Аксиома - Axiom


Из Википедии, свободной энциклопедии

Аксиома или постулат является утверждение , что берется верно , чтобы служить в качестве помещения или отправной точкой для дальнейших рассуждений и аргументов. Слово происходит от греческой Аксиомы ( ἀξίωμα ) «тот , который , как считается достойным или нужными» или «то , что выражает себя как очевидно.

Термин имеет тонкие различия в определении , когда используется в контексте различных областей исследования. Как определено в классической философии , аксиомой является утверждение , что так очевидно или хорошо установлено, что оно принято без споров или вопросов. Как используется в современной логике , аксиомой является предпосылкой или отправной точкой для рассуждений.

Как используется в математике , термин аксиома используется в двух взаимосвязанных , но различимых смыслах: «логических аксиомы» и «не-логических аксиомах» . Логические аксиомы обычно являются утверждения, которые принимаются , чтобы быть правдой в системе логики они определяют (например, ( и B ) следует ), часто изображается в символической форме, в то время как не-логические аксиомы (например, + Ь = Ь + ), на самом деле по существу утверждения об элементах области определенной математической теории (например, арифметике ). При использовании в последнем смысле, «аксиома», «постулат», и «предположение» может использоваться как взаимозаменяемые. В общем, не-логической аксиомой не является самоочевидной истиной, а скорее формальное логическое выражение , используемое в дедукции , чтобы построить математическую теорию. Аксиоматизировать систему знаний, чтобы показать , что его требование может быть получено из небольшого, хорошо изученного множества предложений (аксиомы). Есть несколько способов , как правило , аксиоматизировать данную математическую область.

Любая аксиома является утверждением , что служит в качестве отправной точки , из которых логически производной других заявлений. Является ли это имеет смысл (и, если да, то что это значит) за аксиому быть «истинным» является предметом дискуссий в философии математики .

Этимология

Слово аксиома происходит от греческого слова ἀξίωμα ( Аксиома ), в отглагольное существительное от глагола ἀξιόειν ( axioein ), что означает « чтобы считать достойным», но и «требовать», который , в свою очередь , происходит от ἄξιος ( Вардар ), что означает " находясь в балансе», и , следовательно , „имеющий (то же самое) значения (как)“,„достойный“,„правильный“. Среди древних греческих философов аксиома была требование , которое можно было бы увидеть , чтобы быть правдой , без необходимости доказательства.

Корневое значение слова постулата является «спрос»; например, Евклида требует , чтобы один согласиться , что некоторые вещи можно сделать, например , любые две точки могут быть соединены прямой линией и т.д.

Древние геометры сохраняются некоторое различие между аксиомами и постулатами. Комментируя книги Евклида, Прокл отмечает , что, " Гемин считал , что это [четвёртым] Постулат не должен быть классифицирован как постулат , а как аксиома, так как это не так, как первые три постулатов, утверждать возможность некоторой конструкции , но выражает существенное свойство «. Боэций переводится как «постулата» как petitio и называются аксиомами notiones коммун , но в более поздних рукописях это использование не всегда строго соблюдаться.

Историческое развитие

Ранние греки

Логико-дедуктивный метод , в котором выводы (новые знания) следует из помещений (старые знания) путем применения звуковых аргументов ( силлогизмы , правила вывода), было разработано древними греками, и стал основным принципом современной математики. Тавтологии исключенные, ничто не может быть выведено , если ничего не предполагается. Аксиомы и постулаты являются основным предположением , лежащим в данное тело дедуктивных знаний. Они принимаются без доказательств. Все остальные утверждения ( теоремы , если мы говорим о математике) должны быть доказаны с помощью этих базовых допущений. Однако, интерпретация математического знания изменилась с древних времен до современного, и , следовательно , условия аксиомы и постулат провести несколько иное значение для современного математика, чем они сделали для Аристотеля и Евклида .

Древние греки считали геометрию , как только один из нескольких наук , и держали теоремы геометрии наравне с научными фактами. Как таковые, они разработали и использовали логико-дедуктивной метод как средство избежать ошибки, а также для структурирования и передачи знаний. Аристотель аналитика является окончательным изложением классического вида.

«Аксиома», в классической терминологии, называется самоочевидным предположение, общего для многих отраслей науки. Хорошим примером может служить утверждение, что

Когда равное количество берется из равных, приводит равное количество.

