Алгебра Ли - Lie algebra

Группы Ли
Классические группы
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли
Полупростая алгебра Ли
Теория представлений
Группы Ли в физике
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

Алгебраическая структура → Теория колец Теория колец
Базовые концепты Кольца • Подкольца • Идеально • Факторное кольцо • Дробный идеал • Общее кольцо частных • Кольцо с продуктом • Бесплатное произведение ассоциативных алгебр • Тензорное произведение колец Гомоморфизмы колец • Ядро • Внутренний автоморфизм • Эндоморфизм Фробениуса Алгебраические структуры • Модуль • Ассоциативная алгебра • Градуированное кольцо • Инволютивное кольцо • Категория колец • Начальное кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Клеммное кольцо ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Связанные структуры • Поле • Конечное поле • Неассоциативное кольцо • Кольцо лжи • кольцо Jordan • Полукругление • Semifield
Коммутативная алгебра Коммутативные кольца • Целостная область • Интегрально закрытый домен • домен GCD • Уникальный домен факторизации • Основная идеальная область • Евклидова область • Поле • Конечное поле • Композиционное кольцо • Кольцо полиномов • Формальное кольцо степенной серии Алгебраическая теория чисел • Поле алгебраических чисел • Кольцо целых чисел • Алгебраическая независимость • Трансцендентальная теория чисел • Степень трансцендентности p -адическая теория чисел и десятичные дроби • Прямой предел / обратный предел • Нулевое кольцо ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Целые числа по модулю p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (п ^ {\ infty})}$ • Основание - круговое кольцо p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • База - p целых чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -адические рациональные числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • База - p вещественных чисел ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -адические целые числа ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -адические числа ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -адический соленоид ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Алгебраическая геометрия • Аффинное разнообразие
Некоммутативная алгебра Некоммутативные кольца • Дивизионное кольцо • Полупримитивное кольцо • Простое кольцо • Коммутатор Некоммутативная алгебраическая геометрия Свободная алгебра Алгебра Клиффорда • Геометрическая алгебра Операторная алгебра
v т е

В математике , А алгебра Ли (произносится / л я / «Ли») представляет собой векторное пространство вместе с операцией , называемой скобкой Ли , переменная билинейной картой , которая удовлетворяет тождество Якоби . Векторное пространство вместе с этой операцией является неассоциативной алгеброй , а это означает, что скобка Ли не обязательно ассоциативна . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}, \ (x, y) \ mapsto [x, y]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Алгебры Ли тесно связаны с группами Ли , которые являются группами , которые также гладкие многообразия : любая группа Ли приводит к алгебре Ли, который является его касательным пространством в единице. Наоборот, любой конечномерной алгебре Ли над действительными или комплексными числами существует соответствующая связная группа Ли, единственная с точностью до конечных покрытий ( третья теорема Ли ). Это соответствие позволяет изучать структуру и классификацию групп Ли в терминах алгебр Ли.

В физике группы Ли появляются как группы симметрии физических систем, и их алгебры Ли (касательные векторы, близкие к единице) можно рассматривать как бесконечно малые движения симметрии. Таким образом, алгебры Ли и их представления широко используются в физике, особенно в квантовой механике и физике элементарных частиц.

Элементарный пример - пространство трехмерных векторов с операцией скобок, определенной перекрестным произведением. Это кососимметрично, поскольку вместо ассоциативности оно удовлетворяет тождеству Якоби: ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle [x, y] = x \ умножить на y.}$${\ Displaystyle х \ раз у = -у \ раз х}$

${\ Displaystyle х \ раз (у \ раз г) \ = \ (х \ раз у) \ раз г \ + \ у \ раз (х \ раз г).}$

Это алгебра Ли группы вращений пространства , и каждый вектор можно представить как бесконечно малое вращение вокруг оси v со скоростью, равной величине v . Скобка Ли - это мера некоммутативности между двумя вращениями: поскольку вращение коммутирует само с собой, у нас есть свойство альтернированности . ${\ displaystyle v \ in \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle [х, х] = х \ раз х = 0}$

История

Алгебры Ли были введены , чтобы изучить понятие бесконечно малых преобразований по Мариус Софус Ли в 1870 - х годах, и независимо друг от друга обнаружили Wilhelm Killing в 1880 году. Название « алгебра Ли» было дано Германом Вейлем в 1930-х годах; в более старых текстах используется термин бесконечно малая группа .

Определения

Определение алгебры Ли

Алгебра Ли - это векторное пространство над некоторым полем вместе с бинарной операцией, называемой скобкой Ли, удовлетворяющей следующим аксиомам: ${\ displaystyle \, {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle F}$ ${\ Displaystyle [\, \ cdot \ ,, \ cdot \,]: {\ mathfrak {g}} \ times {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}}$

• Билинейность ,

${\ displaystyle [ax + by, z] = a [x, z] + b [y, z],}$

${\ displaystyle [z, ax + by] = a [z, x] + b [z, y]}$

для всех скаляров , в и все элементы , , в .${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• Альтернативность ,

${\ Displaystyle [х, х] = 0 \}$

для всех ин .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• Тождество Якоби ,

