Рациональная функция - Rational function

В математике , A рациональная функции является любой функцией , которая может быть определена с помощью рациональной дроби , которая является алгебраической фракцией , такой , что как числитель и знаменатель являются полиномы . В коэффициенты полиномов не должны быть рациональными числами ; они могут быть приняты в любом поле К . В этом случае говорят о рациональной функции и рациональной дроби над К . Значения переменных могут быть приняты в любом поле L , содержащего K . Затем домен функции является множество значений переменных , для которых знаменатель не равен нулю, а кообласть является л .

Множество рациональных функций над полем K является полем, то поле дробей в кольце из полиномиальных функций над K .

Определения

Функция называется рациональной тогда и только тогда, когда ее можно записать в виде ${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle f (x) = {\ гидроразрыва {P (x)} {Q (x)}}}$

где и являются полиномиальными функциями от и не нулевой функции . Домен в это совокупность всех значений , для которых знаменатель не равен нулю. ${\ Displaystyle P \,}$${\ Displaystyle Q \,}$${\ Displaystyle х \,}$${\ Displaystyle Q \,}$${\ displaystyle f \,}$${\ Displaystyle х \,}$${\ Displaystyle Q (х) \,}$

Однако, если и имеют непостоянный полиномиальный наибольший общий делитель , то установка и производит рациональную функцию ${\ displaystyle \ textstyle P}$${\ displaystyle \ textstyle Q}$ ${\ displaystyle \ textstyle R}$${\ displaystyle \ textstyle P = P_ {1} R}$${\ Displaystyle \ textstyle Q = Q_ {1} R}$

${\ displaystyle f_ {1} (x) = {\ frac {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}},}$

который может иметь большую область, чем , и равен в области. Это обычное использование для идентификации и , то есть для расширения "по непрерывности" области до области Действительно, можно определить рациональную дробь как эквивалентность класс дробей многочленов, где две дроби и считаются эквивалентными, если . В этом случае эквивалентно . ${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f (x).}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {1} (х)}$${\ displaystyle f (x)}$${\ displaystyle f_ {1} (x).}$${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {А (х)} {В (х)}}}$${\ displaystyle {\ frac {C (x)} {D (x)}}}$${\ Displaystyle А (х) D (х) = В (х) С (х)}$${\ displaystyle {\ frac {P (x)} {Q (x)}}}$${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {P_ {1} (x)} {Q_ {1} (x)}}}$

Правильная рациональная функция является рациональной функцией , в которой степень в меньше степени , и оба вещественные многочлены , названные по аналогии с правильной дроби в . ${\ Displaystyle P (x)}$${\ Displaystyle Q (х)}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

Степень

Существует несколько неэквивалентных определений степени рациональной функции.

Чаще всего степень рациональной функции является максимальной из степеней составляющих ее многочленов P и Q , когда дробь сокращается до наименьших членов . Если степень f равна d , то уравнение

${\ Displaystyle е (г) = вес \,}$

имеет d различных решений по z, за исключением определенных значений w , называемых критическими значениями , когда два или более решений совпадают или когда какое-то решение отклоняется на бесконечности (то есть, когда степень уравнения уменьшается после очистки знаменателя ).

В случае комплексных коэффициентов рациональная функция со степенью один является преобразованием Мёбиуса .

Степень графика рациональной функции не степени , как определено выше: это максимум степени числителя и один плюс степень знаменателя.

В некоторых контекстах, например в асимптотическом анализе , степень рациональной функции - это разница между степенями числителя и знаменателя.

В сетевом синтезе и сетевом анализе рациональную функцию второй степени (то есть отношение двух многочленов степени не выше двух) часто называют биквадратная функция .

