Дискриминантный - Discriminant

В математике , то дискриминант из полинома является величиной , которая зависит от коэффициентов и определяет различные свойства корней . Обычно он определяется как полиномиальная функция коэффициентов исходного полинома. Дискриминант широко используется в полиномиальном разложении , теории чисел и алгебраической геометрии . Часто обозначается символом . ${\ displaystyle \ Delta}$

Дискриминант квадратичного многочлена с a ≠ 0 равен: ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \,}$

${\ displaystyle \ Delta = b ^ {2} -4ac,}$

величина, которая появляется под квадратным корнем в формуле корней квадратного уравнения . Этот дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет двойной корень . В случае действительных коэффициентов он будет положительным, если многочлен имеет два различных действительных корня, и отрицательным, если он имеет два различных комплексно сопряженных корня. Точно так же для кубического многочлена существует дискриминант, который равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень . В случае кубики с действительными коэффициентами дискриминант положительный, если многочлен имеет три различных действительных корня, и отрицательный, если он имеет один действительный корень и два различных комплексно сопряженных корня.

В более общем смысле, дискриминант одномерного многочлена положительной степени равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень. Для действительных коэффициентов и отсутствия кратных корней дискриминант положительный, если количество нереальных корней кратно 4 (включая отсутствие корней ), и отрицательный в противном случае.

Дискриминант также называют несколько обобщений: дискриминант поля алгебраических чисел ; дискриминант квадратичной формы ; и в более общем плане , то дискриминант из формы , из однородного многочлена , или из проективной гиперповерхности (эти три понятия, по существу , эквивалентны).

Источник

Термин «дискриминант» был придуман в 1851 году британским математиком Джеймсом Джозефом Сильвестром .

Определение

Позволять

${\ displaystyle A (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

- многочлен степени n (это означает ), такой, что коэффициенты принадлежат полю или, в более общем смысле, коммутативному кольцу . Полученный из А и его производным является многочленом с целыми коэффициентами, что является фактором , определяющим из матрицы Сильвестра из А и А ' . Записи ненулевых первого столбца матрицы Сильвестра являются и , и полученной таким образом , является кратной из Следовательно, дискриминант-до знака-определяются как частное от деления равнодействующего А и А» с помощью${\ displaystyle a_ {n} \ neq 0}$${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$ ${\ displaystyle A '(x) = na_ {n} x ^ {n-1} + (n-1) a_ {n-1} x ^ {n-2} + \ cdots + a_ {1}}$${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle na_ {n},}$${\ displaystyle a_ {n}.}$${\ displaystyle a_ {n}:}$

${\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A) = {\ frac {(-1) ^ {n (n-1) / 2}} {a_ {n}}} \ operatorname {Res} _ { x} (A, A ')}$

Исторически этот знак был выбран таким образом, что дискриминант будет положительным, если все корни многочлена действительны. Деление на может быть некорректно определено, если кольцо коэффициентов содержит делители нуля . Этой проблемы можно избежать, заменив на 1 в первом столбце матрицы Сильвестра - перед вычислением определителя. В любом случае дискриминант - это многочлен от с целыми коэффициентами. ${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {0}, \ ldots, a_ {n}}$

Выражение в терминах корней

Когда многочлен определен над полем , он имеет n корней, r ₁ , r ₂ , ..., r _n , не обязательно все различные, в любом алгебраически замкнутом расширении поля. (Если коэффициенты являются действительными числами, корни могут быть взяты из области комплексных чисел , где применяется основная теорема алгебры .)

По корням дискриминант равен

${\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A) = a_ {n} ^ {2n-2} \ prod _ {i <j} (r_ {i} -r_ {j}) ^ {2} = (-1) ^ {n (n-1) / 2} a_ {n} ^ {2n-2} \ prod _ {i \ neq j} (r_ {i} -r_ {j}).}$

Таким образом, это квадрат многочлена Вандермонда, умноженный на a _n ^{2 n - 2} .

Это выражение дискриминанта часто принимают за определение. Это дает понять, что если многочлен имеет кратный корень , то его дискриминант равен нулю, а если все корни вещественные и простые, то дискриминант положительный. В отличие от предыдущего определения, это выражение не является очевидным многочленом от коэффициентов, но это следует либо из основной теоремы теории Галуа , либо из основной теоремы о симметричных многочленах , отмечая, что это выражение является симметричным многочленом от корней A .

