Теория Галуа - Galois theory
В математике , теория Галуа , первоначально введенный Галуа , обеспечивает связь между теорией поля и теорией групп . Эта связь, основная теорема теории Галуа , позволяет свести некоторые проблемы теории поля к теории групп, что делает их более простыми и понятными.
Галуа ввел предмет для изучения корней из многочленов . Это позволило ему охарактеризовать полиномиальные уравнения , которые разрешимы радикалами, в терминах свойств группы перестановок их корней - уравнение разрешимо радикалами, если его корни могут быть выражены формулой, включающей только целые числа , корни n- й степени и четыре основных арифметических операции . Это широко обобщает теорему Абеля – Руффини , которая утверждает, что общий многочлен степени не менее пяти не может быть решен с помощью радикалов.
Теория Галуа использовалась для решения классических проблем, включая демонстрацию того, что две проблемы древности не могут быть решены, как они были заявлены ( удвоение куба и деление угла на три части ), и характеристики правильных многоугольников, которые можно построить (эта характеристика была ранее дана Гауссом , но все известные доказательства полноты этой характеризации требуют теории Галуа).
Работа Галуа была опубликована через четырнадцать лет после его смерти Жозефом Лиувиллем . Теория потребовалось больше времени, чтобы стать популярной среди математиков и быть хорошо понятой.
Теория Галуа обобщена связей Галуа и теории Галуа Гротендика .
Приложение к классическим задачам
Рождение и развитие теории Галуа было вызвано следующим вопросом, который был одним из основных открытых математических вопросов до начала 19 века:
Существует ли формула для корней полиномиального уравнения пятой (или более высокой) степени в терминах коэффициентов полинома, использующая только обычные алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и применение радикалов (квадратные корни, кубические корни и т. д.)?
Теорема Абеля – Руффини представляет собой контрпример, доказывающий, что существуют полиномиальные уравнения, для которых такая формула не может существовать. Теория Галуа дает гораздо более полный ответ на этот вопрос, объясняя , почему это является возможным решить некоторые уравнения, в том числе все те степени четыре или ниже, в указанном выше порядке, и почему это не представляется возможным для большинства уравнений пятой степени или выше. Кроме того, он предоставляет средства определения того, можно ли решить конкретное уравнение, которое является концептуально ясным и легко выражается в виде алгоритма .
Теория Галуа также дает ясное представление о вопросах, касающихся задач построения компаса и линейки . Он дает элегантную характеристику соотношений длин, которые могут быть построены с помощью этого метода. Используя это, становится относительно легко ответить на такие классические задачи геометрии, как
- Какие правильные многоугольники можно построить ?
- Почему нельзя разрезать каждый угол пополам с помощью циркуля и линейки ?
- Почему нельзя удвоить куб одним и тем же методом?
История
Предыстория
Теория Галуа возникла при изучении симметрических функций - коэффициенты одночленного многочлена являются (с точностью до знака) элементарными симметричными многочленами в корнях. Например, ( x - a ) ( x - b ) = x 2 - ( a + b ) x + ab , где 1, a + b и ab - элементарные многочлены степени 0, 1 и 2 от двух переменных.
Впервые это было формализовано французским математиком XVI века Франсуа Виетом в формулах Виэта для случая положительных вещественных корней. По мнению британского математика 18-го века Чарльза Хаттона , выражение коэффициентов многочлена через корни (не только для положительных корней) впервые было понято французским математиком 17-го века Альбертом Жираром ; Хаттон пишет:
... [Жирар] был первым человеком, который понял общую доктрину образования коэффициентов степеней из суммы корней и их произведений. Он был первым, кто открыл правила суммирования степеней корней любого уравнения.
В этом ключе дискриминант является симметричной функцией в корнях, которая отражает свойства корней - он равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень, а для квадратичных и кубических многочленов он положителен тогда и только тогда, когда все корни равны действительные и различные, и отрицательные тогда и только тогда, когда существует пара различных комплексно сопряженных корней. Подробнее см. Дискриминант: природа корней .
