Дифференциальная топология - Differential topology

В математике , дифференциальная топология является поле дилинга с топологическими свойствами и гладкие свойствами из гладких многообразий . В этом смысле дифференциальная топология отличается от тесно связанной области дифференциальной геометрии , которая касается геометрических свойств гладких многообразий, включая понятия размера, расстояния и жесткой формы. Для сравнения, дифференциальная топология связана с более грубыми свойствами, такими как количество дырок в многообразии, его гомотопический тип или топология его группы диффеоморфизмов . Поскольку многие из этих более грубых свойств можно уловить алгебраически , дифференциальная топология имеет сильные связи с алгебраической топологией .

Теория Морса функции высоты на торе может описать его гомотопический тип .

Центральной целью области дифференциальной топологии является классификация всех гладких многообразий с точностью до диффеоморфизма . Поскольку размерность является инвариантом гладких многообразий с точностью до типа диффеоморфизма, эту классификацию часто изучают, классифицируя ( связные ) многообразия в каждой размерности отдельно:

• В размерности 1 единственными гладкими многообразиями с точностью до диффеоморфизма являются окружность , прямая с действительными числами и допускающие границу , полузакрытый интервал и полностью замкнутый интервал .${\ displaystyle [0,1)}$${\ displaystyle [0,1]}$
• В размерности 2 каждая замкнутая поверхность классифицируется с точностью до диффеоморфизма по своему роду , количеству дырок (или, что эквивалентно, по эйлеровой характеристике ), а также по тому, ориентируема она или нет . Это знаменитая классификация замкнутых поверхностей . Уже в размерности два классификация некомпактных поверхностей становится сложной из-за существования экзотических пространств, таких как лестница Якоба .
• В размерности 3 гипотеза Уильяма Терстона о геометризации , доказанная Григорием Перельманом , дает частичную классификацию компактных трехмерных многообразий. В эту теорему включена гипотеза Пуанкаре , которая утверждает, что любое замкнутое односвязное трехмерное многообразие гомеоморфно (и фактически диффеоморфно) трехмерной сфере .

Кобордизм ( Вт ; М , N ), которое обобщает понятие диффеоморфизма.

Начиная с измерения 4, классификация становится намного сложнее по двум причинам. Во-первых, каждая конечно представленная группа появляется как фундаментальная группа некоторого 4-многообразия , и, поскольку фундаментальная группа является инвариантом диффеоморфизма, это делает классификацию 4-многообразий не менее сложной, чем классификация конечно представленных групп. С помощью словарной проблемы для групп , которая эквивалентна проблеме остановки , невозможно классифицировать такие группы, поэтому полная топологическая классификация невозможна. Во-вторых, начиная с размерности четыре, можно иметь гладкие многообразия, гомеоморфные, но с различными недиффеоморфными гладкими структурами . Это верно даже для евклидова пространства , допускающего множество экзотических структур. Это означает, что изучение дифференциальной топологии в размерности 4 и выше должно использовать инструменты, действительно выходящие за рамки регулярной непрерывной топологии топологических многообразий . Одной из центральных открытых проблем в дифференциальной топологии является четырехмерная гладкая гипотеза Пуанкаре , которая спрашивает, любое ли гладкое 4-многообразие, гомеоморфное 4-сфере , также диффеоморфно ей. То есть допускает ли 4-сфера более одной гладкой структуры ? Эта гипотеза верна в размерностях 1, 2 и 3, согласно приведенным выше результатам классификации, но, как известно, неверна в размерности 7 из-за сфер Милнора . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {4}}$

Важные инструменты в изучении дифференциальной топологии гладких многообразий включают построение гладких топологических инвариантов таких многообразий, таких как когомологии де Рама или форма пересечения , а также сглаживаемые топологические конструкции, такие как теория гладких перестроек или построение кобордизмов . Теория Морса является важным инструментом , который исследования гладких многообразий, рассматривая критические точки из дифференцируемых функций на многообразии, демонстрируя , как гладкая структура многообразия входит в набор инструментов , доступных. Часто можно использовать более геометрические или аналитические методы, снабдив гладкое многообразие римановой метрикой или изучив на нем дифференциальное уравнение . Необходимо позаботиться о том, чтобы результирующая информация была нечувствительной к этому выбору дополнительной структуры и, таким образом, действительно отражала только топологические свойства лежащего в основе гладкого многообразия. Например, теорема Ходжа обеспечивает геометрическую и аналитическую интерпретацию когомологий де Рама, а калибровочная теория использовалась Саймоном Дональдсоном для доказательства фактов о форме пересечения односвязных 4-многообразий. В некоторых случаях могут появиться методы современной физики , такие как топологическая квантовая теория поля , которая может быть использована для вычисления топологических инвариантов гладких пространств.

Известные теоремы в дифференциальной топологии включают Уитни теоремы вложения , то волосатые теорема шар , то теорема Хопфа , то теорема Пуанкаре-Хопфа , теорема Дональдсона и гипотеза Пуанкаре .

Описание

Дифференциальная топология рассматривает свойства и структуры, для определения которых требуется только гладкая структура на многообразии. Гладкие многообразия «мягче», чем многообразия с дополнительными геометрическими структурами, которые могут действовать как препятствия для определенных типов эквивалентностей и деформаций , существующих в дифференциальной топологии. Например, объем и риманова кривизна являются инвариантами, которые могут различать различные геометрические структуры на одном и том же гладком многообразии, то есть можно плавно «сплющить» определенные многообразия, но для этого может потребоваться исказить пространство и повлиять на кривизну или объем.