Низкие степени

Дискриминант линейного многочлена (степени 1) рассматривается редко. При необходимости, он обычно определяется равным 1 (используя обычные соглашения для пустого продукта и принимая во внимание , что один из двух блоков матрицы Сильвестра является пустым ). Не существует общего соглашения о дискриминанте постоянного многочлена (т. Е. Многочлена степени 0).

Для малых степеней дискриминант довольно прост (см. Ниже), но для более высоких степеней он может стать громоздким. Например, дискриминант общей квартики состоит из 16 элементов, дискриминант пятой категории - 59 элементов, а дискриминант секстики - 246 элементов . Это последовательность OEIS A007878 .

Степень 2

Квадратичный полином имеет дискриминант ${\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \,}$

${\ displaystyle b ^ {2} -4ac \ ,.}$

Квадратный корень из дискриминанта входит в формулу корней квадратного полинома:

${\ displaystyle x_ {1,2} = {\ frac {-b \ pm {\ sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}.}$

где дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда два корня равны. Если a , b , c - действительные числа , многочлен имеет два различных действительных корня, если дискриминант положительный, и два комплексно сопряженных корня, если он отрицательный.

Дискриминант является продуктом на ² и квадрат разности корней.

Если a , b , c - рациональные числа , то дискриминант является квадратом рационального числа тогда и только тогда, когда два корня являются рациональными числами.

Степень 3

Нулевой набор дискриминанта кубики x ³ + bx ² + cx + d , то есть точек, удовлетворяющих b ² c ² - 4 c ³ - 4 b ³ d - 27 d ² + 18 bcd = 0 .

Кубический полином имеет дискриминант ${\ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d \,}$

${\ displaystyle b ^ {2} c ^ {2} -4ac ^ {3} -4b ^ {3} d-27a ^ {2} d ^ {2} + 18abcd \ ,.}$

В частном случае вдавленного кубического полинома дискриминант упрощается до ${\ displaystyle x ^ {3} + px + q}$

${\ displaystyle -4p ^ {3} -27q ^ {2} \ ,.}$

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда хотя бы два корня равны. Если коэффициенты являются действительными числами , а дискриминант не равен нулю, дискриминант будет положительным, если корнями являются три различных действительных числа, и отрицательным, если есть один действительный корень и два комплексно сопряженных корня.

Квадратный корень из величины, сильно связанной с дискриминантом, появляется в формулах для корней кубического многочлена . В частности, эта величина может быть −3 раза больше дискриминанта или ее произведения на квадрат рационального числа; например, квадрат 1/18 в случае формулы Кардано .

Если многочлен неприводим, а его коэффициенты являются рациональными числами (или принадлежат числовому полю ), то дискриминант является квадратом рационального числа (или числа из числового поля) тогда и только тогда, когда группа Галуа кубического уравнения является циклической группой из порядка трех.

Степень 4

Дискриминант многочлена четвертой степени x ⁴ + cx ² + dx + e . Поверхность представляет собой точки ( c , d , e ), в которых многочлен имеет повторяющийся корень. Ребро возврата соответствует многочленам с тройным корнем, а самопересечение соответствует многочленам с двумя разными повторяющимися корнями.

Квартика полином имеет дискриминант ${\ displaystyle ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx + e \,}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {} & 256a ^ {3} e ^ {3} -192a ^ {2} bde ^ {2} -128a ^ {2} c ^ {2} e ^ {2} + 144a ^ {2} cd ^ {2} e \\ [4pt] & {} - 27a ^ {2} d ^ {4} + 144ab ^ {2} ce ^ {2} -6ab ^ {2} d ^ {2 } e-80abc ^ {2} de \\ [4pt] & {} + 18abcd ^ {3} + 16ac ^ {4} e-4ac ^ {3} d ^ {2} -27b ^ {4} e ^ { 2} + 18b ^ {3} cde \\ [4pt] & {} - 4b ^ {3} d ^ {3} -4b ^ {2} c ^ {3} e + b ^ {2} c ^ {2 } d ^ {2} \,. \ end {выровнено}}}$

Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда хотя бы два корня равны. Если коэффициенты являются действительными числами, а дискриминант отрицательный, то есть два действительных корня и два комплексно-сопряженных корня. И наоборот, если дискриминант положительный, то корни либо все действительные, либо все нереальные.