Кубика была впервые частично решена итальянским математиком 15–16 веков Сципионе дель Ферро , который, однако, не опубликовал свои результаты; этот метод, однако, решал только один тип кубического уравнения. Это решение было затем независимо открыто заново в 1535 году Никколо Фонтана Тарталья , который поделился им с Джероламо Кардано , попросив его не публиковать его. Затем Кардано распространил это на множество других случаев, используя аналогичные аргументы; подробнее см . метод Кардано . После открытия работы дель Ферро он почувствовал, что метод Тартальи больше не является секретом, и поэтому опубликовал свое решение в своей книге Ars Magna 1545 года . Его ученик Лодовико Феррари решил многочлен четвертой степени; его решение также было включено в Ars Magna. В этой книге, однако, Кардано не предоставил «общую формулу» для решения кубического уравнения, поскольку в его распоряжении не было ни комплексных чисел , ни алгебраических обозначений, чтобы описать общее кубическое уравнение. Благодаря современным обозначениям и комплексным числам формулы в этой книге действительно работают в общем случае, но Кардано этого не знал. Именно Рафаэлю Бомбелли удалось понять, как работать с комплексными числами, чтобы решать все формы кубического уравнения.
Следующим шагом был 1770 документ REFLEXIONS сюр ла Разрешение algébrique де УРАВНЕНИЙ по Французско-итальянский математик Жозеф Луи Лагранж в своем методе Лагранжа резольвентах , где анализируемый решение Кардано и Феррари в кубиках и квартик, рассматривая их с точки зрения перестановок из корни, которые дали вспомогательный многочлен более низкой степени, обеспечивающий единое понимание решений и закладывающий основу для теории групп и теории Галуа. Однако принципиально то, что он не рассматривал композицию перестановок. Метод Лагранжа не распространялся на уравнения пятой степени и выше, поскольку резольвента имела более высокую степень.
Паоло Руффини в 1799 году почти доказал, что у квинтики нет общих решений радикалов , ключевой идеей которого было использование групп перестановок , а не только одной перестановки. Его решение содержало пробел, который Коши считал незначительным, хотя он не был исправлен до работы норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , который опубликовал доказательство в 1824 году, установив, таким образом, теорему Абеля – Руффини .
Хотя Руффини и Абель установили, что общая квинтика не может быть решена, некоторые частные квинтики могут быть решены, например, x 5 - 1 = 0 , и точный критерий, по которому данный полином пятой или более высокой степени может быть определен как разрешимый или нет. было дано Эваристом Галуа , который показал, что вопрос о том, является ли многочлен разрешимым или нет, эквивалентно тому, имеет ли группа перестановок его корней - в современных терминах, его группа Галуа - определенную структуру - в современных терминах, независимо от того, имеет ли она определенную структуру. была разрешимой группой . Эта группа всегда была разрешима для многочленов четвертой или меньшей степени, но не всегда так для многочленов пятой и большей степени, что объясняет, почему не существует общего решения для более высоких степеней.
Сочинения Галуа
В 1830 году Галуа (в возрасте 18 лет) представил Парижской академии наук мемуары о своей теории разрешимости радикалами; В 1831 году статья Галуа была окончательно отвергнута как слишком схематичная и дававшая условие в терминах корней уравнения, а не его коэффициентов. Затем Галуа умер на дуэли в 1832 году, и его статья « Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux » оставалась неопубликованной до 1846 года, когда она была опубликована Жозефом Лиувиллем вместе с некоторыми из его собственных объяснений. Перед этой публикацией Лиувилль объявил академии результат Галуа в речи, которую он произнес 4 июля 1843 года. По словам Аллана Кларка, характеристика Галуа «кардинально заменяет работу Абеля и Руффини».
Последствия
Теория Галуа была общеизвестно трудной для понимания его современниками, особенно до того уровня, на котором они могли ее расширить. Например, в своем комментарии 1846 года Лиувилль полностью упустил теоретико-групповое ядро метода Галуа. Жозеф Альфред Серре , присутствовавший на некоторых выступлениях Лиувилля, включил теорию Галуа в свой учебник Cours d'algèbre supérieure 1866 года (третье издание) . Ученица Серре, Камилла Джордан , еще лучше понимала это, что отражено в его книге 1870 года Traité des replaces et des équations algébriques . За пределами Франции теория Галуа долгое время оставалась более неясной. В Великобритании Кэли не смог понять ее глубины, и популярные британские учебники алгебры даже не упоминали теорию Галуа до конца века. В Германии работы Кронекера были больше сосредоточены на результате Абеля. Дедекинд мало писал о теории Галуа, но читал по ней лекции в Геттингене в 1858 году, продемонстрировав очень хорошее понимание. Книги Ойгена Нетто 1880-х годов, основанные на « Черте Джордана» , сделали теорию Галуа доступной для широкой немецкой и американской аудитории, как и учебник по алгебре Генриха Мартина Вебера 1895 года.
