Главный идеал - Prime ideal

Хассе диаграмма , из части решетки идеалов целых чисел Пурпурные узлов указывают на простые идеалы. Пурпурные и зеленые узлы - полупервичные идеалы , а пурпурные и синие узлы - первичные идеалы .${\ displaystyle \ mathbb {Z}.}$

В алгебре , идеал является подмножеством из кольца , что разделяет многие важные свойства простого числа в кольце целых чисел . Простые идеалы для целых чисел - это множества, которые содержат все кратные данного простого числа вместе с нулевым идеалом .

Примитивные идеалы первичны, а первичные идеалы первичны и полупервичны .

Простые идеалы коммутативных колец

Идеал Р из коммутативного кольца R является простой , если она обладает следующими двумя свойствами:

• Если a и b - два элемента R , их произведение ab является элементом P , то a находится в P или b находится в P ,
• Р не все кольцо R .

Это обобщает следующее свойство простых чисел: если p - простое число и если p делит произведение ab двух целых чисел , то p делит a или p делит b . Поэтому мы можем сказать

Положительное целое число n является простым числом тогда и только тогда, когда является простым идеалом в${\ Displaystyle п \ mathbb {Z}}$${\ displaystyle \ mathbb {Z}.}$

Примеры

• Простой пример: в кольце подмножество четных чисел является простым идеалом.${\ Displaystyle R = \ mathbb {Z},}$

• Учитывая уникальную область факторизации (UFD) , любой неприводимый элемент порождает простой идеал . Критерий Эйзенштейна для областей целостности (следовательно, UFD) является эффективным инструментом для определения, является ли элемент в кольце многочленов неприводимым. Например, возьмем неприводимый многочлен в кольце многочленов над некоторым полем .${\ displaystyle R}$${\ displaystyle r \ in R}$${\ displaystyle (r)}$${\ displaystyle f (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ Displaystyle \ mathbb {F} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle \ mathbb {F}}$

• Если R обозначает кольцо из многочленов от двух переменных с комплексными коэффициентами, то идеал , порожденный многочленом Y ² - Х ³ - Х - 1 является простым идеалом (см эллиптическую кривую ).${\ Displaystyle \ mathbb {C} [X, Y]}$

• В кольце всех многочленов с целыми коэффициентами идеал, порожденный 2 и X, является простым идеалом. Он состоит из всех тех многочленов, постоянный коэффициент которых четный.${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [X]}$

• В любом кольце R , A максимальный идеал является идеальными М , который является максимальным в множестве всех собственных идеалов R , то есть М являются содержатся в ровно два идеалах R , а именно М самого и всего кольцевой R . Фактически, каждый максимальный идеал прост. В области главных идеалов каждый ненулевой простой идеал максимален, но в общем случае это неверно. Для УФО , Гильберта о нулях утверждает , что каждый максимальный идеал имеет вид .${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}]}$ ${\ displaystyle (x_ {1} - \ alpha _ {1}, \ ldots, x_ {n} - \ alpha _ {n})}$

• Если M - гладкое многообразие , R - кольцо гладких вещественных функций на M , а x - точка в M , то множество всех гладких функций f с f  ( x ) = 0 образует простой идеал (даже максимальный идеал ) в R .

Не примеры

• Рассмотрим композицию следующих двух частных

${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x, y] \ к {\ гидроразрыва {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1)}} \ к {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1, x)}}}$

Хотя первые два кольца являются областями целостности (на самом деле первое является UFD), последнее не является областью целостности, поскольку оно изоморфно

${\ displaystyle {\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {(x ^ {2} + y ^ {2} -1, x)}} \ cong {\ frac {\ mathbb {C} [ у]} {(у ^ {2} -1)}} \ cong \ mathbb {C} \ times \ mathbb {C}}$

показывая, что идеал не прост. (См. Первое свойство, указанное ниже.)${\ displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2} -1, x) \ subset \ mathbb {C} [x, y]}$

• Другой не пример - это идеал, поскольку у нас есть${\ Displaystyle (2, х ^ {2} +5) \ подмножество \ mathbb {Z} [х]}$

${\ displaystyle x ^ {2} + 5-2 \ cdot 3 = (x-1) (x + 1) \ in (2, x ^ {2} +5)}$

но ни элементы идеала, ни элементы не являются.${\ displaystyle x-1}$${\ displaystyle x + 1}$