Характеристики

Нулевой дискриминант

Дискриминант многочлена над полем равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень в некотором расширении поля .

Дискриминант многочлена над областью целостности равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен и его производная имеют непостоянный общий делитель.

В характеристике 0 это равносильно утверждению, что многочлен не является бесквадратным (т. Е. Делится на квадрат непостоянного многочлена).

В ненулевой характеристике p дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен не свободен от квадратов или имеет неприводимый фактор, который не является сепарабельным (т. Е. Неприводимый фактор является многочленом от ). ${\ displaystyle x ^ {p}}$

Инвариантность относительно замены переменной

Дискриминант полинома с точностью до масштабирования инвариантен относительно любого проективного преобразования переменной. Поскольку проективное преобразование может быть разложено на произведение переносов, гомотетий и инверсий, это приводит к следующим формулам для более простых преобразований, где P ( x ) обозначает многочлен степени n со старшим коэффициентом. ${\ displaystyle a_ {n}}$

• Неизменность по переводу :

${\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (P (x + \ alpha)) = \ operatorname {Disc} _ {x} (P (x))}$

Это результат выражения дискриминанта через корни

• Инвариантность по гомотетии :

${\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (P (\ alpha x)) = \ alpha ^ {n (n-1)} \ operatorname {Disc} _ {x} (P (x))}$

Это является результатом выражения в терминах корней или квазиоднородности дискриминанта.

• Инвариантность по инверсии :

${\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (P ^ {r} (x)) = \ operatorname {Disc} _ {x} (P (x))}$

при этом обозначает взаимный многочлен из Р ; то есть, если и тогда ${\ Displaystyle P (0) \ neq 0.}$${\ Displaystyle P ^ {r}}$${\ Displaystyle P (x) = a_ {n} x ^ {n} + \ cdots + a_ {0},}$${\ displaystyle a_ {0} \ neq 0,}$

${\ displaystyle P ^ {r} (x) = x ^ {n} P (1 / x) = a_ {0} x ^ {n} + \ cdots + a_ {n}.}$

Инвариантность относительно гомоморфизмов колец

Пусть будет гомоморфизмом из коммутативных колец . Учитывая многочлен ${\ Displaystyle \ varphi \ двоеточие R \ to S}$

${\ displaystyle A = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}}$

в R [ x ] гомоморфизм действует на A, порождая многочлен ${\ displaystyle \ varphi}$

${\ displaystyle A ^ {\ varphi} = \ varphi (a_ {n}) x ^ {n} + \ varphi (a_ {n-1}) x ^ {n-1} + \ cdots + \ varphi (a_ { 0})}$

в S [ x ] .

Дискриминант инвариантен относительно в следующем смысле. Если тогда ${\ displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ varphi (а_ {п}) \ neq 0,}$

${\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A ^ {\ varphi}) = \ varphi (\ operatorname {Disc} _ {x} (A)).}$

Поскольку дискриминант определяется в терминах определителя, это свойство немедленно вытекает из аналогичного свойства определителей.

Если тогда может быть ноль или нет. Есть, когда${\ displaystyle \ varphi (a_ {n}) = 0,}$${\ displaystyle \ varphi (\ operatorname {Disc} _ {x} (A))}$${\ displaystyle \ varphi (a_ {n}) = 0,}$

${\ displaystyle \ varphi (\ operatorname {Disc} _ {x} (A)) = \ varphi (a_ {n-1}) ^ {2} \ operatorname {Disc} _ {x} (A ^ {\ varphi} ).}$

Когда кто-то интересуется только тем, равен ли дискриминант нулю (как это обычно бывает в алгебраической геометрии ), эти свойства можно резюмировать следующим образом:

${\ displaystyle \ varphi (\ operatorname {Disc} _ {x} (A)) = 0}$тогда и только тогда , когда либо или${\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A ^ {\ varphi}) = 0}$${\ Displaystyle \ deg (A) - \ deg (A ^ {\ varphi}) \ geq 2.}$

Это часто интерпретируется как утверждение, что , если и только если имеет множественный корень (возможно, бесконечно ). ${\ displaystyle \ varphi (\ operatorname {Disc} _ {x} (A)) = 0}$${\ displaystyle A ^ {\ varphi}}$

