Список заявлений, независимых от ZFC - List of statements independent of ZFC
В математическом Обсуждаемом ниже утверждении доказуемо независимо от ZFC (канонической аксиоматической теории множеств современной математики, состоящее из аксиом Цермели-Френкель плюс аксиомы выбора ), при условии , что ZFC является последовательным . Утверждение не зависит от ZFC (иногда его называют «неразрешимым в ZFC»), если оно не может быть ни доказано, ни опровергнуто с помощью аксиом ZFC.
Аксиоматическая теория множеств
В 1931 году Курт Гёдель доказал первый результат о независимости ZFC, а именно, что непротиворечивость самого ZFC не зависит от ZFC ( вторая теорема Гёделя о неполноте ).
Следующие утверждения, помимо прочего, не зависят от ZFC:
- согласованность ZFC;
- гипотеза континуума или СНА (Гёдель произвела модель ZFC , в которой СНЫ является истинным, показывая , что СНО не может быть опровергнуты в ZFC; Пол Коэн позже изобрел способ заставляя проявлять модель ZFC , в которой терпит неудачу СНО, показывая , что СНО не может быть доказанным в ZFC. Следующие четыре результата о независимости также принадлежат Гёделю / Коэну.);
- обобщенная гипотеза континуума (ОСИ);
- связанное независимое утверждение состоит в том, что если набор x имеет меньше элементов, чем y , то x также имеет меньше подмножеств, чем y . В частности, это утверждение неверно, когда мощности множеств степеней x и y совпадают;
- аксиома конструктивности ( V = L );
- принцип алмаз (◊);
- Аксиома Мартина (Массачусетс);
- MA + ¬CH (независимость показана Соловаем и Тенненбаумом ).
У нас есть следующие цепочки следствий:
- V = L → ◊ → CH,
- V = L → GCH → CH,
- CH → MA,
и (см. раздел по теории порядка):
Некоторые утверждения, относящиеся к существованию больших кардиналов, не могут быть доказаны в ZFC (при условии, что ZFC согласован). Они не зависят от ZFC при условии, что они согласуются с ZFC, что, по мнению большинства теоретиков рабочих множеств, так. Эти утверждения достаточно сильны, чтобы подразумевать непротиворечивость ZFC. Это имеет следствие (через вторую теорему Гёделя о неполноте ), что их совместимость с ZFC не может быть доказана в ZFC (при условии, что ZFC согласован). К этому классу принадлежат следующие операторы:
- Существование недоступных кардиналов
- Существование кардиналов Мало
- Существование измеримых кардиналов (первое предположение Улама )
- Наличие суперкомпактных кардиналов
Следующие утверждения могут быть доказаны как независимые от ZFC при условии согласованности подходящего большого кардинала:
- Правильная аксиома принуждения
- Открытая аксиома раскраски
- Максимум Мартина
- Наличие 0 #
- Гипотеза сингулярных кардиналов
- Проективная детерминированность (и даже полная аксиома детерминированности, если аксиома выбора не предполагается)
Теория множеств реальной линии
Существует множество кардинальных инвариантов вещественной прямой, связанных с теорией меры и утверждениями, относящимися к теореме Бэра о категориях , точные значения которых не зависят от ZFC. Хотя между ними можно доказать нетривиальные отношения, большинство кардинальных инвариантов может быть любым регулярным кардиналом от ℵ 1 до 2 ℵ 0 . Это основная область изучения теории множеств действительной прямой (см. Диаграмму Цишона ). МА имеет тенденцию устанавливать наиболее интересные кардинальные инварианты равными 2 ℵ 0 .
Подмножество X вещественной прямой является нулевым множеством строгой меры, если для каждой последовательности ( ε n ) положительных вещественных чисел существует последовательность интервалов ( I n ), которая покрывает X и такая, что длина I n не превышает ε n . Гипотеза Бореля о том, что любое множество нулей сильной меры счетно, не зависит от ZFC.
Подмножество Х реальной линии -плотная , если каждый открытый интервал содержит -many элементы X . Являются ли все -плотные множества изоморфными по порядку, не зависит от ZFC.
Теория порядка
Проблема Суслина спрашивает , может ли характеризует конкретный короткий список свойств упорядоченное множество действительных чисел R . В ZFC это неразрешимо. Суслинская линия представляет собой упорядоченный набор , который удовлетворяет этот конкретный список свойств , но не по порядку изоморфен R . Принцип алмаза ◊ доказывает существование Суслины линии, в то время как MA + ¬CH подразумевает съедает ( каждый Ароншайн дерево специальное ), который , в свою очередь , влечет за собой (но не эквивалентно) несуществование суслинских линий. Рональд Дженсен доказал, что CH не подразумевает существования линии Суслина.
Существование деревьев Курепы не зависит от ZFC, предполагая непротиворечивость недоступного кардинала .
