Алгебраическая структура - Algebraic structure
Алгебраические структуры |
---|
В математике , алгебраическая структура состоит из непустого множества А ( так называемый базовый набором , установленный носителем или домен ), совокупность операций по А конечной арности ( как правило , бинарные операции ), а также конечное множество идентичностей , известных как аксиомы , что эти операции должны удовлетворять.
Алгебраическая структура может быть основана на других алгебраических структурах с операциями и аксиомами, включающими несколько структур. Например, векторное пространство включает в себя вторую структуру, называемую полем , и операцию, называемую скалярным умножением между элементами поля (называемыми скалярами ) и элементами векторного пространства (называемыми векторами ).
В контексте универсальной алгебры множество A с этой структурой называется алгеброй , в то время как в других контекстах оно (несколько двусмысленно) называется алгебраической структурой , причем термин алгебра зарезервирован для конкретных алгебраических структур, которые являются векторными пространствами над поле или модули над коммутативным кольцом .
Свойства конкретных алгебраических структур изучаются в абстрактной алгебре . Общая теория алгебраических структур формализована в универсальной алгебре. Язык теории категорий используется для выражения и изучения отношений между различными классами алгебраических и неалгебраических объектов. Это связано с тем, что иногда можно найти сильные связи между некоторыми классами объектов, иногда разных типов. Например, теория Галуа устанавливает связь между определенными полями и группами: двумя алгебраическими структурами разного типа.
Вступление
Сложение и умножение действительных чисел - это типичные примеры операций, которые объединяют два элемента набора для создания третьего элемента набора. Эти операции подчиняются нескольким алгебраическим законам. Например, a + ( b + c ) = ( a + b ) + c и a ( bc ) = ( ab ) c как ассоциативные законы . Также a + b = b + a и ab = ba в качестве законов коммутативности. Многие системы, изучаемые математиками, имеют операции, которые подчиняются некоторым, но не обязательно всем, законам обычной арифметики. Например, повороты объекта в трехмерном пространстве могут быть объединены, например, путем выполнения первого поворота объекта и последующего применения к нему второго поворота в его новой ориентации, сделанного предыдущим поворотом. Вращение как операция подчиняется ассоциативному закону, но может не удовлетворять коммутативному закону.
Математики дают имена множествам с одной или несколькими операциями, которые подчиняются определенному набору законов, и изучают их абстрактно как алгебраические структуры. Когда можно показать, что новая проблема подчиняется законам одной из этих алгебраических структур, вся работа, которая была проделана с этой категорией в прошлом, может быть применена к новой проблеме.
Вообще говоря, алгебраические структуры могут включать произвольный набор операций, включая операции, которые объединяют более двух элементов ( операции с более высокой степенью арности ), и операции, которые принимают только один аргумент ( унарные операции ). Примеры, использованные здесь, ни в коем случае не являются полным списком, но они предназначены для того, чтобы быть репрезентативным списком и включать наиболее распространенные структуры. Более длинные списки алгебраических структур можно найти во внешних ссылках и в разделе Категория: Алгебраические структуры . Структуры перечислены в приблизительном порядке возрастания сложности.
Примеры
Один комплект с операциями
Простые структуры : без бинарных операций :
- Набор : вырожденная алгебраическая структура S , не имеющая операций.
- Заостренный набор : S имеет один или несколько выделенных элементов, часто 0, 1 или оба.
- Одинарная система: S и одна унарная операция над S .
- Остроконечная унарная система : унарная система с S точечным множеством.
Групповые структуры : одна бинарная операция. Двоичная операция может быть обозначена любым символом или без символа (сопоставление), как это делается для обычного умножения действительных чисел.
- Магма или группоид : S и один бинарная операция над S .
- Полугруппа : ассоциативная магма.
- Моноид : полугруппа с элементом идентичности .
- Группа : моноид с унарной операцией (инверсией), порождающей инверсные элементы .
- Абелева группа : группа, бинарная операция которой коммутативна .
- Полурешетка : полугруппа, операция которой идемпотентна и коммутативна. Бинарную операцию можно назвать либо встречей, либо соединением .
- Квазигруппа : магма, подчиняющаяся свойству латинского квадрата. Квазигруппа также может быть представлена с помощью трех бинарных операций.