Примеры

Рациональная функция

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {x ^ {3} -2x} {2 (x ^ {2} -5)}}}$

не определен в

${\ displaystyle x ^ {2} = 5 \ Leftrightarrow x = \ pm {\ sqrt {5}}.}$

Асимптотика при${\ displaystyle {\ tfrac {x} {2}}}$${\ displaystyle x \ to \ infty.}$

Рациональная функция

${\ Displaystyle е (х) = {\ гидроразрыва {х ^ {2} +2} {х ^ {2} +1}}}$

определен для всех действительных чисел , но не для всех комплексных чисел , поскольку если бы x был квадратным корнем из (то есть мнимой единицей или ее отрицательной величиной), то формальная оценка привела бы к делению на ноль: ${\ displaystyle -1}$

${\ displaystyle f (i) = {\ frac {i ^ {2} +2} {i ^ {2} +1}} = {\ frac {-1 + 2} {- 1 + 1}} = {\ гидроразрыв {1} {0}},}$

который не определен.

Функция постоянная , такие как ф ( х ) = π является рациональной функцией , так как константы являются полиномами. Сама функция является рациональной, даже если значение из ф ( х ) является иррациональным для всех х .

Каждая полиномиальная функция является рациональной функцией с функцией A, которая не может быть записана в этой форме, например, не является рациональной функцией. Однако прилагательное «иррациональное» обычно не используется для обозначения функций. ${\ Displaystyle е (х) = п (х)}$${\ displaystyle Q (x) = 1.}$${\ Displaystyle е (х) = \ грех (х),}$

Рациональная функция равна 1 для всех x, кроме 0, где есть устранимая особенность . Сумма, произведение или частное (за исключением деления на нулевой многочлен) двух рациональных функций сами по себе являются рациональной функцией. Однако процесс приведения к стандартной форме может непреднамеренно привести к удалению таких особенностей, если не будут приняты меры. Использование определения рациональных функций как классов эквивалентности позволяет обойти это, поскольку x / x эквивалентно 1/1. ${\ displaystyle f (x) = {\ tfrac {x} {x}}}$

Серия Тейлора

Коэффициенты ряда Тейлора любой рациональной функции удовлетворяют линейному рекуррентному соотношению , которое можно найти, приравняв рациональную функцию к ряду Тейлора с неопределенными коэффициентами и собрав подобные члены после очистки знаменателя.

Например,

${\ displaystyle {\ frac {1} {x ^ {2} -x + 2}} = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Умножая на знаменатель и распределяя,

${\ displaystyle 1 = (x ^ {2} -x + 2) \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}}$

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k + 2} - \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ { k + 1} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

После корректировки индексов сумм, чтобы получить те же степени x , мы получаем

${\ displaystyle 1 = \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} a_ {k-2} x ^ {k} - \ sum _ {k = 1} ^ {\ infty} a_ {k-1} x ^ {k} +2 \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} a_ {k} x ^ {k}.}$

Объединение похожих терминов дает

${\ displaystyle 1 = 2a_ {0} + (2a_ {1} -a_ {0}) x + \ sum _ {k = 2} ^ {\ infty} (a_ {k-2} -a_ {k-1} + 2a_ {k}) x ^ {k}.}$

Поскольку это верно для всех x в радиусе сходимости исходного ряда Тейлора, мы можем вычислить следующим образом. Поскольку постоянный член слева должен равняться постоянному члену справа, отсюда следует, что

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {1} {2}}.}$

Тогда, поскольку слева нет степеней x , все коэффициенты справа должны быть равны нулю, из чего следует, что

${\ displaystyle a_ {1} = {\ frac {1} {4}}}$

${\ displaystyle a_ {k} = {\ frac {1} {2}} (a_ {k-1} -a_ {k-2}) \ quad {\ text {for}} \ k \ geq 2.}$

И наоборот, любая последовательность, удовлетворяющая линейной рекуррентности, определяет рациональную функцию при использовании в качестве коэффициентов ряда Тейлора. Это полезно при решении таких повторений, поскольку, используя разложение на частичную дробь, мы можем записать любую правильную рациональную функцию в виде суммы множителей вида 1 / ( ax + b ) и разложить их в виде геометрических рядов , давая явную формулу для уравнения Тейлора. коэффициенты; это метод производящих функций .