Подход группы перестановок
Если задан полином, некоторые корни могут быть связаны различными алгебраическими уравнениями . Например, может случиться так, что для двух корней, скажем, A и B , A 2 + 5 B 3 = 7 . Центральная идея теории Галуа состоит в рассмотрении перестановок (или перестановок) корней таким образом, чтобы любое алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют корни, по- прежнему выполнялось после того, как корни были переставлены. Первоначально теория была разработана для алгебраических уравнений, коэффициенты которых являются рациональными числами . Он естественным образом распространяется на уравнения с коэффициентами в любом поле , но это не будет рассматриваться в простых примерах ниже.
Эти перестановки вместе образуют группу перестановок , также называемую группой Галуа многочлена, которая явно описывается в следующих примерах.
Квадратное уровненеие
Рассмотрим квадратное уравнение
Используя формулу корней квадратного уравнения , мы находим, что два корня равны
Примеры алгебраических уравнений, которым удовлетворяют A и B, включают
а также
Если мы поменяем местами A и B в любом из последних двух уравнений, мы получим другое истинное утверждение. Например, уравнение A + B = 4 превращается в B + A = 4 . Это более общем верно , что это справедливо для каждого возможного алгебраического соотношения между А и В таким образом, что все коэффициенты являются рациональными ; то есть в любом таком отношении замена A и B дает другое истинное отношение. Это вытекает из теории симметричных многочленов , которую в этом случае можно заменить манипуляциями с формулами с использованием биномиальной теоремы .
Можно возразить, что A и B связаны алгебраическим уравнением A - B - 2 √ 3 = 0 , которое не остается верным, когда A и B меняются местами. Однако это соотношение здесь не рассматривается, поскольку оно имеет коэффициент −2 √ 3, что нерационально .
Мы пришли к выводу о том , что группа Галуа многочлена х 2 - 4 х + 1 состоит из двух подстановки: идентичность перестановки , которая оставляет и Б нетронутыми, а транспонирование перестановки , которая обменивается A и B . Это циклическая группа второго порядка, и , следовательно , изоморфно к Z / 2 Z .
Аналогичное обсуждение применимо к любому квадратичному многочлену ax 2 + bx + c , где a , b и c - рациональные числа.
- Если многочлен имеет рациональные корни, например x 2 - 4 x + 4 = ( x - 2) 2 или x 2 - 3 x + 2 = ( x - 2) ( x - 1) , то группа Галуа тривиальна ; то есть он содержит только тождественную перестановку. В этом примере, если = 2 и В = 1 , то - В = 1 уже не верно , когда являются Б меняются местами.
- Если он имеет два иррациональных корня, например x 2 - 2 , то группа Галуа содержит две перестановки, как и в приведенном выше примере.
Уравнение четвертой степени
Рассмотрим многочлен
который также можно записать как
Мы хотим описать группу Галуа этого многочлена снова над полем рациональных чисел . У многочлена четыре корня:
Есть 24 возможных способа перестановки этих четырех корней, но не все эти перестановки являются членами группы Галуа. Члены группы Галуа должны сохранять любое алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами с участием A , B , C и D .
Среди этих уравнений:
Отсюда следует, что если φ - перестановка, принадлежащая группе Галуа, мы должны иметь:
Это означает, что перестановка корректно определяется образом A и что группа Галуа имеет 4 элемента, а именно:
- ( A , B , C , D ) → ( A , B , C , D )
- ( A , B , C , D ) → ( B , A , D , C )
- ( A , B , C , D ) → ( C , D , A , B )
- ( A , B , C , D ) → ( D , C , B , A )
Отсюда следует, что группа Галуа изоморфна четырехгруппе Клейна .
Современный подход по теории поля
В современном подходе один начинается с расширения полей L / K (читать « L над K »), и рассматривает группу автоморфизмов из L , фиксирующих K . См. Статью о группах Галуа для дальнейших объяснений и примеров.
Связь между двумя подходами заключается в следующем. Коэффициенты полинома в вопросе должны быть выбраны из базы поля K . Верхнее поле L должно быть полем, полученным путем присоединения корней рассматриваемого многочлена к основному полю. Любая перестановка корней, которая уважает алгебраические уравнения, как описано выше, приводит к автоморфизму L / K , и наоборот.
