Кардинальное назначение фон Неймана - von Neumann cardinal assignment

Фон Нейман назначение кардинального является назначением кардинала , который использует порядковые номера . Для хорошо упорядочиваемой множества U , мы определим его кардинальное число будет наименьшим порядковым номером equinumerous к U , используя определение фон Неймана порядковым номером. Точнее:

{\ Displaystyle | U | = \ mathrm {карта} (U) = \ inf \ {\ alpha \ in \ mathrm {ON} \ | \ \ alpha = _ {c} U \},}

где ON - класс ординалов. Этот ординал также называется начальным ординалом кардинала.

То, что такой ординал существует и уникален, гарантируется тем фактом, что U хорошо упорядочен и что класс ординалов хорошо упорядочен с использованием аксиомы замены . Согласно полной аксиоме выбора , каждый набор можно хорошо упорядочить, поэтому у каждого набора есть кардинал; мы упорядочиваем кардиналов, используя унаследованный порядок порядковых номеров. Легко найти, что это совпадает с порядком через ≤ _c . Это правильный порядок количественных чисел.

Начальный порядковый номер кардинала

Каждому порядковому номеру соответствует его кардинал , его мощность, получаемая простым забыванием порядка. Любой хорошо упорядоченный набор, имеющий этот порядковый номер в качестве типа порядка, имеет одинаковую мощность. Наименьший ординал, имеющий заданный кардинал в качестве мощности, называется начальным ординалом этого кардинала. Каждый конечный порядковый номер ( натуральное число ) является начальным, но большинство бесконечных порядковых номеров не являются начальными. Аксиома выбора эквивалентно утверждению , что каждое множество может быть вполне упорядоченным, то есть , что каждый кардинал имеет начальное порядковое. В этом случае принято отождествлять кардинальное число с его начальным порядковым номером, и мы говорим, что начальный порядковый номер является кардиналом.

-М бесконечное начальное порядковое написано . Записывается его мощность ( -е алефное число ). Например, мощность IS , который также мощность , и (все счетные порядковые). Таким образом, мы отождествляем себя с , за исключением того, что обозначение используется для записи кардиналов и для записи ординалов. Это важно, потому что арифметика по кардиналам отличается от арифметики по порядковым числам , например = while > . Кроме того, это наименьший несчетный порядковый номер (чтобы убедиться в его существовании, рассмотрим набор классов эквивалентности правильного упорядочения натуральных чисел; каждый такой правильный порядок определяет счетный порядковый номер и является типом порядка этого набора), является наименьший порядковый номер, мощность которого больше , и так далее, и является пределом для натуральных чисел (любое ограничение кардиналов является кардиналом, поэтому этот предел действительно является первым кардиналом после всех ). ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ alpha}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0} = \ omega}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega ^ {\ omega}}$ ${\ displaystyle \ epsilon _ {0}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha} ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {2}}$ ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {\ omega}}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$ ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ omega _ {n}}$

Бесконечные начальные порядковые числа являются предельными порядковыми числами. Используя порядковую арифметику, следует , и 1 ≤ α <ω _β влечет α · ω _β = ω _β , а 2 ≤ α <ω _β влечет α ^ω^_β = ω _β . Используя иерархию Веблена , β ≠ 0 и α <ω _β влечет и Γ _ω_{_β} = ω _β . Действительно, можно пойти намного дальше. Таким образом, бесконечный начальный ординал как ординал является чрезвычайно сильным ограничением. ${\ Displaystyle \ альфа <\ omega _ {\ beta}}$ ${\ Displaystyle \ альфа + \ омега _ {\ бета} = \ омега _ {\ бета}}$ ${\ displaystyle \ varphi _ {\ alpha} (\ omega _ {\ beta}) = \ omega _ {\ beta} \,}$

Смотрите также

Число Алеф

Languages

In other projects

Кардинальное назначение фон Неймана - von Neumann cardinal assignment

Начальный порядковый номер кардинала

Смотрите также

Рекомендации