Дивизия (математика) - Division (mathematics)

20/4 = 5, здесь показаны яблоки. В устной форме сказано: «Двадцать разделенное на четыре равно пяти».

Арифметические операции v т е

Дополнение (+) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, + \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {summand}} \, + \ , {\ text {summand}} \\\ scriptstyle {\ text {addend}} \, + \, {\ text {addend}} \\\ scriptstyle {\ text {augend}} \, + \, {\ text {addend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {sum}}}$ Вычитание (-) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {term}} \, - \, {\ text {term}} \\\ scriptstyle {\ text {minuend}} \, - \ , {\ text {subtrahend}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {разница}}}$ Умножение (×) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {factor}} \, \ times \, {\ text {factor}} \\\ scriptstyle {\ text {multiplier}} \, \ раз \, {\ text {multiplicand}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {product}}}$ Деление (÷) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ left. {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {divisor}}} {\ scriptstyle {\ text {divisor}}}} \\\ scriptstyle {\ text { }} \\\ scriptstyle {\ frac {\ scriptstyle {\ text {numerator}}} {\ scriptstyle {\ text {denominator}}}} \ end {matrix}} \ right \} \, = \,}$ ${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ scriptstyle {\ text {дробь}} \\\ scriptstyle {\ text {quotient}} \\\ scriptstyle {\ text {ratio}} \ end {matrix}}}$ Возведение в степень ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {base}} ^ {\ text {exponent}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {power}}}$ корень n- й степени (√) ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ sqrt [{\ text {степень}}] {\ scriptstyle {\ text {radicand}}}} \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {root}}}$ Логарифм (журнал) ${\ displaystyle \ scriptstyle \ log _ {\ text {base}} ({\ text {антилогарифм}}) \, = \,}$ ${\ displaystyle \ scriptstyle {\ text {логарифм}}}$

Деление - это одна из четырех основных операций арифметики , способов объединения чисел в новые числа. Другие операции - это сложение , вычитание и умножение .

На элементарном уровне деление двух натуральных чисел , помимо других возможных интерпретаций , представляет собой процесс подсчета того, сколько раз одно число содержится в другом. Это количество раз не всегда является целым числом (число, которое можно получить с помощью других арифметических операций с натуральными числами).

Деление с остатком или евклидовым делением двух натуральных чисел дает целое частное , который является количеством раз , второе число полностью содержится в первом номере, и остаток , который является частью первого числа , которое остается, когда в В ходе вычисления частного не может быть выделен никакой дальнейший полный фрагмент размера второго числа.

Чтобы деление всегда давало одно число, а не частное плюс остаток, натуральные числа должны быть расширены до рациональных чисел (чисел, которые могут быть получены с помощью арифметики с натуральными числами) или действительных чисел . В этих расширенных системах счисления деление - это операция, обратная умножению, то есть a = c / b означает a × b = c , пока b не равно нулю. Если b = 0 , то это деление на ноль , которое не определено.

Обе формы деления появляются в различных алгебраических структурах , в разных способах определения математической структуры. Те, в которых определено евклидово деление (с остатком), называются евклидовыми областями и включают кольца многочленов с одним неопределенным (которые определяют умножение и сложение по формулам с одной переменной). Те, в которых определено деление (с одним результатом) на все ненулевые элементы, называются полями и телами . В кольце элементы, на которые всегда возможно деление, называются единицами (например, 1 и -1 в кольце целых чисел). Другим обобщением деления на алгебраические структуры является фактор-группа , в которой результатом «деления» является группа, а не число.

Вступление

Самый простой способ просмотра разделение в терминах quotition и перегородки : с точки зрения quotition, 20/5 означает число 5s , которые должны быть добавлены , чтобы получить 20. С точки зрения раздела, 20/5 означает , что размер каждого из 5 части, на которые разбивается набор размером 20. Например, 20 яблок делятся на пять групп по четыре яблока, то есть двадцать, разделенные на пять, равны четырем . Это обозначается как 20/5 = 4 , или 20/5= 4 . То, что делится, называется дивидендом , который делится делителем , а результат называется частным . В этом примере 20 - это делимое, 5 - делитель, а 4 - частное.