Абстрактная алгебра и геометрические понятия

В абстрактной алгебре понятие многочлена расширено, чтобы включить формальные выражения, в которых коэффициенты многочлена могут быть взяты из любого поля . В этой установке данного поля F , а некоторые неопределенные Х , А рациональное выражение является любым элементом поля частных в кольце многочленов F [ X ]. Любое рациональное выражение может быть записано как отношение двух многочленов P / Q с Q ≠ 0, хотя это представление не единственно. P / Q эквивалентно R / S для многочленов P , Q , R и S , когда PS = QR . Однако, поскольку F [ X ] является уникальной областью факторизации , существует уникальное представление для любого рационального выражения P / Q с полиномами P и Q низшей степени и Q, выбранным как монический . Это похоже на то, как дробь целых чисел всегда может быть записана однозначно в наименьших числах, исключая общие множители.

Поле рациональных выражений обозначается F ( X ). Это поле называется генерируются (как поле) над F пути (а трансцендентное элемента ) X , потому что F ( X ) не содержит какой - либо надлежащий подполе , содержащий как F и элемент X .

Сложные рациональные функции

• Множества Жюлиа для рациональных отображений
• 

  ${\ displaystyle {\ frac {1} {az ^ {5} + z ^ {3} + bz}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {1} {z ^ {3} + z (-3-3i)}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {2} -0,2 + 0,7i} {z ^ {2} +0,917}}}$

• 

  ${\ displaystyle {\ frac {z ^ {2}} {z ^ {9} -z + 0,025}}}$

В комплексном анализе рациональная функция

${\ Displaystyle f (z) = {\ гидроразрыва {P (z)} {Q (z)}}}$

- это отношение двух многочленов с комплексными коэффициентами, где Q не является нулевым многочленом, а P и Q не имеют общего множителя (это позволяет избежать неопределенного значения 0/0 для f ).

Область определения f - это набор комплексных чисел, таких что, а его диапазон - это набор комплексных чисел w, таких что${\ Displaystyle Q (г) \ neq 0,}$${\ Displaystyle P (z) \ neq wQ (z).}$

Каждая рациональная функция может быть естественным образом расширена до функции, область определения и область значений которой - вся сфера Римана ( комплексная проективная прямая ).

Рациональные функции являются репрезентативными примерами мероморфных функций .

Итерация рациональных функций (отображений) на сфере Римана создает дискретные динамические системы .

Понятие рациональной функции на алгебраическом многообразии

Как и многочлены , рациональные выражения можно обобщить на n неопределенных X ₁ , ..., X _n , взяв поле дробей F [ X ₁ , ..., X _n ], которое обозначается F ( X ₁ , ..., X _n ).

Расширенная версия абстрактной идеи рациональной функции используется в алгебраической геометрии. Там поле функций алгебраического многообразия V образуются как поле фракций координатного кольца из V (более точно сказал о Зариском плотном аффинном открытом множестве V ). Его элементы f рассматриваются как регулярные функции в смысле алгебраической геометрии на непустых открытых множествах U , а также могут рассматриваться как морфизмы проективной прямой .

Приложения

Рациональные функции используются в численном анализе для интерполяции и приближения функций, например, аппроксимации Паде, введенные Анри Паде . Приближения в терминах рациональных функций хорошо подходят для систем компьютерной алгебры и другого численного программного обеспечения . Как и полиномы, их можно вычислить напрямую, и в то же время они выражают более разнообразное поведение, чем полиномы.

Рациональные функции используются для аппроксимации или моделирования более сложных уравнений в науке и технике, включая поля и силы в физике, спектроскопию в аналитической химии, кинетику ферментов в биохимии, электронные схемы, аэродинамику, концентрации лекарств in vivo, волновые функции для атомов и молекул, оптику и фотография для улучшения разрешения изображения, а также акустики и звука.

В обработке сигналов , то преобразование Лапласа (для непрерывных систем) или г-преобразование (для дискретного времени систем) от импульсного отклика обычно используемых линейных стационарных систем (фильтры) с бесконечной импульсной характеристикой являются рациональными функциями над комплексными числами .

Смотрите также

• Поле дробей
• Разложение на частичную дробь
• Частичные доли в интеграции
• Функциональное поле алгебраического многообразия
• Алгебраические дроби  - обобщение рациональных функций, позволяющее извлекать целые корни

использованная литература

• "Рациональная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 3.4. Интерполяция и экстраполяция рациональных функций» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

внешние ссылки

• Динамическая визуализация рациональных функций с помощью JSXGraph