G ₂ (математика) -G₂ (mathematics)

Алгебраическая структура → Теория групп Теория групп
Основные понятия Подгруппа Нормальная подгруппа Факторная группа (Полу) прямой продукт Групповые гомоморфизмы ядро изображение прямая сумма венок просто конечный бесконечный непрерывный мультипликативный добавка циклический абелевский двугранный нильпотентный разрешимый действие Глоссарий теории групп Список тем теории групп
Конечные группы Классификация конечных простых групп циклический чередование Тип лжи спорадический Теорема Коши Теорема Лагранжа Теоремы Силова Теорема холла p-группа Элементарная абелева группа Группа Фробениуса Множитель Шура Симметричная группа S n Кляйн четыре группы V Группа диэдра D n Группа кватернионов Q Дициклическая группа Dic n
Дискретные группы Решетки Целые числа ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Бесплатная группа Модульные группы PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Арифметическая группа Решетка Гиперболическая группа
Топологические группы и группы Ли Соленоид Круг Общая линейная GL ( n ) Специальная линейная SL ( n ) Ортогональный O ( n ) Евклидова E ( n ) Специальный ортогональный SO ( n ) Унитарный U ( n ) Специальная унитарная СУ ( п ) Симплектический Sp ( n ) G 2 П 4 E 6 E 7 E 8 Лоренц Пуанкаре Конформный Диффеоморфизм Петля Бесконечномерная группа Ли O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Алгебраические группы Линейная алгебраическая группа Редуктивная группа Абелева разновидность Эллиптическая кривая
v т е

Группы Ли
Классические группы
Простые группы Ли Классический А п B n C n D n Исключительный G 2 П 4 E 6 E 7 E 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидово
Алгебры Ли
Полупростая алгебра Ли
Теория представлений
Группы Ли в физике
Ученые Софус Ли Анри Пуанкаре Вильгельм Киллинг Эли Картан Герман Вейль Клод Шевалле Хариш-Чандра Арман Борель
Глоссарий Таблица групп Ли
v т е

В математике , G ₂ это имя из трех простых групп Ли (сложная форма, компактная вещественная форма и раскол реальной формы), их алгебры Ли , а также некоторых алгебраических групп . Они являются наименьшими из пяти исключительных простых групп Ли . G ₂ имеет ранг 2 и размерность 14. Он имеет два основных представления с размерностью 7 и 14. ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2},}$

Компактная форма G ₂ может быть описана как группа автоморфизмов из октонионов алгебры или, что то же самое, как подгруппа SO (7) , который сохраняет любой конкретный вектор выбран в 8-мерного реального спинорном представления (а спина представления ).

История

Алгебра Ли , являющаяся наименьшей исключительной простой алгеброй Ли, была первой из них, обнаруженной при попытке классификации простых алгебр Ли. 23 мая 1887 года Вильгельм Киллинг написал письмо Фридриху Энгелю, в котором сообщил , что он открыл 14-мерную простую алгебру Ли, которую мы теперь называем . ${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}$

В 1893 году Эли Картан опубликовал заметку, описывающую открытое множество, снабженное двумерным распределением, т. Е. Плавно меняющимся полем двумерных подпространств касательного пространства, для которого алгебра Ли появляется как бесконечно малые симметрии. В том же году в том же журнале Энгель заметил то же самое. Позже было обнаружено, что двумерное распределение тесно связано с качением шара по другому шару. Пространство конфигураций катящегося шара является 5-мерным, с 2-мерным распределением, которое описывает движения шара, при котором он катится без проскальзывания или скручивания. ${\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {5}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {g}} _ {2}}$

В 1900 году Энгель обнаружил, что антисимметричная трилинейная форма (или 3-форма) общего вида на 7-мерном комплексном векторном пространстве сохраняется группой, изоморфной комплексной форме G ₂ .

В 1908 году Картан упомянул, что группа автоморфизмов октонионов является 14-мерной простой группой Ли. В 1914 году он заявил, что это компактная действительная форма G ₂ .

В старых книгах и статьях G ₂ иногда обозначается E ₂ .