В отличие от других основных операций, при делении натуральных чисел иногда возникает остаток , который не входит в состав делимого; например, 10/3 оставляет остаток 1, так как 10 не делится на 3. Иногда этот остаток добавляется к частному как дробная часть , поэтому 10/3 равно 3.+1/3или 3.33 ... , но в контексте целочисленного деления, где числа не имеют дробной части, остаток сохраняется отдельно (или, в исключительных случаях, отбрасывается или округляется ). Когда остаток сохраняется в виде дроби, получается рациональное число . Набор всех рациональных чисел создается путем расширения целых чисел всеми возможными результатами делений целых чисел.

В отличие от умножения и сложения, деление не коммутативно , что означает, что a / b не всегда равно b / a . Деление также, как правило, не является ассоциативным , что означает, что при многократном делении порядок деления может изменить результат. Например, (20/5) / 2 = 2 , но 20 / (5/2) = 8 (где использование круглых скобок означает, что операции внутри скобок выполняются перед операциями вне скобок).

Деление традиционно считается левоассоциативным . То есть, если в строке несколько делений, порядок вычислений идет слева направо:

${\ Displaystyle a / b / c = (a / b) / c = a / (b \ times c) \ neq a / (b / c) = (a \ times c) / b.}$

Деление распределяет вправо по сравнению с сложением и вычитанием в том смысле, что

${\ displaystyle {\ frac {a \ pm b} {c}} = (a \ pm b) / c = (a / c) \ pm (b / c) = {\ frac {a} {c}} \ pm {\ frac {b} {c}}.}$

Это то же самое для умножения , что и . Однако деление не является лево-распределительным , поскольку ${\ Displaystyle (а + б) \ раз с = а \ раз с + б \ раз с}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {b + c}} = a / (b + c) \ neq (a / b) + (a / c) = {\ frac {ac + ab} {bc}}. }$

В этом отличие от умножения, которое является как лево-распределительным, так и право-распределительным и, следовательно, распределительным .

Обозначение

Плюсы и минусы. Крестик используется как варианты знака минус в выдержке из официальной формы норвежских торгового заявления под названием «Næringsoppgave 1» за налоговый год 2010.

В алгебре и естественных науках деление часто показывают, помещая делимое над делителем с горизонтальной линией, также называемой чертой дроби , между ними. Например, « a, разделенное на b » можно записать как:

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$

что также может быть прочитано вслух как «разделите a на b » или « a over b ». Чтобы выразить деление в одной строке, нужно написать делимое (или числитель), затем косую черту , а затем делитель (или знаменатель) следующим образом:

${\ displaystyle a / b}$

Это обычный способ указания деления в большинстве языков программирования , поскольку его можно легко ввести как простую последовательность символов ASCII . Некоторые математические программы , такие как MATLAB и GNU Octave , позволяют записывать операнды в обратном порядке, используя обратную косую черту в качестве оператора деления:

${\ displaystyle b \ обратная косая черта a}$

Типографская вариация на полпути между этими двумя формами использует солидус (дробная косая черта), но увеличивает дивиденд и понижает делитель:

${\ displaystyle {} ^ {a} \! / {} _ {b}}$

Любая из этих форм может использоваться для отображения дроби . Дробь - это выражение деления, в котором и делимое, и делитель являются целыми числами (обычно называемыми числителем и знаменателем ), и нет никакого смысла в том, что деление должно оцениваться дальше. Второй способ показать деление - использовать знак деления (÷, также известный как obelus, хотя этот термин имеет дополнительные значения), распространенный в арифметике, следующим образом:

${\ displaystyle a \ div b}$

Эта форма встречается нечасто, за исключением элементарной арифметики. В стандарте ISO 80000-2 -9.6 указано, что его не следует использовать. Этот знак деления также используется отдельно для представления самой операции деления, например, как метка на клавише калькулятора . Обелус был введен швейцарским математиком Иоганном Раном в 1659 году в немецкой алгебре . Символ ÷ используется для обозначения вычитания в некоторых европейских странах, поэтому его использование может быть неправильно понято.