${\ Displaystyle [х, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 \}$

для всех , , в .${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Использование билинейности расширить скобку Ли и использование альтернативности показывает , что для всех элементов , в , показывая , что билинейность и альтернативность вместе подразумевает ${\ Displaystyle [х + у, х + у]}$${\ Displaystyle [х, у] + [у, х] = 0 \}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

• Антикоммутативность ,

${\ Displaystyle [х, у] = - [у, х], \}$

для всех элементов , в . Если поле в характерном не 2 , то антикоммутативность предполагает альтернативность, так как это означает ,${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle [x, x] = - [x, x].}$

Алгебру Ли принято обозначать строчной буквой fraktur, например . Если алгебра Ли связана с группой Ли , то эта алгебра обозначается фрактурной версией группы: например, алгебра Ли группы SU ( n ) - это . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g, h, b, n}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {су}} (п)}$

Генераторы и измерение

Говорят, что элементы алгебры Ли порождают ее, если наименьшая подалгебра, содержащая эти элементы, является самой собой. Размерность алгебры Ли является ее размерность как векторное пространство над . Мощность минимального порождающего множества алгебры Ли всегда меньше или равна ее размерности. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle F}$

См. Классификацию низкоразмерных вещественных алгебр Ли для других небольших примеров.

Подалгебры, идеалы и гомоморфизмы

Скобка Ли не обязательно должна быть ассоциативной , что означает, что она не должна быть равной . Однако он гибкий . Тем не менее, большая часть терминологии ассоциативных колец и алгебр обычно применяется к алгебрам Ли. Подалгебра Ли является подпространством , которое замкнуто относительно скобки Ли. Идеал есть подалгебра , удовлетворяющая сильное условие: ${\ Displaystyle [[х, у], г]}$${\ Displaystyle [х, [y, z]]}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} \ substeq {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {я}} \ substeq {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {i}}] \ substeq {\ mathfrak {i}}.}$

Гомоморфизм алгебры Ли - это линейное отображение, согласованное с соответствующими скобками Ли:

${\ displaystyle \ phi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g '}}, \ quad \ phi ([x, y]) = [\ phi (x), \ phi (y)] \ {\ text {для всех}} \ x, y \ in {\ mathfrak {g}}.}$

Что касается ассоциативных колец, то идеалы - это в точности ядра гомоморфизмов; по алгебре Ли и идеалу в ней строится фактор-алгебра или фактор-алгебра , и первая теорема об изоморфизме верна для алгебр Ли. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}$

Так как скобка Ли является своего рода бесконечно малой коммутаторе соответствующей группы Ли, мы говорим , что два элемента коммутируют , если их скобка равна нулю: . ${\ displaystyle x, y \ in {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle [х, у] = 0}$

Централизатор подалгебра подмножества есть множество элементов , коммутирующих с : то есть, . Сам централизатор - это центр . Аналогичным образом , для подпространства S , то нормализатор подалгебра является . Эквивалентно, если это подалгебра Ли, это самая большая подалгебра, которая является идеалом . ${\ Displaystyle S \ подмножество {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {z}} _ {\ mathfrak {g}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {g}} \ \ mid \ [x, s] = 0 \ {\ text { для всех}} s \ in S \}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {z}} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {\ mathfrak {g}} (S) = \ {x \ in {\ mathfrak {g}} \ \ mid \ [x, s] \ in S \ {\ text {для всех}} \ s \ in S \}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {\ mathfrak {g}} (S)}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {\ mathfrak {g}} (S)}$

Примеры

Для коммутатора двух элементов${\ Displaystyle {\ mathfrak {d}} (2) \ подмножество {\ mathfrak {gl}} (2)}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {bmatrix} a & b \\ c & d \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} x & 0 \\ 0 & y \ end {bmatrix}} \ right] & = {\ begin {bmatrix} ax & by \\ cx & dy \\\ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} ax & bx \\ cy & dy \\\ end {bmatrix}} \\ & = {\ begin {bmatrix} 0 & b (yx ) \\ c (xy) & 0 \ end {bmatrix}} \ end {align}}}$

показывает подалгебру, но не идеал. Фактически, каждое одномерное линейное подпространство алгебры Ли имеет индуцированную абелеву структуру алгебры Ли, которая, вообще говоря, не является идеалом. Для любой простой алгебры Ли все абелевы алгебры Ли никогда не могут быть идеалами. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {d}} (2)}$

Прямая сумма и полупрямой продукт

Для двух алгебр Ли и их алгебра Ли прямой суммы представляет собой векторное пространство, состоящее из всех пар , с операцией ${\ displaystyle {\ mathfrak {g ^ {}}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g '}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ oplus {\ mathfrak {g '}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {}} (x, x '), \, x \ in {\ mathfrak {g}}, \ x' \ in {\ mathfrak {g '}}}$

${\ Displaystyle [(х, х '), (у, у')] = ([х, у], [х ', у']),}$

так что копии коммутируют друг с другом: Позвольте быть алгебра Ли и идеал . Если каноническое отображение расколы (т.е. допускает сечение), то это называется полупрямой продукт из и , . См. Также полупрямую сумму алгебр Ли . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}} '}$${\ displaystyle [(x, 0), (0, x ')] = 0.}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = {\ mathfrak {g}} / {\ mathfrak {i}} \ ltimes {\ mathfrak {i}}}$

Теорема Леви утверждает, что конечномерная алгебра Ли является полупрямым произведением своего радикала и дополнительной подалгебры ( подалгебры Леви ).