- Петля : квазигруппа с идентичностью .
Кольцеобразные структуры или рингоиды : две бинарные операции, часто называемые сложением и умножением , с распределением умножения поверх сложения.
- Полукольцо : рингоид такой, что S является моноидом относительно каждой операции. Обычно предполагается, что сложение является коммутативным и ассоциативным, и предполагается, что моноидное произведение распределяется по сложению с обеих сторон, а аддитивная единица 0 является поглощающим элементом в том смысле, что 0 x = 0 для всех x .
- Почти кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является (не обязательно абелевой) группой.
- Кольцо : полукольцо, аддитивный моноид которого является абелевой группой.
- Кольцо Ли : рингоид, аддитивный моноид которого является абелевой группой, но мультипликативная операция которого удовлетворяет тождеству Якоби, а не ассоциативности.
- Коммутативное кольцо : кольцо, в котором операция умножения коммутативна.
- Булево кольцо : коммутативное кольцо с идемпотентной операцией умножения.
- Поле : коммутативное кольцо, которое содержит мультипликативный обратный для каждого ненулевого элемента.
- Алгебры Клини : полукольцо с идемпотентным сложением и унарной операцией, звезда Клини , удовлетворяющая дополнительным свойствам.
- * -алгебра : кольцо с дополнительной унарной операцией (*), удовлетворяющее дополнительным свойствам.
Структуры решетки : две или более бинарных операций, включая операции, называемые встречей и объединением , связанные законом поглощения .
- Полная решетка : решетка, в которой существуют произвольные пересечения и соединения .
- Ограниченная решетка : решетка с наибольшим и наименьшим элементами.
- Дополненная решетка : ограниченная решетка с унарной операцией дополнения, обозначается постфиксом ⊥ . Соединение элемента с его дополнением - это наибольший элемент, а встреча двух элементов - наименьший элемент.
- Модульная решетка : решетка, элементы которой удовлетворяют дополнительному модульному тождеству .
- Распределительная решетка : решетка, в которой каждый из встречных и соединенных распределяется по другому. Распределительные решетки модульны, но обратное неверно.
- Булева алгебра : дополненная дистрибутивная решетка. Либо встреча, либо присоединение может быть определено с точки зрения другого и дополнения. Можно показать, что это эквивалентно кольцевой структуре с тем же именем, приведенной выше.
-
Алгебра Гейтинга : ограниченная дистрибутивная решетка с добавленной бинарной операцией, относительным псевдодополнением , обозначается infix → и регулируется аксиомами:
- х → х = 1
- х ( х → у ) = х у
- у ( х → у ) = у
- х → ( y z ) = ( x → y ) ( x → z )
Арифметика : две бинарные операции , сложение и умножение. S - бесконечное множество . Арифметика - это точечные унарные системы, унарная операция которых является инъективным преемником , и с выделенным элементом 0.
- Арифметика Робинсона . Сложение и умножение рекурсивно определяются с помощью преемника. 0 - это единичный элемент для сложения и аннулирует умножение. Арифметика Робинсона указана здесь, хотя она и является разновидностью из-за ее близости к арифметике Пеано.
- Арифметика Пеано . Робинсон арифметика с аксиомой схемы по индукции . Большинство аксиом колец и полей, имеющих отношение к свойствам сложения и умножения, являются теоремами арифметики Пеано или ее собственными расширениями.
Два набора с операциями
Модульные структуры: составные системы, включающие два набора и использующие как минимум две бинарные операции.
- Группа с операторами : группа G с множеством Ω и бинарной операцией Ω × G → G, удовлетворяющей некоторым аксиомам.
- Модуль : абелева группа М и кольцо R , действующее в качестве операторов на М . Члены R иногда называют скалярами , а бинарная операция скалярного умножения - это функция R × M → M , которая удовлетворяет нескольким аксиомам. С учетом кольцевых операций эти системы имеют не менее трех операций.
- Векторное пространство : модуль, в котором кольцо R является телом или полем .
- Градуированное векторное пространство : векторное пространство с разложением прямой суммы, разбивающее пространство на «оценки».
- Квадратичные пространство : векторное пространство V над полем F с квадратичной формой на V со значениями в F .