В основе различных наук лежали некоторые дополнительные гипотезы , которые были приняты без доказательства. Такая гипотеза называется постулатом . В то время как аксиомы являются общими для многих наук, постулаты каждой конкретной науки были различны. Их действие должно было быть установлено с помощью реального опыта. Действительно, Аристотель предупреждает , что содержание науки не может быть успешно передан, если обучающиеся сомнения по поводу истинности постулатов.

Классический подход хорошо иллюстрируются Евклид , где список постулатов дан (общие бы бессмысленно геометрические факты , извлеченные из нашего опыта), за которым следует список «общих понятия» (очень простые, самоочевидные утверждения).

Постулаты
  1. Можно нарисовать прямую линию из любой точки в любую другую точку.
  2. Можно продлить отрезок непрерывно в обоих направлениях.
  3. Можно описать круг с любым центром и любым радиусом.
  4. Это правда , что все прямые углы равны друг другу.
  5. ( « Постулата ») Это правда , что, если прямая , падающая на две прямые линии делают внутренние углы на той же стороне , меньше двух прямых углов, две прямые линии, если их бесконечно, пересекаются на той стороне , на которой на углы меньше двух прямых углов.
Общие понятия
  1. Вещи, которые равны одной и той же вещи, также равны друг другу.
  2. Если равно будут добавлены в равных, и целые будут равны.
  3. Если равно вычитаются из равных, остатки равны.
  4. Вещи, которые совпадают друг с другом, равны друг другу.
  5. Целое больше части.

Современное развитие

Урок , извлеченный по математике в последние 150 лет, что это полезно , чтобы лишить смысл от математических утверждений (аксиомы, постулаты, предложения , теорема) и определения. Нужно признать необходимость примитивных понятий , или неопределенных терминов и понятий, ни в одном исследовании. Такая абстракция или формализация делает математическое знание более общее, способными нескольких различных значений, и , следовательно , полезно в различных контекстах. Алессандро Падуа , Марио Pieri и Пеано были пионерами в этом движении.

Структуралисты математик идет дальше, и разрабатывает теорию и аксиомы (например , теории поля , теории групп , топологию , векторные пространства ) без какого - либо конкретного применения в виде. Различие между «аксиомой» и «постулатом» исчезает. Постулаты Евклида прибыльно мотивированы тем, что они приводят к большому богатству геометрических фактов. Правда этих сложных фактов опирается на принятие основных гипотез. Однако, выбрасывая пятый постулат Евклида мы получаем теории , которые имеют смысл в более широком контексте, гиперболической геометрии , например. Мы просто должны быть готовы использовать такие ярлыки , как «линия» и «параллельно» с большей гибкостью. Развитие гиперболической геометрии учил математиков , что постулаты следует рассматривать как чисто формальные заявления, а не как факты , основанные на опыте.

Когда математики используют в полевых аксиомы, намерения еще более абстрактны. Утверждения теории поля не относятся к какой - либо одной конкретной заявке; математик теперь работает в полной абстракции. Есть много примеров полей; теория поля дает правильное представление о них всех.

Это не правильно сказать, что аксиомы теории поля «предложения, которые рассматриваются как истинные без доказательств.» Скорее, полевые аксиомы представляют собой набор ограничений. Если какая-либо данная система сложения и умножения удовлетворяет эти ограничения, то один находится в состоянии мгновенно знать много дополнительной информации об этой системе.

Современная математика формализует свои основы до такой степени , что математические теории можно рассматривать как математические объекты, а сама математика может рассматриваться как ветвь логики . Фреге , Рассел , Пуанкаре , Гильберт и Гедель являются одними из ключевых фигур в этом развитии.

В современном понимании, набор аксиом любая совокупность формально указанных утверждений , из которых другие формально установленные утверждения следуют путем применения вполне определенных правил. С этой точки зрения, логика становится только другой формальной системой. Набор аксиом должен быть последовательным ; это должно быть невозможно вывести противоречие с аксиомой. Набор аксиом должен также быть без резервирования; утверждение , которое может быть выведено из других аксиом не должно рассматриваться в качестве аксиомы.

Это была ранняя надежда современных логиков , что различные ветви математики, возможно , все математики, могли быть получены из последовательной коллекции основных аксиом. Ранний успех формалистической программы была формализация Гильберта евклидовой геометрии , и связанная с ним демонстрацией согласованности этих аксиом.

В более широком контексте, была попытка базировать всю математику на Кантор теории множеств . Здесь появление парадокса Рассела и других подобных антиномий наивной теории множеств подняло возможность , что любая такая система может оказаться несовместимыми.

