n- й корень - nth root
В математике , п - й корень из числа х представляет собой число г , которое при возведенное в степень п , дает х :
где n - натуральное число , иногда называемое степенью корня. Корень степени 2 называется квадратным корнем, а корень степени 3 - кубическим корнем . Корни большей степени относятся используя порядковые номера, как и в корень четвертой степени , двадцатого корня и т.д. вычисления с п й корень является извлечение корня .
Например, 3 является квадратным корнем из 9, поскольку 3 2 = 9, а −3 также является квадратным корнем из 9, поскольку (−3) 2 = 9.
Любое ненулевое число, рассматриваемое как комплексное, имеет n различных комплексных корней n- й степени, включая действительные (не более двух). П - й корень 0 равен нулю для всех положительных целых чисел п , так как 0 п = 0 . В частности, если n четно, а x - положительное действительное число, один из его корней n- й степени действительный и положительный, один отрицательный, а остальные (когда n > 2 ) не являются действительными комплексными числами ; если n четно, а x - отрицательное действительное число, ни один из корней n не является действительным. Если n нечетно, а x вещественно, один корень n- й степени вещественен и имеет тот же знак, что и x , в то время как другие ( n - 1 ) корни не являются действительными. Наконец, если x не является действительным, то ни один из его корней n- й степени не является действительным.
Корни действительных чисел обычно записываются с использованием радикального символа или системы счисления с обозначением положительного квадратного корня из x, если x положительно; для более высоких корней обозначает действительный корень n- й степени, если n нечетно, и положительный корень n- й степени, если n четно, а x положительно. В других случаях символ обычно не используется как неоднозначный. В выражении целое число n называется индексом, а x - подкоренным выражением .
Когда рассматриваются комплексные корни n- й степени, часто бывает полезно выбрать один из корней, называемый главным корнем , в качестве главного значения . Обычно выбирают главный корень n- й степени из x как корень n- й степени с наибольшей действительной частью, а когда их два (для действительного и отрицательного x ), корень с положительной мнимой частью . Это делает корень n- й степени функцией, которая является действительной и положительной для x, действительной и положительной, и непрерывной во всей комплексной плоскости , за исключением значений x, которые являются действительными и отрицательными.
Сложность с этим выбором состоит в том, что для отрицательного действительного числа и нечетного индекса главный корень n- й степени не является действительным. Например, имеют три кубические корни, , и корень реального куба и корень основного куба
Неразрешенный корень, особенно тот, в котором используется символ радикала, иногда называют сурдом или радикалом . Любое выражение, содержащее радикал, будь то квадратный корень, кубический корень или более высокий корень, называется радикальным выражением , а если оно не содержит трансцендентных функций или трансцендентных чисел, оно называется алгебраическим выражением .
Корни также можно определить как частные случаи возведения в степень , где показатель степени является дробью :
Арифметические операции | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Корни используются для определения радиуса сходимости в виде степенного ряда с испытанием корня . В п - е корни 1 называются корнями из единицы и играют фундаментальную роль в различных областях математики, такие как теория чисел , теория уравнений и преобразование Фурье .
История
Архаичный термин для извлечения корней n - это радикализация .
Определение и обозначения
П - й корень из числа х , где п представляет собой положительное целое число, является любым из п действительных или комплексных чисел г которого п - й мощности х :
Каждое положительное действительное число x имеет единственный положительный корень n- й степени, называемый главным корнем n- й степени , который записывается . Для n, равного 2, это называется главным квадратным корнем, а n опускается. П - й корень также может быть представлен , используя возведение в степень , как х 1 / п .
Для четных значений n положительные числа также имеют отрицательный корень n- й степени, в то время как отрицательные числа не имеют действительного корня n- й степени. Для нечетных значений n каждое отрицательное число x имеет действительный отрицательный корень n- й степени. Например, у -2 есть действительный корень 5-й степени, а у -2 нет действительных корней 6-й степени.
Каждое ненулевое число x , вещественное или комплексное , имеет n различных корней n- й степени комплексного числа . (В случае, если x действительный, это число включает любые действительные корни n- й степени.) Единственный комплексный корень из 0 - это 0.
П е корни почти всех чисел (все целые числа , за исключением п - й степеней, и все рациональные за исключением частных двух п - й степеней) являются иррациональными . Например,
Все корни n- й степени целых чисел являются алгебраическими числами .