Характеристики

• Идеал I в кольце R (с единицей) прост тогда и только тогда, когда фактор-кольцо R / I является областью целостности . В частности, коммутативное кольцо (с единицей) является областью целостности тогда и только тогда, когда (0) - первичный идеал.
• Идеал I прост тогда и только тогда, когда его теоретико-множественное дополнение мультипликативно замкнуто .
• Каждое ненулевое кольцо содержит хотя бы один первичный идеал (фактически, оно содержит хотя бы один максимальный идеал), что является прямым следствием теоремы Крулля .
• В более общем смысле, если S - любое мультипликативно замкнутое множество в R , то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал R, максимальный по отношению к тому, что он не пересекается с S , и, более того, идеал должен быть простым. В дальнейшем это можно обобщить на некоммутативные кольца (см. Ниже). В случае { S } = {1}, мы имеем теорему Крулля , и это восстанавливает максимальные идеалы R . Другой прототипной m-системой является набор { x , x ² , x ³ , x ⁴ , ...} всех положительных степеней ненильпотентного элемента.
• Прообраз простого идеала под кольцевым гомоморфизмом является простым идеалом. Аналогичный факт не всегда верно для максимальных идеалов , что является одной из причин, по которой алгебраические геометры определяют спектр кольца как набор его простых, а не максимальных идеалов: нужно, чтобы гомоморфизм колец давал отображение между их спектрами.
• Множество всех первичных идеалов (называемое спектром кольца ) содержит минимальные элементы (называемые минимальными первичными идеалами ). Геометрически они соответствуют неприводимым компонентам спектра.
• Сумма двух простых идеалов не обязательно проста. В качестве примера рассмотрим кольцо с простыми идеалами P = ( x ² + y ² - 1) и Q = ( x ) (идеалы, порожденные x ² + y ² - 1 и x соответственно). Их сумма P + Q = ( x ² + y ² - 1, x ) = ( y ² - 1, x ), однако, не является простой: y ² - 1 = ( y - 1) ( y + 1) ∈ P + Q но его два фактора - нет. В качестве альтернативы фактор-кольцо имеет делители нуля, поэтому оно не является областью целостности и, следовательно, P + Q не может быть простым.${\ Displaystyle \ mathbb {C} [х, у]}$
• Не всякий идеал, который нельзя разложить на два идеала, является первичным идеалом; например, не может быть разложен на множители, но не является простым.${\ Displaystyle (х, у ^ {2}) \ подмножество \ mathbb {R} [х, у]}$
• В коммутативном кольце R, содержащем не менее двух элементов, если каждый собственный идеал прост, то кольцо является полем. (Если идеал (0) простой, то кольцо R является областью целостности. Если q - любой ненулевой элемент из R, а идеал ( q ² ) простой, то он содержит q и тогда q обратим.)
• Ненулевой главный идеал прост тогда и только тогда, когда он порождается простым элементом . В UFD каждый ненулевой простой идеал содержит простой элемент.

Использует

Одно использование простых идеалов происходит в алгебраической геометрии , где многообразия определяются как нулевые наборы идеалов в кольцах многочленов. Оказывается, неприводимые многообразия соответствуют простым идеалам. В современном абстрактном подходе каждый начинает с произвольного коммутативного кольца и превращает множество его первичных идеалов, также называемых его спектром , в топологическое пространство и, таким образом, может определять обобщения многообразий, называемых схемами , которые находят приложения не только в геометрии , но и также в теории чисел .

Введение простых идеалов в алгебраическую теорию чисел было большим шагом вперед: было осознано, что важное свойство уникальной факторизации, выраженное в фундаментальной теореме арифметики , не выполняется в каждом кольце целых алгебраических чисел , но замена была найдена, когда Ричард Дедекинд заменены элементы идеалами, а простые элементы - простыми идеалами; см. домен Дедекинда .

Простые идеалы для некоммутативных колец

Понятие первичного идеала можно обобщить на некоммутативные кольца с помощью коммутативного определения «идеально». Вольфганг Круль выдвинул эту идею в 1928 году. Следующее содержание можно найти в таких текстах, как Goodearl's и Lam. Если R является (возможно некоммутативным) кольцом и Р является идеалом в R , кроме R самого, мы говорим , что Р является главным , если для любых двух идеалов A и B в R :

• Если произведение идеалов АВ содержится в Р , то , по крайней мере , один из А и В , содержится в P .

Можно показать, что это определение эквивалентно коммутативному в коммутативных кольцах. Легко проверить, что если идеал некоммутативного кольца R удовлетворяет коммутативному определению простого числа, то он также удовлетворяет некоммутативной версии. Идеал P, удовлетворяющий коммутативному определению простого числа, иногда называют полностью первичным идеалом, чтобы отличить его от других просто первичных идеалов в кольце. Совершенно простые идеалы - это простые идеалы, но обратное неверно. Например, нулевой идеал в кольце матриц размера n × n над полем является простым идеалом, но не полностью простым.

Это близко к исторической точке зрения на идеалы как на идеальные числа , поскольку кольцо « A содержится в P » - это еще один способ сказать « P делит A », а единичный идеал R представляет собой единицу. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

Эквивалентные формулировки простого идеала P ≠ R включают следующие свойства:

• Для всех а и б в R , ( ) ( б ) ⊆ Р означает , а ∈ P или б ∈ P .
• Для любых двух правых идеалов R , AB ⊆ P означает A ⊆ P или B ⊆ P .
• Для любых двух левых идеалов R , AB ⊆ P означает A ⊆ P или B ⊆ P .
• Для любых элементов и б из R , если АРБ ⊆ P , то ∈ P или B ∈ P .

