Теорема Хана – Банаха - Hahn–Banach theorem

Теорема Хана – Банаха - центральный инструмент функционального анализа . Он позволяет расширить ограниченные линейные функционалы, определенные на подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных на каждом нормированном векторном пространстве, чтобы сделать изучение двойственного пространства интересным. ". Другая версия теоремы Хана – Банаха известна как теорема Хана – Банаха об отделимости или теорема об отделении гиперплоскостей и имеет множество применений в выпуклой геометрии .

История

Теорема названа в честь математиков Ганса Хана и Стефана Банаха , которые независимо доказали ее в конце 1920-х годов. Частный случай теоремы для пространства непрерывных функций на интервале был доказан ранее (в 1912 г.) Эдуардом Хелли , а более общая теорема о продолжении - теорема М. Рисса о продолжении , из которой может быть получена теорема Хана – Банаха. , было доказано в 1923 году Марселем Риссом . ${\ Displaystyle С {\ влево [а, б \ вправо]}}$

Первая теорема Хана – Банаха была доказана Эдуардом Хелли в 1921 году, который показал, что некоторые линейные функционалы, определенные на подпространстве определенного типа нормированного пространства ( ), имеют расширение той же нормы. Хелли сделал это с помощью техники, сначала доказав, что существует одномерное расширение (где линейный функционал имеет область, расширенную на одно измерение), а затем с помощью индукции . В 1927 году Хан определил общие банаховы пространства и использовал технику Хелли, чтобы доказать сохраняющую норму версию теоремы Хана – Банаха для банаховых пространств (где ограниченный линейный функционал на подпространстве имеет ограниченное линейное расширение той же нормы на все пространство). В 1929 году Банах, который не знал о результате Хана, обобщил его, заменив версию, сохраняющую норму, версией с преобладающим расширением, в которой используются сублинейные функции . В то время как в доказательстве Хелли использовалась математическая индукция, Хан и Банах использовали трансфинитную индукцию . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ mathbb {N}}}$

Теорема Хана – Банаха возникла в результате попыток решить бесконечные системы линейных уравнений. Это необходимо для решения таких проблем, как проблема моментов, согласно которой, учитывая все потенциальные моменты функции, необходимо определить, существует ли функция, имеющая эти моменты, и, если да, найти ее в терминах этих моментов. Другой такой проблемой является проблема рядов косинусов Фурье , в соответствии с которой, учитывая все потенциальные коэффициенты косинусов Фурье, необходимо определить, существует ли функция, имеющая эти коэффициенты, и, опять же, найти ее, если это так.

Рис и Хелли решили проблему для некоторых классов пространств (таких как L ^p ([0, 1]) и C ([ a , b ])), где они обнаружили, что существование решения эквивалентно существованию и непрерывности некоторые линейные функционалы. По сути, им нужно было решить следующую проблему:

( Вектор проблема ) Учитывая совокупность ограниченных линейных функционалов на нормированном пространстве

X

и коллекции скаляров , определить , есть ли

х

\in

Х

такая , что

F

я

(

х

) =

с

I

для всех

I

\in

I

.

{\ displaystyle \ left (f_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

{\ displaystyle \ left (c_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

Чтобы решить эту проблему, если $X$ является рефлексивным , то достаточно решить следующую двойную задачу:

( Функциональная проблема ) Учитывая совокупность векторов в нормированном пространстве

X

и коллекции скаляров , определить, есть ли линейный ограниченный функционал

F

на

X

такой , что

F

(

х

я

) =

C

I

для всех

I

\in

I

.