В некоторых странах, не говорящих по- английски , для обозначения деления используется двоеточие:

${\ displaystyle a: b}$

Это обозначение было введено Готфридом Вильгельмом Лейбницем в его Acta eruditorum 1684 года . Лейбниц не любил использовать отдельные символы для соотношения и деления. Однако в английском использовании двоеточие ограничивается выражением связанной концепции соотношений .

С 19 - го века, американские учебники используют или для обозначения делится на Ь , особенно при обсуждении длинного деления . История этого обозначения не совсем ясна, потому что она развивалась с течением времени. ${\ Displaystyle б) а}$${\ displaystyle b {\ overline {) a}}}$

Вычисление

Ручные методы

Разделение часто вводится через понятие «разделения» набора объектов, например, кучи леденцов, на несколько равных частей. Распределение объектов по нескольку одновременно в каждом раунде разделения на каждую часть приводит к идее « разбиения на части » - формы деления, при которой многократно вычитаются кратные делителя из самого дивиденда.

Позволяя вычесть больше кратных, чем позволяет частичный остаток на данном этапе, можно также разработать более гибкие методы, такие как двунаправленный вариант разбиения на части.

Более систематично и более эффективно два целых числа можно разделить карандашом и бумагой методом короткого деления , если делитель маленький, или длинного деления , если делитель больше. Если в дивиденде есть дробная часть (выраженная в виде десятичной дроби ), можно продолжить процедуру, оставив единицы, сколько угодно. Если делитель имеет дробную часть, можно переформулировать проблему, переместив десятичную дробь вправо в обоих числах до тех пор, пока в делителе не будет дробной части, что может упростить решение проблемы (например, 10 / 2,5 = 100/25 = 4 ).

Деление можно рассчитать на счетах .

Таблицы логарифмов можно использовать для деления двух чисел путем вычитания логарифмов двух чисел и последующего поиска антилогарифма результата.

Деление можно рассчитать с помощью логарифмической линейки , совместив делитель на шкале C с делимым на шкале D. Частное можно найти на шкале D, где оно совмещено с левым индексом на шкале C. Однако ответственность за мысленное отслеживание десятичной точки лежит на пользователе.

На компьютере

Современные калькуляторы и компьютеры вычисляют деление либо методами, аналогичными делению в столбик, либо более быстрыми методами; см. Алгоритм деления .

В модульной арифметике (по модулю простого числа) и для действительных чисел ненулевые числа имеют мультипликативную инверсию . В этих случаях деление на x может быть вычислено как произведение на мультипликативную величину, обратную x . Этот подход часто ассоциируется с более быстрыми методами компьютерной арифметики.

Разделение в разных контекстах

Евклидово деление

Евклидово деление - это математическая формулировка результата обычного процесса деления целых чисел. Он утверждает, что для данных двух целых чисел, a , делимого , и b , делителя , таких, что b ≠ 0, существуют уникальные целые числа q , частное , и r , остаток, такие, что a = bq + r и 0 ≤ г <| b |, где | б | обозначает абсолютное значение в б .

