹ .

Функция, F представляет собой гомоморфизм групп , а его ядро является именно центр G , и его образ называется внутренний автоморфизм группы из G , обозначаемый Inn ( G ) . По первой теореме об изоморфизме получаем,

G / Z ( G ) ≃ Inn ( G ) .

Коядро этой карты является группа Out ( G ) из внешних автоморфизмов , и они образуют точную последовательность

1 ⟶ Z ( G ) ⟶ G ⟶ Aut ( G ) ⟶ Out ( G ) ⟶ 1 .

Примеры

• Центр из абелевой группы , G , все из G .
• Центр группы Гейзенберга , H , есть множество матриц вида:
  $${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & z \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}$$

  
• Центр неабелевой простой группы тривиален.
• Центр диэдра , D _п , тривиально при нечетном п ^ 3 . При четном n ≥ 4 центр состоит из единичного элемента вместе с поворотом многоугольника на 180 ° .
• Центр группы кватернионов , Q ₈ = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} , равен {1, −1} .
• Центр симметрической группы , S _п , тривиально для п ≥ 3 .
• Центр знакопеременной группы , А _п , тривиально для п ≥ 4 .
• Центр общей линейной группы над полем F , GL _п (F) , представляет собой набор скалярных матриц , {sì _п | S ∈ F \ {0}} .
• Центр ортогональной группы , O _п (F) является {Я _п , -I _п } .
• Центр специальной ортогональной группы , SO ( n ) - это вся группа, когда n = 2 , иначе {I _n , −I _n }, когда n четное, и тривиальное, когда n нечетное.
• Центр унитарной группы , является .${\ Displaystyle U (п)}$${\ displaystyle \ left \ {e ^ {i \ theta} \ cdot I_ {n} \ mid \ theta \ in [0,2 \ pi) \ right \}}$
• Центр специальной унитарной группы , является .${\ displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$${\ textstyle \ left \ lbrace e ^ {i \ theta} \ cdot I_ {n} \ mid \ theta = {\ frac {2k \ pi} {n}}, k = 0,1, \ dots, n-1 \ right \ rbrace}$
• Центр мультипликативной группы ненулевых кватернионов - мультипликативная группа ненулевых действительных чисел .
• Используя уравнение классов , можно доказать, что центр любой нетривиальной конечной p-группы нетривиален.
• Если фактор - группа G / Z ( G ) является циклическим , G является абелевой (и , следовательно , G = Z ( G ) , так что G / Z ( G ) тривиально).
• Центр группы мегаминкс является циклической группой порядка 2, а центр группы киломинкс тривиален.

Высшие центры

Факторизация по центру группы дает последовательность групп, называемую верхним центральным рядом :

( G ₀ = G ) ⟶ ( G ₁ = G ₀ / Z ( G ₀ )) ⟶ ( G ₂ = G ₁ / Z ( G ₁ )) ⟶ ⋯

Ядро отображения G → G _я это я й центр из G ( второй центр , третий центр и т.д.) и обозначается Z ^я ( G ) . Конкретно, ( i + 1 ) -й центр - это члены, которые коммутируют со всеми элементами до элемента i- го центра. Следуя этому определению, можно определить 0-й центр группы как индивидуальную подгруппу. Это может быть продолжено до трансфинитов по трансфинитной индукции ; объединение всех высших центров называется гиперцентром .

Возрастающая цепочка подгрупп

1 ≤ Z ( G ) ≤ Z ² ( G ) ≤ ⋯

стабилизируется в точке i (эквивалентно Z ⁱ ( G ) = Z ^{i + 1} ( G ) ) тогда и только тогда, когда G _{i не} имеет центра.

Примеры

• Для бесцентровой группы все высшие центры равны нулю, что является случаем стабилизации Z ⁰ ( G ) = Z ¹ ( G ) .
• По лемме Грюна фактор совершенной группы по ее центру не имеет центра, поэтому все высшие центры равны центру. Это случай стабилизации в Z ¹ ( G ) = Z ² ( G ) .

Смотрите также

• Центр (алгебра)
• Центр (теория колец)
• Центратор и нормализатор
• Класс сопряженности

Примечания

использованная литература

• Фрали, Джон Б. (2014). Первый курс абстрактной алгебры (7-е изд.). Пирсон. ISBN 978-1-292-02496-7.

внешние ссылки

• "Центр группы" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]