Структура группы и аксиома выбора - Group structure and the axiom of choice

В математике группа представляет собой набор вместе с бинарной операцией на множестве называется умножением , подчиняющиеся группы аксиом . Аксиома аксиома ZFC теории множеств , которые в одной форме гласит , что каждый набор может быть wellordered .

В теории множеств ZF , то есть ZFC без аксиомы выбора, следующие утверждения эквивалентны:

• Для любого непустого множества X существует бинарная операция • такая, что ( X , •) - группа.
• Аксиома выбора верна.

Из групповой структуры следует аксиома выбора

В этом разделе предполагается, что каждое множество X может быть наделено групповой структурой ( X , •) .

Пусть X - множество. Пусть ℵ ( X ) быть в числе Гартогса из X . Это наименее кардинальное число такое , что не существует инъекции из ℵ ( X ) в X . Он существует без предположения аксиомы выбора. Предположим здесь для технической простоты доказательства, что X не имеет порядкового номера . Обозначим через • умножение в группе ( X ∪ ℵ ( X ), •) .

Для любого x ∈ X существует α ∈ ℵ ( X ) такое, что x • α ∈ ℵ ( X ) . Предположим, что нет. Тогда существует y ∈ X такой, что y • α ∈ X для всех α ∈ ℵ ( X ) . Но согласно элементарной теории групп все y • α различны, поскольку α пробегает ℵ ( X ) ( i ). Таким образом , такая у дает инъекции из ℵ ( X ) в X . Это невозможно, так как ℵ ( X ) - такой кардинал, что инъекции в X не существует.

Теперь определим отображение j из X в ℵ ( X ) × ℵ ( X ), наделенное лексикографическим порядком , отправив x ∈ X наименьшему (α, β) ∈ ℵ ( X ) × ℵ ( X ) таким, что x • α = β . По приведенным выше рассуждениям отображение j существует и уникально, поскольку уникальны наименьшие элементы подмножеств упорядоченных множеств. Согласно элементарной теории групп, он инъективен.

Наконец, определим порядок на X как x < y, если j ( x ) < j ( y ) . Отсюда следует, что каждое множество X может быть упорядочено и, следовательно, верна выбранная аксиома.

Для выполнения ключевого свойства, выраженного в ( i ) выше, и, следовательно, всего доказательства, достаточно, чтобы X была сократительной магмой , например, квазигруппой . Свойство отмены достаточно, чтобы гарантировать, что y • α все разные.

Из выбранной аксиомы следует структура группы

Любое непустое конечное множество имеет групповую структуру как циклическую группу, порожденную любым элементом. В предположении аксиомы выбора, каждый бесконечное множество X является равносильным с уникальным кардинальным числом | X | что равняется алефу . Используя аксиому выбора, можно показать, что для любого семейства множеств S | ⋃ S | ≤ | S | × sup {| s | : s ∈ S } ( A ). Более того, по теореме Тарского о выборе , другом эквиваленте аксиомы выбора, | X | ⁿ = | X | для всех конечных n ( B ).

Пусть X бесконечное множество , и пусть F обозначим множество всех конечных подмножеств X . Существует естественное умножение • на F . Для f , g ∈ F пусть f • g = f Δ g , где Δ обозначает симметричную разность . Это превращает ( F , •) в группу с пустым множеством Ø , являющимся тождеством, а каждый элемент - своим собственным обратным; f Δ f = Ø . Свойство ассоциативности , то есть ( f Δ g ) Δ h = f Δ ( g Δ h ) , проверяется с использованием основных свойств объединения и разности множеств . Таким образом, F - группа с умножением Δ .

Любой набор , который может быть введен в биекцию с группой становится группой через биекцию. Будет показано, что | X | = | F | , а значит, между X и группой ( F , •) существует взаимно однозначное соответствие . Для n = 0,1,2, ... пусть F _n - подмножество F, состоящее из всех подмножеств мощности ровно n . Тогда F является объединением непересекающихся из F _п . Число подмножеств X мощности n не превосходит | X | ^п потому , что каждое подмножество с п элементов является элементом п -кратной декартово произведение X ^п из X . Итак | F _n | ≤ | X | ⁿ = | X | для всех n ( C ) согласно ( B ).