В первом примере выше мы изучали расширение Q ( √ 3 ) / Q , где Q - поле рациональных чисел , а Q ( √ 3 ) - поле, полученное из Q присоединением √ 3 . Во втором примере, мы изучали расширение Q ( , B , C , D ) / Q .
У современного подхода есть несколько преимуществ перед подходом группы перестановок.
- Это позволяет сформулировать гораздо более простую формулировку основной теоремы теории Галуа .
- Использование других базовых полей, кроме Q, имеет решающее значение во многих областях математики. Например, в теории алгебраических чисел часто используют теорию Галуа, используя числовые поля , конечные поля или локальные поля в качестве основного поля.
- Это позволяет легче изучать бесконечные расширения. Опять же это важно в алгебраической теории чисел, где, например , один часто обсуждает абсолютную Галуа группа из Q , определяется как группа Галуа K / Q , где К представляет собой алгебраическое замыкание из Q .
- Это позволяет учитывать неразделимые расширения . Эта проблема не возникает в классических рамках, поскольку всегда неявно предполагалось, что арифметика имеет место в нулевой характеристике , но ненулевая характеристика часто возникает в теории чисел и в алгебраической геометрии .
- Это устраняет довольно искусственную зависимость от поиска корней многочленов. То есть разные полиномы могут давать одни и те же поля расширения, и современный подход распознает связь между этими полиномами.
Разрешаемые группы и решение радикалами
Понятие разрешимой группы в теории групп позволяет определить, разрешима ли многочлен в радикалах, в зависимости от того, обладает ли его группа Галуа свойством разрешимости. По сути, каждое расширение поля L / K соответствует фактор-группе в композиционном ряду группы Галуа. Если фактор-группа в композиционном ряду циклическая порядка n , и если в соответствующем расширении поля L / K поле K уже содержит примитивный корень n- й степени из единицы , то это радикальное расширение и элементы L могут тогда быть выражены с помощью п - й корень некоторого элемента K .
Если все фактор-группы в ее композиционном ряду являются циклическими, группа Галуа называется разрешимой , и все элементы соответствующего поля могут быть найдены путем многократного извлечения корней, произведений и сумм элементов из базового поля (обычно Q ). .
Одним из величайших триумфов теории Галуа было доказательство того, что для любого n > 4 существуют многочлены степени n , не разрешимые в радикалах (это было независимо доказано аналогичным методом Нильсом Хенриком Абелем за несколько лет до этого). и является теоремой Абеля – Руффини ), а также систематическим способом проверки того, разрешим ли конкретный многочлен в радикалах. Результаты теоремы Абеля-Руффиня из того факта , что при п > 4 симметричной группа S п содержит простую , циклическую, нормальную подгруппу , а именно группу переменной А н .
Неразрешимый пятый пример
Ван дер Варден цитирует многочлен f ( x ) = x 5 - x - 1 . По теореме о рациональном корне у него нет рациональных нулей. У него также нет линейных множителей по модулю 2 или 3.
Группа Галуа f ( x ) по модулю 2 является циклической по порядку 6, потому что f ( x ) по модулю 2 делится на многочлены порядков 2 и 3, ( x 2 + x + 1) ( x 3 + x 2 + 1) .
f ( x ) по модулю 3 не имеет линейного или квадратичного множителя и, следовательно, неприводима. Таким образом, ее группа Галуа по модулю 3 содержит элемент порядка 5.
Известно, что группа Галуа по простому модулю изоморфна подгруппе группы Галуа над рациональными числами. Группа перестановок на 5 объектах с элементами порядков 6 и 5 должна быть симметрической группой S 5 , которая, следовательно, является группой Галуа для f ( x ) . Это один из простейших примеров неразрешимого полинома пятой степени. По словам Сержа Ланга , Эмиль Артин любил этот пример.
Обратная задача Галуа
Обратная задача Галуа , чтобы найти расширение поля с заданной группой Галуа.
Пока не указывается также основное поле , проблема не очень сложная, и все конечные группы действительно встречаются как группы Галуа. Чтобы показать это, можно поступить следующим образом. Выберите поле K и конечную группу G . Теорема Кэли утверждает , что G является ( с точностью до изоморфизма) подгруппа симметрической группы S на элементах G . Выберите неопределенные { x α } , по одной для каждого элемента α группы G , и присоедините их к K, чтобы получить поле F = K ({ x α }) . Внутри F содержится поле L симметричных рациональных функций из { x α } . Группа Галуа группы F / L - это S согласно основному результату Эмиля Артина. G действует на F ограничения действия S . Если фиксированное поле этого действия М , то по основной теореме теории Галуа , группа Галуа F / M является G .
