Икозианское исчисление - Icosian calculus

Икосианы является некоммутативной алгебраической структурой обнаружена ирландским математика Уильяма Роуэна Гамильтон в 1856. В современных условиях, он дал группу представления о икосаэдре группы вращений по генераторам и отношениям.

Открытие Гамильтона произошло из его попыток найти алгебру «троек» или трех кортежей, которые, по его мнению, отражали бы три декартовых оси . Символы икозианского исчисления можно приравнять к движениям между вершинами додекаэдра . Работа Гамильтона в этой области косвенно привела к появлению терминов гамильтонова схема и гамильтонов путь в теории графов. Он также изобрел икозианскую игру как средство иллюстрации и популяризации своего открытия.

Неформальное определение

Стереографическая проекция додекаэдра, используемая в икозианской игре Гамильтона

Алгебра основана на трех символах, каждый из которых является корнем из единицы , в том смысле , что повторное применение любого из них дает значение 1 после определенного количества шагов. Они есть:

{\ displaystyle {\ begin {align} \ iota ^ {2} & = 1, \\\ kappa ^ {3} & = 1, \\\ lambda ^ {5} & = 1. \ end {align}}}

Гамильтон также приводит еще одно соотношение между символами:

{\ Displaystyle \ лямбда = \ йота \ каппа.}

(Говоря современным языком, это группа треугольников (2,3,5) .)

Операция ассоциативна, но не коммутативна . Они порождают группу порядка 60, изоморфную группе вращений правильного икосаэдра или додекаэдра и, следовательно, переменной группе пятой степени.

Хотя алгебра существует как чисто абстрактная конструкция, ее легче всего визуализировать в терминах операций на ребрах и вершинах додекаэдра. Сам Гамильтон использовал уплощенный додекаэдр в качестве основы для своей обучающей игры.

Представьте себе насекомое, ползающее по определенному краю помеченного додекаэдра Гамильтона в определенном направлении, скажем, от до . Мы можем обозначить это направленное ребро как . ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle BC}$

Геометрическая иллюстрация операции йота в икозианском исчислении

Икозианский символ означает изменение направления на любом краю, поэтому насекомое ползет от к (следуя направленному краю ). ${\ displaystyle \ iota}$ ${\ displaystyle C}$ ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle CB}$
Икозианский символ означает вращение текущего пути насекомого против часовой стрелки вокруг конечной точки. В нашем примере это будет означать изменение начального направления, чтобы стать . ${\ displaystyle \ kappa}$ ${\ displaystyle BC}$ ${\ displaystyle DC}$
Икозианский символ означает поворот направо в конечной точке, переход от к . ${\ displaystyle \ lambda}$ ${\ displaystyle BC}$ ${\ displaystyle CD}$