Замена переменных - Change of variables
Часть цикла статей о |
Исчисление |
---|
В математике замена переменных - это базовый метод, используемый для упрощения задач, в которых исходные переменные заменяются функциями других переменных. Смысл в том, что при выражении в новых переменных проблема может стать проще или эквивалентной более понятной проблеме.
Замена переменных - это операция, связанная с заменой . Однако это разные операции, что можно увидеть при рассмотрении дифференциации ( цепное правило ) или интеграции ( интеграция путем замены ).
Очень простой пример полезной замены переменной можно увидеть в задаче нахождения корней многочлена шестой степени:
Полиномиальные уравнения шестой степени, как правило, невозможно решить в терминах радикалов (см. Теорему Абеля – Руффини ). Однако это конкретное уравнение можно записать
(это простой случай полиномиального разложения ). Таким образом, уравнение можно упростить, задав новую переменную . Подставляя й на в дает многочлен
которое представляет собой квадратное уравнение с двумя решениями:
Решения в терминах исходной переменной получаются заменой x 3 обратно на u , что дает
Затем, предполагая, что вас интересуют только реальные решения, решения исходного уравнения имеют вид
Простой пример
Рассмотрим систему уравнений
где и - натуральные числа с . (Источник: AIME 1991 г. )
Обычно это не так сложно, но может оказаться немного утомительным. Однако мы можем переписать второе уравнение как . Делаем замены и сводим систему к . Решение этого дает и . Обратная подстановка первой упорядоченной пары дает нам решение, которое дает нам решение. Обратная подстановка второй упорядоченной пары дает нам , что не дает решений. Следовательно, решение, которое решает систему, есть .
Официальное введение
Пусть , - гладкие многообразия и пусть - - диффеоморфизм между ними, то есть: является непрерывно дифференцируемым раз, биективным отображением из в с непрерывно дифференцируемыми во времени обратным из в . Здесь может быть любое натуральное число (или ноль), ( гладкое ) или ( аналитическое ).
Отображение называется регулярным преобразованием координат или регулярной заменой переменных , где регулярный относится к -ности . Обычно пишут, чтобы указать замену переменной переменной , подставляя значение in для каждого вхождения .
Другие примеры
Преобразование координат
Некоторые системы легче решить при переходе на полярные координаты . Рассмотрим, например, уравнение
Это может быть функция потенциальной энергии для некоторой физической проблемы. Если решение не сразу видно, можно попробовать замену
- данный
Обратите внимание, что если выполняется за пределами интервала длины, например, карта больше не является биективной. Поэтому следует ограничиться, например . Обратите внимание, как исключено, поскольку не является биективным в начале координат ( может принимать любое значение, точка будет отображена в (0, 0)). Затем, заменяя все вхождения исходных переменных новыми выражениями, заданными с помощью тождества , мы получаем
Теперь решения можно легко найти:, так или . Применение обратного показывает, что это эквивалентно while . Действительно, мы видим, что функция равна нулю, за исключением начала координат.
Обратите внимание, что, если бы мы разрешили , источник также был бы решением, хотя это не решение исходной проблемы. Здесь решающее значение имеет биективность . Функция всегда положительна (для ), отсюда и абсолютные значения.
Дифференциация
Цепное правило используются для упрощения сложной дифференциации. Например, рассмотрим задачу вычисления производной
Письмо
мы получили
Интеграция
Сложные интегралы часто можно вычислить, меняя переменные; это разрешено правилом подстановки и аналогично использованию правила цепочки выше. Сложные интегралы также могут быть решены путем упрощения интеграла с использованием замены переменных, заданных соответствующей матрицей Якоби и определителем . Использование определителя Якоби и соответствующего изменения переменной, которое он дает, является основой таких систем координат, как полярная, цилиндрическая и сферическая системы координат.
Дифференциальные уравнения
Изменения переменных для дифференцирования и интегрирования обучаются элементарному исчислению, и шаги редко выполняются полностью.
Очень широкое использование изменений переменных очевидно при рассмотрении дифференциальных уравнений, где независимые переменные могут быть изменены с использованием цепного правила или зависимые переменные изменяются, что приводит к некоторой дифференциации. Экзотические изменения, такие как смешение зависимых и независимых переменных в точечных и контактных преобразованиях , могут быть очень сложными, но дают большую свободу.
Очень часто проблема заменяется общей формой изменения, а параметры подбираются по ходу дела, чтобы максимально упростить проблему.
Масштабирование и смещение
Вероятно, самое простое изменение - это масштабирование и сдвиг переменных, то есть замена их новыми переменными, которые «растягиваются» и «перемещаются» на постоянную величину. Это очень распространено в практических приложениях для получения физических параметров из задач. Для производной n- го порядка изменение просто приводит к
куда
Это легко показать с помощью цепного правила и линейности дифференцирования. Это изменение очень часто встречается в практических приложениях для получения физических параметров из задач, например, краевой задачи
описывает параллельный поток жидкости между плоскими твердыми стенками, разделенными расстоянием δ; μ является вязкостью и градиент давления , обе константы. При масштабировании переменных проблема становится
куда
Масштабирование полезно по многим причинам. Это упрощает анализ как за счет сокращения количества параметров, так и за счет упрощения задачи. Правильное масштабирование может нормализовать переменные, то есть сделать их разумным безразмерным диапазоном, например от 0 до 1. Наконец, если проблема требует числового решения, чем меньше параметров, тем меньше количество вычислений.
Импульс против скорости
Рассмотрим систему уравнений
для данной функции . Масса может быть устранена (тривиальной) заменой . Ясно, что это биективное отображение из в . При подстановке система становится
Лагранжева механика
Учитывая силовое поле , Ньютон «S уравнения движения являются
Лагранж исследовал, как эти уравнения движения изменяются при произвольной замене переменных :
Он обнаружил, что уравнения
эквивалентны уравнениям Ньютона для функции , где T - кинетическая, а V - потенциальная энергия.
Фактически, когда подстановка выбрана правильно (используя, например, симметрии и ограничения системы), эти уравнения намного легче решить, чем уравнения Ньютона в декартовых координатах.
Смотрите также
- Замена переменных (PDE)
- Замена переменных для плотностей вероятностей
- Замещающее свойство равенства
- Универсальный экземпляр