С другой стороны, это открытый вопрос, является ли всякая конечная группа группой Галуа полевого расширения поля Q рациональных чисел. Шафаревич доказал , что всякая разрешимая конечная группа является группой Галуа некоторого расширения Q . Различные люди решили обратную задачу Галуа для избранных неабелевых простых групп . Существование решений было показано для всех, кроме, возможно, одной ( группа Матье M 23 ) из 26 спорадических простых групп. Существует даже многочлен с целыми коэффициентами, группа Галуа которого является группой Монстра .
Неразделимые расширения
В упомянутой выше форме, включая, в частности, основную теорему теории Галуа , теория рассматривает только расширения Галуа, которые, в частности, являются сепарабельными. Общие расширения полей можно разделить на отдельные, за которыми следует полностью неотделимое расширение поля . Для чисто неразрывной расширения F / K , существует теория Галуа , когда группа Галуа заменяется вектором пространства из отведений , , т.е. K - линейные эндоморфизмы из F , удовлетворяющие правилу Лейбница. В этой переписке, промежуточное поле Е назначается . И наоборот, в него отображается подпространство, удовлетворяющее соответствующим дополнительным условиям . В предположении , Якобсон (1944) показал , что это устанавливает соответствие один к одному. Условие, наложенное Якобсоном, было удалено Брантнером и Уолдроном (2020) путем предоставления соответствия с использованием понятий производной алгебраической геометрии .
Смотрите также
- Группа Галуа для дополнительных примеров
- Основная теорема теории Галуа
- Дифференциальная теория Галуа для теории Галуа дифференциальных уравнений
- Теория Галуа Гротендика для обширного обобщения теории Галуа
- Топологическая теория Галуа
Примечания
использованная литература
- Артин, Эмиль (1998) [1944]. Теория Галуа . Дувр. ISBN 0-486-62342-4.
- Беверсдорф, Йорг (2006). Теория Галуа для начинающих: историческая перспектива . Студенческая математическая библиотека. 35 . Американское математическое общество. DOI : 10.1090 / stml / 035 . ISBN 0-8218-3817-2.
- Брантнер, Лукас; Уолдрон, Джо (2020), Чисто неразрывная теория Галуа I: фундаментальная теорема , arXiv : 2010.15707
- Кардано, Джероламо (1545 г.). Artis Magnæ (PDF) (на латыни).
- Эдвардс, Гарольд М. (1984). Теория Галуа . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-X. (Оригинальная статья Галуа с обширной предысторией и комментариями.)
- Фанкхаузер, Х. Грей (1930). «Краткое изложение истории симметричных функций от корней уравнений». Американский математический ежемесячник . 37 (7): 357–365. DOI : 10.2307 / 2299273 . JSTOR 2299273 .
- "Теория Галуа" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
- Джейкобсон, Натан (1944), "Теория Галуа чисто неотделимых полей экспоненты один", Amer. J. Math. , 66 : 645-648, DOI : 10,2307 / 2371772 , JSTOR 2371772
- Джейкобсон, Натан (1985). Основы алгебры I (2-е изд.). WH Freeman. ISBN 0-7167-1480-9. (Глава 4 дает введение в теоретико-полевой подход к теории Галуа.)
- Джанелидзе, Г .; Борсё, Фрэнсис (2001). Теории Галуа . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-80309-0.(Эта книга знакомит читателя с теорией Галуа Гротендика и некоторыми обобщениями, ведущими к группоидам Галуа .)
- Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-94225-4.
- Постников, М.М. (2004). Основы теории Галуа . Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0.
- Ротман, Джозеф (1998). Теория Галуа (2-е изд.). Springer. ISBN 0-387-98541-7.
- Фёлькляйн, Гельмут (1996). Группы как группы Галуа: введение . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-56280-5.
- ван дер Варден, Бартель Леендерт (1931). Современная алгебра (на немецком языке). Берлин: Springer.. Английский перевод (2-го исправленного издания): Современная алгебра . Нью-Йорк: Фредерик Ангар. 1949 г. (Позже переиздано на английском языке компанией Springer под названием «Алгебра».)
внешние ссылки
- Словарное определение теории Галуа в Викисловаре
- СМИ, связанные с теорией Галуа на Викискладе?