Реальные формы

С этой корневой системой связаны 3 простые вещественные алгебры Ли:

• Основная вещественная алгебра Ли комплексной алгебры Ли G ₂ имеет размерность 28. Она имеет комплексное сопряжение как внешний автоморфизм и односвязна. Максимальная компактная подгруппа ассоциированной с ней группы - это компактная форма G ₂ .
• Алгебра Ли компактной формы 14-мерна. Ассоциированная группа Ли не имеет внешних автоморфизмов, центра, односвязна и компактна.
• Алгебра Ли некомпактной (расщепленной) формы имеет размерность 14. Ассоциированная простая группа Ли имеет фундаментальную группу порядка 2, а ее группа внешних автоморфизмов является тривиальной группой. Его максимальная компактная подгруппа - это SU (2) × SU (2) / (- 1, −1) . Он имеет неалгебраическое двойное односвязное покрытие.

Алгебра

Диаграмма Дынкина и матрица Картана

Диаграмма Дынкина для G ₂ задаются .

Его матрица Картана :

${\ displaystyle \ left [{\ begin {array} {rr} 2 & -3 \\ - 1 & 2 \ end {array}} \ right]}$

Корни G ₂

Корневая система из 12 векторов G 2 в 2 измерениях.

Проекция на плоскость Кокстера A 2 12 вершин кубооктаэдра содержит такое же расположение двумерных векторов.

График G2 как подгруппы F4 и E8 в проекции на плоскость Кокстера

Хотя они охватывают двумерное пространство, как показано на рисунке, гораздо более симметрично рассматривать их как векторы в двумерном подпространстве трехмерного пространства.

(1, −1,0), (−1,1,0) (1,0, −1), (−1,0,1) (0,1, −1), (0, −1,1)

(2, −1, −1), (−2,1,1) (1, −2,1), (−1,2, −1) (1,1, −2), (−1, −1,2)

Один набор простых корней для является:

(0,1, −1), (1, −2,1)

Группа Вейля / Кокстера

Его Вейль / Косетер группа является группой диэдра , из порядка 12. Он имеет минимальную степень верного . ${\ Displaystyle G = W (G_ {2})}$${\ displaystyle D_ {6}}$${\ Displaystyle \ му (G) = 5}$

Специальная голономия

G ₂ - одна из возможных специальных групп, которые могут появиться как группа голономии римановой метрики . В коллекторах из G ₂ голономии также называют гайанские ₂ -многообразий .

Полиномиальный инвариант

G ₂ - группа автоморфизмов следующих двух многочленов от 7 некоммутативных переменных.

${\ displaystyle C_ {1} = t ^ {2} + u ^ {2} + v ^ {2} + w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}$

${\ Displaystyle C_ {2} = tuv + wtx + ywu + zyt + vzw + xvy + uxz}$ (± перестановки)

которое происходит от алгебры октонионов. Переменные должны быть некоммутативными, иначе второй многочлен будет тождественно равен нулю.

Генераторы

Добавление представления 14 генераторов с коэффициентами A , ...,  N дает матрицу:

${\ displaystyle A \ lambda _ {1} + \ cdots + N \ lambda _ {14} = {\ begin {bmatrix} 0 & C & -B & E & -D & -G & F-M \\ - C & 0 & A & F & -G + N & D-K & -EL \ \ B & -A & 0 & -N & M & L & -K \\ - E & -F & N & 0 & -A + H & -B + I & C-J \\ D & G-N & -M & A-H & 0 & J & I \\ G & K-D & -L & B-I & -J & 0 & -H \\ - F + M & E + L & K & -C + J & -I & H & 0 \ end {bmatrix}}}$

Это в точности алгебра Ли группы

${\ displaystyle G_ {2} = \ {g \ in SO (7): g ^ {*} \ varphi = \ varphi, \ varphi = \ omega ^ {123} + \ omega ^ {145} + \ omega ^ { 167} + \ omega ^ {246} - \ omega ^ {257} - \ omega ^ {347} - \ omega ^ {356} \}}$

Представления

Характеры конечномерных представлений вещественных и комплексных алгебр Ли и групп Ли задаются формулой характера Вейля . Размеры наименьших неприводимых представлений (последовательность A104599 в OEIS ):

1, 7, 14, 27, 64, 77 (дважды), 182, 189, 273, 286, 378, 448, 714, 729, 748, 896, 924, 1254, 1547, 1728, 1729, 2079 (дважды), 2261, 2926, 3003, 3289, 3542, 4096, 4914, 4928 (дважды), 5005, 5103, 6630, 7293, 7371, 7722, 8372, 9177, 9660, 10206, 10556, 11571, 11648, 12096, 13090….