Производные

Вывод на алгебре Ли (или на любой неассоциативной алгебре ) является линейным отображением , подчиняющийся закону Лейбница , то есть, ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle \ дельта \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ rightarrow {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle \ дельта ([х, у]) = [\ дельта (х), у] + [х, \ дельта (у)]}$

для всех . Внутреннее дифференцирование , связанное с каким - либо является сопряженным отображение определяется . (Это вывод как следствие тождества Якоби.) Внешние выводы - это выводы, которые не происходят из присоединенного представления алгебры Ли. Если это полупрост , каждый вывод является внутренним. ${\ displaystyle x, y \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x}}$${\ displaystyle \ mathrm {ad} _ {x} (y): = [x, y]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Выводы образуют векторное пространство , которое является подалгеброй Ли ; скоба коммутаторная. Внутренние дифференцирования образуют подалгебру Ли в . ${\ displaystyle \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}$${\ displaystyle \ mathrm {Der} ({\ mathfrak {g}})}$

Примеры

Например, если алгебра Ли идеал присоединенного представления о действиях , как внешние дифференцирования , поскольку для любого и . Для алгебры Ли верхнетреугольных матриц в она имеет идеал строго верхнетреугольных матриц (где единственные ненулевые элементы находятся над диагональю матрицы). Например, коммутатор элементов в и дает${\ Displaystyle {\ mathfrak {i}} \ subset {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {ad}} _ {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {i}}}$${\ Displaystyle [х, я] \ подмножество {\ mathfrak {я}}}$${\ displaystyle x \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle я \ ин {\ mathfrak {я}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (п)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {n}} _ {3}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} \ left [{\ begin {bmatrix} a & b & c \\ 0 & d & e \\ 0 & 0 & f \ end {bmatrix}}, {\ begin {bmatrix} 0 & x & y \\ 0 & 0 & z \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix} } \ right] & = {\ begin {bmatrix} 0 & ax & ay + bz \\ 0 & 0 & dz \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} - {\ begin {bmatrix} 0 & dx & ex + yf \\ 0 & 0 & fz \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ \ & = {\ begin {bmatrix} 0 & (ad) x & (af) y-ex + bz \\ 0 & 0 & (df) z \\ 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ end {align}}}$

показывает, что существуют внешние производные от in . ${\ displaystyle {\ mathfrak {b}} _ {3}}$${\ displaystyle {\ text {Der}} ({\ mathfrak {n}} _ {3})}$

Расщепленная алгебра Ли

Пусть V - конечномерное векторное пространство над полем F , алгебра Ли линейных преобразований и подалгебра Ли. Затем называется раскол , если корни характеристических полиномов всех линейных преобразований в в базовом поле F . В более общем смысле, конечномерная алгебра Ли называется расщепляемой, если в ней есть подалгебра Картана, образ которой при присоединенном представлении является расщепляемой алгеброй Ли. Сплит вещественная форма комплексной полупростой алгебры Ли (см #Real формы и комплексификация ) является примером разделенной алгебры Ли реальной. См. Также расщепленную алгебру Ли для получения дополнительной информации. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} \ substeq {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {ad}: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}$

Основа векторного пространства

Для практических вычислений часто бывает удобно выбрать явный базис в векторном пространстве алгебры. Общая конструкция для этой основы схематично представлена ​​в константах структуры изделия .

Определение с использованием теоретико-категориальных обозначений

Хотя приведенных выше определений достаточно для традиционного понимания алгебр Ли, как только это будет понято, можно будет получить дополнительное понимание, используя обозначения, общие для теории категорий , то есть путем определения алгебры Ли в терминах линейных отображений, т. Е. Морфизмов в категории векторных пространств -Без с учетом отдельных элементов. (В этом разделе предполагается , что поле, над которым определяется алгебра, имеет характеристику, отличную от двух.)

Для теоретико-категориального определения алгебр Ли необходимы два изоморфизма сплетения. Если A - векторное пространство, изоморфизм перестановки определяется формулой ${\ displaystyle \ tau: A \ otimes A \ to A \ otimes A}$

${\ Displaystyle \ тау (х \ время у) = у \ время х.}$

Циклическая перестановка-оплетка определяются как ${\ displaystyle \ sigma: A \ otimes A \ otimes A \ to A \ otimes A \ otimes A}$

${\ displaystyle \ sigma = (\ mathrm {id} \ otimes \ tau) \ circ (\ tau \ otimes \ mathrm {id}),}$

где - тождественный морфизм. Эквивалентно определяется как ${\ displaystyle \ mathrm {id}}$${\ displaystyle \ sigma}$

${\ displaystyle \ sigma (x \ otimes y \ otimes z) = y \ otimes z \ otimes x.}$

С помощью этих обозначений алгебру Ли можно определить как объект в категории векторных пространств вместе с морфизмом${\ displaystyle A}$

${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot]: A \ otimes A \ rightarrow A}$

который удовлетворяет двум равенствам морфизмов

${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ circ (\ mathrm {id} + \ tau) = 0,}$

