Делитель - Divisor
В математике , А делитель целого числа , также называемый фактор из , является целым числом , которое может быть умножено на некоторое целое число , чтобы произвести . В этом случае, один также говорят , что является кратным из Целого числа является делимым или нацело другим целым числом , если есть делитель ; это подразумевает деление на листья без остатка.
Определение
Целое число делится на ненулевое целое число, если существует такое целое число , что . Это записывается как
Другие способы сказать то же самое , что являются водоразделы , является делителем , является фактором , и является кратным . Если m не делит n , то используется обозначение .
Обычно требуется, чтобы m было ненулевым, но допускается, чтобы n было равно нулю. Согласно этому соглашению для любого ненулевого целого числа m . В некоторых определениях опускается требование ненулевого значения.
Общий
Делители могут быть как отрицательными, так и положительными, хотя иногда термин ограничивается положительными делителями. Например, есть шесть делителей числа 4; это 1, 2, 4, −1, −2 и −4, но обычно упоминаются только положительные (1, 2 и 4).
1 и −1 делят (являются делителями) каждое целое число. Каждое целое число (и его отрицание) является делителем самого себя. Целые числа, делящиеся на 2, называются четными , а целые числа, не делящиеся на 2, - нечетными .
1, −1, n и - n известны как тривиальные делители числа n . Дивизор числа n, который не является тривиальным делителем, называется нетривиальным делителем (или строгим делителем). Ненулевое целое число с хотя бы одним нетривиальным делителем называется составным числом , в то время как единицы -1 и 1 и простые числа не имеют нетривиальных делителей.
Существуют правила делимости, которые позволяют отличать определенные делители числа от цифр числа.
Примеры
- 7 является делителем 42, потому что мы можем сказать . Кроме того , можно сказать , что 42 делится на 7, 42 является кратным 7, 7 делит 42, или 7 является фактором 42.
- Нетривиальные делители числа 6 равны 2, −2, 3, −3.
- Положительные делители 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
- Множество всех положительных делителей 60, , частично упорядоченный по делимости, имеет диаграмму Хассы :
Дополнительные понятия и факты
Вот несколько элементарных правил:
- Если и , то , т.е. делимость - это транзитивное отношение .
- Если и , то или .
- Если и , то выполняется, как и . Однако, если и , то это не всегда имеет место (например , и но 5 не делится на 6).
Если , и , то . Это называется леммой Евклида .
Если - простое число, а затем или .
Положительный делитель которого отличен от , называется собственный делитель иликратны из. Число, которое не делится равномерно,но оставляет остаток, иногда называютнекратная часть из.
Целое число , единственный собственный делитель которого равен 1, называется простым числом . Точно так же простое число - это положительное целое число, которое имеет ровно два положительных множителя: 1 и само себя.
Любой положительный делитель числа является произведением простых делителей числа в некоторой степени. Это следствие основной теоремы арифметики .
Число называется совершенным, если оно равно сумме собственных делителей, неполным, если сумма его собственных делителей меньше , и большим, если эта сумма превышает .
Общее количество положительных делителей является мультипликативной функцией , что означает, что, когда два числа и являются взаимно простыми , тогда . Так , например, ; восемь делителей 42 равны 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 и 42. Однако число положительных делителей не является полностью мультипликативной функцией: если два числа и имеют общий делитель, то это может не быть быть правдой . Сумма положительных делителей - еще одна мультипликативная функция (например ). Обе эти функции являются примерами функций делителей .
Если простые множители из дается
то количество положительных делителей равно
и каждый из делителей имеет вид
где для каждого
Для каждого натурального , .
Также,
где - постоянная Эйлера – Маскерони . Одна интерпретация этого результата состоит в том, что случайно выбранное положительное целое число n имеет среднее количество делителей около . Однако это результат вкладов чисел с «аномально большим числом» делителей .
В абстрактной алгебре
Теория колец
Решетка деления
В определениях , которые включают в себя 0, отношение делимости превращает множество из неотрицательных целых чисел в частично упорядоченное множество : в полную дистрибутивную решетку . Наибольший элемент этой решетки равен 0, а наименьший - 1. Операция встречи ∧ задается наибольшим общим делителем, а операция соединения ∨ - наименьшим общим кратным . Эта решетка изоморфна двойной из решетки подгрупп бесконечной циклической группы .
Смотрите также
- Арифметические функции
- Алгоритм Евклида
- Дробь (математика)
- Таблица делителей - Таблица простых и непростых делителей для 1–1000
- Таблица основных множителей - Таблица простых множителей для 1–1000
- Унитарный делитель
Примечания
использованная литература
- Дурбин, Джон Р. (2009). Современная алгебра: введение (6-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 978-0470-38443-5.
- Ричард К. Гай , Нерешенные проблемы теории чисел (3-е изд.), Springer Verlag , 2004 ISBN 0-387-20860-7 ; раздел Б.
- Харди, GH ; Райт, EM (1960). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
- Херштейн, И. Н. (1986), Абстрактная алгебра , Нью-Йорк: Macmillan Publishing Company, ISBN 0-02-353820-1
- Нивен, Иван ; Цукерман, Герберт С .; Монтгомери, Хью Л. (1991). Введение в теорию чисел (5-е изд.). Джон Вили и сыновья . ISBN 0-471-62546-9.
- Ойстейн Оре , Теория чисел и ее история, McGraw – Hill, NY, 1944 (и оттиски Dover).
- Симс, Чарльз К. (1984), Абстрактная алгебра: вычислительный подход , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-09846-9