14-мерное представление - присоединенное представление , а 7-мерное - действие G ₂ на мнимые октонионы.

Есть два неизоморфных неприводимых представления размерностей 77, 2079, 4928, 30107 и т. Д. Фундаментальные представления - это те, которые имеют размерности 14 и 7 (соответствующие двум узлам на диаграмме Дынкина в таком порядке, что тройная стрелка указывает от от первого ко второму).

Воган (1994) описал (бесконечномерные) унитарные неприводимые представления расщепленной вещественной формы G ₂ .

Конечные группы

Группа G ₂ ( q ) - это точки алгебраической группы G ₂ над конечным полем F _q . Эти конечные группы были впервые введены Леонардом Юджином Диксоном в Диксоне (1901 г.) для нечетных q и Диксоном (1905 г.) для четных q . Порядок G ₂ ( q ) равен q ⁶ ( q ⁶ - 1) ( q ² - 1) . Когда q ≠ 2 , группа проста , а когда q = 2 , она имеет простую подгруппу индекса 2, изоморфную ² A ₂ (3 ² ), и является группой автоморфизмов максимального порядка октонионов. Группа Янко J ₁ была впервые построена как подгруппа в G ₂ (11). Ри (1960) ввел скрученные группы Ри ² G ₂ ( q ) порядка q ³ ( q ³ + 1) ( q - 1) для q = 3 ^{2 n +1} , нечетной степени 3.

Смотрите также

• Матрица Картана
• Диаграмма Дынкина
• Исключительная йорданова алгебра
• Фундаментальное представление
• G ₂ -конструкция
• Группа Ли
• Семимерное перекрестное произведение
• Простая группа Ли

использованная литература

• Адамс, Дж. Франк (1996), Лекции по исключительным группам Ли , Чикагские лекции по математике, University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-00526-3, Руководство по ремонту  1428422
• Баэз, Джон (2002), «Octonions», Bull. Амер. Математика. Soc. , 39 (2): 145–205, arXiv : math / 0105155 , doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00934-X.

См. Раздел 4.1: G ₂ ; онлайн-версия HTML доступна по адресу http://math.ucr.edu/home/baez/octonions/node14.html .

• Брайант, Роберт (1987), "Метрика с исключительной голономией", Анналы математики , 2, 126 (3): 525-576, DOI : 10,2307 / 1971360 , JSTOR  1971360
• Dickson, Леонард Евгений (1901), "Теория линейных групп в произвольном поле", Труды Американского математического общества , Providence, RI: Американское математическое общество , 2 (4): 363-394, DOI : 10,1090 / S0002-9947 -1901-1500573-3 , ISSN  0002-9947 , JSTOR  1986251 , перепечатано во II томе его собрания статей.Леонард Э. Диксон сообщил о группах типа G ₂ в полях нечетной характеристики.
• Диксон, Л. Е. (1905), "Новая система простых групп" , Math. Аня. , 60 : 137-150, DOI : 10.1007 / BF01447497Леонард Э. Диксон сообщил о группах типа G ₂ в полях с четными характеристиками.
• Ree, Rimhak (1960), "Семейство простых групп , связанных с простой алгеброй Ли типа (G ₂ )", Бюллетень Американского математического общества , 66 (6): 508-510, DOI : 10,1090 / S0002-9904 -1960-10523-X , ISSN  0002-9904 , MR  0125155
• Воган, Дэвид А. младший (1994), "Унитарная сопряженное G ₂ ", Inventiones Mathematicae , 116 (1): 677-791, Bibcode : 1994InMat.116..677V , DOI : 10.1007 / BF01231578 , ISSN  0020- 9910 , Руководство по ремонту  1253210