Произведение многочленов

Если R = PQ - произведение многочленов от x , то

${\ displaystyle {\ begin {align} \ operatorname {disc} _ {x} (R) & = \ operatorname {disc} _ {x} (P) \ operatorname {Res} _ {x} (P, Q) ^ {2} \ operatorname {disc} _ {x} (Q) \\ [5pt] {} & = (- 1) ^ {pq} \ operatorname {disc} _ {x} (P) \ operatorname {Res} _ {x} (P, Q) \ operatorname {Res} _ {x} (Q, P) \ operatorname {disc} _ {x} (Q), \ end {align}}}$

где обозначает результат по переменной x , а p и q - степени P и Q соответственно . ${\ displaystyle \ operatorname {Res} _ {x}}$

Это свойство следует сразу же после замены выражения для результирующего и дискриминанта в терминах корней соответствующих многочленов.

Однородность

Дискриминант - это однородный многочлен от коэффициентов; это также однородный многочлен по корням и, следовательно, квазиоднородный по коэффициентам.

Дискриминант многочлена степени n однороден по коэффициентам степени 2 n - 2 . Это можно увидеть двумя способами. В терминах формулы корней и главного члена, умножение всех коэффициентов на λ не изменяет корни, а умножает главный член на λ . С точки зрения его экспрессии в качестве определителя (2 п - 1) × (2 п - 1) матрица ( матрица Сильвестра ) , деленное на в _п , определитель однородна степени 2 п - 1 в записях, и разделительная by a _n составляет степень 2 n - 2 .

Дискриминант многочлена степени n однороден по корням степени n ( n - 1) . Это следует из выражения дискриминанта в терминах корней, которое является произведением постоянной и квадрата разностей корней. ${\ displaystyle {\ binom {n} {2}} = {\ frac {n (n-1)} {2}}}$

Дискриминант полинома степени n квазиоднороден степени n ( n - 1) по коэффициентам, если для каждого i коэффициенту придается вес n - i . Он также является квазиоднородным той же степени, если для каждого i коэффициенту придается вес. Это является следствием общего факта, что каждый многочлен, который является однородным и симметричным по корням, может быть выражен как квазиоднородный. однородный многочлен от элементарных симметрических функций корней. ${\ Displaystyle х ^ {я}}$${\ Displaystyle х ^ {я}}$${\ displaystyle i.}$

Рассмотрим многочлен

${\ displaystyle P = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {0}.}$

Из предшествующего следует, что показатели в каждом мономе a ₀ ^{i ₀} . ..., входящие в дискриминант a _n ^{i _n} удовлетворяют двум уравнениям

${\ displaystyle i_ {0} + i_ {1} + \ cdots + i_ {n} = 2n-2}$

а также

${\ displaystyle i_ {1} + 2i_ {2} + \ cdots + ni_ {n} = n (n-1),}$

а также уравнение

${\ Displaystyle ni_ {0} + (n-1) i_ {1} + \ cdots + i_ {n-1} = n (n-1),}$

которое получается вычитанием второго уравнения из первого, умноженного на n .

Это ограничивает возможные члены в дискриминанте. Для общего квадратичного многочлена есть только две возможности и два члена в дискриминанте, в то время как общий однородный многочлен второй степени от трех переменных имеет 6 членов. Для общего кубического многочлена в дискриминанте есть пять возможностей и пять членов, в то время как общий однородный многочлен степени 4 от 5 переменных имеет 70 членов

Для более высоких степеней могут быть одночлены, которые удовлетворяют приведенным выше уравнениям и не фигурируют в дискриминанте. Первый пример относится к многочлену четвертой степени ax ⁴ + bx ³ + cx ² + dx + e , и в этом случае моном bc ⁴ d удовлетворяет уравнениям, не появляясь в дискриминанте.

Настоящие корни

В этом разделе все многочлены имеют действительные коэффициенты.