{\ displaystyle \ left (x_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

{\ displaystyle \ left (c_ {i} \ right) _ {i \ in I}}

Рисс продолжил определение $L p ([0, 1])$ ( $1 < p <\infty$ ) в 1910 году и пространств $l p$ в 1913 году. Исследуя эти пространства, он доказал частный случай теоремы Хана – Банаха. Хелли также доказал частный случай теоремы Хана – Банаха в 1912 году. В 1910 году Рис решил функциональную проблему для некоторых конкретных пространств, а в 1912 году Хелли решил ее для более общего класса пространств. Лишь в 1932 году Банах в одном из первых важных приложений теоремы Хана – Банаха решил общую функциональную проблему. Следующая теорема формулирует общую функциональную проблему и характеризует ее решение.

Теорема (функциональная проблема) - Пусть $X$ - вещественное или комплексное нормированное пространство, $I$ - непустое множество, $(c i) i \in I$ - семейство скаляров и $(x i) i \in I$ - семейство векторов в $X$ .

Существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f (x i) = c i$ для всех $i \in I$ тогда и только тогда, когда существует $K > 0$ такое, что для любого выбора скаляров $(s i) i \in I,$ где все но конечное число $s i$ равно 0, мы обязательно имеем

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {я \ in I} s_ {i} c_ {i} \ right | \ leq K \ left \ | \ sum _ {i \ in I} s_ {i} x_ {i} \ right \ |.}

Приведенную выше теорему можно использовать для вывода теоремы Хана – Банаха. Если $X$ рефлексивно, то эта теорема решает векторную проблему.

Теорема Хана – Банаха.

Теорема (Хана-Банаха) - Набор $K$ , чтобы быть либо $R$ или $С$ , и пусть $Х$ быть $К$ -векторных пространство. Если $f : M \to K$ - $K-$ линейный функционал на $K-$ линейном подпространстве $M,$ а $p : X \to R$ - неотрицательная сублинейная функция такая, что

| f (м) | \leq р (м)

для всех

т \in M

.

то существует $K$ -линейная $F : X \to K$ такая, что

F (m) = f (m)

для всех

m \in M

,

| F (x) | \leq р (х)

для всех

х \in Х

.

Расширение $F$ в общем случае не однозначно определяется $F$ и доказательство не дает явного метода о том, как найти $F$ .

Можно немного ослабить условие субаддитивности для $p$ , требуя только, чтобы для всех $x, y \in X$ и всех скаляров $a$ и $b,$ удовлетворяющих $| а | + | б | \leq 1$ ,

p (ax + by) \leq | а | p (x) + | б | р (у)

.

Кроме того, можно ослабить условия положительной однородности и субаддитивности на $p$ , потребовав только того, чтобы $p было$ выпуклым.

Проект Mizar полностью формализовал и автоматически проверил доказательство теоремы Хана – Банаха в файле HAHNBAN.

Доказательство

В комплексном случае $С$ допущением -linearity требует , чтобы $М = N + Ni$ для некоторой вещественных векторного пространства $N$ . Кроме того, для каждого вектора $х \in N$ , $F (IX) = , если (х)$ . Таким образом, действительная часть линейного функционала уже определяет поведение линейного функционала в целом, и доказательства реального случая будет достаточно.

Прежде всего отметим первоначальный результат Хелли: если $M$ имеет коразмерность 1, то Хан-Банах прост.

Лемма (одномерная теорема мажорированное продолжение) - Пусть $X$ вещественное векторное пространство, $р : X \to R$ сублинейный функция $F : M \to R$ линейный функционал на надлежащем векторное подпространство $M \subseteq X$ такое , что $F \leq р$ на $М$ (т.е. $F (м) \leq р (м)$ для все $т \in M$ ), а $х \in х$ векторы не в м . Существует линейное продолжение $F : M \oplus R x \to R$ функции $f$ до $M \oplus R x = span {M, x}$ такое, что $F \leq p$ на $M \oplus R x$ .

Доказательство -

Чтобы доказать эту лемму, $т, п \in M$ . По свойствам линейности наших функций

- p (- x - n) - f (n) \leq p (m + x) - f (m)

.