а также

${\ displaystyle [\ cdot, \ cdot] \ circ ([\ cdot, \ cdot] \ otimes \ mathrm {id}) \ circ (\ mathrm {id} + \ sigma + \ sigma ^ {2}) = 0. }$

Примеры

Векторные пространства

Любое векторное пространство с тождественно нулевой скобкой Ли становится алгеброй Ли. Такие алгебры Ли называются абелевыми , ср. ниже. Любая одномерная алгебра Ли над полем абелева в силу альтернированности скобки Ли. ${\ displaystyle V}$

Ассоциативная алгебра с коммутаторной скобкой

• На ассоциативной алгебре над полем с умножением скобка Ли может быть определена коммутатором . С этой скобкой - алгебра Ли. Ассоциативная алгебра A называется обертывающей алгеброй алгебры Ли . Каждую алгебру Ли можно вложить в алгебру, возникающую таким образом из ассоциативной алгебры; см. универсальную обертывающую алгебру .${\ displaystyle A}$${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle (х, у) \ mapsto xy}$ ${\ Displaystyle [х, у] = ху-ух}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle (А, [\, \ cdot \ ,, \ cdot \,])}$
• Ассоциативная алгебра эндоморфизмов в качестве F -векторных пространства с выше скобками Ли обозначается .${\ displaystyle V}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$
• Для конечномерного векторного пространства предыдущий пример - это в точности алгебра Ли n × n матриц, обозначенных или , и со скобками, где смежность указывает на умножение матриц. Это алгебра Ли общей линейной группы , состоящей из обратимых матриц.${\ Displaystyle V = F ^ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (п, F)}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {п} (F)}$${\ Displaystyle [X, Y] = XY-YX}$

Специальные матрицы

Две важные подалгебры : ${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {п} (F)}$

• Матрицы нулевого следа образуют специальную линейную алгебру Ли, алгебру Ли специальной линейной группы .${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {п} (F)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} _ {п} (F)}$
• В косоэрмитах матриц образуют унитарную алгебру Ли , алгебру Ли унитарной группы U ( п ).${\ Displaystyle {\ mathfrak {u}} (п)}$ 

Матричные алгебры Ли

Комплексная матричная группа - это группа Ли, состоящая из матриц , где умножение G - это матричное умножение. Соответствующая алгебра Ли - это пространство матриц, которые являются касательными векторами к G внутри линейного пространства : оно состоит из производных гладких кривых в G в единице:${\ Displaystyle G \ подмножество M_ {п} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle M_ {п} (\ mathbb {C})}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} = \ {X = c '(0) \ in M_ {n} (\ mathbb {C}) \ \ mid \ {\ text {smooth}} c: \ mathbb {R } \ к G, \ c (0) = I \}.}$

Скобка Ли задается коммутатор матриц . Учитывая алгебру Ли, можно восстановить группу Ли как образ матричного экспоненциального отображения, определенного как , которое сходится для каждой матрицы : то есть ,. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle [X, Y] = XY-YX}$${\ displaystyle \ exp: M_ {n} (\ mathbb {C}) \ to M_ {n} (\ mathbb {C})}$${\ displaystyle \ exp (X) = I + X + {\ tfrac {1} {2!}} X ^ {2} + \ cdots}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle G = \ ехр ({\ mathfrak {g}})}$

Ниже приведены примеры алгебр Ли матричных групп Ли:

• Специальная линейная группа , состоящая из все п  х  п матриц с определителем 1. Ее алгеброй Ли состоит из все п  х  п матриц с комплексными элементами и следом 0. Аналогично можно определить соответствующие группы Ли и ее алгебру Ли .${\ Displaystyle {\ rm {SL}} _ {п} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {п} (\ mathbb {C})}$${\ Displaystyle {\ rm {SL}} _ {п} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {п} (\ mathbb {R})}$
• Унитарная группа состоит из п  ×  п унитарных матриц (удовлетворяющих ). Его алгебра Ли состоит из самосопряженных кососопряженных матриц ( ).${\ Displaystyle U (п)}$${\ Displaystyle U ^ {*} = U ^ {- 1}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {u}} (п)}$${\ displaystyle X ^ {*} = - X}$
• Специальная ортогональная группа , состоящая из вещественных ортогональных матриц с определителем единица ( ). Его алгебра Ли состоит из вещественных кососимметрических матриц ( ). Полная ортогональная группа без условия детерминант-единица состоит из отдельной компоненты связности, поэтому она имеет ту же алгебру Ли, что и . Точно так же можно определить сложную версию этой группы и алгебры, просто разрешив сложные матричные элементы.${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (п)}$${\ Displaystyle А ^ {\ mathrm {T}} = А ^ {- 1}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {так}} (п)}$${\ displaystyle X ^ {\ rm {T}} = - X}$${\ Displaystyle \ mathrm {O} (п)}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (п)}$${\ Displaystyle \ mathrm {SO} (п)}$

Два измерения

• На любом поле существует с точностью до изоморфизма единственная двумерная неабелева алгебра Ли. Для образующих x, y его скобка определяется как . Он генерирует аффинную группу в одном измерении .${\ displaystyle F}$${\ Displaystyle \ влево [х, у \ вправо] = у}$

Это можно реализовать с помощью матриц:

${\ displaystyle x = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ qquad y = \ left ({\ begin {array} {cc} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right).}$