В § Низкие степени было замечено, что знак дискриминанта дает полную информацию о природе корней многочленов степени 2 и 3. Для более высоких степеней информация, предоставляемая дискриминантом, менее полная, но все же полезная. Точнее, для многочлена степени n :

• Многочлен имеет кратный корень тогда и только тогда, когда его дискриминант равен нулю.
• Если дискриминант положительный, количество невещественных корней кратно 4. То есть существует неотрицательное целое число k ≤ n / 4 такое, что существует 2 k пар комплексно сопряженных корней и n - 4 k действительных корней. .
• Если дискриминант отрицательный, количество невещественных корней не кратно 4. То есть существует неотрицательное целое число k ≤ ( n - 2) / 4 такое, что существует 2 k + 1 пара комплексно сопряженных корней. и n - 4 k + 2 вещественных корня.

Однородный двумерный многочлен

Позволять

${\ displaystyle A (x, y) = a_ {0} x ^ {n} + a_ {1} x ^ {n-1} y + \ cdots + a_ {n} y ^ {n} = \ sum _ {я = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {ni} y ^ {i}}$

- однородный многочлен степени n от двух неопределенностей.

Предположим на время, что и оба ненулевые, имеем ${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle a_ {n}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A (x, 1)) = \ operatorname {Disc} _ {y} (A (1, y)).}$

Обозначая эту величину надо ${\ displaystyle \ operatorname {Disc} ^ {h} (A),}$

${\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {x} (A) = y ^ {n (n-1)} \ operatorname {Disc} ^ {h} (A),}$

а также

${\ displaystyle \ operatorname {Disc} _ {y} (A) = x ^ {n (n-1)} \ operatorname {Disc} ^ {h} (A).}$

Из - за этих свойств, величина называется дискриминант или однородным дискриминант из A . ${\ displaystyle \ operatorname {Disc} ^ {h} (A)}$

Если и разрешено быть равным нулю, многочлены A ( x , 1) и A (1, y ) могут иметь степень меньше n . В этом случае приведенные выше формулы и определение остаются в силе, если дискриминанты вычисляются так, как если бы все многочлены имели степень n . Это означает, что дискриминанты должны вычисляться и быть неопределенными, а замена их фактических значений выполняется после этого вычисления. Эквивалентно, должны использоваться формулы § Инвариантности относительно кольцевых гомоморфизмов . ${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {0}}$${\ displaystyle a_ {n}}$

Использование в алгебраической геометрии

Типичное использование дискриминантов в алгебраической геометрии - для изучения алгебраических кривых и, в более общем смысле, алгебраических гиперповерхностей . Пусть V - такая кривая или гиперповерхность; V определяется как нулевое множество многомерного многочлена . Этот многочлен можно рассматривать как одномерный многочлен от одной из неопределенных величин, с многочленами от других неопределенностей в качестве коэффициентов. Дискриминант относительно выбранной неопределенности определяет гиперповерхность W в пространстве остальных неопределенностей. Точки W - это в точности проекции точек V (включая бесконечно удаленные точки ), которые либо сингулярны, либо имеют касательную гиперплоскость , параллельную оси выбранного неопределенного объекта.

Например, пусть f - двумерный многочлен от X и Y с действительными коэффициентами, такой, что  f  = 0 - неявное уравнение плоской алгебраической кривой . Просмотр п как одномерный полином в Y с коэффициентами , зависящих от X , то дискриминант является многочленом X , корни которого является Х -координатами из особых точек, точек с касательной , параллельной Y -Axis и некоторыми асимптоты параллельны оси Y. Другими словами, вычисление корней Y- дискриминанта и X- дискриминанта позволяет вычислить все замечательные точки кривой, кроме точек перегиба .

Обобщения

Есть два класса концепции дискриминанта. Первый класс - это дискриминант поля алгебраических чисел , которое, в некоторых случаях включая квадратичные поля , является дискриминантом полинома, определяющего поле.

Дискриминанты второго класса возникают для задач, зависящих от коэффициентов, когда вырожденные экземпляры или особенности задачи характеризуются обращением в нуль одного полинома от коэффициентов. Так обстоит дело с дискриминантом многочлена, который равен нулю, когда два корня схлопываются. Большинство случаев, когда определяется такой обобщенный дискриминант, являются примерами следующих.