В частности, пусть

{\ displaystyle a = \ sup _ {n \ in M} [- p (-xn) -f (n)],}

а также

{\ Displaystyle б = \ inf _ {м \ в М} [п (м + х) -f (м)]}

Тогда мы заключаем «решающее неравенство», что для любого

a \leq b

. Итак, пусть

c \in [a, b]

и положим

F (m + rx) = f (m) + rc

; тогда

F (m + rx) \leq p (m) + rc \leq p (m + rx)

Обратное неравенство аналогично.

Теперь применим лемму Цорна : возможные расширения $е$ частично упорядочены по расширению друг от друга, так что расширение максимальный $F$ . Согласно результату коразмерности 1, если $F$ не определен на всем $X$ , то его можно продолжить. Таким образом, $F$ , как утверждается, должен быть определен везде.

В локально выпуклых пространствах

В приведенном выше виде расширяемый функционал уже должен быть ограничен сублинейной функцией. В некоторых приложениях это может быть почти напрасным вопросом . Однако в локально выпуклых пространствах любой непрерывный функционал уже ограничен нормой , которая является сублинейной. Таким образом, есть

Непрерывные расширений на локально выпуклых пространствах - Пусть $Х$ будет локально выпуклое топологическое векторное пространство над K (либо R или C ), $М$ векторное подпространство $X$ , а $е$ непрерывный линейный функционал на $М$ . Тогда $F$ имеет непрерывное линейное продолжение на все $X$ . Если топология на $X$ возникает из нормы , то норма $f$ сохраняется этим расширением.

В терминах теории категорий поле $K$ является инъективным объектом в категории локально выпуклых векторных пространств.

Отношение к аксиоме выбора

В приведенном выше доказательстве используется лемма Цорна, эквивалентная выбранной аксиоме . Теперь известно (см. Ниже), что лемма об ультрафильтре (или, что эквивалентно, теорема о булевом простом идеале ), которая немного слабее, чем выбранная аксиома, на самом деле достаточно сильна.

Теорема Хана – Банаха эквивалентна следующему:

(∗): На каждой булевой алгебре

B

существует «вероятностный заряд», то есть непостоянное конечно аддитивное отображение из

B

в

[0, 1]

.

(Теорема булевого простого идеала эквивалентна утверждению, что всегда существуют непостоянные вероятностные заряды, которые принимают только значения 0 и 1.)

В теории множеств Цермело – Френкеля можно показать, что теоремы Хана – Банаха достаточно, чтобы вывести существование измеримого по Лебегу множества. Более того, из теоремы Хана – Банаха следует парадокс Банаха – Тарского .

Для сепарабельных банаховых пространств Д. К. Браун и С. Г. Симпсон доказали, что теорема Хана – Банаха следует из WKL ₀ , слабой подсистемы арифметики второго порядка, которая принимает форму леммы Кёнига, ограниченной на бинарные деревья, в качестве аксиомы. Фактически, они доказывают, что при слабом наборе предположений они эквивалентны, что является примером обратной математики .

«Геометрические Хана – Банаха» (теоремы Хана – Банаха о разделимости)

Ключевым элементом теоремы Хана – Банаха является результат о разделении двух выпуклых множеств: ${- p (- x - n) - f (n): n \in M$ } и ${p (m + x) - f (m): m \in M$ }. Аргументы такого рода широко используются в выпуклой геометрии , теории оптимизации и экономике . С этой целью леммы, полученные из исходной теоремы Хана – Банаха, известны как теоремы Хана – Банаха об отделимости .

Теорема - Пусть $X$ будет реальный локально выпуклое топологическое векторное пространство и пусть и $B$ непустые выпуклые подмножества. Если $Int$ $A$ $\neq \emptyset$ и $B$ $\cap Int$ $A$ $= \emptyset,$ то существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $sup$ $f$ $($ $A$ $) \leq inf$ $f$ $($ $B$ $)$ и $f$ $($ $a$ $) <inf$ $f$ $($ $B$ $)$ для всех $a$ $\in Int$ $A$ (такое $f$ обязательно ненулевое).

