Независимость (математическая логика) - Independence (mathematical logic)

В математической логике , независимость является недоказуемостью в предложении от других предложений.

Предложение σ является независимым от заданного первого порядка теории Т , если Т ни доказывает , ни опровергает сг; то есть невозможно доказать σ из T , а также невозможно доказать из T, что σ ложно. Иногда σ говорят (как синонимы) неразрешимой из T ; это не то же самое значение " разрешимости ", что и в проблеме принятия решения .

Теория Т является независимым , если каждая аксиома в T не выводима из остальных аксиом в Т . Теория, для которой существует независимый набор аксиом, является независимо аксиоматизируемой .

Примечание об использовании

Некоторые авторы говорят, что σ не зависит от T, когда T просто не может доказать σ, и не обязательно утверждают этим, что T не может опровергнуть σ. Эти авторы иногда говорят, что «σ не зависит от T и согласуется с ним », чтобы указать, что T не может ни доказать, ни опровергнуть σ.

Независимость приводит к теории множеств

Многие интересные утверждения теории множеств не зависят от теории множеств Цермело – Френкеля (ZF). Известно, что следующие утверждения теории множеств не зависят от ZF в предположении, что ZF непротиворечива:

• Аксиома выбора
• Континуум гипотеза и обобщенная гипотеза континуума
• Гипотеза Суслина

Следующие утверждения (ни одно из которых не было доказано, что ложь) не могут быть доказаны в ZFC (теория множеств Цермело-Френкеля плюс аксиома выбора) как независимые от ZFC при дополнительной гипотезе о том, что ZFC непротиворечивы.

• Существование сильно недоступных кардиналов
• Существование крупных кардиналов
• Несуществование Kurepa деревьев

Следующие утверждения несовместимы с выбранной аксиомой и, следовательно, с ZFC. Однако они, вероятно, не зависят от ZF в смысле, соответствующем вышесказанному: они не могут быть доказаны в ZF, и немногие теоретики рабочих множеств надеются найти опровержение в ZF. Однако ZF не может доказать, что они независимы от ZF, даже с добавленной гипотезой о том, что ZF непротиворечива.

• Аксиома детерминированности
• Аксиома реального детерминированности
• AD +

Приложения к физической теории

С 2000 года логическая независимость стала пониматься как имеющая решающее значение в основах физики.

Смотрите также

• Список утверждений, независимых от ZFC
• Параллельный постулат для примера в геометрии

Примечания

Рекомендации

• Мендельсон, Эллиотт (1997), Введение в математическую логику (4-е изд.), Лондон: Chapman & Hall , ISBN   978-0-412-80830-2
• Монк, Дж. Дональд (1976), Математическая логика , Тексты для выпускников по математике, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN   978-0-387-90170-1
• Stabler, Эдвард Рассел (1948), Введение в математическую мысль , Reading, Massachusetts: Addison-Wesley