С

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & c \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right) ^ {n + 1} = \ left ({\ begin {array} {cc} 1 & c \\ 0 & 0 \ end {array}} \ right)}$

для любого натурального числа и любого , видно, что результирующие элементы группы Ли являются верхнетреугольными матрицами 2 × 2 с единичной нижней диагональю: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle \ exp (a \ cdot {} x + b \ cdot {} y) = \ left ({\ begin {array} {cc} e ^ {a} & {\ tfrac {b} {a}} ( e ^ {a} -1) \\ 0 & 1 \ end {array}} \ right) = 1 + {\ tfrac {e ^ {a} -1} {a}} \ left (a \ cdot {} x + b \ cdot {} y \ right).}$

Три измерения

• Алгебра Гейзенберга является трехмерная алгебра Ли порождается элементами х , у и г с кронштейнами Ли${\ Displaystyle {\ rm {H}} _ {3} (\ mathbb {R})}$

${\ displaystyle [x, y] = z, \ quad [x, z] = 0, \ quad [y, z] = 0}$.

Обычно его реализуют как пространство строго верхнетреугольных матриц 3 × 3 с коммутаторной скобкой Ли и базисом

${\ displaystyle x = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad y = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad z = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) ~ . \ quad}$

Любой элемент группы Гейзенберга имеет представление в виде произведения образующих групп, т. Е. Матричных экспонент этих образующих алгебры Ли,

${\ displaystyle \ left ({\ begin {array} {ccc} 1 & a & c \\ 0 & 1 & b \\ 0 & 0 & 1 \ end {array}} \ right) = e ^ {by} e ^ {cz} e ^ {ax} ~.}$

• Алгебра Ли группы SO (3) натянута на три матрицы${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

${\ displaystyle F_ {1} = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad F_ {2} = \ left ({ \ begin {array} {ccc} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ - 1 & 0 & 0 \ end {array}} \ right), \ quad F_ {3} = \ left ({\ begin {array} {ccc} 0 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \ end {array}} \ right) ~. \ Quad}$

Коммутационные соотношения между этими генераторами следующие:

${\ displaystyle [F_ {1}, F_ {2}] = F_ {3},}$

${\ displaystyle [F_ {2}, F_ {3}] = F_ {1},}$

${\ displaystyle [F_ {3}, F_ {1}] = F_ {2}.}$

Трехмерное евклидово пространства со скобкой Ли , заданной поперечному продуктом из векторов имеют те же коммутационные соотношения, что и выше: таким образом, она изоморфна . Эта алгебра Ли унитарно эквивалентна обычным физическим операторам компонентного углового момента для частиц со спином 1 в квантовой механике .${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

Бесконечные измерения

• Важный класс бесконечномерных вещественных алгебр Ли возникает в дифференциальной топологии . Пространство гладких векторных полей на дифференцируемом многообразии M образует алгебру Ли, где скобка Ли определяется как коммутатор векторных полей . Одним из способов выражения скобки Ли является формализм производных Ли , который отождествляет векторное поле X с оператором в частных производных L _X первого порядка, действующим на гладкие функции, позволяя L _X ( f ) быть производной по направлению функции f в направление X . Скобка Ли [ X , Y ] двух векторных полей - это векторное поле, определяемое своим действием на функции по формуле:

${\ Displaystyle L _ {[X, Y]} f = L_ {X} (L_ {Y} f) -L_ {Y} (L_ {X} f). \,}$

• Алгебры Каца – Муди - это большой класс бесконечномерных алгебр Ли, структура которых очень похожа на конечномерные случаи, приведенные выше.
• Moyal алгебра является бесконечномерной алгеброй Ли , которая содержит все классические алгебры Ли как подалгебры.
• Алгебра Вирасоро имеет первостепенное значение в теории струн .

Представления

Определения

Учитывая векторное пространство V , пусть обозначит алгебру Ли , состоящую из всех линейных эндоморфизмов из V , с кронштейном заданным . Представление алгебры Ли на V является алгеброй Ли гомоморфизм ${\ Displaystyle {\ mathfrak {gl}} (V)}$${\ Displaystyle [X, Y] = XY-YX}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ pi: {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} (V).}$

Представление называется точным, если его ядро ​​равно нулю. Теорема Адо утверждает, что каждая конечномерная алгебра Ли имеет точное представление в конечномерном векторном пространстве.

Присоединенное представительство

Для любой алгебры Ли мы можем определить представление ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} \ двоеточие {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {gl}} ({\ mathfrak {g}})}$

предоставлено ; это представление в векторном пространстве, называемое присоединенным представлением . ${\ Displaystyle \ OperatorName {ad} (х) (у) = [х, у]}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Цели теории представлений

Одним из важных аспектов изучения алгебр Ли (особенно полупростых алгебр Ли) является изучение их представлений. (Действительно, большинство книг, перечисленных в разделе ссылок, посвящают значительную часть своих страниц теории представлений.) Хотя теорема Адо является важным результатом, основная цель теории представлений не состоит в том, чтобы найти точное представление данной алгебры Ли. . Действительно, в полупростом случае присоединенное представление уже точное. Скорее цель состоит в том, чтобы понять все возможные представления , вплоть до естественного понятия эквивалентности. В полупростом случае над полем нулевой характеристики теорема Вейля утверждает, что любое конечномерное представление является прямой суммой неприводимых представлений (тех, которые не имеют нетривиальных инвариантных подпространств). Неприводимые представления, в свою очередь, классифицируются теоремой старшего веса . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Теория представлений в физике