Формалист проект потерпел решающее поражение, когда в 1931 году Гедель показал , что возможно, для любого достаточно большого набора аксиом ( аксиомы Пеаны , например) , чтобы построить заявление, истинность которого не зависит от того набора аксиом. Как следствие , Гедель доказал , что непротиворечивость теории как арифметики Пеано является недоказуемо утверждением в рамках этой теории.

Разумно верить в непротиворечивости арифметики Пеано , так как оно выполняется с помощью системы натуральных чисел , с бесконечной , но интуитивно доступной формальной системе. Однако, в настоящее время не существует никакого известного способа продемонстрировать последовательность современных аксиом Цермело-Френкеля для теории множеств. Кроме того, с помощью методов принуждения ( Кохен ), можно показать , что гипотеза континуума (Cantor) не зависит от аксиом Цермело-Френкеля. Таким образом, даже это очень общий набор аксиом , не может рассматриваться в качестве окончательного основания для математики.

Другие науки

Аксиомы играют ключевую роль не только в математике, но и в других науках, в частности , в области теоретической физики . В частности, монументальная работа Исаак Ньютон в основном базируются на Евклид аксиом «s, дополненный постулат о неприменении отношения пространства - времени и физике происходящей в ней в любой момент.

В 1905 годе аксиомы Ньютона были заменены на том Альберт Эйнштейн «s специальной теории относительности , а затем те из общей теории относительности .

Еще одна статья Альберта Эйнштейна и его коллеги (см ЭПР парадокс ), почти сразу же противоречит Нильса Бора , в связи с толкованием квантовой механики . Это было в 1935 г. Согласно Бору, эта новая теория должна быть вероятностным , в то время как согласно Эйнштейну это должно быть детерминированным . Следует отметить, что в основе квантово - механической теории, то есть множество «теорем» , полученных им, казалось, быть идентичным. Эйнштейн даже предположил , что это было бы достаточно , чтобы добавить в квантовую механику «скрытые переменные» для обеспечения соблюдения детерминизма. Тем не менее, спустя тридцать лет, в 1964 году, Джон Белл нашел теорему, вовлекая сложные оптические корреляции (см неравенств Белла ), которые дали измеримо разные результаты , используя аксиомы Эйнштейна по сравнению с использованием аксиомы Бора. И это заняло примерно еще двадцать лет , пока эксперимент Alain Aspect не получил результаты в пользу аксиом Боры, а не Эйнштейн. (Аксиомы Боры просто: теория должна быть вероятностной в смысле копенгагенской интерпретации .)

Как следствие, нет необходимости явно ссылаться на аксиомы Эйнштейна, тем более, что они касаются тонких точек на «реальность» и «локальности» экспериментов.

Независимо от того , роль аксиом в математике и в вышеупомянутых науках отличается. В математике один ни «доказывает» , ни «опровержение» аксиома для множества теорем; точка просто , что в концептуальной области , идентифицированной аксиом, теорем логически вытекают. В отличие от этого , в физике сравнение с экспериментами всегда имеет смысл, так как фальсифицированная физическая теория нуждается в модификации.

Математическая логика

В области математической логики , четкое различие между двумя понятиями аксиом: логический и Нелогическим (несколько похож на древнее различие между «аксиомами» и «постулатами» соответственно).

Логические аксиомы

Это некоторые формулы в формальном языке , которые общеобязательные , то есть формулы, которые удовлетворяют каждое присвоение значений. Обычно один принимает в качестве логических аксиом , по крайней мере некоторый минимальный набор тавтологий , что является достаточным для доказательства всех тавтологий в языке; в случае логики предикатов более логические аксиомы , чем, которые необходимы для того, чтобы доказать логические истины , которые не тавтологии в строгом смысле этого слова.

Примеры

Логика высказываний

В логике высказываний распространено брать как логические аксиомы всех формулы из следующих форм, где , и может быть любыми формулами языка и где включенные примитивные связки только « » для отрицания непосредственно следующее предложение и « » для подразумевается от предпосылки к следствию предложений:

Каждая из этих моделей является схема аксиом , правила для генерации бесконечное число аксиом. Например, если , и являются пропозициональные переменные , то и оба экземпляра схемы аксиом 1, и , следовательно , являются аксиомами. Можно показать , что лишь эти три аксиомы SCHEMATA и модус поненс , можно доказать все тавтологии исчисления высказываний. Кроме того , можно показать , что ни одна пара этих схем не является достаточным для доказательства всех тавтологий с модус поненс .

