Замена переменных - Change of variables

В математике замена переменных - это базовый метод, используемый для упрощения задач, в которых исходные переменные заменяются функциями других переменных. Смысл в том, что при выражении в новых переменных проблема может стать проще или эквивалентной более понятной проблеме.

Замена переменных - это операция, связанная с заменой . Однако это разные операции, что можно увидеть при рассмотрении дифференциации ( цепное правило ) или интеграции ( интеграция путем замены ).

Очень простой пример полезной замены переменной можно увидеть в задаче нахождения корней многочлена шестой степени:

Полиномиальные уравнения шестой степени, как правило, невозможно решить в терминах радикалов (см. Теорему Абеля – Руффини ). Однако это конкретное уравнение можно записать

(это простой случай полиномиального разложения ). Таким образом, уравнение можно упростить, задав новую переменную . Подставляя й на в дает многочлен

которое представляет собой квадратное уравнение с двумя решениями:

Решения в терминах исходной переменной получаются заменой x 3 обратно на u , что дает

Затем, предполагая, что вас интересуют только реальные решения, решения исходного уравнения имеют вид

Простой пример

Рассмотрим систему уравнений

где и - натуральные числа с . (Источник: AIME 1991 г. )

Обычно это не так сложно, но может оказаться немного утомительным. Однако мы можем переписать второе уравнение как . Делаем замены и сводим систему к . Решение этого дает и . Обратная подстановка первой упорядоченной пары дает нам решение, которое дает нам решение. Обратная подстановка второй упорядоченной пары дает нам , что не дает решений. Следовательно, решение, которое решает систему, есть .

Официальное введение

Пусть , - гладкие многообразия и пусть - - диффеоморфизм между ними, то есть: является непрерывно дифференцируемым раз, биективным отображением из в с непрерывно дифференцируемыми во времени обратным из в . Здесь может быть любое натуральное число (или ноль), ( гладкое ) или ( аналитическое ).

Отображение называется регулярным преобразованием координат или регулярной заменой переменных , где регулярный относится к -ности . Обычно пишут, чтобы указать замену переменной переменной , подставляя значение in для каждого вхождения .

Другие примеры

Преобразование координат

Некоторые системы легче решить при переходе на полярные координаты . Рассмотрим, например, уравнение

Это может быть функция потенциальной энергии для некоторой физической проблемы. Если решение не сразу видно, можно попробовать замену

данный

Обратите внимание, что если выполняется за пределами интервала длины, например, карта больше не является биективной. Поэтому следует ограничиться, например . Обратите внимание, как исключено, поскольку не является биективным в начале координат ( может принимать любое значение, точка будет отображена в (0, 0)). Затем, заменяя все вхождения исходных переменных новыми выражениями, заданными с помощью тождества , мы получаем

Теперь решения можно легко найти:, так или . Применение обратного показывает, что это эквивалентно while . Действительно, мы видим, что функция равна нулю, за исключением начала координат.

Обратите внимание, что, если бы мы разрешили , источник также был бы решением, хотя это не решение исходной проблемы. Здесь решающее значение имеет биективность . Функция всегда положительна (для ), отсюда и абсолютные значения.

Дифференциация

Цепное правило используются для упрощения сложной дифференциации. Например, рассмотрим задачу вычисления производной

Письмо

мы получили

Интеграция

Сложные интегралы часто можно вычислить, меняя переменные; это разрешено правилом подстановки и аналогично использованию правила цепочки выше. Сложные интегралы также могут быть решены путем упрощения интеграла с использованием замены переменных, заданных соответствующей матрицей Якоби и определителем . Использование определителя Якоби и соответствующего изменения переменной, которое он дает, является основой таких систем координат, как полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.

Дифференциальные уравнения

Изменения переменных для дифференцирования и интегрирования обучаются элементарному исчислению, и шаги редко выполняются полностью.

Очень широкое использование изменений переменных очевидно при рассмотрении дифференциальных уравнений, где независимые переменные могут быть изменены с использованием цепного правила или зависимые переменные изменяются, что приводит к некоторой дифференциации. Экзотические изменения, такие как смешение зависимых и независимых переменных в точечных и контактных преобразованиях , могут быть очень сложными, но дают большую свободу.

Очень часто проблема заменяется общей формой изменения, а параметры подбираются по ходу дела, чтобы максимально упростить проблему.

Масштабирование и смещение

Вероятно, самое простое изменение - это масштабирование и сдвиг переменных, то есть замена их новыми переменными, которые «растягиваются» и «перемещаются» на постоянную величину. Это очень распространено в практических приложениях для получения физических параметров из задач. Для производной n- го порядка изменение просто приводит к

куда

Это легко показать с помощью цепного правила и линейности дифференцирования. Это изменение очень часто встречается в практических приложениях для получения физических параметров из задач, например, краевой задачи

описывает параллельный поток жидкости между плоскими твердыми стенками, разделенными расстоянием δ; μ является вязкостью и градиент давления , обе константы. При масштабировании переменных проблема становится

куда

Масштабирование полезно по многим причинам. Это упрощает анализ как за счет сокращения количества параметров, так и за счет упрощения задачи. Правильное масштабирование может нормализовать переменные, то есть сделать их разумным безразмерным диапазоном, например от 0 до 1. Наконец, если проблема требует числового решения, чем меньше параметров, тем меньше количество вычислений.

Импульс против скорости

Рассмотрим систему уравнений

для данной функции . Масса может быть устранена (тривиальной) заменой . Ясно, что это биективное отображение из в . При подстановке система становится

Лагранжева механика

Учитывая силовое поле , Ньютон «S уравнения движения являются

Лагранж исследовал, как эти уравнения движения изменяются при произвольной замене переменных :

Он обнаружил, что уравнения

эквивалентны уравнениям Ньютона для функции , где T - кинетическая, а V - потенциальная энергия.

Фактически, когда подстановка выбрана правильно (используя, например, симметрии и ограничения системы), эти уравнения намного легче решить, чем уравнения Ньютона в декартовых координатах.

Смотрите также

Рекомендации