Термин « сурд» восходит к аль-Хваризми (ок. 825 г.), который называл рациональные и иррациональные числа слышимыми и неслышными соответственно. Позже это привело к тому, что арабское слово « م » ( асамм , означающее «глухой» или «немой») для иррационального числа было переведено на латынь как «сурдус» (что означает «глухой» или «немой»). Герард Кремонский (ок. 1150 г.), Фибоначчи (1202 г.), а затем Роберт Рекорд (1551 г.) использовали этот термин для обозначения неразрешенных иррациональных корней , то есть выражений в форме, в которых и являются целыми числами, а все выражение обозначает иррациональное число. Квадратичные иррациональные числа , то есть иррациональные числа вида , также известны как «квадратичные сурды».
Квадратные корни
Квадратный корень из числа х представляет собой число г , который, когда квадрат , становится х :
Каждое положительное действительное число имеет два квадратных корня: положительный и отрицательный. Например, два квадратных корня из 25 равны 5 и −5. Положительный квадратный корень также известен как главный квадратный корень и обозначается знаком радикала:
Поскольку квадрат каждого действительного числа неотрицателен, отрицательные числа не имеют действительных квадратных корней. Однако для каждого отрицательного действительного числа есть два мнимых квадратных корня. Например, квадратные корни из −25 равны 5 i и −5 i , где i представляет собой число, квадрат которого равен −1 .
Кубические корни
Кубический корень из числа х представляет собой число г которого куб является х :
У каждого действительного числа x записан ровно один действительный кубический корень . Например,
- а также
Каждое действительное число имеет два дополнительных комплексных кубических корня.
Личности и свойства
Выражение степени корня n- й степени в ее экспоненциальной форме, например, в , упрощает манипулирование степенями и корнями. Если - неотрицательное действительное число ,
Каждое неотрицательное число имеет ровно один неотрицательное реал п - й корень, и поэтому правила для операций с участием surds неотрицательных подкоренных и просты в действительных числах:
Тонкости могут возникнуть при извлечении корней n- й степени из отрицательных или комплексных чисел . Например:
- скорее,
Поскольку правило строго выполняется только для неотрицательных вещественных подкоренных выражений, его применение приводит к неравенству на первом шаге выше.
Упрощенная форма радикального выражения
Говорят, что невложенное радикальное выражение имеет упрощенную форму, если
- Нет множителя при подкоренном выражении, который можно было бы записать как степень, большую или равную индексу.
- Под знаком радикала нет дробей.
- В знаменателе нет радикалов.
Например, чтобы записать радикальное выражение в упрощенном виде, можно поступить следующим образом. Сначала найдите идеальный квадрат под знаком квадратного корня и удалите его:
Далее стоит дробь под знаком корня, которую мы меняем следующим образом:
Наконец, удаляем радикал из знаменателя следующим образом:
Когда есть знаменатель, включающий сурды, всегда можно найти множитель, на который можно умножить числитель и знаменатель, чтобы упростить выражение. Например, используя факторизацию суммы двух кубов :
Упростить радикальные выражения, содержащие вложенные радикалы, может быть довольно сложно. Например, неочевидно, что:
Вышеупомянутое можно получить с помощью:
Пусть , с p и q взаимно простыми и положительными целыми числами. Тогда рационально тогда и только тогда, когда оба и являются целыми числами, что означает, что и p, и q являются n- ю степенями некоторого целого числа.
Бесконечная серия
Корень или корень могут быть представлены бесконечным рядом :
с . Это выражение может быть получено из биномиального ряда .
Вычисление главных корней
Используя метод Ньютона
П - й корень из числа А может быть вычислен с методом Ньютона . Начните с первоначального предположения x 0, а затем повторите, используя рекуррентное соотношение
пока не будет достигнута желаемая точность. Например, чтобы найти корень пятой степени из 34, мы подставляем n = 5, A = 34 и x 0 = 2 (первоначальное предположение). Первые 5 итераций приблизительно равны:
x 0 = 2
x 1 = 2,025
x 2 = 2,024397817
x 3 = 2,024397458
x 4 = 2,024397458
. Приближение x 4 имеет точность до 25 знаков после запятой.
Метод Ньютона можно модифицировать для получения различных обобщенных непрерывных дробей для корня n- й степени. Например,
Поразрядное вычисление главных корней десятичных (основание 10) чисел
Основываясь на вычислении квадратного корня по цифрам , можно увидеть, что используемая здесь формула, или , следует шаблону, включающему треугольник Паскаля. Для n- го корня числа определяется значение элемента в строке Треугольника Паскаля, так что мы можем переписать выражение как . Для удобства назовите результат этого выражения . Используя это более общее выражение, любой положительный главный корень может быть вычислен цифра за цифрой следующим образом.