Алгебра -подобных структур : сложная системаопределенная над двумя наборами, кольцо R и R - модуль M оснащен операции под названием умножения. Это можно рассматривать как систему с пятью бинарными операциями: две операции на R , два на М и одинучастием как R и M .
- Алгебра над кольцом (также R-алгебра ): модуль над коммутативным кольцом R , который также несет операцию умножения, совместимую со структурой модуля. Это включает в себя дистрибутивности относительно сложения и линейности относительно умножения на элементы из R . Особенно хорошо развита теория алгебры над полем .
- Ассоциативная алгебра : алгебра над кольцом, в которой умножение ассоциативно .
- Неассоциативная алгебра : модуль над коммутативным кольцом, снабженный операцией умножения колец, которая не обязательно ассоциативна. Часто ассоциативность заменяется другой идентичностью, например чередованием , тождеством Якоби или тождеством Джордана .
- Коалгебра : векторное пространство с «коумножением», определенным вдвойне по отношению к ассоциативным алгебрам.
- Алгебра Ли : особый тип неассоциативной алгебры, произведение которой удовлетворяет тождеству Якоби .
- Коалгебра Ли : векторное пространство с «коумножением», определенным двойственно по отношению к алгебрам Ли.
- Градуированная алгебра : градуированное векторное пространство со структурой алгебры, совместимой с градуировкой. Идея состоит в том, что если известны степени двух элементов a и b , то известна степень ab , и поэтому при разложении определяется местонахождение продукта ab .
- Внутреннее пространство продукта : F векторное пространство V с определенной билинейной формой V × V → F .
Четыре или более бинарных операций:
- Биалгебра : ассоциативная алгебра с согласованной структурой коалгебры.
- Биалгебра Ли : алгебра Ли с совместимой структурой биалгебры.
- Алгебра Хопфа : биалгебра с аксиомой связности (антипод).
- Алгебра Клиффорда : градуированная ассоциативная алгебра, снабженная внешним продуктом, из которого может быть получено несколько возможных внутренних продуктов. Внешние алгебры и геометрические алгебры являются частными случаями этой конструкции.
Гибридные конструкции
Алгебраические структуры также могут сосуществовать с дополнительной структурой неалгебраической природы, такой как частичный порядок или топология . Добавленная структура должна быть в некотором смысле совместима с алгебраической структурой.
- Топологическая группа : группа с топологией, совместимой с групповой операцией.
- Группа Ли : топологическая группа со структурой согласованного гладкого многообразия .
- Упорядоченные группы , упорядоченные кольца и упорядоченные поля : каждый тип структуры с совместимым частичным порядком .
- Архимедова группа : линейно упорядоченная группа, для которой выполняется свойство Архимеда .
- Топологическое векторное пространство : векторное пространство, M имеет совместимую топологию.
- Нормированное векторное пространство : векторное пространство с согласованной нормой . Если такое пространство полно (как метрическое пространство), то оно называется банаховым пространством .
- Гильбертово пространство : пространство внутреннего продукта над действительными или комплексными числами, внутреннее произведение которого приводит к структуре банахова пространства.
- Вершинная операторная алгебра
- Алгебра фон Неймана : * -алгебра операторов в гильбертовом пространстве, снабженная слабой операторной топологией .
Универсальная алгебра
Алгебраические структуры определяются через различные конфигурации аксиом . Универсальная алгебра абстрактно изучает такие объекты. Одна из основных дихотомий - между структурами, которые аксиоматизированы полностью идентичностями, и структурами, которые таковыми не являются. Если все аксиомы , определяющие класс алгебр тождество, то этот класс является разнообразием (не следует путать с алгебраическими многообразиями в алгебраической геометрии ).