Часто предполагается, что выпуклые множества имеют дополнительную структуру; т.е. они открыты или компактны . В таком случае вывод можно существенно усилить:

Теорема - Пусть $X$ вещественное топологическое векторное пространство и выбрать $,$ $B$ выпуклые непустые непересекающиеся подмножества $X$ .

Если открыта , то и $B$ являются отделены друг от друга (замкнутой) гиперплоскости . Явно, это означает , что существует непрерывное линейное отображение $F$ $:$ $X$ $\to$ $K$ и $˙s$ $\in$ $R$ такое , что $F$ $($ $) <$ $s$ $\leq$ $F$ $($ $б$ $)$ для всех $\in$ $A$ $,$ $б$ $\in$ $B$ . Если и $A,$ и $B$ открыты, то правая часть также может считаться строгой.
Если $X$ локально выпукло, компактно и $Б$ замкнут, то и $B$ являются строго разделены : существует непрерывное линейное отображение $F$ $:$ $X$ $\to$ $K$ и $s$ $,$ $т$ $\in$ $R$ такое , что $F$ $($ $) <$ $т$ $<$ $с$ $<$ $е$ $($ $б$ $)$ для всех $\in$ $A$ $,$ $б$ $\in$ $B$ .

Если $X$ является сложным, то один и тем же требование держать, но для действительной части от $е$ .

Одно важное следствие известно как геометрическая теорема Хана – Банаха или теорема Мазура .

Теорема (Мазур) - Пусть $М$ векторное подпространство топологического векторного пространства $X$ . Пусть $К$ есть непустое выпуклое открытое подмножество $X$ с $K \cap M = \emptyset$ . Тогда существует замкнутая гиперплоскость (Коразмерность-1 векторное подпространство) $N \subseteq X$ , который содержит $M$ , но по- прежнему не пересекается с $K$ .

Чтобы увидеть, что теорема Мазура следует из теорем Хана-Банаха об отделимости, заметим, что $M$ выпукло, и применим первый пункт. Теорема Мазура поясняет, что векторные подпространства (даже незамкнутые) можно охарактеризовать линейными функционалами.

Следствие (Разделение подпространстве и открытое множество выпукло) - Пусть $X$ локально выпуклое векторное пространство, $М$ векторное подпространство и $U$ непустое открытое выпуклое подмножество пересекается с $М$ . Тогда существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f (m) = 0$ для всех $m \in M$ и $Re f > 0$ на $U$

Поддерживающие гиперплоскости

Поскольку точки тривиально выпуклы , геометрический Хан-Банах подразумевает, что функционалы могут обнаруживать границу множества. В частности, пусть $X$ - вещественное топологическое векторное пространство и $A \subseteq X$ выпукло с $Int A \neq \emptyset$ . Если то есть функционал , который исчезает в $виде$ $0$ , но поддерживается на внутренней $А$ . ${\ displaystyle a_ {0} \ in A \ setminus \ operatorname {Int} A}$

Назовите нормированное пространство $X$ гладким, если в каждой точке $x$ его единичного шара существует единственная замкнутая гиперплоскость, ведущая к единичному шару в $x$ . Кете показал в 1983 г., что нормированное пространство гладко в точке $x$ тогда и только тогда, когда норма дифференцируема по Гато в этой точке.

Сбалансированные или дисковые кварталы

Пусть $U$ выпуклой сбалансирована окрестность 0 в локально выпуклом топологическом векторном пространстве $X$ и пусть $х \in X$ не является элемент $U$ . Тогда существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что

sup | f (U) | \leq | f (x) |

.

Приложения

Теорема Хана – Банаха является первым признаком важной философии функционального анализа : чтобы понять пространство, нужно понимать его непрерывные функционалы .