Другая аксиома схема с участием одинаковых или различные наборов исходных связок может быть альтернативна построена.

Эти аксиомы схема также используется в исчислении предикатов , но дополнительные логические аксиомы необходимы , чтобы включать квантор в исчислении.

Логика первого порядка

Аксиома равенства. Пусть будет язык первого порядка . Для каждой переменной , формула

является общеобязательным.

Это означает , что для любого переменного символа формула может рассматриваться как аксиома. Кроме того , в этом примере, для этого , чтобы не попасть в расплывчатости и нескончаемый ряд «примитивных понятий», либо точное понятие о том , что мы имеем в виду (или, если на то пошло, «быть равным») должен быть хорошо известна первая, или чисто формальное и синтаксическое использование символа должно быть приведено в исполнение, только рассматривая его в виде строки , и только строки символов, и математическая логика действительно сделать это.

Другой, более интересный пример схемы аксиома , это то , что дает нам то , что известно как универсальному Инстанцирование :

Схема Axiom для универсального Инстанцирования. Учитывая формулу на языке первого порядка , переменный и термине , который замещаемый для в , формула

является общеобязательным.

Там , где символ обозначает формулы с термином заменяющим . (См Замены переменных .) Неформально, этот пример позволяет утверждать , что, если мы знаем , что некоторое свойство имеет место для каждого , и что означает для конкретного объекта в нашей структуре, то мы должны быть в состоянии требовать . Опять же , мы утверждаем , что формула справедлива , то есть, мы должны быть в состоянии дать «доказательства» этот факт, или более правильно говоря, metaproof . На самом деле, эти примеры метатеорема нашей теории математической логики , так как мы имеем дело с самой концепцией доказательства самого. Помимо этого, мы можем также экзистенциальная Обобщение :

Схема Axiom экзистенциальной обобщении. Учитывая формулу на языке первого порядка , переменный и сроке , который замещаемый для в , формула

является общеобязательным.

Нелогические Аксиомы

Нелогические аксиомы являются формулами , которые играют роль предположений теории конкретной. Рассуждая о двух различных структур, например, натуральные числа и целые числа , может включать в себя одни и те же логические аксиомы; не-логические аксиомы стремятся захватить то , что является особенным о конкретной структуре (или набор структур, таких , как группы ). Таким образом , не логические аксиомы, в отличии от логических аксиом, не являются тавтологией . Другое название для не-логической аксиомой является постулатом .

Почти каждая современная математическая теория исходит из заданного набора нелогических аксиом, и считалась , что в принципе любая теория может быть аксиоматизирована таким образом и формализованная вниз на голом язык логических формул.

Нелогические аксиомы часто просто называют аксиомами в математическом дискурсе . Это вовсе не означает , что он утверждал , что они истинны в некотором абсолютном смысле. Например, в некоторых группах, групповая операция является коммутативной , и это можно утверждать с введением дополнительной аксиомы, но без этой аксиомы мы можем сделать достаточно хорошо развиваемся (более общая) теория групп, и мы можем даже взять его отрицание как аксиому для исследования некоммутативных групп.

Таким образом, аксиома является элементарной основой для формальной логической системы , которая вместе с правилами вывода определит дедуктивную систему .

Примеры

В этом разделе приведены примеры математических теорий, разработанные исключительно из набора нелогических аксиом (аксиомы, в дальнейшем). Строгое рассмотрение любого из этих вопросов начинается с описанием этих аксиом.

Основные теории, такие как арифметика , реальный анализ и комплексный анализ часто вводятся без хрестоматийно, но неявно или явно как правило , возникает предположение , что аксиомы используются являются аксиомы Цермело-Френкеля теории множеств с выбором, сокращенно ZFC, или некоторые очень аналогичная система аксиоматической теории множеств как фон Нейман-Бернайс-Гедель теории множеств , а консервативное расширение в ZFC. Иногда немного сильнее теория , такие как Морс-Kelley теории множеств или теория множеств с сильно недоступным кардиналом , позволяющим использованием вселенной Гротендик используется, но на самом деле большинство математиков могут фактически доказать все , что нужно в системах слабее , чем ZFC, например, второе заказать арифметику .

Изучение топологии в математике простирается во всем через точку множества топологии , алгебраической топологии , дифференциальной топологии , а также все связанные атрибутики, такие как теория гомологии , гомотопической теории . Развитие абстрактной алгебры принесло с собой теорию групп , колец , полей и теории Галуа .