Целых чисел

Целые числа не закрываются при делении. Помимо того, что деление на ноль не определено, частное не является целым числом, если делимое не является целым числом, кратным делителю. Например, 26 нельзя разделить на 11, чтобы получить целое число. В таком случае используется один из пяти подходов:

1. Скажите, что 26 нельзя разделить на 11; деление становится частичной функцией .
2. Дайте примерный ответ в виде « реального » числа. Это подход, обычно используемый при численных вычислениях .
3. Дайте ответ в виде дроби , представляющей собой рациональное число , так что результат деления 26 на 11 является (или в виде смешанного числа , поэтому ) Обычно в результате чего фракция должна быть упрощенной: результат деления 52 на 22 также . Это упрощение может быть выполнено путем вынесения за скобки наибольшего общего делителя .${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}}}$${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2 {\ tfrac {4} {11}}.}$${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}}}$
4. Дайте ответ в виде целого частного и остатка , поэтому для отличия от предыдущего случая, это деление с двумя целыми числами в качестве результата иногда называют евклидовым делением , потому что оно является основой алгоритма Евклида .${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2 {\ mbox {остаток}} 4.}$
5. В качестве ответа укажите целочисленное частное, так что это функция пола , также иногда называемая целочисленным делением на элементарном уровне.${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2.}$

Деление целых чисел в компьютерной программе требует особой осторожности. Некоторые языки программирования рассматривают целочисленное деление, как в случае 5 выше, поэтому ответ - целое число. Другие языки, такие как MATLAB и все системы компьютерной алгебры, возвращают рациональное число в качестве ответа, как в случае 3 выше. Эти языки также предоставляют функции для получения результатов других наблюдений либо напрямую, либо из результата случая 3.

Имена и символы, используемые для целочисленного деления, включают div, /, \ и%. Определения различаются относительно целочисленного деления, когда делимое или делитель отрицательное: округление может быть в сторону нуля (так называемое T-деление) или в сторону -∞ (F-деление); могут встречаться более редкие стили - подробности см. в разделе « Операция по модулю» .

Иногда правила делимости можно использовать, чтобы быстро определить, делится ли одно целое число точно на другое.

Рациональных чисел

Результатом деления двух рациональных чисел является другое рациональное число, когда делитель не равен 0. Деление двух рациональных чисел p / q и r / s может быть вычислено как

${\ displaystyle {p / q \ over r / s} = {p \ over q} \ times {s \ over r} = {ps \ over qr}.}$

Все четыре величины являются целыми числами, и только p может быть 0. Это определение гарантирует, что деление является обратной операцией умножения .

Реальных чисел

В результате деления двух действительных чисел получается другое действительное число (если делитель не равен нулю). Он определен так, что a / b = c тогда и только тогда, когда a = cb и b ≠ 0.

Комплексных чисел

Разделение двух комплексных чисел (когда делитель отличен от нуля) приводит к другому комплексному числу, которое находится с помощью конъюгата знаменателя:

${\ displaystyle {p + iq \ over r + is} = {(p + iq) (r-is) \ over (r + is) (r-is)} = {pr + qs + i (qr-ps) \ over r ^ {2} + s ^ {2}} = {pr + qs \ over r ^ {2} + s ^ {2}} + i {qr-ps \ over r ^ {2} + s ^ { 2}}.}$

Этот процесс умножения и деления на называется «реализацией» или (по аналогии) рационализацией . Все четыре величины p , q , r , s являются действительными числами, и оба r и s не могут быть равны 0. ${\ displaystyle r-is}$

Деление комплексных чисел, выраженных в полярной форме, проще, чем определение выше:

${\ displaystyle {pe ^ {iq} \ over re ^ {is}} = {pe ^ {iq} e ^ {- is} \ over re ^ {is} e ^ {- is}} = {p \ over r } e ^ {i (qs)}.}$

Опять же, все четыре величины p , q , r , s являются действительными числами, и r не может быть 0.

Многочленов

Можно определить операцию деления многочленов от одной переменной над полем . Тогда, как и в случае с целыми числами, остается остаток. См. Евклидово деление многочленов и, для рукописных вычислений, полиномиальное деление в столбик или синтетическое деление .