Так , например, линейные подпространства характеризуются функционалов: если $Х$ представляет собой нормированное векторное пространство с линейным подпространством $М$ (не обязательно замкнут) , и если $г$ есть элемент $X$ не в замыкании на $M$ , то существует непрерывное линейное отображение $п : X \to K$ с $f (x) = 0$ для всех $x$ в $M$ , $f (z) = 1$ и $|| f || = dist (z, M) -1$ . (Чтобы убедиться в этом, заметьте, что $dist (\cdot, M)$ - сублинейная функция.) Более того, если $z$ - элемент $X$ , то существует непрерывное линейное отображение $f : X \to K$ такое, что $f (z) = || z ||$ и $|| f || \leq 1$ . Отсюда следует, что естественная инъекция $J$ из нормированного пространства $X$ в его двойное двойственное $V ' '$ изометрично.

Этот последний результат также предполагает, что теорему Хана – Банаха можно часто использовать для поиска «более хорошей» топологии, с которой можно работать. Например, многие результаты функционального анализа предполагают, что пространство является хаусдорфовым или локально выпуклым . Однако, предположит , что $X$ является топологическим векторным пространством, не обязательно Хаусдорф или локально выпуклым , но с непустым, собственно выпуклым, открытым множеством $М$ . Тогда из геометрического Хана-Банаха следует, что существует гиперплоскость, отделяющая $M$ от любой другой точки. В частности, должен существовать отличный от нуля функционал на $X$ - то есть, непрерывное сопряженное пространство $X *$ является нетривиальным. Если рассматривать $X$ со слабой топологией, индуцированной $X *$ , то $X$ становится локально выпуклым; согласно второму пункту геометрического Хана-Банаха, слабая топология на этом новом пространстве разделяет точки . Таким образом, $X$ с этой слабой топологией становится хаусдорфовым . Иногда это позволяет применять некоторые результаты из локально выпуклых топологических векторных пространств к нехаусдорфовым и нелокально выпуклым пространствам.

Уравнения с частными производными

Теорема Хана – Банаха часто бывает полезной, когда кто-то хочет применить метод априорных оценок . Предположим , что мы хотим решить линейное дифференциальное уравнение $Pu = п$ для $ц$ , с $е$ заданной в некотором банаховом пространстве $X$ . Если мы имеем контроль над размером $ц$ в терминах , и мы можем думать о $ц$ как линейный ограниченный функционал на некотором подходящем пространстве пробных функций $г$ , то мы можем рассматривать $F$ как линейный функционал на примыкании: . Во - первых, этот функционал определен только на изображении $Р$ , но используя теорему Хана-Банаха, мы можем попытаться распространить его на всю области значений $X$ . Результирующий функционал часто определяется как слабое решение уравнения . ${\ Displaystyle \ | F \ | _ {X}}$ ${\ Displaystyle (е, г) = (и, P ^ {*} г)}$

Характеризация рефлексивных банаховых пространств

Теорема - вещественное банахово пространство рефлексивно тогда и только тогда , когда каждая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одна из которых ограничена, могут быть строго отделены друг от гиперплоскости.

Пример из теории Фредгольма

Чтобы проиллюстрировать реальное применение теоремы Хана – Банаха, мы докажем результат, который почти полностью следует из теоремы Хана – Банаха.

Предложение - Пусть $X$ хаусдорфово локально выпуклое TVS над полем $K$ и $Y$ представляет собой векторное подпространство в $X$ , который является TVS-изоморфно $K I$ для некоторого множества $I$ . Тогда $Y$ является замкнутым и дополняемым векторным подпространством $X$ .