Существование разбиения порядкового числа на два цвета без одноцветного несчетного последовательно замкнутого подмножества не зависит от ZFC, ZFC + CH и ZFC + ¬CH, при условии согласованности кардинала Мало . Эта теорема Шелаха отвечает на вопрос Х. Фридмана .
Абстрактная алгебра
В 1973 году Сахарон Шелах показал, что проблема Уайтхеда («каждая ли абелева группа A с Ext 1 (A, Z ) = 0 является свободной абелевой группой ?») Не зависит от ZFC. Абелева группа с Ext 1 (A, Z ) = 0 называется группой Уайтхеда; MA + ¬CH доказывает существование несвободной группы Уайтхеда, а V = L доказывает, что все группы Уайтхеда свободны. В одном из самых ранних применений правильного принуждения Шелах построил модель ZFC + CH, в которой есть несвободная группа Уайтхеда.
Рассмотрим кольцо A = R [ x , y , z ] многочленов от трех переменных над действительными числами и его поле дробей M = R ( x , y , z ). Проективная размерность из М , как A - модуль является либо 2 или 3, но это не зависит от ZFC является ли оно равно 2; он равен 2 тогда и только тогда, когда выполняется CH.
Прямое произведение счетного числа полей имеет глобальное измерение 2 тогда и только тогда , когда континуум гипотеза имеет место.
Теория чисел
Можно записать конкретный многочлен p ∈ Z [ x 1 , ..., x 9 ] такой, что утверждение «существуют целые числа m 1 , ..., m 9 с p ( m 1 , ..., m 9) ) = 0 "нельзя ни доказать, ни опровергнуть в ZFC (при условии, что ZFC согласован). Это следует из Юрий Матиясевич разрешения «s проблемы десятого Гильберта ; многочлен построен так, что он имеет целочисленный корень тогда и только тогда, когда ZFC несовместим.
Теория меры
Более сильная версия теоремы Фубини для положительных функций, в которой функция больше не считается измеримой, а просто два повторных интеграла хорошо определены и существуют, не зависит от ZFC. С одной стороны, CH подразумевает, что существует функция на единичном квадрате, повторные интегралы которой не равны - функция является просто индикаторной функцией упорядочения [0, 1], эквивалентного хорошему упорядочиванию кардинала ω 1 . Аналогичный пример можно построить с помощью МА . С другой стороны, непротиворечивость сильной теоремы Фубини впервые была показана Фридманом . Это также можно вывести из варианта аксиомы симметрии Фрейлинга .
Топология
Нормальная моровская гипотеза, а именно , что каждый нормальный моровским является метризуемым , может быть опровергнута в предположении СНЫ или МА + ¬CH, и может быть доказана , предполагая определенную аксиому , которая предполагает существование больших кардиналов. Таким образом, с учетом больших кардиналов гипотеза о нормальном пространстве Мура не зависит от ZFC.
Различные утверждения о конечных, P-точках, Q-точках, ...
S- и L-пространства
Функциональный анализ
Гарт Дейлз и Роберт М. Соловей доказали в 1976 году, что гипотеза Капланского , а именно, что любой гомоморфизм алгебр из банаховой алгебры C (X) (где X - некоторое компактное хаусдорфово пространство ) в любую другую банахову алгебру должен быть непрерывным, не зависит от ZFC. Из CH следует, что для любого бесконечного X существует разрывный гомоморфизм в любую банахову алгебру.
Рассмотрим алгебру B ( H ) от линейных ограниченных операторов на бесконечномерном сепарабельном гильбертовом пространстве H . Эти компактные операторы образуют двусторонний идеал в B ( H ). Вопрос о том, является ли этот идеал суммой двух меньших идеалов, не зависит от ZFC, как это было доказано Андреасом Блассом и Сахароном Шелахом в 1987 году.
Чарльз Акеманн и Ник Уивер показали в 2003 году, что утверждение «существует контрпример к проблеме Наймарка, который порождается ℵ 1 , элементами» не зависит от ZFC.
Мирослав Бачак и Петр Гайек доказали в 2008 году, что утверждение «каждое пространство Асплунда с характером плотности ω 1 имеет перенормировку со свойством пересечения Мазура » не зависит от ZFC. Результат показан с использованием максимальной аксиомы Мартина, в то время как Мар Хименес и Хосе Педро Морено (1997) представили контрпример, предполагающий CH.
Как показали Илияс Фарах и Н. Кристофер Филлипс и Ник Уивер , существование внешних автоморфизмов алгебры Калкина зависит от теоретико-множественных предположений за пределами ZFC.
Теория моделей
Гипотеза Чанга не зависит от ZFC в предположении непротиворечивости кардинала Эрдеша .
Теория вычислимости
Марсия Грошек и Теодор Сламан привели примеры независимых от ZFC утверждений относительно структуры степеней Тьюринга. В частности, существует ли максимально независимый набор степеней размера меньше континуума.
использованная литература
внешние ссылки
- Какие разумно звучащие утверждения не зависят от ZFC? , mathoverflow.net