Пусть A - однородный многочлен от n неопределенных над полем характеристики 0 или простой характеристики, которая не делит степень многочлена. Многочлен определяет проективную гиперповерхность , которая имеет особые точки , если и только п частные производные от А имеет ненулевой общий нуль . Это тот случай , если и только если многомерный полученный из этих частных производных равна нулю, и этот результат можно рассматривать как дискриминант А . Однако из-за целочисленных коэффициентов, получаемых в результате вывода, этот многомерный результат может делиться на степень n , и лучше взять в качестве дискриминанта примитивную часть результата, вычисленную с общими коэффициентами. Ограничение на характеристику необходимо, потому что в противном случае общий нуль частной производной не обязательно является нулем многочлена (см . Тождество Эйлера для однородных многочленов ).

В случае однородного двумерного многочлена степени d этот общий дискриминант умножается на дискриминант, определенный в § Однородный двумерный многочлен . Несколько других классических типов дискриминантов, которые являются примерами общего определения, описаны в следующих разделах. ${\ displaystyle d ^ {d-2}}$

Квадратичные формы

Квадратичная форма является функцией над векторным пространством , которое определяется по некоторой основе с помощью однородного многочлена степени 2:

${\ Displaystyle Q (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ = \ \ sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {ii} x_ {i} ^ {2} + \ sum _ { 1 \ leq i <j \ leq n} a_ {ij} x_ {i} x_ {j},}$

или, в матричной форме,

${\ Displaystyle Q (X) = XAX ^ {\ mathrm {T}},}$

для симметричной матрицы , вектора-строки и вектора - столбца . В характеристике , отличной от 2, то дискриминант или определитель из Q является определяющим из A . ${\ Displaystyle п \ раз п}$ ${\ displaystyle A = (a_ {ij})}$${\ Displaystyle 1 \ раз п}$${\ Displaystyle X = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$${\ Displaystyle п \ раз 1}$${\ Displaystyle X ^ {\ mathrm {T}}}$

Hessian определитель из Q является раз его дискриминант. Многомерные полученный из частных производных Q равно его гессенского определитель. Итак, дискриминант квадратичной формы является частным случаем приведенного выше общего определения дискриминанта. ${\ Displaystyle 2 ^ {п}}$

Дискриминант квадратичной формы инвариантен относительно линейных замен переменных (то есть замены базиса векторного пространства, на котором определена квадратичная форма) в следующем смысле: линейная замена переменных определяется невырожденной матрицей S , изменяет матрицу а в и , таким образом , умножает дискриминант на квадрат определителя S . Таким образом, дискриминант корректно определен только с точностью до умножения на квадрат. Другими словами, дискриминант квадратичной формы над полем K является элементом K / ( K ^× ) ² , фактор мультипликативного моноида поля K по подгруппе ненулевых квадратов (то есть два элемента K равны в том же классе эквивалентности, если одно произведение другого на ненулевой квадрат). Отсюда следует, что по комплексным числам дискриминант эквивалентен 0 или 1. По действительным числам дискриминант эквивалентен -1, 0 или 1. Дискриминант по рациональным числам эквивалентен уникальному бесквадрату. целое число . ${\ Displaystyle S ^ {\ mathrm {T}} A \, S,}$

По теореме Якоби квадратичная форма над полем характеристики, отличной от 2, может быть выражена после линейной замены переменных в диагональной форме как

${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} ^ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} ^ {2}.}$

Точнее, квадратичная форма на может быть выражена как сумма

${\ Displaystyle \ сумма _ {я = 1} ^ {п} а_ {я} L_ {я} ^ {2}}$

где L _i - независимые линейные формы, а n - количество переменных (некоторые из a _i могут быть нулевыми). Эквивалентно, для любой симметричной матрицы A существует такая элементарная матрица S , которая является диагональной матрицей. Тогда дискриминант - это произведение a _i , которое корректно определяется как класс в K / ( K ^× ) ² . ${\ Displaystyle S ^ {\ mathrm {T}} A \, S}$

Геометрически дискриминант квадратичной формы от трех переменных является уравнением квадратичной проективной кривой . Дискриминант равен нулю тогда и только тогда, когда кривая раскладывается по линиям (возможно, над алгебраически замкнутым расширением поля).

Квадратичная форма от четырех переменных - это уравнение проективной поверхности . Поверхность имеет особую точку тогда и только тогда, когда ее дискриминант равен нулю. В этом случае поверхность либо может быть разложена на плоскости, либо имеет единственную особую точку и представляет собой конус или цилиндр . Если рассматривать вещественные числа, если дискриминант положительный, то поверхность либо не имеет реальной точки, либо всюду имеет отрицательную гауссову кривизну . Если дискриминант отрицательный, поверхность имеет действительные точки и имеет отрицательную гауссову кривизну.