Доказательство -

Так как $К я$ полный ТВС так Y , и так как любое полное подмножество хаусдорфового TVS замкнуто, Y представляет собой замкнутое подмножество $X$ . Пусть $f = (f i) i \in I : Y \to K I$ - изоморфизм TVS, так что каждый $f i : Y \to K$ является непрерывным сюръективным линейным функционалом. По теореме Хана-Банаха, мы можем распространить каждое $е I$ до линейного непрерывного функционала $F я : X \to K$ на $X$ . Пусть $F : = (F i) i \in I : X \to K I,$ так что $F$ - непрерывная линейная сюръекция такая, что ее ограничение на $Y$ есть $F | Y = (F i | Y) i \in I = (f i) i \in I = f$ . Отсюда следует , что если мы определим $P : = F -1 \circ F : X \to Y$ , то ограничение на $Y$ этого непрерывного линейного отображения $Р | Y : Y \to Y$ - тождественное отображение $1 Y$ на $Y$ для $P | Y = f -1 \circ F | Y = F -1 \circ е = 1 У$ . Так, в частности, $P$ является непрерывной линейной проекцией на $Y$ (т.е. $P \circ P = P$ ). Таким образом, $Y$ дополняется в $X$ и $X = Y \oplus ker P$ в категории TVS. ∎

Можно использовать предыдущий результат , чтобы показать , что каждое замкнутое векторное подпространство $R N$ дополняется и либо конечный размерный либо ТВС-изоморфных $R N$ .

Обобщения

Общий шаблон

Сейчас существует множество других версий теоремы Хана – Банаха. Общий шаблон для различных версий теоремы Хана – Банаха, представленных в этой статье, выглядит следующим образом:

X

- векторное пространство,

p

- сублинейная функция на

X

(возможно, полунорма ),

M

- векторное подпространство в

X

(возможно, замкнутое), а

f

- линейный функционал на

M,

удовлетворяющий

| f | \leq p

на

M

(и, возможно, некоторые другие условия). Тогда можно сделать вывод, что существует линейное продолжение

F

функции

f

на

X

такое, что

| F | \leq p

на

X

(возможно, с дополнительными свойствами).

Для полунорм

Хана-Банах для полунормов - Если $М$ является векторным подпространством $X$ , $р$ является полунормой на $М$ , а $д$ является полунормом на $X$ такое , что $р \leq д | M$ , то существует полунорма $P$ на $X$ такая, что $P | M = p$ и $P \leq q$ .

Доказательство выглядит следующим образом:

Лемма - Пусть $М$ векторное подпространство вещественного или комплексного векторного пространства $X$ , пусть $D$ быть поглощающим диск в $X$ , и пусть $е$ линейный функционал на $М$ такая , что $| f | \leq 1$ на $M \cap D$ . Тогда существует линейный функционал $F$ на $X,$ продолжающий $f$ такой, что $| F | \leq 1$ на $D$ .

пусть $S$ - выпуклая оболочка ${m \in M : p (x) \leq 1} \cup {x \in X : q (x) \leq 1}$ . Заметим, что $S$ - поглощающий диск в $X$ , и назовем его функционал Минковского $q$ . Тогда $р = Р$ на $M$ и $P \leq Q$ на $X$ .

Геометрическое разделение

Теорема Хана-Банаха сэндвич - Пусть $S$ любое подмножество вещественного векторного пространства $X$ , пусть $р$ функция сублинеен на $X$ , и пусть $F : S \to R$ быть любой карте. Если существуют такие положительные числа $a$ и $b$ , что для всех $x, y \in S$ ,

{\ displaystyle 0 \ geq \ inf _ {s \ in S} [p (s-ax-by) -f (s) -af (x) -bf (y)]}

то существует линейный функционал $F$ на $X$ такой , что $F \leq р$ на $X$ и $ф \leq F$ на $S$ .

Максимальное линейное расширение

Теорема (Andenaes, 1970) - Пусть $М$ векторное подпространство вещественного векторного пространства $X$ , $р$ будет сублинейная функция на $X$ , $F$ линейный функционал на $М$ такое , что $F \leq р$ на М , и пусть $S$ быть любое подмножество $X$ . Тогда существует линейный функционал $F$ на $X,$ который расширяет $f$ , удовлетворяет $F \leq p на X$ и является (поточечно) максимальным в следующем смысле: если $G$ - линейный функционал на $X,$ продолжающий $f$ и удовлетворяющий $G \leq p$ на $X$ , то $G \geq F$ следует , что $G = F$ на $S$ .