Запишите исходное число в десятичной форме. Числа записываются аналогично алгоритму длинного деления , и, как и при длинном делении, корень будет записан в строке выше. Теперь разделите цифры на группы цифр, соответствующих корню, начиная с десятичной точки и идя как влево, так и вправо. Десятичная точка корня будет выше десятичной точки подкоренного выражения. Одна цифра корня появится над каждой группой цифр исходного номера.
Начиная с самой левой группы цифр, выполните следующую процедуру для каждой группы:
- Начиная слева, опустите наиболее значимую (крайнюю левую) группу цифр, которые еще не используются (если все цифры были использованы, напишите «0» количество раз, необходимое для создания группы) и запишите их справа от остаток от предыдущего шага (на первом шаге остатка не будет). Другими словами, умножьте остаток на и сложите цифры из следующей группы. Это будет текущее значение c .
- Найдите p и x следующим образом:
- Позвольте быть частью корня, найденного до сих пор , игнорируя любую десятичную точку. (Для первого шага ).
- Определите наибольшую цифру, такую что .
- Поместите цифру как следующую цифру корня, т. Е. Над группой цифр, которую вы только что набрали. Таким образом, следующий p будет старым p, умноженным на 10 плюс x .
- Вычтите из, чтобы получить новый остаток.
- Если остаток равен нулю и нет больше цифр, которые нужно сбрасывать, то алгоритм завершен. В противном случае вернитесь к шагу 1 для другой итерации.
Примеры
Найдите квадратный корень из 152,2756.
1 2. 3 4 / \/ 01 52.27 56
01 100·1·00·12 + 101·2·01·11 ≤ 1 < 100·1·00·22 + 101·2·01·21 x = 1 01 y = 100·1·00·12 + 101·2·01·12 = 1 + 0 = 1 00 52 100·1·10·22 + 101·2·11·21 ≤ 52 < 100·1·10·32 + 101·2·11·31 x = 2 00 44 y = 100·1·10·22 + 101·2·11·21 = 4 + 40 = 44 08 27 100·1·120·32 + 101·2·121·31 ≤ 827 < 100·1·120·42 + 101·2·121·41 x = 3 07 29 y = 100·1·120·32 + 101·2·121·31 = 9 + 720 = 729 98 56 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 ≤ 9856 < 100·1·1230·52 + 101·2·1231·51 x = 4 98 56 y = 100·1·1230·42 + 101·2·1231·41 = 16 + 9840 = 9856 00 00 Algorithm terminates: Answer is 12.34
Найдите кубический корень из 4192 до ближайшей сотой.
1 6. 1 2 4 3 / \/ 004 192.000 000 000
004 100·1·00·13 + 101·3·01·12 + 102·3·02·11 ≤ 4 < 100·1·00·23 + 101·3·01·22 + 102·3·02·21 x = 1 001 y = 100·1·00·13 + 101·3·01·12 + 102·3·02·11 = 1 + 0 + 0 = 1 003 192 100·1·10·63 + 101·3·11·62 + 102·3·12·61 ≤ 3192 < 100·1·10·73 + 101·3·11·72 + 102·3·12·71 x = 6 003 096 y = 100·1·10·63 + 101·3·11·62 + 102·3·12·61 = 216 + 1,080 + 1,800 = 3,096 096 000 100·1·160·13 + 101·3·161·12 + 102·3·162·11 ≤ 96000 < 100·1·160·23 + 101·3·161·22 + 102·3·162·21 x = 1 077 281 y = 100·1·160·13 + 101·3·161·12 + 102·3·162·11 = 1 + 480 + 76,800 = 77,281 018 719 000 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 ≤ 18719000 < 100·1·1610·33 + 101·3·1611·32 + 102·3·1612·31 x = 2 015 571 928 y = 100·1·1610·23 + 101·3·1611·22 + 102·3·1612·21 = 8 + 19,320 + 15,552,600 = 15,571,928 003 147 072 000 100·1·16120·43 + 101·3·16121·42 + 102·3·16122·41 ≤ 3147072000 < 100·1·16120·53 + 101·3·16121·52 + 102·3·16122·51 x = 4 The desired precision is achieved: The cube root of 4192 is about 16.12
Логарифмический расчет
Главный корень n- й степени положительного числа можно вычислить с помощью логарифмов . Начиная с уравнения, которое определяет r как корень n- й степени из x , а именно с положительным x и, следовательно, его главный корень r также положительным, нужно логарифмировать обе части ( подойдет любое основание логарифма ), чтобы получить
Корень r восстанавливается из этого путем взятия антилогарифма :
(Примечание: эта формула показывает b, возведенное в степень результата деления, а не b, умноженное на результат деления.)