Объединяя эти результаты, мы видим, что | F | = | ⋃ _{n ∈ ω} F _n | ≤ ℵ ₀ · | X | = | X | согласно ( A ) и ( C ). Кроме того, | F | ≥ | X | , поскольку F содержит все синглтоны. Таким образом, | X | ≤ | F | и | F | ≤ | X | , Следовательно, по теореме Шредера-Бернштейна , | F | = | X | . Это в точности означает, что между X и F существует биекция j . Наконец, для x , y ∈ X определим x • y = j ⁻¹ ( j ( x ) Δ j ( y )) . Это превращает ( X , •) в группу. Следовательно, каждое множество допускает групповую структуру.

Набор ZF без групповой структуры

Существуют модели ZF, в которых аксиома выбора не работает. В такой модели есть наборы, которые не могут быть хорошо упорядочены (назовите эти «плохо упорядоченные» наборы). Пусть X - любое такое множество. Теперь рассмотрим множество Y = X ∪ ℵ ( X ) . Если бы Y имел групповую структуру, то, согласно построению в первом разделе, X можно было бы хорошо упорядочить. Это противоречие показывает, что на множестве Y нет групповой структуры .

Если набор таков, что он не может быть наделен групповой структурой, то он обязательно не подлежит порядку. В противном случае конструкция во втором разделе действительно дает групповую структуру. Однако эти свойства не эквивалентны. А именно, наборы, которые нельзя упорядочить, могут иметь групповую структуру.

Например, если есть какой-либо набор, то он имеет групповую структуру с симметричной разницей, как групповая операция. Конечно, если нельзя хорошо упорядочить, то и нельзя . Один интересный пример наборов, которые не могут нести групповую структуру, - это наборы со следующими двумя свойствами: ${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle X}$${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X)}$${\ displaystyle X}$

1. ${\ displaystyle X}$ является бесконечным дедекиндово-конечным множеством. Другими словами, не имеет счетно бесконечного подмножества. ${\ displaystyle X}$
2. Если разбивается на конечные множества, то все, кроме конечного числа, являются одиночными. ${\ displaystyle X}$

Чтобы увидеть, что комбинация этих двух не может допускать групповую структуру, обратите внимание, что данная перестановка такого множества должна иметь только конечные орбиты, и почти все они обязательно являются одиночными, что означает, что большинство элементов не перемещаются перестановкой. Теперь рассмотрим перестановки, заданные как , для которых не является нейтральным элементом, существует бесконечно много таких, что , по крайней мере, один из них также не является нейтральным элементом. Умножение на дает, что фактически является элементом идентичности, что является противоречием. ${\ Displaystyle х \ mapsto \ cdot x}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle x}$${\ Displaystyle а \ cdot х = х}$${\ displaystyle x ^ {- 1}}$${\ displaystyle a}$

Существование такого набора согласуется, например, с первой моделью Коэна. Удивительно, однако, что быть бесконечным конечным по Дедекинду множеством недостаточно, чтобы исключить групповую структуру, поскольку согласовано, что существуют бесконечные конечные по Дедекинду множества с множеством конечных по Дедекинду степеней. ${\ displaystyle X}$

Заметки

Рекомендации

• Хайнал, А .; Кертес, А. (1972). «Некоторые новые алгебраические эквиваленты аксиомы выбора». Publ. Математика. Дебрецен . 19 : 339–340.
• Рубин, Герман; Рубин, Жан Э. (июль 1985 г.). Эквиваленты аксиомы выбора II . Северная Голландия / Эльзевир. ISBN   0-444-87708-8 .
• Jech, Томас (2002). Теория множеств, издание третьего тысячелетия (переработанное и дополненное) . Springer. ISBN   3-540-44085-2 .
• Коэн, Пол Дж. (1966). Теория множеств и гипотеза континуума . Бенджамин, Нью-Йорк.
• Адкинс; Вайнтрауб (1992). Алгебра . Тексты для выпускников по математике. 136 . Springer.