Векторнозначный Хан-Банах

Теорема - Пусть $X$ и $Y$ векторные пространства над одной и той же области, $М$ векторное подпространство в $X$ и $F : M \to Y$ линейное отображение. Тогда существует линейное отображение $F : X \to Y$ , продолжающее $f$ .

Для нелинейных функций

Следующая теорема Мазура – Орлича (1953) эквивалентна теореме Хана – Банаха.

Мазур-Орлич теорема - Пусть $Т$ произвольное множество, $г : Т \to R$ быть любой вещественный карта, $Х$ быть реальным или комплексное векторное пространство, $V : Т \to X$ любое отображение, и $р$ является функцией сублинеен на $X$ . Тогда следующие эквиваленты:

существует вещественнозначный линейный функционал $F$ на $X$ такой, что $F \leq p$ на $X$ и $r \leq F \circ v$ на $T$ ;
для любого положительного целого числа $n$ , любой последовательности $s 1, ..., s n$ неотрицательных действительных чисел и любой последовательности $t 1, ..., t n$ элементов $T$ , ${\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} s_ {i} r (t_ {i}) \ leq p \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} s_ {i} v ( t_ {i}) \ right).}$

Следующая теорема характеризует , когда любая скалярная функция на $X$ (не обязательно линейный) имеет непрерывное линейное продолжение на все $X$ .

Теорема (принцип расширения) - Пусть $е$ скалярной функции на подмножество $S$ в виде топологической векторного пространства $X$ . Тогда существует непрерывный линейный функционал $F$ на $X,$ продолжающий $f$ тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма $p$ на $X$ такая, что

{\ displaystyle \ left | \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} f (s_ {i}) \ right | \ leq p \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} а_ {i} s_ {i} \ right)}

для всех натуральных чисел $n$ и всех конечных последовательностей $(a i) п я = 1$ скаляров и элементов $(s i) п я = 1$ из $S$ .

Converse

Пусть $X$ - топологическое векторное пространство. Векторное подпространство $M$ в $X$ обладает свойством расширения, если любой непрерывный линейный функционал на $M$ может быть расширен до непрерывного линейного функционала на $X$ , и мы говорим, что $X$ обладает свойством расширения Хана – Банаха ( HBEP ), если каждое векторное подпространство в $X$ имеет свойство расширения.

Теорема Хана – Банаха гарантирует, что каждое хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет HBEP. Для полных метризуемых топологических векторных пространств существует обратное, благодаря Калтону: всякая полная метризуемая TVS со свойством продолжения Хана – Банаха является локально выпуклым. С другой стороны, векторное пространство $X$ несчетной размерности, наделенное тончайшей векторной топологией , тогда это топологические векторные пространства со свойством расширения Хана-Банаха, которое не является ни локально выпуклым, ни метризуемым.

Векторное подпространство $M$ ТВП $X$ обладает свойством отделимости, если для каждого элемента $X$ такого, что $x \notin M$ , существует непрерывный линейный функционал $f$ на $X$ такой, что $f (x) \neq 0$ и $f (m) = 0$ для всех $м \in м$ . Ясно, что непрерывное двойственное пространство ТВП $X$ разделяет точки на $X$ тогда и только тогда, когда ${0}$ обладает свойством разделения. В 1992 году Kakol доказал , что любое бесконечное векторное пространство $X$ , существуют TVS-топологии на $X$ , которые не имеют HBEP , несмотря на достаточно непрерывные линейные функционалы для непрерывного сопряженного пространства для отдельных точек на $X$ . Однако, если $X$ является TVS, то каждое векторное подпространство $X$ имеет свойство расширения тогда и только тогда, когда каждое векторное подпространство $X$ имеет свойство разделения.

