Алгебраическое замыкание - Algebraic closure

В математике , в частности абстрактной алгебры , в алгебраическом замыкании в виде поля К является алгебраическим расширением из K , которое алгебраически замкнуто . Это одно из многих замыканий в математике.

Используя лемму Цорна или более слабую Ультрафильтр леммы , можно показать , что каждое поле имеет алгебраическое замыкание , и алгебраическое замыкание поля К являются уникальным до с изоморфизмом , который фиксирует каждый член K . Из - за этой существенной уникальности, мы часто говорим о в алгебраическом замыкании К , а не с алгебраическим замыканием K .

Алгебраическое замыкание поля К можно рассматривать как самое большое алгебраическое расширение K . Чтобы убедиться в этом, заметим , что если L является любое алгебраическое расширение К , то алгебраическое замыкание L также алгебраическое замыкание K , и поэтому L содержится в алгебраическом замыкании К . Алгебраическое замыкание K также наименьшая алгебраически замкнутое поле , содержащее K , потому что , если М любое алгебраически замкнутое поле , содержащее K , то элементы М , которые являются алгебраическим над К образуют алгебраическое замыкание K .

Алгебраическое замыкание поля K имеет ту же мощность , как K , если К бесконечно, и счетное , если К конечна.

Примеры

• Основная теорема алгебры гласит , что алгебраическое замыкание поля вещественных чисел является полем комплексных чисел .
• Алгебраическое замыкание поля рациональных чисел - это поле алгебраических чисел .
• Внутри комплексных чисел имеется множество счетных алгебраически замкнутых полей, строго содержащих поле алгебраических чисел; это алгебраические замыкания трансцендентных расширений рациональных чисел, например алгебраическое замыкание Q (π).
• Для конечного поля порядка q степени простого числа алгебраическое замыкание - это счетно бесконечное поле, которое содержит копию поля порядка q ⁿ для каждого положительного целого числа n (и фактически является объединением этих копий).

Существование алгебраических полей замыкания и расщепления

Пусть - множество всех монических неприводимых многочленов в K [ x ]. Для каждого введите новые переменные где . Пусть R - кольцо многочленов над K, порожденное для всех и всех . Писать ${\ Displaystyle S = \ {е _ {\ lambda} | \ lambda \ in \ Lambda \}}$${\ displaystyle f _ {\ lambda} \ in S}$${\ displaystyle u _ {\ lambda, 1}, \ ldots, u _ {\ lambda, d}}$${\ displaystyle d = {\ rm {степень}} (f _ {\ lambda})}$${\ displaystyle u _ {\ lambda, i}}$${\ displaystyle \ lambda \ in \ Lambda}$${\ displaystyle i \ leq {\ rm {степень}} (f _ {\ lambda})}$

${\ displaystyle f _ {\ lambda} - \ prod _ {i = 1} ^ {d} (x-u _ {\ lambda, i}) = \ sum _ {j = 0} ^ {d-1} r _ {\ лямбда, j} \ cdot x ^ {j} \ in R [x]}$

с . Пусть I - идеал в R, порожденный . Поскольку я строго меньше R , леммы Цорна следует , что существует максимальный идеал М в R , содержащий I . Поле K ₁ = R / M обладает тем свойством, что каждый многочлен с коэффициентами из K расщепляется как произведение и, следовательно, имеет все корни из K ₁ . Таким же образом можно построить расширение K ₂ поля K ₁ и т. Д. Объединение всех этих расширений является алгебраическим замыканием поля K , потому что любой многочлен с коэффициентами в этом новом поле имеет свои коэффициенты в некотором K _n с достаточно большими n , и тогда его корни лежат в K _{n + 1} , а значит, и в самом объединении. ${\ displaystyle r _ {\ lambda, j} \ in R}$${\ displaystyle r _ {\ lambda, j}}$${\ displaystyle f _ {\ lambda}}$${\ Displaystyle х- (и _ {\ лямбда, я} + М),}$

Можно показать , по той же схеме , что для любого подмножества S из K [ х ], существует поле разложения из S над K .

Раздельное закрытие

Алгебраическое замыкание К ^ALG из K содержит уникальный разъемные расширения K ^сно из K , содержащие все (алгебраические) отделимые расширения из K в пределах K ^ALG . Это подрасширение называется сепарабельное замыкание в K . Поскольку сепарабельное расширение сепарабельного расширения снова сепарабельно, не существует конечных сепарабельных расширений K ^sep степени> 1. Другими словами, K содержится в сепарабельно-замкнутом поле алгебраических расширений. Он уникален (с точностью до изоморфизма).

Сепарабельное замыкание является полным алгебраическим замыканием тогда и только тогда, когда K - совершенное поле . Например, если K - поле характеристики p и если X трансцендентно над K , это неразделимое алгебраическое расширение поля. ${\ Displaystyle К (X) ({\ sqrt [{p}] {X}}) \ supset K (X)}$

В общем, абсолютная группа Галуа из K является группа Галуа K ^сен над K .

Смотрите также

• Алгебраически замкнутое поле
• Алгебраическое расширение
• Расширение Puiseux
• Заполнить поле

Рекомендации

• Каплански, Ирвинг (1972). Поля и кольца . Чикагские лекции по математике (второе изд.). Издательство Чикагского университета. ISBN   0-226-42451-0 . Zbl   1001.16500 .
• Маккарти, Пол Дж. (1991). Алгебраические расширения полей (Исправленное переиздание 2-го изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. Zbl   0768.12001 .