Простые идеалы в коммутативных кольцах характеризуются наличием мультипликативно замкнутых дополнений в R , и с небольшими изменениями аналогичная характеристика может быть сформулирована для простых идеалов в некоммутативных кольцах. Непустое подмножество S ⊆ R называется т-система , если для любого а и б в S , то существует г в R такое , что отн находится в S . Следующий элемент может быть добавлен в список эквивалентных условий выше:

• Дополнение R ∖ P является m-системой.

Примеры

• Любой примитивный идеал первичен.
• Как и в случае с коммутативными кольцами, максимальные идеалы первичны, а также простые идеалы содержат минимальные первичные идеалы.
• Кольцо является первичным кольцом тогда и только тогда, когда нулевой идеал является первичным идеалом, и, более того, кольцо является областью тогда и только тогда, когда нулевой идеал является вполне первичным идеалом.
• Еще один факт из теории коммутативной отражаемой в некоммутативной теории является то , что если ненулевой R модуль, и P является максимальным элементом в посете из аннуляторных идеалов подмодулей А , то P первичен.

Важные факты

• Лемма о простом избегании . Если R - коммутативное кольцо, а A - подкольцо (возможно, без единицы), а I ₁ , ..., I _n - набор идеаловкольца R с не более чем двумя членами, неявляющимисяпростыми, то если A не содержится в любой I _J , оно также не содержится в объединении с I ₁ , ..., I _н . В частности,может быть идеалом R .
• Если S - любая m-система в R , то лемма, по существу принадлежащая Круллю, показывает, что существует идеал I в R, максимальный по отношению к тому, что он не пересекается с S , и, кроме того, идеал I должен быть простым (простота I может быть доказана следующим образом. Если , то существуют такие элементы , что по максимальному свойству I. Мы можем взять с . Теперь, если , то ; противоречие). В случае { S } = {1}, мы имеем теорему Крулля , и это восстанавливает максимальные идеалы R . Другой прототипной m-системой является набор { x , x ² , x ³ , x ⁴ , ...} всех положительных степеней ненильпотентного элемента.${\ displaystyle a, b \ not \ in I}$${\ displaystyle s, t \ in S}$${\ displaystyle s \ in I + (a), t \ in I + (b)}$${\ displaystyle r \ in R}$${\ displaystyle srt \ in S}$${\ Displaystyle (а) (б) \ подмножество I}$${\ displaystyle srt \ in (I + (a)) r (I + (b)) \ ​​subset I + (a) (b) \ subset I}$
• Для простого идеала P дополнение R ∖ P помимо того, что является m-системой, обладает еще одним свойством. Если xy принадлежит R ∖ P , то и x, и y должны быть в R ∖ P , поскольку P - идеал. Множество, содержащее делители своих элементов, называется насыщенным .
• Для коммутативной кольца R , существует своего рода обратное к предыдущему утверждению: Если S является любое непустое насыщенными и мультипликативно замкнутое подмножество R , дополнение R ∖ S является объединением простых идеалов R .
• Пересечение элементов нисходящей цепочки простых идеалов является первичным идеалом, а в коммутативном кольце объединение элементов восходящей цепи первичных идеалов является первичным идеалом. С помощью леммы Цорна из этих наблюдений следует, что в множестве простых идеалов коммутативного кольца (частично упорядоченного по включению) есть максимальные и минимальные элементы.

Подключение к максимальности

Первичные идеалы часто могут быть произведены как максимальные элементы определенных наборов идеалов. Например:

• Максимальный идеал относительно наличия пустого пересечения с фиксированной m-системой прост.
• Максимальный идеал среди аннуляторов подмодулей фиксированного R- модуля M прост.
• В коммутативном кольце идеал, максимальный по неглавности, первичен.
• В коммутативном кольце идеал, максимальный относительно несчетной генерации, прост.

использованная литература

дальнейшее чтение

• Goodearl, KR; Варфилд, РБ, младший (2004), Введение в некоммутативные нётеровы кольца , Студенческие тексты Лондонского математического общества, 61 (2-е изд.), Кембридж: Cambridge University Press, стр. Xxiv + 344, DOI : 10.1017 / CBO9780511841699 , ISBN 0-521-54537-4, MR  2080008CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
• Джейкобсон, Натан (1989), Базовая алгебра. II (2-е изд.), Нью-Йорк: WH Freeman and Company, стр. Xviii + 686, ISBN 0-7167-1933-9, Руководство по ремонту  1009787
• Каплански, Ирвинг (1970), Коммутативные кольца , Бостон, Массачусетс: Allyn and Bacon Inc., стр. X + 180, MR  0254021
• Лам, Т.Ю. (2001), Первый курс некоммутативных колец , Тексты для выпускников по математике, 131 (2-е изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. Xx + 385, DOI : 10.1007 / 978-1-4419-8616 -0 , ISBN 0-387-95183-0, Руководство по ремонту  1838439 , Zbl  0980.16001
• Lam, TY ; Рейес, Мануэль Л. (2008), "Яркий принцип идеала в коммутативной алгебре", Ж. Алгебра , 319 (7): 3006-3027, DOI : 10.1016 / j.jalgebra.2007.07.016 , ISSN  0021-8693 , М.Р.  2397420 , Zbl  1168,13002
• "Простой идеал" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]