Смотрите также

использованная литература

Библиография

ISBN 0-12-622760-8 .
"Теорема Хана – Банаха" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
Адаш, Норберт; Эрнст, Бруно; Кейм, Дитер (1978). Топологические векторные пространства: теория без условий выпуклости . Конспект лекций по математике. 639 . Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 .
Банах, Стефан (1932). Теорье де операции Linéaires [ Теория линейных операций ] (PDF) . Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Архивировано из оригинального (PDF) 11 января 2014 года . Проверено 11 июля 2020 .
Бербериан, Стерлинг К. (1974). Лекции по функциональному анализу и теории операторов . Тексты для выпускников по математике. 15 . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 .
Бурбаки, Николас (1987) [1981]. Sur some espaces vectoriels topologiques [ Топологические векторные пространства: главы 1–5 ]. Annales de l'Institut Fourier . Éléments de mathématique . 2 . Перевод Eggleston, HG; Мадан, С. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190 .
Конвей, Джон (1990). Курс функционального анализа . Тексты для выпускников по математике . 96 (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 .
Эдвардс, Роберт Э. (1995). Функциональный анализ: теория и приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 .
Гротендик, Александр (1973). Топологические векторные пространства . Перевод Чалджуба, Орландо. Нью-Йорк: издательство Gordon and Breach Science. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 .
Ярчоу, Ганс (1981). Локально выпуклые пространства . Штутгарт: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 .
Кете, Готфрид (1983) [1969]. Топологические векторные пространства I . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 159 . Перевод Гарлинга, DJH Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. Руководство по ремонту 0248498 . OCLC 840293704 .
Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
Рид, Майкл и Саймон, Барри, Методы современной математической физики, Vol. 1, Функциональный анализ, раздел III.3. Academic Press, Сан-Диего, 1980. ISBN 0-12-585050-6 .
Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (1997). «Теорема Хана – Банаха: жизнь и времена» . Топология и ее приложения . 77 (2): 193–211. DOI : 10.1016 / s0166-8641 (96) 00142-3 .
Рид, Майкл; Саймон, Барри (1980). Функциональный анализ (перераб. И доп. Ред.). Бостон, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-585050-6.
Робертсон, Алекс П .; Робертсон, Венди Дж. (1980). Топологические векторные пространства . Кембриджские трактаты по математике . 53 . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 .
Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 .
Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
Шмитт, Лотар М. (1992). «Эквивариантная версия теоремы Хана – Банаха» . Хьюстон Дж. Математика . 18 : 429–447.
Шехтер, Эрик (1996). Справочник по анализу и его основам . Сан-Диего, Калифорния: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365 .
Шварц, Чарльз (1992). Введение в функциональный анализ . Нью-Йорк: М. Деккер. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 .
Тао, Теренс , теорема Хана – Банаха, теорема Менгера и теорема Хелли
Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .
Виланский, Альберт (2013). Современные методы в топологических векторных пространствах . Минеола, Нью-Йорк: ISBN Dover Publications, Inc. 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .
Виттсток, Герд, оператор Эйна , Вертигер Хан-Банах Зац, J. Функционального анализа 40 (1981), 127–150
Зейдлер, Эберхард, Прикладной функциональный анализ: основные принципы и их приложения , Springer, 1995.

Languages

In other projects

Теорема Хана – Банаха - Hahn–Banach theorem

СОДЕРЖАНИЕ

История

Теорема Хана – Банаха.

Доказательство

В локально выпуклых пространствах

Отношение к аксиоме выбора

«Геометрические Хана – Банаха» (теоремы Хана – Банаха о разделимости)

Поддерживающие гиперплоскости

Сбалансированные или дисковые кварталы

Приложения

Уравнения с частными производными

Характеризация рефлексивных банаховых пространств

Пример из теории Фредгольма

Обобщения

Для полунорм

Геометрическое разделение

Максимальное линейное расширение

Векторнозначный Хан-Банах

Для нелинейных функций

Converse

Смотрите также

использованная литература

Библиография