В случае, когда x отрицательно, а n нечетно, существует один действительный корень r, который также отрицателен. Его можно найти, сначала умножив обе части определяющего уравнения на −1, чтобы получить, а затем действуя, как и раньше, чтобы найти | r |, и используя r = - | г | .
Геометрическая конструктивность
В древнегреческие математики знали , как использовать компас и Straightedge построить длину , равную квадратному корню из заданной длины, когда вспомогательная линия единичной длины дается. В 1837 году Пьер Ванцель доказал, что корень n- й степени заданной длины не может быть построен, если n не является степенью двойки.
Сложные корни
Каждое комплексное число, отличное от 0, имеет n различных корней n- й степени.
Квадратные корни
Два квадратных корня комплексного числа всегда отрицательны друг другу. Например, квадратные корни из −4 равны 2 i и −2 i , а квадратные корни из i равны
Если мы выразим комплексное число в полярной форме, то квадратный корень можно получить, взяв квадратный корень из радиуса и уменьшив угол вдвое:
Основной корень комплексного числа может быть выбран различными способами, например ,
который вводит разрез ветви в комплексной плоскости вдоль положительной вещественной оси с условием 0 ≤ θ <2 π , или вдоль отрицательной вещественной оси с - π < θ ≤ π .
Используя первый (последний) ветви вырезать главный квадратный корень карты на полуплоскость с неотрицательной мнимой (реальной) части. Последний отрезок ветки предполагается в математическом программном обеспечении, таком как Matlab или Scilab .
Корни единства
Число 1 имеет n различных корней n- й степени на комплексной плоскости, а именно
куда
Эти корни равномерно расположены вокруг единичного круга в комплексной плоскости под углами, кратными . Например, квадратные корни из единицы равны 1 и −1, а корни четвертой степени из единицы равны 1 ,, −1 и .
n- ые корни
Каждое комплексное число имеет n различных корней n- й степени на комплексной плоскости. Эти
где η - единственный корень n- й степени, а 1, ω , ω 2 , ... ω n −1 - корни n- й степени из единицы. Например, четыре разных корня четвертой степени из 2 равны
В полярной форме единственный корень n- й степени может быть найден по формуле
Здесь r - величина (модуль, также называемый абсолютным значением ) числа, из которого следует извлечь корень; если число можно записать как + bi, тогда . Кроме того, это угол, образованный при повороте в исходной точке против часовой стрелки от положительной горизонтальной оси к лучу, идущему от начала координат к числу; он имеет свойства, которые и
Таким образом, поиск корней n- й степени в комплексной плоскости можно разделить на два этапа. Во- первых, величина всех п - й корней является п - й корень из величины исходного числа. Во-вторых, угол между положительной горизонтальной осью и лучом от начала координат до одного из корней n- го порядка равен , где - угол, определенный таким же образом для числа, из которого извлекается корень. Кроме того, все корни n из n расположены на одинаковом расстоянии друг от друга.
Если n четно, n- е корни комплексного числа , из которых есть четное число, входят в аддитивные обратные пары, так что если число r 1 является одним из корней n- й степени, то r 2 = - r 1 является другим. Это связано с тем, что повышение коэффициента –1 последнего до степени n для четного n дает 1: то есть (- r 1 ) n = (–1) n × r 1 n = r 1 n .
Как и в случае с квадратными корнями, приведенная выше формула не определяет непрерывную функцию на всей комплексной плоскости, а вместо этого имеет разветвление в точках, где θ / n является разрывным.
Решение многочленов
Когда-то было высказано предположение, что все полиномиальные уравнения могут быть решены алгебраически (то есть, что все корни полинома могут быть выражены в терминах конечного числа радикалов и элементарных операций ). Однако, хотя это верно для многочленов третьей степени ( кубики ) и полиномов четвертой степени ( квартики ), теорема Абеля – Руффини (1824) показывает, что это неверно в общем случае, когда степень равна 5 или больше. Например, решения уравнения
не могут быть выражены в терминах радикалов. ( ср. уравнение пятой степени )
Доказательство иррациональности несовершенного п - й степени х
Предположим, что это рационально. То есть его можно сократить до дроби , где a и b - целые числа без общего множителя.
Это значит что .
Поскольку x является целым числом и должен иметь общий множитель, если . Это означает, что если , не в простейшей форме. Таким образом, b должно быть равно 1.
Так как и , .
Это означает , что и , таким образом, . Это означает, что это целое число. Поскольку x не является совершенной степенью n , это невозможно. Таким образом, это иррационально.
Смотрите также
- Алгоритм N-го корня
- Алгоритм смещения корня n-й степени
- Радикальный символ
- Алгебраическое число
- Вложенный радикал
- Корень двенадцатой степени из двух
- Супер-корень