Этот список может быть расширен за счет включения большинство областей математики, в том числе теории меры , эргодической теории , вероятности , теории представлений и дифференциальной геометрии .

арифметика

Эти аксиомы Пеано являются наиболее широко используемой аксиоматизацией из арифметики первого порядка . Они представляют собой набор аксиом , достаточно сильных , чтобы доказать много важных фактов о теории чисел , и они позволили Гедель установить свою знаменитую теорему о неполноте второй .

У нас есть язык , где является постоянным символом и является одноместная функция , и следующие аксиомы:

  1. для любой формулы с одной свободной переменной.

Стандартная структура , где есть множество натуральных чисел, является функцией правопреемника и естественно интерпретировать как число 0.

евклидова геометрия

Вероятно , самый старый и самый известный, список аксиом являются 4 + 1 постулата Евклида о плоской геометрии . Аксиомы упоминаются как «4 + 1» , потому что в течение почти двух тысячелетий пятые (параллельно) постулировать ( «через точку за пределами линии есть ровно один параллельный») подозреваются в том , выводимо из первых четырех. В конечном счете, пятый постулат оказался независимым от первых четырех. Действительно, можно предположить , что ровно одну параллель через точку вне линия существует, или , что бесконечно много существует. Этот выбор дает нам две альтернативные формы геометрии , в которой внутренние углы из более треугольника складываются ровно 180 градусов или меньше, соответственно, и известны как евклидовой и гиперболической геометрии. Если также удаляет второй постулат ( «линия может быть продлен на неопределенный срок») , то эллиптическая геометрия возникает, когда нет параллельных через точку вне линии, и в котором внутренние углы треугольника добавить до более чем 180 градусов ,

Реальный анализ

Цели исследования находятся в области действительных чисел . Реальные числа однозначно выбрали ( с точностью до изоморфизма ) свойств в дедекиндово полном упорядоченном поле , а это означает , что любое непустое множество действительных чисел с верхней границей имеет верхнюю грань. Тем не менее, выражая эти свойства как аксиома требует использования логики второго порядка . В теоремах Löwenheim-сколемовские говорят нам , что если мы ограничимся логика первого порядка , любая система аксиом для вещественных чисел допускают другие модели, включая обе модели, которые меньше , чем реал и модели, которые больше. Некоторые из последних изучены в нестандартном анализе .

Роль в математической логике

Дедуктивные системы и законченность

Дедуктивная система состоит из множества логических аксиом, набора нелогических аксиом, а также набор из правил вывода . Желаемое свойство дедуктивной системы является то , что она будет завершена . Система называется полным , если для всех формул ,

то есть, для любого утверждения , что является логическим следствием из там на самом деле существует такой вывод заявления от . Это иногда выражается как «все , что истинно доказуемо», но следует понимать , что «правда» здесь означает «сделано верно набором аксиом», а не, например, «правда в предполагаемой интерпретации». Теорема Гёделя о полноте устанавливает полноту определенного обычно используемого типа дедуктивной системы.

Обратите внимание , что «полнота» имеет другое значение здесь , чем это делает в контексте теоремы Гёделя первой неполноты , в котором говорится , что ни один рекурсивный , последовательный набор нелогических аксиом в теории арифметики не является полным , в том смысле , что там будет всегда существует арифметическое утверждение таким образом, что ни один, ни не может быть доказан из данного набора аксиом.

Существует, таким образом, с одной стороны, понятие полноты дедуктивной системы , а с другой стороны , что из полноты набора нелогических аксиом . Теорема о полноте и теорема о неполноте, несмотря на их имена, не противоречат друг другу.

Дальнейшее обсуждение

Ранние математики считали аксиоматической геометрии в качестве модели физического пространства , и , очевидно , может быть только одна такая модель. Идея , что , возможно , существует альтернативные математические системы очень задевать математик 19 века и разработчикам систем , такие как булева алгебра сделала сложные усилия по извлечению их из традиционной арифметики. Галуа показал , незадолго до своей безвременной смерти , что эти усилия в основном были потрачены впустую. В конечном счете, абстрактные параллели между алгебраическими системами были замечены более важными , чем детали и современная алгебра рождения. В современной точки зрения аксиом может быть любой набор формул, до тех пор , пока они не известны несовместимыми.

Смотрите также

Рекомендации

дальнейшее чтение

внешняя ссылка