С другой стороны, гладкие многообразия более жесткие, чем топологические . Джон Милнор обнаружил, что некоторые сферы имеют более одной гладкой структуры - см. Экзотическая сфера и теорему Дональдсона . Мишель Кервер показал топологические многообразия без гладкой структуры. Некоторые конструкции теории гладких многообразий, такие как существование касательных расслоений , могут быть выполнены в топологической обстановке с гораздо большим объемом работы, а другие - нет.

Одна из основных тем в дифференциальной топологии - изучение специальных видов гладких отображений между многообразиями, а именно погружений и субмерсий , а также пересечений подмногообразий через трансверсальность . В более общем плане интересуются свойствами и инвариантами гладких многообразий, которые переносятся диффеоморфизмами , другим специальным видом гладких отображений. Теория Морса еще одна ветвь дифференциальной топологии, в которой топологическая информация о многообразии выводится из изменений в ранге от якобиан функции.

Список тем о дифференциальной топологии см. В следующей ссылке: Список тем о дифференциальной геометрии .

Дифференциальная топология против дифференциальной геометрии

Дифференциальная топология и дифференциальная геометрия в первую очередь характеризуются сходством . Оба они изучают в первую очередь свойства дифференцируемых многообразий, иногда с множеством наложенных на них структур.

Анимация превращения чашки кофе в пончик

Одно из основных различий заключается в характере проблем, которые пытается решить каждый субъект. С одной точки зрения, дифференциальная топология отличается от дифференциальной геометрии тем, что изучает в первую очередь те проблемы, которые по своей сути являются глобальными . Рассмотрим пример чашки кофе и пончика. С точки зрения дифференциальной топологии пончик и кофейная чашка - это одно и то же (в определенном смысле). Тем не менее, это по своей сути глобальный взгляд, потому что у дифференциального тополога нет способа определить, являются ли два объекта одинаковыми (в этом смысле), глядя только на крошечный ( локальный ) фрагмент любого из них. У них должен быть доступ ко всем ( глобальным ) объектам.

С точки зрения дифференциальной геометрии кофейная чашка и пончик отличаются, потому что невозможно повернуть кофейную чашку таким образом, чтобы ее конфигурация соответствовала конфигурации пончика. Это также глобальный взгляд на проблему. Но важным отличием является то, что геометру не нужен весь объект, чтобы решить это. Глядя, например, на крошечный кусочек ручки, они могут решить, что кофейная чашка отличается от пончика, потому что ручка тоньше (или более изогнута), чем любой кусок пончика.

Короче говоря, дифференциальная топология изучает структуры на многообразиях, которые в определенном смысле не имеют интересной локальной структуры. Дифференциальная геометрия изучает структуры на многообразиях, которые действительно имеют интересную локальную (или иногда даже бесконечно малую) структуру.

С математической точки зрения, например, проблема построения диффеоморфизма между двумя многообразиями одной и той же размерности по своей сути является глобальной, поскольку локально два таких многообразия всегда диффеоморфны. Точно так же проблема вычисления величины на многообразии, инвариантной относительно дифференцируемых отображений, по своей сути является глобальной, поскольку любой локальный инвариант будет тривиальным в том смысле, что он уже представлен в топологии . Более того, дифференциальная топология не обязательно ограничивается изучением диффеоморфизма. Например, симплектическая топология - ответвление дифференциальной топологии - изучает глобальные свойства симплектических многообразий . Дифференциальная геометрия занимается проблемами - которые могут быть локальными или глобальными, - которые всегда обладают некоторыми нетривиальными локальными свойствами. Таким образом, дифференциальная геометрия может изучать дифференцируемые многообразия, снабженные связностью , метрикой (которая может быть римановой , псевдоримановой или финслеровой ), распределением особого вида (например, CR-структурой ) и т. Д. ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Однако это различие между дифференциальной геометрией и дифференциальной топологией размывается в вопросах, конкретно относящихся к локальным инвариантам диффеоморфизма, таким как касательное пространство в точке. Дифференциальная топология также занимается такими вопросами, которые конкретно относятся к свойствам дифференцируемых отображений на (например, касательное расслоение , расслоение струй , теорема Уитни о продолжении и т. Д.). ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$

Различие кратко в абстрактных терминах:

• Дифференциальная топология - это изучение (бесконечно малых, локальных и глобальных) свойств структур на многообразиях, имеющих только тривиальные локальные модули .
• Дифференциальная геометрия - это такое исследование структур на многообразиях, которые имеют один или несколько нетривиальных локальных модулей.

Смотрите также

• Список тем по дифференциальной геометрии
• Глоссарий дифференциальной геометрии и топологии
• Важные публикации по дифференциальной геометрии
• Важные публикации по дифференциальной топологии
• Основное введение в математику искривленного пространства-времени

Примечания

использованная литература

• Блох, Итан Д. (1996). Первый курс геометрической топологии и дифференциальной геометрии . Бостон: Биркхойзер. ISBN 978-0-8176-3840-5.
• Хирш, Моррис (1997). Дифференциальная топология . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90148-0.
• Лашоф, Ричард (декабрь 1972 г.). «Касательное расслоение топологического многообразия». Американский математический ежемесячник . 79 (10): 1090–1096. DOI : 10.2307 / 2317423 . JSTOR  2317423 .
• Кервер, Мишель А. (декабрь 1960 г.). «Многообразие, не допускающее дифференцируемой структуры». Commentarii Mathematici Helvetici . 34 (1): 257–270. DOI : 10.1007 / BF02565940 .

внешние ссылки

• "Дифференциальная топология" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]