Теория представлений алгебр Ли играет важную роль в различных разделах теоретической физики. Там рассматриваются операторы в пространстве состояний, удовлетворяющие определенным естественным коммутационным соотношениям. Эти коммутационные соотношения обычно возникают из-за симметрии задачи - в частности, они являются соотношениями алгебры Ли соответствующей группы симметрии. Примером могут служить операторы углового момента , коммутационные соотношения которых соответствуют алгебре Ли группы вращений SO (3) . Обычно пространство состояний очень далеко от того, чтобы быть неприводимым под действием соответствующих операторов, но можно попытаться разложить его на неприводимые части. При этом нужно знать неприводимые представления данной алгебры Ли. При изучении квантового атома водорода , например, учебники по квантовой механике дают (не называя это так) классификацию неприводимых представлений алгебры Ли . ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3)}$

Теория строения и классификация

Алгебры Ли можно до некоторой степени классифицировать. В частности, это имеет приложение к классификации групп Ли.

Абелева, нильпотентная и разрешимая

Аналогично абелевым, нильпотентным и разрешимым группам, определенным в терминах производных подгрупп, можно определить абелевы, нильпотентные и разрешимые алгебры Ли.

Алгебра Ли является абелевой${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$если скобка Ли обращается в нуль, т.е. [ x , y ] = 0, для всех x и y в . Абелевы алгебры Ли соответствуют коммутативным (или абелевым ) связным группам Ли, таким как векторные пространства или торы , и все имеют форму, означающую n -мерное векторное пространство с тривиальной скобкой Ли. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {K} ^ {п}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {k}} ^ {n},}$

Более общий класс алгебр Ли определяется обращением в нуль всех коммутаторов данной длины. Алгебра Ли является нильпотентной , если нижний центральный ряд${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}> [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]> [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}], {\ mathfrak {g}}]> \ cdots}$

в конце концов становится равным нулю. По теореме Энгеля , алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда , когда для любого у в с присоединенной эндоморфизму${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle \ operatorname {ad} (u): {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}, \ quad \ operatorname {ad} (u) v = [u, v]}$

нильпотентен.

В более общем смысле алгебра Ли называется разрешимой, если производный ряд : ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}> [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]> [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{ \ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]]> [[[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak { g}}]], [[{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}], [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]]]> \ cdots}$

в конце концов становится равным нулю.

Каждая конечномерная алгебра Ли имеет единственный максимальный разрешимый идеал, называемый ее радикалом . При лиевском соответствии нильпотентные (соответственно разрешимые) связные группы Ли соответствуют нильпотентным (соответственно разрешимым) алгебрам Ли.

Простой и полупростой

Алгебра Ли « проста », если она не имеет нетривиальных идеалов и не является абелевой. (Отсюда следует, что одномерная - обязательно абелева - алгебра Ли по определению непроста, даже если у нее нет нетривиальных идеалов.) Алгебра Ли называется полупростой, если она изоморфна прямой сумме простых алгебр. Есть несколько эквивалентных характеризаций полупростых алгебр, таких как отсутствие ненулевых разрешимых идеалов. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Понятие полупростоты алгебр Ли тесно связано с полной сводимостью (полупростотой) их представлений. Когда основное поле F имеет нулевую характеристику , любое конечномерное представление полупростой алгебры Ли является полупростым (т. Е. Прямой суммой неприводимых представлений). В общем случае алгебра Ли называется редуктивной, если присоединенное представление полупросто. Таким образом, полупростая алгебра Ли редуктивна.

Критерий Картана

Критерий Картана дает условия для того, чтобы алгебра Ли была нильпотентной, разрешимой или полупростой. Он основан на представлении о форме Киллинга , в симметричной билинейной форме на определяются по формуле ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

${\ Displaystyle К (и, v) = \ OperatorName {tr} (\ Operatorname {ad} (u) \ OperatorName {ad} (v)),}$

где tr обозначает след линейного оператора . Алгебра Ли полупроста тогда и только тогда, когда форма Киллинга невырождена . Алгебра Ли разрешима тогда и только тогда, когда${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle K ({\ mathfrak {g}}, [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]) = 0.}$

Классификация

Разложение Леви выражает произвольную алгебру Ли как полупрямая сумма из ее разрешимого радикала и полупростая алгебра Ли, почти каноническим образом. (Такое разложение существует для конечномерной алгебры Ли над полем нулевой характеристики.) Кроме того, полупростые алгебры Ли над алгебраически замкнутым полем полностью классифицированы по их корневым системам .

Отношение к группам Ли

Хотя алгебры Ли часто изучаются сами по себе, исторически они возникли как средство изучения групп Ли .