Конические секции

Коническое сечение является плоским кривым определяется с помощью неявного уравнения вида

${\ displaystyle ax ^ {2} + 2bxy + cy ^ {2} + 2dx + 2ey + f = 0,}$

где a , b , c , d , e , f - действительные числа.

Две квадратичные формы и, следовательно, два дискриминанта могут быть связаны с коническим сечением.

Первая квадратичная форма

${\ displaystyle ax ^ {2} + 2bxy + cy ^ {2} + 2dxz + 2eyz + fz ^ {2} = 0.}$

Его дискриминант - определитель

${\ displaystyle {\ begin {vmatrix} a & b & d \\ b & c & e \\ d & e & f \ end {vmatrix}}.}$

Он равен нулю, если коническое сечение вырождается в две линии, двойную линию или единственную точку.

Второй дискриминант, который является единственным, который рассматривается во многих элементарных учебниках, является дискриминантом однородной части второй степени уравнения. Это равно

${\ displaystyle b ^ {2} -ac,}$

и определяет форму конического сечения. Если этот дискриминант отрицательный, кривая либо не имеет реальных точек, либо представляет собой эллипс или окружность , либо, если она вырождена, сводится к одной точке. Если дискриминант равен нулю, кривая представляет собой параболу или, в случае вырождения, двойную линию или две параллельные линии. Если дискриминант положительный, кривая является гиперболой или, если вырождена, парой пересекающихся прямых.

Реальные квадратичные поверхности

Вещественная квадратичная поверхность в евклидовом пространстве размерности три - это поверхность, которую можно определить как нули многочлена второй степени от трех переменных. Что касается конических сечений, есть два дискриминанта, которые могут быть определены естественным образом. Оба они полезны для получения информации о природе квадратичной поверхности.

Позвольте быть многочленом степени два от трех переменных, который определяет вещественную поверхность квадрики. Первая ассоциированная квадратичная форма зависит от четырех переменных и получается путем усреднения P ; это ${\ Displaystyle Р (х, у, г)}$${\ displaystyle Q_ {4},}$

${\ displaystyle Q_ {4} (x, y, z, t) = t ^ {2} P (x / t, y / t, z / t).}$

Обозначим его дискриминант через ${\ displaystyle \ Delta _ {4}.}$

Вторая квадратичная форма зависит от трех переменных и состоит из членов второй степени P ; это ${\ displaystyle Q_ {3},}$

${\ displaystyle Q_ {3} (x, y, z) = Q_ {4} (x, y, z, 0).}$

Обозначим его дискриминант через ${\ displaystyle \ Delta _ {3}.}$

Если и поверхность имеет действительные точки, это либо гиперболический параболоид, либо однополостный гиперболоид . В обоих случаях это линейчатая поверхность с отрицательной гауссовой кривизной в каждой точке. ${\ displaystyle \ Delta _ {4}> 0,}$

Если поверхность является либо эллипсоид или два гиперболоида или эллиптическая параболоида . Во всех случаях он имеет положительную гауссову кривизну в каждой точке. ${\ displaystyle \ Delta _ {4} <0,}$

Если поверхность имеет особую точку , возможно, на бесконечности . Если есть только одна особая точка, поверхность представляет собой цилиндр или конус . Если имеется несколько особых точек, поверхность состоит из двух плоскостей, двойной плоскости или одинарной линии. ${\ displaystyle \ Delta _ {4} = 0,}$

Когда знак , если не 0, не дает никакой полезной информации, так как изменение Р в - P не изменяет поверхность, но меняет знак Однако, если и поверхность является параболоид , который является эллиптическим гиперболических, в зависимости от знак${\ displaystyle \ Delta _ {4} \ neq 0,}$${\ displaystyle \ Delta _ {3},}$${\ displaystyle \ Delta _ {3}.}$${\ displaystyle \ Delta _ {4} \ neq 0}$${\ displaystyle \ Delta _ {3} = 0,}$${\ displaystyle \ Delta _ {4}.}$

Дискриминант поля алгебраических чисел

Рекомендации

Внешние ссылки

• Wolfram Mathworld: полиномиальный дискриминант
• Планетматика: Дискриминант