Идентичности - это уравнения, сформулированные с использованием только операций, допускаемых структурой, и переменных, которые неявно универсально количественно определены в соответствующей вселенной . Тождества не содержат связок , экзистенциально количественные переменные , или отношений любого рода , отличные от разрешенных операций. Изучение многообразий - важная часть универсальной алгебры . Алгебраическая структура в разнообразии может пониматься как фактор-алгебра терминологической алгебры (также называемая «абсолютно свободной алгеброй »), разделенная отношениями эквивалентности, порожденными набором тождеств. Таким образом, совокупность функций с заданными сигнатурами порождает свободную алгебру, то термин алгебры T . Учитывая набор эквациональных идентичностей (аксиом), можно считать их симметричное, транзитивное замыкание E . Фактор-алгебра T / E тогда является алгебраической структурой или многообразием. Так, например, у групп есть сигнатура, содержащая два оператора: оператор умножения m , принимающий два аргумента, и обратный оператор i , принимающий один аргумент, и единичный элемент e , константа, которую можно рассматривать как оператор, принимающий ноль. аргументы. Для заданного (счетного) набора переменных x , y , z и т. Д. Термин «алгебра» - это совокупность всех возможных терминов, включающих m , i , e и переменные; так, например, m ( i ( x ), m ( x , m ( y , e ))) будет элементом термина алгебра. Одной из аксиом, определяющих группу, является тождество m ( x , i ( x )) = e ; другой - m ( x , e ) = x . Аксиомы можно представить в виде деревьев . Эти уравнения индуцируют классы эквивалентности на свободной алгебре; фактор-алгебра тогда имеет алгебраическую структуру группы.
Некоторые структуры не образуют разновидностей, потому что:
- Необходимо, чтобы 0 ≠ 1, 0 было аддитивным тождественным элементом, а 1 - мультипликативным тождественным элементом, но это не тождество;
- Структуры , такие как поля имеют некоторые аксиомы , которые держат только для ненулевых членов S . Чтобы алгебраическая структура была разнообразной, ее операции должны быть определены для всех членов S ; частичных операций быть не может.
Структуры, аксиомы которых неизбежно включают нетождества, являются одними из самых важных в математике, например поля и тела . Структуры с неидентичными типами проблем не представляют. Например, прямое произведение двух полей не является полем, потому что , но поля не имеют делителей нуля .
Теория категорий
Теория категорий - еще один инструмент для изучения алгебраических структур (см., Например, Mac Lane 1998). Категория - это набор объектов со связанными морфизмами. Каждая алгебраическая структура имеет собственное понятие гомоморфизма , а именно любую функцию, совместимую с операцией (операциями), определяющей структуру. Таким образом, каждая алгебраическая структура порождает категорию . Например, категория групп включает все группы как объекты и все гомоморфизмы групп как морфизмы. Эту конкретную категорию можно рассматривать как категорию множеств с добавленной теоретико-категориальной структурой. Точно так же категория топологических групп (морфизмами которых являются гомоморфизмы непрерывных групп) является категорией топологических пространств с дополнительной структурой. Стирающий функтор между категориями алгебраических структур «забывает» часть структуры.
В теории категорий существуют различные концепции, которые пытаются уловить алгебраический характер контекста, например
- алгебраическая категория
- существенно алгебраическая категория
- презентабельная категория
- местная презентабельная категория
- монадические функторы и категории
- универсальная собственность .
Различные значения слова «структура»
При небольшом злоупотреблении нотацией слово «структура» может также относиться только к операциям со структурой, а не к самому основному набору. Например, предложение «Мы определили кольцевую структуру на множестве » означает, что мы определили кольцевые операции на множестве . В качестве другого примера группу можно рассматривать как набор , снабженный алгебраической структурой, а именно операцией .
Смотрите также
- Бесплатный объект
- Список алгебраических структур
- Математическая структура
- Наброски алгебраических структур
- Подпись (логика)
- Структура (математическая логика)
Примечания
использованная литература
- Мак-Лейн, Сондерс ; Биркгоф, Гарретт (1999), Алгебра (2-е изд.), AMS Chelsea, ISBN 978-0-8218-1646-2
- Мишель, Энтони Н .; Хергет, Чарльз Дж. (1993), Прикладная алгебра и функциональный анализ , Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-67598-5
- Беррис, Стэнли Н .; Санкаппанавар, HP (1981), курс универсальной алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-90578-3
- Теория категорий
- Mac Lane, Saunders (1998), Категории для рабочего математика (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98403-2
- Тейлор, Пол (1999), Практические основы математики , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-63107-5
внешние ссылки
- Структуры алгебры Джипсена. Включает в себя множество структур, не упомянутых здесь.
- Страница Mathworld по абстрактной алгебре.
- Стэнфорд энциклопедия философии : Алгебра по Vaughan Pratt .