Матриц

Для матриц можно определить операцию деления. Обычный способ сделать это - определить A / B = AB ⁻¹ , где B ⁻¹ обозначает обратное к B , но гораздо чаще AB ⁻¹ записывают явно, чтобы избежать путаницы. Подразделение поэлементно также могут быть определены в терминах продукта Адамара .

Левое и правое деление

Поскольку умножение матриц не коммутативное , можно также определить левое деление или так называемую обратную косую деление как A \ B = A ^-1 B . Чтобы это было правильно определено, B ⁻¹ может не существовать, однако A ⁻¹ должен существовать. Чтобы избежать путаницы, разделение, определяемое как A / B = AB ^-1 , иногда в этом контексте называется правым делением или делением косой черты .

Обратите внимание, что с левым и правым делением, определенным таким образом, A / ( BC ), как правило, не то же самое, что ( A / B ) / C , и ( AB ) \ C не то же самое, что A \ ( B \ C ) . Однако верно, что A / ( BC ) = ( A / C ) / B и ( AB ) \ C = B \ ( A \ C ) .

Псевдообратный

Чтобы избежать проблем, когда A ^-1 и / или B ^-1 не существуют, деление также может быть определено как умножение на псевдообратное . То есть, / B = AB ⁺ и \ B = ⁺ B , где ⁺ и B ⁺ обозначают pseudoinverses из A и B .

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре , дается магма с бинарной операцией * (который номинально можно было бы назвать умножение), левое деление на Ь по (написанный на \ б ) , как правило , определяется как решение х к уравнению а * х = Ь , если это существует и уникален. Аналогичным образом , право деление на Ь на виде (письменного б / ) является решением у к уравнению у * = б . Деление в этом смысле не требует, чтобы ∗ обладал какими-либо конкретными свойствами (такими как коммутативность, ассоциативность или единичный элемент).

«Разделение» в смысле «отмены» может быть выполнено в любой магме элементом со свойством отмены . Примеры включают матричные алгебры и алгебры кватернионов . Квазигруппа представляет собой структуру , в которой разделение всегда возможно, даже без единичного элемента и , следовательно , обратных. В области целостности , где не каждый элемент должен иметь инверсию, деление на отменяющий элемент a все еще может выполняться для элементов формы ab или ca посредством левой или правой отмены, соответственно. Если кольцо конечно и каждый ненулевой элемент является сокращаемым, то, применяя принцип ящика , каждый ненулевой элемент кольца обратим, и возможно деление на любой ненулевой элемент. Чтобы узнать, когда алгебры (в техническом смысле) имеют операцию деления, обратитесь к странице, посвященной алгебрам деления . В частности , периодичности Ботт может быть использовано , чтобы показать , что любая реальную нормированная алгебра с делением должна быть изоморфна либо действительные числа R , то комплексные числа C , то кватернионы H , или октонионы вывода .

Исчисление

Производная от отношения двух функций определяются правило фактора :

${\ displaystyle {\ left ({\ frac {f} {g}} \ right)} '= {\ frac {f'g-fg'} {g ^ {2}}}.}$

Деление на ноль

Деление любого числа на нуль в большинстве математических систем не определен, так как ноль умноженный на любое конечное число всегда приводит к продукту нуля. Ввод такого выражения в большинство калькуляторов вызывает сообщение об ошибке. Однако в некоторых математиках более высокого уровня деление на ноль возможно с помощью нулевого кольца и таких алгебр, как колеса . В этих алгебрах значение деления отличается от традиционных определений.

Смотрите также

• Алгоритм деления Сунзи 400AD
• Деление на два
• Дивизия камбуза
• Обратный элемент
• Порядок действий
• Повторяющаяся десятичная дробь

Примечания

использованная литература

внешние ссылки

• Подразделение Planetmath
• Раздел на японских счетах, выбранных из Abacus: Mystery of the Bead
• Приемы китайских коротких дивизионов на суан-пане
• Правила делимости