Кратко опишем связь между группами Ли и алгебрами Ли. Любая группа Ли порождает канонически детерминированную алгебру Ли (конкретно касательное пространство в единице ). Наоборот, для любой конечномерной алгебры Ли существует соответствующая связная группа Ли с алгеброй Ли . Это третья теорема Ли ; см. формулу Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа . Эта группа Ли не определена однозначно; однако любые две группы Ли с одной и той же алгеброй Ли локально изоморфны и, в частности, имеют одно и то же универсальное покрытие . Например, специальная ортогональная группа SO (3) и специальная унитарная группа SU (2) порождают одну и ту же алгебру Ли, которая изоморфна перекрестному произведению, но SU (2) является односвязным двумерным покрытием СО (3). ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

Однако, если мы рассматриваем односвязные группы Ли, у нас есть взаимно однозначное соответствие: для каждой (конечномерной вещественной) алгебры Ли существует единственная односвязная группа Ли с алгеброй Ли . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Соответствие между алгебрами Ли и группами Ли используется по-разному, включая классификацию групп Ли и связанный с этим вопрос теории представлений групп Ли. Каждое представление алгебры Ли однозначно поднимается до представления соответствующей связной односвязной группы Ли, и, наоборот, каждое представление любой группы Ли индуцирует представление алгебры Ли группы; представления находятся во взаимно однозначном соответствии. Следовательно, знание представлений алгебры Ли решает вопрос о представлениях группы.

Что касается классификации, можно показать, что любая связная группа Ли с данной алгеброй Ли изоморфна универсальному покрытию по модулю дискретной центральной подгруппы. Таким образом, классификация групп Ли становится просто вопросом подсчета дискретных подгрупп центра , если классификация алгебр Ли известна (решена Картаном и др. В полупростом случае).

Если алгебра Ли бесконечномерна, проблема более тонкая. Во многих случаях экспоненциальное отображение даже не является локально гомеоморфизмом (например, в Diff ( S ¹ ) можно найти диффеоморфизмы, сколь угодно близкие к тождеству, которых нет в образе exp). Более того, некоторые бесконечномерные алгебры Ли не являются алгеброй Ли какой-либо группы.

Реальная форма и сложность

Учитывая сложную алгебру Ли , вещественная алгебра Ли называется быть реальной формой в случае , если комплексификация изоморфна . Настоящая форма не обязательно должна быть уникальной; например, имеет две реальные формы и . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {0} \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} \ simeq {\ mathfrak {g}}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {2} \ mathbb {R}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {su}} _ {2}}$

Для полупростой конечномерной комплексной алгебры Ли ее расщепляемая форма является действительной формой, которая расщепляется; т. е. он имеет подалгебру Картана, которая действует через присоединенное представление с действительными собственными значениями. Расщепленная форма существует и единственна (с точностью до изоморфизмов). Компактная форма является вещественной формой , которая является алгеброй Ли компактной группы Ли. Компактная форма существует и также уникальна. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Алгебра Ли с дополнительными структурами

Алгебру Ли можно снабдить некоторыми дополнительными структурами, которые считаются совместимыми со скобкой. Например, градуированная алгебра Ли - это алгебра Ли с градуированной структурой векторного пространства. Если он также идет с дифференциалом (так что лежащее в основе градуированное векторное пространство является цепным комплексом ), то оно называется дифференциальной градуированной алгеброй Ли .

Симплициальная алгебра Ли является симплициальным объектом в категории алгебр Ли; другими словами, он получается заменой основного набора симплициальным набором (так что его лучше рассматривать как семейство алгебр Ли).

Кольцо лжи

Кольцо Ли возникает как обобщение алгебр Ли, или через изучение нижнего центрального ряда из групп . Кольцо Ли определяется как неассоциативное кольцо с антикоммутативным умножением, удовлетворяющим тождеству Якоби . Более конкретно, мы можем определить кольцо Ли как абелеву группу с операцией, которая имеет следующие свойства: ${\ displaystyle L}$${\ Displaystyle [\ cdot, \ cdot]}$

• Билинейность:

${\ Displaystyle [x + y, z] = [x, z] + [y, z], \ quad [z, x + y] = [z, x] + [z, y]}$

для всех х , у , г ∈ L .

• Тождество Якоби :

${\ Displaystyle [х, [y, z]] + [y, [z, x]] + [z, [x, y]] = 0 \ quad}$

для всех х , у , г в L .

• Для всех x в L :

${\ Displaystyle [х, х] = 0 \ квад}$

Кольца Ли не обязательно должны быть добавляемыми группами Ли . Любая алгебра Ли является примером кольца Ли. Любое ассоциативное кольцо можно превратить в кольцо Ли, задав оператор скобки . Обратно любой алгебре Ли существует соответствующее кольцо, называемое универсальной обертывающей алгеброй . ${\ Displaystyle [х, у] = ху-ух}$

Кольца Ли используются при изучении конечных p-групп через соответствие Лазара . Нижние центральные факторы в р -группа является конечной абелев р -группой, так модулей над Z / р Z . Прямая сумма нижних центральных факторов задает структуру кольца Ли, определяя скобку как коммутатор двух представителей смежного класса. Структура кольца Ли обогащена другим гомоморфизмом модулей, отображением степени p , что делает ассоциированное кольцо Ли так называемым ограниченным кольцом Ли.

Кольца Ли также полезны при определении p-адических аналитических групп и их эндоморфизмов при изучении алгебр Ли над кольцами целых чисел, таких как целые p-адические числа . Определение конечных групп лиева типа из-за Шевалле включает ограничение от алгебры Ли над комплексными числами до алгебры Ли над целыми числами, а затем сокращение по модулю p, чтобы получить алгебру Ли над конечным полем.

Примеры

• Любая алгебра Ли над общим кольцом вместо поля является примером кольца Ли. Кольца Ли не являются присоединяемыми группами Ли , несмотря на название.
• Любое ассоциативное кольцо можно превратить в кольцо Ли, задав скобочный оператор

${\ Displaystyle [х, у] = ху-ух.}$

• В качестве примера кольца Ли, возникающего из изучения групп , пусть будет группа с операцией коммутатора, и пусть будет центральная серия в - т.е. коммутаторная подгруппа содержится в для любого . потом${\ displaystyle G}$${\ Displaystyle [х, у] = х ^ {- 1} у ^ {- 1} ху}$${\ Displaystyle G = G_ {0} \ supseteq G_ {1} \ supseteq G_ {2} \ supseteq \ cdots \ supseteq G_ {n} \ supseteq \ cdots}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle [G_ {i}, G_ {j}]}$${\ Displaystyle G_ {я + j}}$${\ displaystyle i, j}$

${\ Displaystyle L = \ bigoplus G_ {i} / G_ {я + 1}}$

является кольцом Ли со сложением, обеспечиваемым групповой операцией (которая является абелевой в каждой однородной части), а операция скобки задается формулой

${\ Displaystyle [xG_ {i}, yG_ {j}] = [x, y] G_ {i + j} \}$

продлен линейно. Центральность ряда гарантирует, что коммутатор придает скобочной операции соответствующие теоретические свойства Ли.${\ Displaystyle [х, у]}$

Смотрите также

Замечания

использованная литература

Источники

• Бельтицэ, Даниэль (2006). Гладкие однородные структуры в теории операторов . Монографии и обзоры CRC по чистой и прикладной математике. 137 . CRC Press. ISBN 978-1-4200-3480-6. Руководство по ремонту  2188389 .
• Боза, Луис; Fedriani, Eugenio M .; Нуньес, Хуан (01.06.2001). «Новый метод классификации комплексных филиформных алгебр Ли». Прикладная математика и вычисления . 121 (2–3): 169–175. DOI : 10.1016 / s0096-3003 (99) 00270-2 . ISSN  0096-3003 .
• Бурбаки, Николас (1989). Группы Ли и алгебры Ли: главы 1-3 . Springer. ISBN 978-3-540-64242-8.
• Эрдманн, Карин и Вильдон, Марк. Введение в алгебры Ли , 1-е издание, Springer, 2006. ISBN  1-84628-040-0
• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для выпускников по математике , Чтения по математике. 129 . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8. Руководство по ремонту  1153249 . OCLC  246650103 .
• Холл, Брайан К. (2015). Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение . Тексты для выпускников по математике. 222 (2-е изд.). Springer. DOI : 10.1007 / 978-3-319-13467-3 . ISBN 978-3319134666. ISSN  0072-5285 .
• Hofmann, Karl H .; Моррис, Сидней А (2007). Теория Ли связных пролиевых групп . Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-032-6.
• Хамфрис, Джеймс Э. (1978). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для выпускников по математике. 9 (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7.
• Джейкобсон, Натан (1979) [1962]. Алгебры Ли . Дувр. ISBN 978-0-486-63832-4.
• Кац, Виктор Г .; и другие. Примечания к курсу для MIT 18.745: Введение в алгебры Ли . Архивировано 20 апреля 2010 года.CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
• Мубаракзянов Г.М. (1963). «О разрешимых алгебрах Ли» . Изв. Выс. Учеб. Завед. Математика . 1 (32): 114–123. Руководство по ремонту  0153714 . Zbl  0166.04104 .
• О'Коннор, Джей Джей ; Робертсон, EF (2000). «Биография Софуса Ли» . Архив истории математики MacTutor.
• О'Коннор, Джей Джей; Робертсон, EF (2005). «Биография Вильгельма Киллинга» . Архив истории математики MacTutor.
• Попович, РО; Бойко ВМ; Нестеренко, М.О .; Лутфуллин, МВт; и другие. (2003). «Реализации вещественных алгебр Ли малой размерности». J. Phys. A: Математика. Gen . 36 (26): 7337–60. arXiv : math-ph / 0301029 . Bibcode : 2003JPhA ... 36.7337P . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 36/26/309 . S2CID  9800361 .
• Серр, Жан-Пьер (2006). Алгебры Ли и группы Ли (2-е изд.). Springer. ISBN 978-3-540-55008-2.
• Стиб, Вилли-Ханс (2007). Непрерывные симметрии, алгебры Ли, дифференциальные уравнения и компьютерная алгебра (2-е изд.). World Scientific. DOI : 10,1142 / 6515 . ISBN 978-981-270-809-0. Руководство по ремонту  2382250 .
• Варадараджан, Вееравалли С. (2004). Группы Ли, алгебры Ли и их представления (1-е изд.). Springer. ISBN 978-0-387-90969-1.

внешние ссылки

• "Алгебра Ли" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Маккензи, Дуглас (2015). "Элементарное введение в алгебры Ли для физиков" .